1、 湖北省武汉市武昌区部分学校湖北省武汉市武昌区部分学校 2021-2022 学年学年九年级九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（一、选择题（每小题每小题 3 分，共分，共 30 分分） 1 将一元二次方程 3x212x 化成一般形式后 （二次项系数为正数） ， 二次项系数和一次项系数分别是 （ ） A3、2 B3、2 C3、1 D3、1 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3抛物线 y2（x+3）2+5 的顶点坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （3，5） D （3，5） 4用配方法解方程 x24x30下列变形正确的是（ ） A （
2、x4）219 B （x2）27 C （x2）21 D （x+2）27 5下列方程没有实数解的是（ ） Ax20 Bx22x+10 Cx2x20210 Dx2+x+10 6要将抛物线 y2x2平移后得到抛物线 y2x2+4x+5，下列平移方法正确的是（ ） A向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 B向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 C向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 D向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 7有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了 64 人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（ ） A596 B428 C512 D604 8下
3、列多边形的所有顶点不一定在同一个圆上的是（ ） A三角形 B矩形 C菱形 D正方形 9如果 m、n 是一元二次方程 x2+x3 的两个实数根，那么多项式 m3+2n2mn6m+2021 的值是（ ） A2023 B2027 C2028 D2029 10如图，MAN60，点 B、C 分别在 AM、AN 上，ABAC，点 D 在MAN 内部、ABC 外部，连接 BD、CD、AD下列结论：DB+DCDA；SBDCBDDC；若 DBm，DCn，则 SADBm2+mn其中错误的结论个数为（ ）个 A0 B1 C2 D3 二、填空题二、填空题（每小题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11点 A（
4、a，b）关于原点的对称点的坐标为 12解方程 2（x1）28，则方程的解是 13点 P1（1，y1） ，P2（2，y2） ，P3（5，y3）均在二次函数 yx2+2x+c 的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是 14已知 AB 是O 的弦，点 C 为O 上异于点 A、B 的一点，OAB40，则ACB 15已知关于 x 的二次函数 yax2+bx+c，下列结论中一定正确的是 （填序号即可） 若抛物线与 x 轴有两个不同交点，则方程 cx2+bx+a0（c0）必有两个不等实数根；若对任意实数t 都有 at2+btab（a0） ，则 b2a；若（am2+bm+c） （an2+bn+c）0（mn）
5、 ，则方程 ax2+bx+c0 有一个根 ，且 mn；若 a2m2+bam+ac0，则方程 ax2+bx+c0 必有两个实数根 16已知，O 的直径 BC2，点 A 为O 上一动点，AD、BD 分别平分ABC 的外角，AD 与O 交于点 E若将 AO 绕 O 点逆时针旋转 270，则点 D 所经历的路径长为 （提示：在半径为 R 的圆中，n圆心角所对弧长为） 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）解方程：x2x30 18 （8 分）如图：OAOBOC，AOBBOC，BAC45 （1）求证：A，B，C 在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上； （2）求
6、OAC 的度数 19 （8 分）在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为 yx22x3 （1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； x 1 0 1 2 3 y （2）当 x 满足 时，函数值大于 0； （3）当2x2 时，y 的取值范围是 20 （8 分）如图，在边长为 1 的正方形网格中，点 A、C 为格点，点 B 在网格线上，以 AB 为直径作半圆，点 D 在半圆上，连接 AC、BC请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）分别在 AB、AC 取点 E、F，使 EFBC，EFBC； （2）作ABC 的角平分线 BM
