1、第3章勾股定理一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2022江苏八年级专题练习）适合下列条件的ABC中， 直角三角形的个数为（）；，A45；A32， B58；A2个B3个C4个D5个2（2022西安市黄河中学八年级月考）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（）A1.5米B1.7米C1.8米D0.6米3（2022重庆涪陵八年级期末）如图，在四边形ABCD中，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方
2、形，面积分别为，和若，则的值是（）A6B8C9D104（2022广州市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）ABCD5（2022安徽芜湖八年级期中）如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB15米，CD7米，两树间的距离BD6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC（）A6米B8米C10米D12米6（2022重庆九龙坡八年级期末）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边
3、数，则下面的结论：m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；1，2，3是一组广义勾股数；13是广义斜边数；两个广义斜边数的和是广义斜边数；若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；两个广义斜边数的积是广义斜边数依次正确的是（）ABCD7（2022山西八年级期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）A20B24C25D268（2022北京东城八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示
4、的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A19B44C52D769（2022山东八年级期中）中，高，则BC的长为（ ）A14B14或4C4D无法确定10（2022山东泰安市七年级期末）如图，在中，垂足为，平分，交于点，交于点若，则线段的长为（ ）AB3CD1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11（2022福建龙岩八年级期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_12（2022内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，ABBC于点B，ABAD于点A，点E是CD中点，若
5、BC5，AD10，BE，则AB的长是 _13（2022山东八年级期中）如图，在中，则内部五个小直角三角形的周长的和为_14（2021江苏八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，若，则_15（2022福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是（杯壁厚度不计）_16（2022苏州市八年级期中）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动_秒时
6、，ACP是直角三角形17（2022贵州九年级）如图，矩形中，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为_18（2022江苏无锡八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 _cm三、解答题（本大题共8小题，共66分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
7、程或演算步骤）19（2022四川遂宁八年级期末）在一次消防演习中，消防员架起一架20米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙12米(1)求这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？20（2022江西赣州八年级期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点和点处，于点，于点已知，问：图书室应建在距点多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？21（2022山东聊城八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地如
8、图，经技术人员的测量，已知AB9m，BC12m，CD17m，AD8m，ABC90若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？22（2022山西省运城市八年级阶段练习）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几
9、个小时内撤离才可脱离危险？23（2022江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60，得到DBE，连接AD，DC，DCB=30度求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四
10、边形24（2022山东八年级期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接 _度；（答案直接填写在横线上）_ _（答案直接填写在横线上）;求的度数（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，连接当满足什么条件时，请给出证明25（2022福建省福州第一中学）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上，连接（1）求证：；（2）探究、的数量关系，并证明；（3）若，求两个三角形重叠部分的面积26（2022江苏）阅读下面的材料，并解决问题：（1）如图，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别是3、4、5，求APB的度数由于PA、PB、PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP绕
11、顶点A旋转到处，此时 这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出APB的度数；（求APB的度数）（2）请你利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：如图，在ABC中，CAB=90，AB=AC，E、F为BC上的点且EAF=45，求证：EF2=BE2+FC2 第3章勾股定理 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2022江苏八年级专题练习）适合下列条件的ABC中， 直角三角形的个数为（）；，A45；A32， B58；A2个B3个C4个D5个【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形两锐角互余，三角形的三边关系进行判断即可【详解】解：，故
12、不能构成直角三角形；当a=6，A=45时，不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由A+B=90，可知是直角三角形；根据，可知，故能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知不能构成三角形；令 可知，故能够成直角三角形；根据三角形的内角和可知不等构成直角三角形；由可知，故能够成直角三角形故选：C【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单2（2022西安市黄河中学八年级月考）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距
13、离米竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（）A1.5米B1.7米C1.8米D0.6米【答案】A【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，在RtCDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，解得x=1.5故选：A【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题3（2022重庆涪陵八年级期末）如图，在四边形ABCD中，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，和
14、若，则的值是（）A6B8C9D10【答案】B【分析】连接AC，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值【详解】如图所示，连接， 在中，即；同理，在中，即则 故选B【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长平方即可4（2022广州市八年级期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）ABCD【答案】A【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=12，地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长
