1、 山东省日照高新区山东省日照高新区 2021-2022 学年九年级上期中考试数学学年九年级上期中考试数学试卷试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分。分。 1 （3 分）下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）用配方法解方程 x26x+50，配方后所得的方程是（ ） A （x+3）24 B （x3）24 C （x+3）24 D （x3）24 3 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 ax24x10 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa4 Ba4 Ca4
2、且 a0 Da4 且 a0 4 （3 分）在平面直角坐标系中，将二次函数 yx2的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ） Ay（x2）2+1 By（x+2）2+1 Cy（x+2）21 Dy（x2）21 5 （3 分） 已知函数 yax2+bx+c 的图象如图所示， 那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+20 的根的情况是 （ ） A无实数根 B有两个同号不等实数根 C有两个异号实数根 D有两个相等实数根 6 （3 分）设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+2 上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系
3、为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 7 （3 分）如图，BABC，ABC70，将BDC 绕点 B 逆时针旋转至BEA 处，点 E，A 分别是点 D，C 旋转后的对应点，连接 DE，则BED 为（ ） A55 B60 C65 D70 8 （3 分）以 O 为中心点的量角器与直角三角板 ABC 如图所示摆放，直角顶点 B 在零刻度线所在直线 DE上，且量角器与三角板只有一个公共点 P，若点 P 的读数为 35，则CBD 的度数是（ ） A55 B45 C35 D25 9 （3 分）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示） ，对应的两
4、条抛物线关于 y 轴对称，AEx 轴，AB4cm，最低点 C 在 x 轴上，高 CH1cm，BD2cm，则右轮廓 DFE所在抛物线的解析式为（ ） Ay（x+3）2 By（x3）2 Cy（x+3）2 Dy（x3）2 10 （3 分）如图，PA 是O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交O 于点 B，若P40，则B 的度数为（ ） A20 B25 C40 D50 11 （3 分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国快递业务收入 由 5000 亿元增加到 7500 亿元设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x，则可列方程为（
5、） A5000（1+2x）7500 B50002（1+x）7500 C5000（1+x）27500 D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500 12 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（ ）个 abc0；b24ac0；3a+c0；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23；当 x1 时，y 随 x 增大而减小 A2 B3 C4 D5 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，满分分，满分 16 分。分。 13 （4 分）
6、已知抛物线 yax2+bx+c 过（1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线 14 （4 分）设 、 是方程 x2+x20180 的两个实数根，则 2+2+ 的值为 15 （4 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于点 D，P 是上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是 16 （4 分）二次函数 yx2的函数图象如图，点 A0位于坐标原点，点 A1，A2，A3，A4，在 y 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3，B4，在二次函数 yx2位于第一象限的图象上，A0B1A1，A1B2A2，A2B3A3，A3B4A4，都是直角顶点在抛
7、物线上的等腰直角三角形，则A10B11A11的斜边长为 三、本题共三、本题共 6 个小题，满分个小题，满分 68 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。或演算步骤。 17 （10 分） （1）解方程（y4）282y （2）已知关于 x 的方程 x2（k+2）x+2k10 求证：方程总有两个不相等的实数根； 如果方程的一个根为 x3，求 k 的值及方程的另一根 18 （10 分）如图，方格中每个小正方形的边长都是单位 1，ABC 在平面直角坐标系中的位置如图 （1）将ABC 绕点 O 逆时针
8、方向旋转 90得到A1B1C1，画出A1B1C1，并写出点 A1，B1，C1的坐标； （2）直接写出与ABC 关于原点 O 成中心对称图形的A2B2C2的点 C2的坐标 （2）画出ABC 的外接圆圆 D， （用适当的方法找到圆心） ，并写出其圆心点 D 的坐标 19 （10 分）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量 y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示） ，其中 50 x80 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2） 若该种商品的成本为每千克 40 元， 该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 20 （10 分）如图，在