7、； （3）在ABC 的角平分线 BM 取一点 N，使 CN+DN 最小 21 （8 分）如图，P 是圆上一动点，弦 ABcm，PC 平分APB，C 在圆上，BAC30 （1）当PAC 等于多少度时，四边形 PACB 有最大面积？最大面积是多少？ （2）当 PA 的长为 ，四边形 PACB 是梯形（一组对边平行，另一组对边不平行的四边形） （直接写答案） 22 （10 分）水果店以一定的价格购进某种苹果若干千克，通过销售统计发现：这批苹果从开始销售至销售的第 x 天的总销量 y（千克）与 x 的关系为二次函数，销售情况记录如表： x 1 2 3 y 39 76 111 （1）求 y 与 x 的函
8、数关系式； （2）这批苹果多少天才能销售完； （3）水果店为了充实库存，在销售第 6 天后决定每天又购进 20 千克该品种苹果，试问再过多少天该品种苹果库存量为 244 千克？ 23 （10 分） 【问题背景】如图 1，P 为ABC 内一点，连 PB、PC则 PC+PBAB+AC 小明考虑到“三角形两边之和大于第三边” ，延长 BP 交 AC 于 E，就可以证明上面结论请按小明的思路完成证明过程； 【迁移应用】如图 2，在ABC 中，BAC120，P 为ABC 内一点，求证：PA+PB+PCAB+AC 【拓展创新】 已知ABC 中， BCa， ABc， ACb， a+b4c， 6a+3b19c
9、， P 为ABC 所在平面内一点， 则 PA+PB+PC的最小值为（用含 c 的式子表示） （直接写出结果） 24 （12 分）如图 1，抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点且抛物线的对称轴为 x2，OC3，SABC3 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，过 D（m，2）作抛物线切线（不与 y 轴平行，且与抛物线有且仅有一个交点）DE：yk1x+b1（切点为 E）和 DF：yk2x+b2（F 为切点） ，求 k1k2的值； （3）如图 3，将抛物线向左平移两个单位后再沿 y 轴向下运动得抛物线 C1，直线 l3、l4分别与（2）中直线 DE、DF
10、平行，l3与 C1交于 E，F 两点，l4与 C1交于 G，H 两点，M，N 分别为 EF、GH 的中点，求点 O 到直线 MN 的距离 d 的最大值 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 将一元二次方程 3x212x 化成一般形式后 （二次项系数为正数） ， 二次项系数和一次项系数分别是 （ ） A3、2 B3、2 C3、1 D3、1 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可 【解答】解：3x212x， 3x22x10， 二次项系数和一次项系数分别是 3 和2， 故选：A 【点评】本题考查了一元二次
11、方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式项的系数时，带着前面的符号 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案 【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对
12、称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3抛物线 y2（x+3）2+5 的顶点坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （3，5） D （3，5） 【分析】由抛物线的解析式可求得答案 【解答】解： y2（x+3）2+5， 抛物线顶点坐标为（3，5） ， 故选：B 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 ya（xh）2+k中，对称轴为 xh，顶点坐标为（h，k） 4用配方法解方程 x24x30下列变形正确的是（ ） A （x4）219 B （x2）27 C （x2）21 D （x+2）27 【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可
13、 【解答】解：x24x30， x24x3， 则 x24x+43+4，即（x2）27， 故选：B 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键 5下列方程没有实数解的是（ ） Ax20 Bx22x+10 Cx2x20210 Dx2+x+10 【分析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论 【解答】解：A方程 x20 解为 x1x20，故本选项不合题意； Bx22x+10， b24ac（2）24110， 此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意； Cx2x20210， b24ac（1）241（2021）80850， 此方程有两个不
14、相等的实数根，故本选项不合题意； Dx2+x+10， b24ac1241130， 此方程无解，本选项符合题意 故选：D 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解决问题的关键 6要将抛物线 y2x2平移后得到抛物线 y2x2+4x+5，下列平移方法正确的是（ ） A向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 B向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 C向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 D向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0） ，平移后抛物线顶点坐标为（1，3） ，由此确定平移规律 【