15、度至少是12+5=17（米）故选：A【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性5（2022安徽芜湖八年级期中）如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB15米，CD7米，两树间的距离BD6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC（）A6米B8米C10米D12米【答案】C【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出【详解】解：如图，过C点作CEAB于E，连接AC，由题意得：EB7m，EC6m，AEABEB1578m，在RtAEC中，
16、AC10m，故小鸟至少飞行10m故选：C【点睛】本题主要考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键6（2022重庆九龙坡八年级期末）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；1，2，3是一组广义勾股数；13是广义斜边数；两个广义斜边数的和是广义斜边数；若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；两个广义斜边数的积是广义斜边数依次正确的是（）ABCD【答案】D【分析】根据题目中所
17、给的勾股数广义勾股数，广义斜边数的定义，分析选项找出结论正确的即可【详解】解：由题意可知：m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；结论正确；1，2，3是一组广义勾股数；，不满足，不能成为广义勾股数，故结论不正确；13是广义斜边数；，结论正确；两个广义斜边数的和是广义斜边数；例如，但是7不是广义斜边数，故结论不正确；若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；，满足：，故结论正确；两个广义斜边数的积是广义斜边数例如，但是4不是广义斜边数，故结论不正确；故正确的结论为：故选：D【点睛】本题考查勾股数广义勾股数，广义斜边数的定义，解题的关键是理解题意，根据题干中的定义解答7（2022山西八年级
18、期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）A20B24C25D26【答案】D【分析】将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求【详解】解：展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，由此可得：， 根据勾股定理有：故选D【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图8（2022北京东城八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角
19、三角形围成的若AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A19B44C52D76【答案】D【分析】根据勾股定理计算出BD即可求得周长【详解】解：如下图所示，设AC延长一倍到D点，得，这个风车的外围周长，故选：D【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出斜边的长9（2022山东八年级期中）中，高，则BC的长为（ ）A14B14或4C4D无法确定【答案】B【分析】根据题意画出图形，分两种情况讨论，再分别在中，利用勾股定理解得CD的长，在中，利用勾股定理解得BD的长，最后计算线段的和差解题【详解】解：分两
20、种情况讨论：若是钝角三角形，如图，是的高， 在中，在中，；若是锐角三角形，如图，是的高，在中，在中，；故BC为：14或4，故选：B【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理并分情况讨论是解题的关键.10（2022山东泰安市七年级期末）如图，在中，垂足为，平分，交于点，交于点若，则线段的长为（ ）AB3CD1【答案】C【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE，即可得出EC=FC，再利用勾股定理得出答案【详解】解：过点F作FGAB于点G，ACB=90，CDAB，中，CAF+CFA=90，FAD+AED=90，AF平分C
21、AB，CAF=FAD，FC=FG，CFA=AED=CEF，CE=CF，与关于线段AF成轴对称图形AC=AG=3BG=5-3=2设FC=CE=FG=xBF=4-x，在Rt中，解得x=，CF=CE=， 故选：C【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11（2022福建龙岩八年级期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_【答案】16【分析】根据题意设直角三角形
22、较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，12（2022内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，ABBC于点B，ABAD于点A，点E是CD中点，若BC5，AD10，BE，则AB的长是 _【答案】12【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证BCEFDE，可得DFBC5，BEEF，由勾股定理可求AB的长【详解】如图，延长BE交AD于点F，点E是DC的中点，DECE，ABBC，ABAD，ADBC， DBCE，FEDBEC， BCEFDE（ASA），DFBC5，BEEF，BF2BE13，AF=5,在RtA
23、BF中，由勾股定理可得AB12故答案为：12【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键13（2022山东八年级期中）如图，在中，则内部五个小直角三角形的周长的和为_【答案】30cm【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长【详解】解：在ABC中，C=90，AC=5，BC=12，AB=13，由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=30(cm)故答案为：30cm【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是灵活运
24、用所学知识解决问题需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变14（2021江苏八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，若，则_【答案】26【分析】利用手拉手模型证明，根据八字形证明角相等，进而可证明，再利用勾股定理解答即可【详解】和为等腰直角三角形在和中在中，,在中，在中，在中，在中，在中，故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证，得到直角三角形，再结合勾股定理的运用是解题关键15（2022福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm
25、与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是（杯壁厚度不计）_【答案】10【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AD=12=6，BD=BE+DE=5+3=8，在直角ADB中，由勾股定理得，AB=则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为10，故答案为：10【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键16（2022苏州市八年级期中）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一
26、动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动_秒时，ACP是直角三角形【答案】1.75或4【分析】先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上的高AD，再分别讨论PAC和APC为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间【详解】解：如图，作ADBC，AB=AC=5cm，BC=8cm，BD=CD=4cm，当点P运动到与点D重合时，是直角三角形，此时BP=4，运动时间为41=4（秒）；当PAC=90时，设PD=x，又，BP=42.25=1.75，所以运动时间为1.751=1.75（秒）；综上可得：当P运动4秒或1.75秒时，是直角三角
27、形；故答案为：1.75或4【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法17（2022贵州九年级）如图，矩形中，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为_【答案】【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题【详解】如图，连接，过点作，设，则矩形中 在与中，在中， ，故答案为：【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键
28、18（2022江苏无锡八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 _cm【答案】16【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可【详解】如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形
