1、2.5直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 复习引入复习引入 1已知圆的半径等于5厘米， 圆心到直线l的距离是： （1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米 直线l和圆分别有几个公共点？ 分别说出直线l与圆的位置关系 复习引入复习引入 2 2你有哪些方法可以判定直线与圆相切？你有哪些方法可以判定直线与圆相切？ 圆的切线的判定方法：圆的切线的判定方法： （1）和圆有和圆有唯一唯一公共点的直线是圆的切线公共点的直线是圆的切线； （2 2）到圆心的）到圆心的距离等于这个圆的半径距离等于这个圆的半径的直线的直线 （即（即d=rd=r) )是圆的切线是圆的切线. . 过圆上的一点过圆上的一点A如何画圆的切
2、线呢？如何画圆的切线呢？ 直线直线l有什么特征？有什么特征？ 经过半径的外端并且垂经过半径的外端并且垂直于这条半径直于这条半径 的直线是圆的的直线是圆的切线切线. . l 自主探究自主探究 切线判定定理切线判定定理 切线的判定定理： 经过半径的外端 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 请你议一议请你议一议 判定定理的2个条件： 经过半径的外端； 垂直于这条半径 经过半径的外端并且垂直于这条半径的经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线直线是圆的切线. . OA为为O的的半径半径 BCOA于于A BC为为O的的切线切线. . A B C 切线的判定定理切线的判定定理 应用格式应用格式 下
3、列各直线是不是圆的切线？如果不是，下列各直线是不是圆的切线？如果不是， 请说明为什么？请说明为什么？ O. lA O. lA B A O l(1) (2) (3) (1)不是，不是， 因为没有垂直因为没有垂直. . (2),(3)不是，不是， 因为没有经过半径的外端点因为没有经过半径的外端点A. . 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. . 注意 判一判 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：定义法：
4、直线和圆只有一个公共直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线点时，我们说这条直线是圆的切线; ; 2.数量关系法：数量关系法：圆心到这条直线圆心到这条直线的距离等于半径的距离等于半径( (即即d=r) )时，直线时，直线与圆相切；与圆相切； 3.判定定理：判定定理：经过半径的外端并且经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线垂直于这条半径的直线是圆的切线. . l A l O l r d d 要点归纳 1.判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确. 经过半径外端的直线是圆的切线经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） 垂直于半径的直线是圆的切线垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
5、 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线的切线. （ ） 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） 过直径一端过直径一端点点且垂直于直径的直线是圆的切线且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） 【练习练习】 典例精析 例例1 1 如图如图, ,直线直线AB是是O上的点上的点A,A, 且且AB=OA，OBA=45 求证：直线求证：直线AB是是O的切线的切线. . 解析：直线解析：直线AB经过半径的一端，经过半径的一端， 因此只要证因此只要证OA垂直于垂直于AB即可即可. . A O B 证明：证明：AB=OA，
6、OAB45， AOBOBA45， OAB=90. 即即OAAB. 又又点点A在圆上，在圆上， 直线直线AB是是O的切线的切线.（切线的判定定理）（切线的判定定理） 如图如图, ,AB是是O的直径的直径, , ABT=45, AT=BA 求证求证: :AT是是O的切线的切线. . A T B O 证明：证明：AT=AB，ABTATB， 又又ABT45，ATB=45. 解析：解析：ATAT经过直径的一端，经过直径的一端， 因此只要证因此只要证ATAT垂直于垂直于ABAB即可即可. . AT是是O的切线的切线 TAB180- -ABT- -ATB=90. 即即ATAB. 做一做 假设假设AB与与CD
7、不垂直不垂直,过点过点O作作OMCD,垂足为垂足为M, 则则OMOA,即圆心即圆心O到直线到直线CD的距离小于的距离小于O的半径的半径, 因此因此,CD与与O相交相交. 这与已知条件这与已知条件 “直线“直线CD与与O相切”相矛盾相切”相矛盾. C D B O A 所以所以ABAB与与CDCD垂直垂直. . M 自主探究自主探究 如图如图, ,直线直线CDCD与与O相切于点相切于点A,A,直径直径ABAB与直与直线线CDCD有怎样的位置关系有怎样的位置关系? ?说说你的理由说说你的理由. . 圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径. . 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点