15、解答】解：y2x2+4x+52（x+1）2+3， 该抛物线的顶点坐标是（1，3） ， 抛物线 y2x2的顶点坐标是（0，0） ， 平移的方法可以是：将抛物线 y2x2向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法 7有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了 64 人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（ ） A596 B428 C512 D604 【分析】设第一个人传染了 x 人，根据两轮传染后共有 64 人患了感冒；列出方程，求解，然后求出三轮之后患感冒的人数 【解答】解：设每
16、轮传染中平均一个人传染 x 个人， 由题意得：1+x+x（1+x）64， 解得 x17，x29， x0， x29，不合题意，舍去， x7 则第三轮的感冒人数为： （7+1）3512 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解 8下列多边形的所有顶点不一定在同一个圆上的是（ ） A三角形 B矩形 C菱形 D正方形 【分析】根据三点共圆可得三角形的三个顶点在同一个圆上，由于矩形和正方形矩形对角线相等且互相平分，所以它们的四个顶点到对角线交点距离相等，故矩形和正方形的四个顶点定可在同一个圆上，菱形对角线互相平分但不相等，四个
17、顶点到对角线交点距离不一定相等，因而选 C 【解答】解：A根据三点共圆可得三角形的三个顶点在同一个圆上，故选项不符合题意； B矩形对角线相等且互相平分， 四个顶点到对角线交点距离相等， 矩形四个顶点定可在同一个圆上，故选项不符合题意； C菱形对角线互相平分但不相等， 四个顶点到对角线交点距离不一定相等， 菱形四个顶点定不一定在同一个圆上，故选项符合题意； D正方形对角线相等且互相平分， 四个顶点到对角线交点距离相等， 正方形四个顶点定可在同一个圆上，故选项不符合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，圆的认识，能够理解四个顶点在同一个圆上的条件是解决本题的
18、关键 9如果 m、n 是一元二次方程 x2+x3 的两个实数根，那么多项式 m3+2n2mn6m+2021 的值是（ ） A2023 B2027 C2028 D2029 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到 m2m+3，n2n+3，再用 m 表示出 m34m3，则原式化简为2（m+n）mn+2024，接着利用根与系数的关系得到 m+n1，mn3，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：m、n 是一元二次方程 x2+x30 的两个实数根， m2+m30，n2+n30， m2m+3，n2n+3， m3m（m+3）m2+3m（m+3）+3m4m3， m3+2n2mn6m+20214m3+2（n+3
19、）mn6m+2021 2（m+n）mn+2024， m、n 是一元二次方程 x2+x30 的两个实数根， m+n1，mn3， 原式2（1）（3）+2024 2029 故选：D 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根，则 x1+x2 ，x1x2也考查了一元二次方程的解 10如图，MAN60，点 B、C 分别在 AM、AN 上，ABAC，点 D 在MAN 内部、ABC 外部，连接 BD、CD、AD下列结论：DB+DCDA；SBDCBDDC；若 DBm，DCn，则 SADBm2+mn其中错误的结论个数为（ ）个 A0 B1 C2 D3 【分析
20、】如图 1，将ACD 绕点 A 逆时针旋转 60得到ABC，可证得ACD 是等边三角形，再运用三角形三边关系即可判断正确； 如图 2，过点 C 作 CHBD 于 H，则BHC90，根据 SBDCBDCHBDCDsinCDH，即可判断正确； 如图 3，把BDC 绕点 B 顺时针旋转 60得到ABK，连接 DK，由旋转的性质可证得BDK 是等边三角形，SBDKm2，即可判断正确 【解答】解：如图 1，将ACD 绕点 A 逆时针旋转 60得到ABC， 则ABCACD， ACAD，BCCD， DAC60， ACD 是等边三角形， CDAD， 在BCD 中，BC+BDCD， CD+BDAD， 当ADC6
21、0，即ACB60时，C、B、D 三点共线， CD+BDAD， 故正确； 如图 2，过点 C 作 CHBD 于 H， 则BHC90， CHCDsinCDH， SBDCBDCHBDCDsinCDH， CDH90， sinCDH1， SBDCBDCD， 故正确； 如图 3，把BDC 绕点 B 顺时针旋转 60得到ABK，连接 DK， 由旋转得：BDBK，DBK60， BDK 是等边三角形， SBDKm2， ABKBDC（根据旋转的性质） ， SABKSBDCBDCDsinCDHBDCD， 即 SABKmn， SABDSABK+SBDKm2+mn， 故正确； 综上所述，正确的结论为 3 个，错误的结论