29、，四边形是平行四边形，此时最小，点是中点，cm，cm，cm，在中，cm，cm，故答案为：16【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算三、解答题（本大题共8小题，共66分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2022四川遂宁八年级期末）在一次消防演习中，消防员架起一架20米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙12米(1)求这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变）
30、，那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？【答案】(1)16米(2)4米【分析】（1）利用勾股定理可得BE再代入数计算即可；（2）根据题意表示出EA长，再在直角ABC中利用勾股定理计算出BC长，进而可得CD长(1)解：由题意得：DE20米，BD12米，则BE16（米）答：这个梯子的顶端距地面有16米； (2)解：由题意得：EA4米，则AB12米，AC20米，BC16（米），BD12米，CD16124（米）答：云梯的底部在水平方向应滑动4米【点睛】此题主要考查了勾股定理得应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确
31、的示意图领会数形结合的思想的应用20（2022江西赣州八年级期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点和点处，于点，于点已知，问：图书室应建在距点多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？【答案】10km【分析】设AE=x，然后用x表示出BE的长，进而可在两个直角三角形中，由勾股定理表示出CE、DE的长，然后列方程求解【详解】解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km，在RtACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152，同理可得：DE2=BE2+BD2=（25-x）2+102，若CE=DE，则AE2+AC2=BE2+BD
32、2，x2+152=（25-x）2+102，解得：x=10km；答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等【点睛】此题主要考查的是勾股定理的应用，根据CE=DE得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题关键21（2022山东聊城八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地如图，经技术人员的测量，已知AB9m，BC12m，CD17m，AD8m，ABC90若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？【答案】绿化这片空地共需花费17100元【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理
33、得出DAC90，再利用直角三角形面积求法得出答案【详解】解：连接AC，如图ABC90，AB9m，BC12m，AC15（m），CD17m，AD8m，AD2AC2DC2，DAC90，SDACADAC81560（m2），SACBABAC91254（m2），S四边形ABCD6054114（m2），15011417100（元），答：绿化这片空地共需花费17100元【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键22（2022山西省运城市八年级阶段练习）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低
34、气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？【答案】台风中心经过小时从B点移到D点，在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险【分析】由勾股定理解得BD的长，继而解得台风从B点移到D点的时间，即可解得BE的长，及从点B到点E的时间，据此解题【详解】解：在ABD中，根据勾股定理，BD=240(km），则台风中心经过24025=小时从B点
35、移到D点，如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，所以人们要在台风中心到达E点之前撤离，BE=BD-DE=240-70=170km，17025=（小时），正在D点休闲的游人在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键23（2022江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正
36、方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60，得到DBE，连接AD，DC，DCB=30度求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形【答案】（1）正方形、长方形；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；（3）连接CE，证明BCE是等边三角形，DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下：如图：正方形ABC
37、D中，由勾股定理有：；长方形DEFG中，由勾股定理有：；都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形（2）解：答案如图所示 （3）证明：连接EC，ABCDBE， AC=DE，BC=BE， CBE=60，CBE为等边三角形，EC=BC，BCE=60，DCB=30，DCE=90，DC2+EC2=DE2， DC2+BC2=AC2即四边形ABCD是勾股四边形【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题24（2022山东八年级期末）（1）如图1，是等边内一点，连接
38、，且，连接 _度；（答案直接填写在横线上）_ _（答案直接填写在横线上）;求的度数（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，连接当满足什么条件时，请给出证明【答案】（1）；（2），证明见解析【分析】（1）由得到，继而证明即可解题；由得到，结合结论，可证明是等边三角形，即可解题；根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可；（2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可【详解】解:（1）即故答案为：；，由得是等边三角形，故答案为：；为直角三角形为等边三角形
39、；（2）当时，理由如下:，为等腰直角三角形，当时，为直角三角形，当满足时，【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键25（2022福建省福州第一中学）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上，连接（1）求证：；（2）探究、的数量关系，并证明；（3）若，求两个三角形重叠部分的面积【答案】（1）见详解；（2）；（3）【分析】（1）由题意，先得到，然后由SAS，即可证明结论成立；（2）由（1）得BD=AE，则，再由勾股定理，即可得到答案；（3）设AB与CD相交于点O，作OMAD，ONBD
40、，然后根据题意，得到，再利用面积公式，得到，即可求出答案【详解】解：（1）和都是等腰直角三角形，；（2）由（1），BD=AE，ABD是直角三角形，；（3）设AB与CD相交于点O，作OMAD，ONBD，如图，BD=AE，OD平分ADB，OMAD，ONBD，OM=ON，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，角平分线的性质定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题26（2022江苏）阅读下面的材料，并解决问题：（1）如图，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别是3、4、5，求APB的度数由于PA、PB
41、、PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP绕顶点A旋转到处，此时 这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出APB的度数；（求APB的度数）（2）请你利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：如图，在ABC中，CAB=90，AB=AC，E、F为BC上的点且EAF=45，求证：EF2=BE2+FC2 【答案】（1），；（2）见详解【分析】（1）连接，由旋转的性质可直接进行求解，然后可得，是等边三角形，则有，进而问题可求解；（2）把ABE绕点A逆时针旋转90得到ACD，点B与点C重合，连接FD，进而证明AEFADF，可得DF=EF，B=ACB=ACD=
42、45，然后可得DCF=90，最后根据勾股定理可求证【详解】（1）解：由旋转的性质可得：；连接，如图所示：，ABC是等边三角形，BAC=60，即BAP+PAC=60，即，是等边三角形，是直角三角形，即，；故答案为；（2）证明：把ABE绕点A逆时针旋转90得到ACD，点B与点C重合，连接FD，如图所示：由旋转的性质可得：，CAB=90，AB=AC，ABC是等腰直角三角形，DCF=90，EAF=45，EAF=DAF=45，AEFADF（SAS），DF=EF，在RtDCF中，【点睛】本题主要考查等腰直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握等腰直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理逆定理是解题的关键
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