9、ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于点 E （1）求证：DEAC； （2）若O 的半径为 5，BC16，求 DE 的长 21 （14 分） （1）如图，在 RtABC 中，ABAC，D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合） ，将线段 AD绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，连接 EC，试探索线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系，并证明你的结论 （2）如图，在 RtABC 与 RtADE 中，ABAC，ADAE，将ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落在 BC边上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证
10、明你的结论 22 （14 分）2021 年东京奥运会，中国跳水队赢得 8 个项目中的 7 块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练 某跳水运动员在进行跳水训练时， 身体 （看成一点） 在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板 AB 长为 2 米，跳板距水面 CD 的高 BC 为 3 米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离 1 米时达到距水面最大高度 k 米，现以 CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系 （1）当 k4 时，求这条抛物线的解析式 （2）当 k4 时，求运动员落水点与点 C 的距离 （3）图中 CE米，CF5 米，若跳水运动员在区域 EF 内（含点 E，F）入水时才能达到训练
11、要求，求 k 的取值范围 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分。分。 1 （3 分）下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形
12、的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 2 （3 分）用配方法解方程 x26x+50，配方后所得的方程是（ ） A （x+3）24 B （x3）24 C （x+3）24 D （x3）24 【分析】把常数项 5 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6 的一半的平方 【解答】解：把方程 x26x+50 的常数项移到等号的右边，得到 x26x5， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x26x+95+9， 配方得（x3）24 故选：D 【点评】本题考查了配方法，解题的关键是注意： （1）把常数项移到等号的右边；
13、 （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 3 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 ax24x10 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa4 Ba4 Ca4 且 a0 Da4 且 a0 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 a0 且（4）24a（1）0，然后求出 a 的范围后对各选项进行判断 【解答】解：根据题意得 a0 且（4）24a（1）0， 解得 a4 且 a0， 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c
14、0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 4 （3 分）在平面直角坐标系中，将二次函数 yx2的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ） Ay（x2）2+1 By（x+2）2+1 Cy（x+2）21 Dy（x2）21 【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案 【解答】解：将二次函数 yx2的图象向左平移 2 个单位长度，得到：y（x+2）2， 再向上平移 1 个单位长度得到：y（x+2）2+1 故选：B 【点评】此题主要考查二
15、次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键 5 （3 分） 已知函数 yax2+bx+c 的图象如图所示， 那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+20 的根的情况是 （ ） A无实数根 B有两个同号不等实数根 C有两个异号实数根 D有两个相等实数根 【分析】由图象可知 a，b，c 的取值范围，利用根的判别式和根与系数的关系可得根的情况 【解答】解：由图象可知 a0，b0，c0，b24ac0， 关于 x 的方程 ax2+bx+c+20 的根的判别式为：b24a（c+2）b24ac8a， a0，8a0， b24ac0， 0， 方程有两个不相等的实数根， 又两根之和为0，两根之积为0， 两
16、根异号， 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点和一元二次方程之间的关系，利用根的判别式和根与系数的关系是解答此题的关键 6 （3 分）设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+2 上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得 y1，y2，y3的值，比较大小即可 【解答】解： A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+2 上的三点， y1（2+1）2+21，y2（1+1）2+22，y3（2+1）