22、为 0 个， 故选：A 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，三角形面积，解题关键是利用旋转变换构造全等三角形 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11点 A（a，b）关于原点的对称点的坐标为 （a，b） 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） ，然后直接作答即可 【解答】解：点 A（a，b）关于原点的对称点的坐标为（a，b） 故答案为： （a，b） 【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形 12解方程 2（x
23、1）28，则方程的解是 x13，x21 【分析】先把方程变形为（x1）24，然后利用直接开平方法解方程 【解答】解： （x1）24， x12， 所以 x13，x21 故答案为 x13，x21 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如 x2p 或（nx+m）2p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程 13点 P1（1，y1） ，P2（2，y2） ，P3（5，y3）均在二次函数 yx2+2x+c 的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是 y2y1y3 【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的增减性，可知在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，再利用对称性得出 P1
24、 关于对称轴对称的点 Q 的坐标，再进行比较即可 【解答】解：二次函数 yx2+2x+c 的对称轴为：x1， 由对称性得，P1（1，y1）关于对称轴对称的点 Q 的坐标为（3，y1） ， a10， 在对称轴的右侧，即 x1 时，y 随 x 的增大而减小， P2（2，y2） ，P3（5，y3） ，Q（3，y1） ， y2y1y3， 故答案为：y2y1y3 【点评】考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解决问题的前提，求出对称轴是关键 14 已知 AB 是O 的弦， 点 C 为O 上异于点 A、 B 的一点， OAB40， 则ACB 50或 130 【分析】根据等腰三角形的性质和三角
25、形内角和定理求出AOB 的度数，根据圆周角定理计算即可 【解答】解：当点 C 在优弧上时，OAOB，OAB40， OABOBA40 AOB1804040100， ACBAOB50， 当点 C 在劣弧上时，同法可证ACB130， 综上所述，C50或 130 故答案为：50或 130 【点评】本题考查的是圆周角定理和三角形内角和定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键 15已知关于 x 的二次函数 yax2+bx+c，下列结论中一定正确的是 （填序号即可） 若抛物线与 x 轴有两个不同交点，则方程 cx2+bx+a0（c0）必有两个不等
26、实数根；若对任意实数t 都有 at2+btab（a0） ，则 b2a；若（am2+bm+c） （an2+bn+c）0（mn） ，则方程 ax2+bx+c0 有一个根 ，且 mn；若 a2m2+bam+ac0，则方程 ax2+bx+c0 必有两个实数根 【分析】根据二次函数与方程的关系即可判断；根据二次函数的性质即可判断；根据抛物线与 x 轴的交点的特征即可判断；根据题意，抛物线开口向上，则 xm 时，y0；当开口向下时，xm 时，y0 即可判断 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴有两个不同交点， 方程 ax2+bx+c0 有两个不同的实数根， b24ac0， cx2+bx+a0
27、 有一个或两个不相等的实数根，故正确； 对任意实 t 都有 at2+btab（a0） ， at2+bt+cab+c， 当 x1 时，函数有最大值， 函数的对称轴为直线 x1， 1， b2a，故正确； （am2+bm+c） （an2+bn+c）0（mn） ， 抛物线与 x 轴的一个交点的横坐标在 m、n 之间， 方程 ax2+bx+c0 有一个根 ， 函数图象与 x 轴的一个交点为（，0） ， mn，故正确； a2m2+bam+ac0， a（am2+bm+c）0， 当 a0 时，am2+bm+c0；当 a0 时，am2+bm+c0， 方程 ax2+bx+c0 必有两个实数根，故正确； 故答案为：
28、 【点评】本题考查了二次函数图象和系数的关系，抛物线与 x 在的交点，根的判别式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 16已知，O 的直径 BC2，点 A 为O 上一动点，AD、BD 分别平分ABC 的外角，AD 与O 交于点 E若将 AO 绕 O 点逆时针旋转 270，则点 D 所经历的路径长为 （提示：在半径为 R的圆中，n圆心角所对弧长为） 【分析】如图，设ACB，由 BC 是O 的直径，可得：BAC90，根据角平分线定义可得：DAB45，ABD45+，进而可得出：EDBEBD90，得出：EBED，再由等弧所对的圆周角相等，可得：ECBEAB45，进而推出 EBECED，可得点 D
