1、 黑龙江省哈尔滨黑龙江省哈尔滨市南岗区市南岗区九年级九年级上上期中数学练习试卷（五四学制）期中数学练习试卷（五四学制） 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1下列式子的结果是负数的是（ ） A|2| B（2） C （2）2 D （2）2 2下列运算正确的是（ ） Aaa2a3 B3a+2a25a2 C238 D3 3下面图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 4下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（ ） A B C D 5对于双曲线 y，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围为（ ） Am0 Bm1
2、 Cm0 Dm1 6王英同学从 A 地沿北偏西 60方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地，此时王英同学离 A 地（ ） Am B100m C150m Dm 7把抛物线 y3x2向右平移 2 个单位，然后向下平移 6 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） Ay3（x+2）2+6 By3（x2）2+6 Cy3（x+2）26 Dy3（x2）26 8如图，在ABCD 中，E、F 分别是 AD、CD 边上的点，连接 BE、AF，它们相交于点 G，延长 BE 交 CD的延长线于点 H，下列结论错误的是（ ） A B C D 9如图所示，在 RtABC 中，C90，
3、AC8，BC6，按图中所示方法，将BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 C处，则折痕 BD 的长为（ ） A3 B3 C3 D5 10在一条笔直的公路上，依次有 A、B、C 三地小明、小亮从 A 地驾车同时出发匀速运动小明从 A 地出发以 2 千米/分的速度到达 B 地后立即返回 A 地，到达 A 地后小明原地休息，小亮从 A 地出发途经 B地前往终点 C 地小明与小亮的距离 s（单位：千米）和小亮所用的时间 t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示则出发后小明从 B 地返回与小亮相遇时小亮距 C 地的距离为（ ） A5km B6km Ckm Dkm 二、填空题（每题二、填空题
4、（每题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 11数字 0.0000245 用科学记数法表示为 12在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 13把多项式 16mx24m 分解因式的结果是 14不等式组的解集为 15某扇形的圆心角为 45，面积为 18，该扇形的弧长为 16抛物线 ymx22（m1）x+（m3）与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是 17某校九年六班打算从语文、数学、英语、物理、化学五个课代表中随机抽取两人，参加学校组织的座谈会，则恰好抽到语文和数学两个课代表的概率为 18如图，AB 是O 的直径，C，D 两点在O 上，BCD27，则AOD 的度数为 19ABC 是等腰三角形
5、，AC 为一腰，A30，CDAB 于点 D，若 AB6，则高 CD 的长为 20在ABC 中，CD 平分ACB，tanACB，AD2，BD6，则 CD 三、解答题（其中三、解答题（其中 21-22 题各题各 7 分，分，23-24 题各题各 8 分，分，25-27 题各题各 10 分）分） 21（7分） 先化简， 再求代数式的值 其中atan602，b4cos60 22 （7 分）如图，网格中的每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，ABC 的顶点均在格点上 （1） 将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90得到将ADE （B 的对应点是 D， C 的对应点是 E） ， 画出ADE； （2）连接
6、BE，点 F 在格点上，满足：BFBE，BEF 的面积为，画出BEF，连接 DF 并直接写出线段 DF 的长 23 （8 分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图： （1）该调查小组抽取的样本容量是多少？ （2）求样本学生中阳光体育运动时间为 1.5 小时的人数，并补全占频数分布直方图； （3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间 24 （8 分）在ABC 中，BAC90，ADBC 于 D，BG 平分ABC 交 AD 于 E，交 AC 于 G，GFBC于 F，连接 EF （1）如图 1，求证：四边
7、形 AEFG 是菱形； （2）如图 2，若 E 为 BG 的中点，过点 E 作 EMBC 交 AC 于 M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中是 CM 长倍的所有线段 25 （10 分）荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20 元，若用 400 元购买台灯和用 160 元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半 （1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ （2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的 2 倍还多 8 个，且该公司购买台灯和手电筒
8、的总费用不超过 670 元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 26 （10 分）如图 1，O 为ABC 的外接圆，ABAC，过点 B 作 BDAC，垂足为点 H，交O 于点 D，连接 AD （1）求证：CAB2CAD； （2）如图 2，在劣弧 AB 上取一点 E，使弧 AD弧 AE，连接 CE 交 BD 于点 F，交 AB 于点 G，求证：点 G 为线段 EF 的中点； （3）如图 3，在（2）的条件下，过圆心 O 作 OMAB 于点 M，若 OM：FG5：6，AB25，求线段AD 的长 27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yax2+bx+8 与 x