17、2+27， 127， y1y2y3， 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键 7 （3 分）如图，BABC，ABC70，将BDC 绕点 B 逆时针旋转至BEA 处，点 E，A 分别是点 D，C 旋转后的对应点，连接 DE，则BED 为（ ） A55 B60 C65 D70 【分析】先根据旋转的性质得到 BDBE，EBDABC70，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算BED 的度数 【解答】解：BDC 绕点 B 逆时针旋转得到BEA， BDBE，EBDABC70， BEDBDE， BED（18070）55 故选：A 【
18、点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等 8 （3 分）以 O 为中心点的量角器与直角三角板 ABC 如图所示摆放，直角顶点 B 在零刻度线所在直线 DE上，且量角器与三角板只有一个公共点 P，若点 P 的读数为 35，则CBD 的度数是（ ） A55 B45 C35 D25 【分析】根据切线的性质得到OPB90，证出 OPBC，根据平行线的性质得到POBCBD，于是得到结果 【解答】解：AB 是O 的切线， OPB90， ABC90， OPBC， CBDPOB35， 故选：C 【点评】本题考查了切线的性质，平行线的
19、判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键 9 （3 分）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示） ，对应的两条抛物线关于 y 轴对称，AEx 轴，AB4cm，最低点 C 在 x 轴上，高 CH1cm，BD2cm，则右轮廓 DFE所在抛物线的解析式为（ ） Ay（x+3）2 By（x3）2 Cy（x+3）2 Dy（x3）2 【分析】利用 B、D 关于 y 轴对称，CH1cm，BD2cm 可得到 D 点坐标为（1，1） ，由 AB4cm，最低点 C 在 x 轴上，则 AB 关于直线 CH 对称，可得到左边抛物线的顶点 C 的坐标为（3，0） ，于是得到右边抛物线
20、的顶点 C 的坐标为（3，0） ，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式 【解答】解：高 CH1cm，BD2cm，且 B、D 关于 y 轴对称， D 点坐标为（1，1） ， ABx 轴，AB4cm，最低点 C 在 x 轴上， AB 关于直线 CH 对称， 左边抛物线的顶点 C 的坐标为（3，0） ， 右边抛物线的顶点 F 的坐标为（3，0） ， 设右边抛物线的解析式为 ya（x3）2， 把 D（1，1）代入得 1a（13）2，解得 a， 右边抛物线的解析式为 y（x3）2， 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，
21、然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题 10 （3 分）如图，PA 是O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交O 于点 B，若P40，则B 的度数为（ ） A20 B25 C40 D50 【分析】连接 OA，如图，根据切线的性质得PAO90，再利用互余计算出AOP50，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算B 的度数 【解答】解：连接 OA，如图， PA 是O 的切线， OAAP， PAO90， P40， AOP50， OAOB， BOAB， AOPB+OAB， BAOP5025 故选：B 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线
22、，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系 11 （3 分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A5000（1+2x）7500 B50002（1+x）7500 C5000（1+x）27500 D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500 【分析】根据题意可得等量关系：2017 年的快递业务量（1+增长率）22019 年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可 【解答】解：设我国 2017 年至
23、2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 由题意得：5000（1+x）27500， 故选：C 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2b 12 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ，其部分函数图象如图所示，下列结论正确有（ ）个 abc0；b24ac0；3a+c0；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23；当 x1 时，y 随 x 增大而减小 A2 B3 C4 D5 【分
24、析】根据题意结合图象，对各选项逐个判断即可得出答案 【解答】解：抛物线开口向上， a0； 对称轴为 x10， b0； 抛物线恒过（0，3） ， c3，即 c0； abc0，即正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，即正确； 根据抛物线图象可得，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，即正确； 将方程的两个根代入表达式中可得， 消元得，3a+c0，即正确； 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的基本性质，以及二次函数图象与系数的关系，属于基础题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，满分分，满分 16 分。分。 13 （4 分） 已知抛物线
25、yax2+bx+c 过 （1， 1） 和 （5， 1） 两点， 那么该抛物线的对称轴是直线 x2 【分析】根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案 【解答】解： 抛物线 yax2+bx+c 过（1，1）和（5，1）两点， 对称轴为 x2， 故答案为：x2 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数值相等的点到对称轴的距离相等是解题的关键 14 （4 分）设 、 是方程 x2+x20180 的两个实数根，则 2+2+ 的值为 2017 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到 2+2018，则 2+2+2018，再根据根与系数的关系得到 +1，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：