29、 在半径为 2 的E 上逆时针旋转 135，再利用弧长公式即可得出答案 【解答】解：如图，连接 CE，设ACB， BC 是O 的直径， BAC90， DEB，ABC90， AD、BD 分别平分ABC 的外角， DAB45，ABD45+， EDB180DABABD18045（45+）90， EBD180DEBEDB180（90）90， EDBEBD， EBED， ， ECBEAB45， CEB90， BCE 是等腰直角三角形， EBEC， EBECED， 点 D 在半径为 2 的E 上逆时针旋转 135， 点 D 所经历的路径长为：， 故答案为： 【点评】本题考查了圆的性质，旋转变换的性质，角平
30、分线定义，等腰直角三角形性质，弧长公式，点的运动轨迹等，解题关键是确定点 D 的运动轨迹为半径为 2 的E 上逆时针旋转 135的圆弧 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）解方程：x2x30 【分析】 找出方程中二次项系数 a， 一次项系数 b 及常数项 c， 计算出根的判别式， 由根的判别式大于 0，得到方程有解，将 a，b 及 c 的值代入求根公式即可求出原方程的解 【解答】解：x2x30， a1，b1，c3， b24ac（1）241（3）130， 方程有两个不等的实数根， x， 则 x1，x2 【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，利用此
31、方法解方程时首先将方程化为一般形式，找出二次项系数 a，一次项系数 b 及常数项 c，当 b24ac0 时，代入求根公式来求解 18 （8 分）如图：OAOBOC，AOBBOC，BAC45 （1）求证：A，B，C 在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上； （2）求OAC 的度数 【分析】 （1）根据三角形外接圆的判定解决问题即可； （2）利用圆周角定理求出BOC90，再利用等腰三角形的性质解决问题即可 【解答】 （1）证明：如图，OAOBOC， 点 O 是ABC 的外接圆的圆心， A，B，C 在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上； （2）解：BOC2BAC，BAC45， BOC90， AOBBO
32、C30， AOCAOB+BOC120， OAOC， OACOCA（180120）30 【点评】本题考查的是圆周角定理和三角形内角和定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键 19 （8 分）在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为 yx22x3 （1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 （2）当 x 满足 x1 或 x3 时，函数值大于 0； （3）当2x2 时，y 的取值范围是 4y5 【分析】 （1）求出表格数据，描点连线绘图即可； （2）观察函数图象即可求解
33、； （3）根据函数解析式求出 x2 和 x2 时 y 的值，再结合函数图象写出当2x2 时，y 的取值范围 【解答】解： （1）yx22x3， 当 x1 时，y（1）22（1）31+230； 当 x0 时，y3； 当 x1 时，y1234； 当 x2 时，y4433； 当 x3 时，y9630 故答案为：0，3，4，3，0； 图象如图所示： （2）从图象看，当 x 满足 x1 或 x3 时，函数值大于 0， 故答案为：x1 或 x3； （3）yx22x3， 当 x1 时，y4， 当 x2 时，y4+435， 当 x2 时，y4433， 结合函数图象当2x2 时，y 的取值范围是4y5， 故答案
34、为：4y5 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，关键让学生熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征 20 （8 分）如图，在边长为 1 的正方形网格中，点 A、C 为格点，点 B 在网格线上，以 AB 为直径作半圆，点 D 在半圆上，连接 AC、BC请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）分别在 AB、AC 取点 E、F，使 EFBC，EFBC； （2）作ABC 的角平分线 BM； （3）在ABC 的角平分线 BM 取一点 N，使 CN+DN 最小 【分析】 （1）
35、矩形 AHCG 的对角线互相平分，得出 AC 中点，根据平行线分线段成比例得出 AB 的中点； （2）联想直径所对的圆周角是直角及（1）中 EFBC，结合等腰三角形的“三线合一“，只需得 BM是等腰三角形的高即可； （3）只需找出点 C 关于 BM 的对称点即可，故根据等腰三角形的对称性，连接 JQ 并延长即可 【解答】解： （1）如图 1， 连接矩形 AHCG 的对角线 GH，交 AC 于 F， 格线 ET 与 AB 交于点 E， 连接 EF， 则 EF， 证明：四边形 AHCG 是矩形， AFCF， ETBK，ATTK， ， AEEB， EF； （2）如图 2， 延长 EF，交半圆于 I，