8、的半径. CD是是O的切线的切线, ,A是切点是切点, , CDOA. . C D O A 已知直线和圆相切时，已知直线和圆相切时， 经常作出经过切点的半径这条辅助线经常作出经过切点的半径这条辅助线. 归归 纳纳 BAOPC例例2、PA、PB是是O的切线，的切线， 切点分别为切点分别为A 、B，点，点C是是O上一点，上一点， 若若P=40,求求C的度数的度数. 已知直线和圆相切时：已知直线和圆相切时： 常连接切点与圆心常连接切点与圆心过切点的半径过切点的半径。 点拨纠正点拨纠正 1、如图，以点、如图，以点O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦大圆的弦AB切小圆于点切小圆于点P
9、， PA与与PB相等吗？为什么？相等吗？为什么？ 才艺展示才艺展示 21DBOAC2 2、ABCABC内接于内接于O，ABAB是是O的直径，的直径， CAD=ABCCAD=ABC， 判断直线判断直线ADAD与与 O的位置关系，的位置关系， 并说明理由并说明理由. . 点拨纠正点拨纠正 变式： 如图，ABC内接于O， AB是O的弦，CAD=ABC， 判断直线AD与O的位置关系， 并说明理由. 证明切线的方法： 当直线与圆有交点时，连半径，证垂直. O A B C D E 3 3、已知：直线已知：直线AB经过经过O上的点上的点C， 并且并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线求证：直线AB是是O的
10、切线的切线. . O B A C 分析：由于分析：由于AB过过O上的点上的点C， 所以连接所以连接OC，只要证明只要证明ABOC即可即可. . 证明证明：连接连接OC( (如图如图).). OAOB,CACB, OC是等腰三角形是等腰三角形OAB底边底边AB上的中上的中线线. . ABOC. OC是是O的半径的半径, , AB是是O的切线的切线. . 典例精析 (1) 有交点，有交点，连半径连半径, ,证垂直证垂直. . 证切线时辅助线的添加方法 例例1 例例2 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点，连半径，得垂直见切点，连半径，得垂直. 切线的重要结论 知识要点 1 1、如图，、如图，
11、AB是是O的直径，弦的直径，弦AD平分平分ABC， 过点过点D的切线交的切线交AC于点于点E， DE与与AC有怎样的位置关系？为什么？有怎样的位置关系？为什么？ 才艺展示才艺展示 变：若变：若DEAC于于E， 则则DE是是O的切线吗？的切线吗？ （其他条件不变）（其他条件不变） 3.如图，在如图，在O的内接四边形的内接四边形ABCD中，中，AB是直径，是直径，BCD=120，过过D点的切线点的切线PD与直线与直线AB交于点交于点P，则则ADP的度数为（的度数为（ ） A40 B35 C30 D45 2.如图所示，如图所示，A是是O上一点，且上一点，且AO=5,PO=13,AP=12, 则则PA
12、与与O的位置关系是的位置关系是 . A P O 第第2题题 P O 第第3题题 D A B C 相切相切 C 1.1.经过半径的外端并且经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线垂直于这条半径的直线是圆的切线. . 2.圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径. 收获与反思收获与反思 3 3切线的判定作辅助线技巧: : (1)(1)当已知直线过圆上的某一点时，要证明这条直线是圆的切线， 连半径，证垂直. . (2)当已知直线与圆的公共点不明确时， 作垂直，证半径. . 证明：连接证明：连接OP. AB=AC,B=C. OB=OP，B=OPB， OBP=C. OPAC. PE
13、AC， PEOP. PE为为O的切线的切线. . 4.如图如图, ,ABC中，中，AB=AC，以以AB为直径的为直径的O交边交边BC于于P， PEAC于于E. . 求证求证: :PE是是O的切线的切线. . O A B C E P 例例3 3、点、点O O是是DPCDPC的角平分线上的一点，的角平分线上的一点， O O与与PDPD相切于相切于A.A. 说明：说明：PCPC与与O O相切相切. . DCBAOPE 证明证明一条直线是圆的切线时一条直线是圆的切线时: : 直线与圆“无”公共点时，直线与圆“无”公共点时，过圆心作直线过圆心作直线的垂线的垂线，证明垂线段的长等于半径，证明垂线段的长等于
14、半径. . 作垂直，证半径作垂直，证半径 点拨纠正点拨纠正 4 4、如图如图, ,ABC 中，中，AB AC ，O 是是BC中点，中点， O与与AB 相切于相切于E. .求证：求证：AC 是是O 的切线的切线 B O C E A 分析：根据切线的判定定理，分析：根据切线的判定定理， 要证明要证明AC是是O的切线，的切线， 只要证明只要证明，由点由点O向向AC所所作的垂线段作的垂线段OF是是O的半径的半径，就可以了就可以了， 而而OE是是O的半径的半径， 因此只需要证明因此只需要证明OF=OE. F 证明：连接证明：连接OE ，OA, 过过O 作作OF AC. O 与与AB 相切于相切于E， OE AB. 又又ABC 中中，AB AC ， O 是是BC 中点中点 AO 平分平分BAC， F B O C E A OEOF. OE 是是O 半径半径， OF OE，OF AC. AC 是是O的切线的切线 又又OEAB ，OFAC.
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