26、是方程 x2+x20180 的根， 2+20180， 2+2018， 2+2+2018+2+ +2018， 、 是方程 x2+x20180 的两个实数根， +1， 2+2+1+20182017 故答案为 2017 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2 15 （4 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于点 D，P 是上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是 1 【分析】找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2，在半圆上取 P1，连接 AP1，EP1
27、，可见，AP1+EP1AE，即 AP2是 AP 的最小值，再根据勾股定理求出 AE 的长，然后减掉半径即可 【解答】解：找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2，在半圆上取 P1，连接 AP1，EP1， 可见，AP1+EP1AE， 即 AP2是 AP 的最小值， AE，P2E1， AP21 故答案为：1 【点评】本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键 16 （4 分）二次函数 yx2的函数图象如图，点 A0位于坐标原点，点 A1，A2，A3，A4，在 y 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3，B4，在二次函数 yx2位于第一象限的图象上，A0B1A1，A1B
28、2A2，A2B3A3，A3B4A4，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则A10B11A11的斜边长为 22 【分析】过点 B1，B2，B3分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，E，分别写出直线 A0B1、直线 A1B2、直线 A2B3的解析式，将它们分别与 yx2联立，求得点 B1，B2，B3的坐标，从而可得 A0A12，A1A24，A2A36，发现规律后，按照规律即可求得A9B10A10的斜边长 【解答】解：如图所示，过点 B1，B2，B3分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，E A0B1A1，A1B2A2，A2B3A3A9B10A10都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，
29、B1A0A1B2A1A2B3A2A345， A0B1所在直线的解析式为：yx， 由，得 B1（1，1） ， A0A12B1C2， A1（0，2） ， 直线 A1B2为：yx+2， 由，得 B2（2，4） ， A1A22B2D4， A2（0，6） ， 直线 A2B3为：yx+6， 由，得 B3（3，9） ， A2A32B3E6， ， 由上面 A0A12，A1A24，A2A36，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加 2， A10B11A11的斜边长为 2+10222， 故答案为：22 【点评】本题考查了二次函数与一次函数及等腰直角三角形等知识点的综合运用，同时也考查了解方程
30、组，本题具有一定的综合性及难度 三、本题共三、本题共 6 个小题，满分个小题，满分 68 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。或演算步骤。 17 （10 分） （1）解方程（y4）282y （2）已知关于 x 的方程 x2（k+2）x+2k10 求证：方程总有两个不相等的实数根； 如果方程的一个根为 x3，求 k 的值及方程的另一根 【分析】 （1）用因式分解法解方程即可； （2）求出一元二次方程的判别式，再判断大于 0 即可； 根据一元二次方程根与系数的关系列方程组，即可解得答案 【解
31、答】 （1）解： （y4）2+2（y4）0， （y4） （y4+2）0， y40 或 y4+20， y14，y22； （2）证明：（k+2）24（2k1）（k2）2+4， （k2）20， （k2）2+40，即0， 方程总有两个不相等的实数根； 解：设另一个根是 ， 则， 解得， k 的值是 2，方程的另一根为 1 【点评】本题考查解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 18 （10 分）如图，方格中每个小正方形的边长都是单位 1，ABC 在平面直角坐标系中的位置如图 （1）将ABC 绕点 O 逆时针方
32、向旋转 90得到A1B1C1，画出A1B1C1，并写出点 A1，B1，C1的坐标； （2）直接写出与ABC 关于原点 O 成中心对称图形的A2B2C2的点 C2的坐标 （1，3） （2）画出ABC 的外接圆圆 D， （用适当的方法找到圆心） ，并写出其圆心点 D 的坐标 【分析】 （1）利用旋转变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A2，B2，C2即可； （3）作出线段 BC，AC 的垂直平分线的交点 D，以 D 为圆心，为半径作D 即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求，点 A1（0，4）
33、，B1（3，3）C1（3，1） ； （2）如图，A2B2C2即为所求，点 C2的坐标（1，3） 故答案为（1，3） ； （2）如图，D 即为所求，点 D 的坐标（2，1） 【点评】本题考查作图旋转变换，三角形的外心等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型 19 （10 分）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量 y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示） ，其中 50 x80 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2） 若该种商品的成本为每千克 40 元， 该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）