36、 过 B、I 作射线 BM， 则 BM 平分ABC， 证明：延长 AI 交 BC 于 J， EF 是ABC 的中位线， EFBC， ， AIIJ， AB 是E 的直径， AIB90， BJBA， BM 平分ABC； （3）如图 3， 设 AC 与 BM 的交点是点 Q， 连接 JQ 并延长交 AB 于 P， 连接 DP 交 BM 于 N， 则点 N 就是求作的点， 证明：BM 垂直平分 AJ， QJQA，BJBA， AJPJAC，AJBJAB， AJAJ， AJCJAP（ASA） ， JCAP，ACJP， BCBP，QCQP， BM 垂直平分 CP， 即 C 和 P 关于 BM 对称， CN+
37、DN 最小是 DP 【点评】本题考查了矩形性质，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线性质，圆的有关性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是在前问的基础上层层递进思考 21 （8 分）如图，P 是圆上一动点，弦 ABcm，PC 平分APB，C 在圆上，BAC30 （1）当PAC 等于多少度时，四边形 PACB 有最大面积？最大面积是多少？ （2）当 PA 的长为 1 或 2 ，四边形 PACB 是梯形（一组对边平行，另一组对边不平行的四边形） （直接写答案） 【分析】 （1）如图 1 中，连接 OA，作直径 CD，设 CD 交 AB 于点 N证明AOC 是等边三角形，求出OA，观察图象可知，当
38、点 P 与 D 重合时，四边形 APBC 的面积最大； （2）分两种情形：如图 21 中，当 PB 是直径时，四边形 PACB 是梯形如图 22 中，当 AP 是直径时，四边形 APBC 是梯形 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 OA，作直径 CD，设 CD 交 AB 于点 N PC 平分APB， APCBPC， ， CDAB， ANBN（cm） ， AOC2ABC，ABC30， AOC60， ON，OA2ON1（cm） ， CD2OA2（cm） ， 观察图象可知，当点 P 与 D 重合时，四边形 APBC 的面积最大，此时PAC90， 最大面积ABCD（cm2） ； （2）如图 21
39、中，当 PB 是直径时，四边形 PACB 是梯形，此时 ACPB，PA1 如图 22 中，当 AP 是直径时，四边形 APBC 是梯形，此时 APBC，AP2 综上所述，满足条件的 AP 的值为 1 或 2 故答案为：1 或 2 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 22 （10 分）水果店以一定的价格购进某种苹果若干千克，通过销售统计发现：这批苹果从开始销售至销售的第 x 天的总销量 y（千克）与 x 的关系为二次函数，销售情况记录如表： x 1 2 3 y 39
40、 76 111 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）这批苹果多少天才能销售完； （3）水果店为了充实库存，在销售第 6 天后决定每天又购进 20 千克该品种苹果，试问再过多少天该品种苹果库存量为 244 千克？ 【分析】 （1）设出二次函数解析式的一般形式，由待定系数法求函数解析式即可； （2）根据函数的性质，当 x时，函数有最大值； （3）由（2）知，库存最大量为 400 千克，库存剩余量等于 400（m+6）天的销售量+m 天购进总量，列出方程，解方程即可 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 yax2+bx+c， 则， 解得：， y 与 x 的函数关系式为 yx2+
41、40 x； （2）由（1）得：yx2+40 x（x20）2+400， 10， 当 x20 时，y 最大，最大值为 400， 答：这批苹果 20 天才能销售完； （3）设再过 m 天库存量为 216 千克， 由（2）知：库存原量为 400 千克， （m+6）天后原本库存剩余量为：400（m+6）2+40（m+6）， m 天内再次购买的总量为 20m， 两部分的总量为 244 千克， 400+（m+6）240（m+6）+20m244， 整理得：m28m480， 解得：m12 或 m4（舍去） 答：再过 12 天该品种苹果库存量为 244 千克 【点评】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析
42、式，关键是找出等量关写出函数解析式，根据题意求出最大值 23 （10 分） 【问题背景】如图 1，P 为ABC 内一点，连 PB、PC则 PC+PBAB+AC 小明考虑到“三角形两边之和大于第三边” ，延长 BP 交 AC 于 E，就可以证明上面结论请按小明的思路完成证明过程； 【迁移应用】如图 2，在ABC 中，BAC120，P 为ABC 内一点，求证：PA+PB+PCAB+AC 【拓展创新】 已知ABC 中， BCa， ABc， ACb， a+b4c， 6a+3b19c， P 为ABC 所在平面内一点， 则 PA+PB+PC的最小值为（用含 c 的式子表示） （直接写出结果） 【分析】 【
43、问题背景】在ABE 中和CPE 中，分别利用两边之和大于第三边即可证明； 【迁移应用】将CAP 绕点 A 逆时针旋转 60得到DAQ，连接 PQ，BD，PD，可得APQ 是等边三角形，则BAC+CAD180，则可证明； 【拓展创新】首先可得 a，b，作 BTCA，交 CA 的延长线于 T，设 ATd，利用勾股定理得出ABT30，将APC 绕点 A 逆时针旋转 60，则 B、A、C共线，从而解决问题 【解答】 【问题背景】 证明：如图 1，延长 BP 交 AC 于点 E， 在ABE 中，AE+ABBEBP+PE， 在CPE 中，PE+CEPC， AB+AE+CE+PEPB+PE+PC， AB+A
44、CPB+PC， 即 PC+PBAB+AC； 【迁移应用】证明：如图 2，将CAP 绕点 A 逆时针旋转 60得到DAQ，连接 PQ，BD，PD， 由旋转可得：DAQCAP，CADPAQ60， ADAC，AQAP，DQPC， APQ 是等边三角形， PQAPAQ， BAC120， BAC+CAD180， 由【问题背景】可知：在BPD 中，PB+PDAB+AD， 在QPD 中，PQ+QDPD， PB+PQ+QDAB+AD， PA+PB+PCAB+AC； 【拓展创新】 解：由【问题背景】知， a+b4c，6a+3b19c， a，b， 作 BTCA，交 CA 的延长线于 T，设 ATd， （）2（）2
45、+c2d2， 化简得，d， ABT30， BAC120， 将APC 绕点 A 逆时针旋转 60，则 B、A、C共线， PA+PB+PCPB+PP+PC， PA+PB+PC 的最小值为 AB+ACc+， 故答案为： 【点评】本题主要考查了三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系进行转化是解题的关键，有一定的难度 24 （12 分）如图 1，抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点且抛物线的对称轴为 x2，OC3，SABC3 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，过 D（m，2）作抛物线切线（不与 y 轴平行，且与抛物
46、线有且仅有一个交点）DE：yk1x+b1（切点为 E）和 DF：yk2x+b2（F 为切点） ，求 k1k2的值； （3）如图 3，将抛物线向左平移两个单位后再沿 y 轴向下运动得抛物线 C1，直线 l3、l4分别与（2）中直线 DE、DF 平行，l3与 C1交于 E，F 两点，l4与 C1交于 G，H 两点，M，N 分别为 EF、GH 的中点，求点 O 到直线 MN 的距离 d 的最大值 【分析】 （1）由 SABC3，OC3，及三角形面积公式可知，AB2，因为对称轴为直线 x2，设 A（a，0） ，B（b，0） ，则 b22a1，解得 a1，b3，所以 A（1，0） ，B（3，0） ，设
47、ya（x1） （x3） ，过点（0，3） ，所以 33a，解得 a1，则 yx24x+3 （2）将抛物线 C：y（x2）21 向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位得 yx2，设点 D（m，2）向上平移后对应点为 D1（n，1） ，平移后的切线 l1为：y+1k1（xn） ，平移后的切线 l2为：y+1k2（xn） ，联立直线与抛物线解析式，根据相切可知0，由题意可知 k1，k2是 k24kn40 的两根，由根与一元二次方程的关系可知，k1k24 （3）因为 DEl3，DFl4，所以 l3的解析式为：yk1x（k1k24） ，l4的解析式为：yx，联立直线与抛物线的解析式可得， x2k1x
48、+m0， 再由根与系数的关系及中点坐标公式可知， M （，） ，N（，） ，设 MN 的解析式为：ypx+q，代入点 M 和点 N 的坐标，可求出 p，q，所以直线MN：yx+2，该直线过定点（0，2） ，所以 d2 【解答】解： （1）SaABC3，OC3， ABDC3， AB2， 对称轴为直线 x2， 设 A（a，0） ，B（b，0） ， b22a1，解得 a1，b3， A（1，0） ，B（3，0） ， 设 ya（x1） （x3）过点（0，3） ， 33a，解得 a1， yx24x+3 （2）将抛物线 C：y（x2）21 向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位得 yx2， 设点 D（m
49、，2）向上平移后对应点为 D1（n，1） ， 平移后的切线 l1为：y+1k1（xn） ，平移后的切线 l2为：y+1k2（xn） ， ， x2k1x+k1n+10， k124k1n40， 同理可得，k224k2n40， k1k2， k1，k2是 k24kn40 的两根， k1k24 （3）DEl3，DFl4， l3的解析式为：yk1x（k1k24） ，l4的解析式为：yx， ，即 x2k1x+m0， xE+xFk1， M 为 EF 的中点， xM， yM， M（，） ， ，即 x2+x+m0， 点 N 是 GF 的中点， xN，yN， N（，） ， 设 MN 的解析式为：ypx+q， ，解得， 直线 MN：yx+2，且该直线过定点（0，2） ， d2 点 O 到直线 MN 的距离 d 的最大值 2 【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求表达式，中点坐标公式，一次函数与二次函数的交点问题等知识点，知道平移前后与抛物线相切的两条直线的位置关系平行是解题关键
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