34、待定系数法求解可得； （2）设电商每天获得的利润为 w 元，根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况 【解答】解： （1）设 ykx+b， 将（50，100） 、 （80，40）代入，得：， 解得： y2x+200 （50 x80） ； （2）设电商每天获得的利润为 w 元， 则 w（x40） （2x+200） 2x2+280 x8000 2（x70）2+1800， 20，且对称轴是直线 x70， 又50 x80， 当 x70 时，w 取得最大值为 1800， 答：该电商售价为 70 元时获得最大利润，最大利润是 1800 元 【点评】本题主要考查二次函数和
35、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的最值问题 20 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于点 E （1）求证：DEAC； （2）若O 的半径为 5，BC16，求 DE 的长 【分析】 （1） 方法一： 连接 AD、 OD 先证明ADB90， EDO90， 从而可证明EDAODB，由 ODOB 可得到EDAOBD，由等腰三角形的性质可知CADBAD，故此EAD+EDA90，由三角形的内角和定理可知DEA90，于是可得到 DEAC 方法二：由切线的性质及等腰三角形的性质证得 ODA
36、C，则可得出结论； （2）由等腰三角形的性质求出 BDCD8，由勾股定理求出 AD 的长，根据三角形的面积得出答案 【解答】 （1）证明：方法一：连接 AD、OD AB 是圆 O 的直径， ADB90 ADO+ODB90 DE 是圆 O 的切线， ODDE EDA+ADO90 EDAODB ODOB， ODBOBD EDAOBD ACAB，ADBC， CADBAD DBA+DAB90， EAD+EDA90 DEA90 DEAC 方法二：DE 是圆 O 的切线， ODDE， ABAC， BC， OBOD， BODB， ODBC， ODAC， DEAC； （2）解：ADB90，ABAC， BDCD
37、， O 的半径为 5，BC16， AC10，CD8， AD6， SADCACDE， DE 【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键 21 （14 分） （1）如图，在 RtABC 中，ABAC，D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合） ，将线段 AD绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，连接 EC，试探索线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系，并证明你的结论 （2）如图，在 RtABC 与 RtADE 中，ABAC，ADAE，将ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落在 BC边上，试探索
38、线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）证明BADCAE，由全等三角形的性质解答； （2）连接 CE，根据全等三角形的性质得到 BDCE，ACEB，得到DCE90，根据勾股定理计算即可； 【解答】解： （1）BDDC+EC， 理由如下：将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE， ADAE，DAE90BAC， BADCAE，且 ABAC，ADAE， BADCAE（SAS） ECBD， BCBD+CDCE+CD； （2）BD2+CD22AD2， 理由如下：连接 CE， 由（1）得，BADCAE， BDCE，ACEB， DCE90， CE2+CD2ED2
39、， 在 RtADE 中，AD2+AE2ED2， 又 ADAE， BD2+CD22AD2 【点评】本题考查的是旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 22 （14 分）2021 年东京奥运会，中国跳水队赢得 8 个项目中的 7 块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练 某跳水运动员在进行跳水训练时， 身体 （看成一点） 在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板 AB 长为 2 米，跳板距水面 CD 的高 BC 为 3 米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离 1 米时达 到距水面最大高度 k 米，现以 CD 为横轴，CB 为纵
40、轴建立直角坐标系 （1）当 k4 时，求这条抛物线的解析式 （2）当 k4 时，求运动员落水点与点 C 的距离 （3）图中 CE米，CF5 米，若跳水运动员在区域 EF 内（含点 E，F）入水时才能达到训练要求，求 k 的取值范围 【分析】 （1）根据抛物线顶点坐标 M（3，4） ，可设抛物线解析为：ya（x3）2+4，将点 A（2，3）代入可得； （2）在（1）中函数解析式中令 y0，求出 x 即可； （3）若跳水运动员在区域 EF 内（含点 E，F）入水达到训练要求，则在函数 ya（x3）2+k 中当 x米，y0，当 x5 米时 y0，解不等式即可得 【解答】解： （1）如图所示： 根据题
41、意，可得抛物线顶点坐标 M（3，4） ，A（2，3） ， 设抛物线解析为：ya（x3）2+4， 则 3a（23）2+4， 解得：a1， 故抛物线解析式为：y（x3）2+4； （2）由题意可得：当 y0，则 0（x3）2+4， 解得：x11，x25， 故抛物线与 x 轴交点为： （5，0） ， （1，0） ， 当 k4 时，运动员落水点与点 C 的距离为 5 米； （3）根据题意，抛物线解析式为：ya（x3）2+k， 将点 A（2，3）代入可得：a+k3，即 a3k 若跳水运动员在区域 EF 内（含点 E，F）入水， 则当 x时，ya+k0，即（3k）+k0， 解得：k， 当 x5 时，y4a+k0，即 4（3k）+k0， 解得：k4， 故 4k 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键
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