9、 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，点 D 在抛物线上，且点 D 的坐标为（2，4） ，CO：BO4：3 （1）求抛物线的解析式； （2）P 为第一象限抛物线上一点，连接 PC、PD，设点 P 的横坐标为 t，PCD 的面积为 S，求 S 与 t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，作 PEx 轴于点 E，点 F 在线段 OC 上，BEOF，线段 BF 和 CE 交于点 G，CGF45，求点 P 的坐标，并求此时PCD 的面积 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1下列式子的结果是负数的是（ ） A|2| B（2） C
10、 （2）2 D （2）2 【分析】根据绝对值的性质、相反数、有理数的乘方以及负整数指数幂的概念分别对每一项进行分析，即可得出答案 【解答】解：A、|2|2，故本选项符合题意； B、（2）2，故本选项不符合题意； C、 （2）24，故本选项不符合题意； D、 （2）2，故本选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题主要考查了绝对值、相反数、有理数的乘方以及负整数指数幂的概念，熟练进行计算是解答本题的关键 2下列运算正确的是（ ） Aaa2a3 B3a+2a25a2 C238 D3 【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及算术平方根和合并同类项法则以及负整数指数幂的性质分别化简求出答案 【解答】解
11、：A、aa2a3，正确； B、3a+2a2无法计算，故此选项错误； C、23，故此选项错误； D、3，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及算术平方根和合并同类项以及负整数指数幂等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键 3下面图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； 故选：A 【
12、点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 4下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（ ） A B C D 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形 【解答】解：A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误； B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误； C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确； D、球体主视图与俯视图都是圆，错误； 故选：C 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从物
13、体的上面看得到的视图 5对于双曲线 y，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围为（ ） Am0 Bm1 Cm0 Dm1 【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论 【解答】解：双曲线 y，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， 1m0， 解得：m1 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出 1m0本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，找出反比例函数系数 k 的正负是关键 6王英同学从 A 地沿北偏西 6
14、0方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地，此时王英同学离 A 地（ ） Am B100m C150m Dm 【分析】根据三角函数分别求 AD，BD 的长，从而得到 CD 的长再利用勾股定理求 AC 的长即可 【解答】解：ADABsin6050； BDABcos6050，CD150 AC100 故选：D 【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 7把抛物线 y3x2向右平移 2 个单位，然后向下平移 6 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） Ay3（x+2）2+6 By3（x2）2+6 Cy3（x+
15、2）26 Dy3（x2）26 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线 y3x2的顶点为（0，0） ，再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（3，2） ，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式 【解答】解：抛物线 y3x2的顶点坐标为（0，0） ，把点（0，0）向右平移 2 个单位，再向下平移 6 个单位所得对应点的坐标为（2，6） ，所以平移后抛物线的解析式为 y3（x2）26 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解
16、析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 8如图，在ABCD 中，E、F 分别是 AD、CD 边上的点，连接 BE、AF，它们相交于点 G，延长 BE 交 CD的延长线于点 H，下列结论错误的是（ ） A B C D 【分析】 由平行四边形的性质得出 ABCD， ADBC， 证出ABEDHE， ABGFHG，得出对应边成比例，即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC， ABEDHE，ABGFHG， ， 选项 A、B、D 正确，C 错误； 故选：C 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形
17、的性质是解决问题的关键 9如图所示，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，按图中所示方法，将BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 C处，则折痕 BD 的长为（ ） A3 B3 C3 D5 【分析】 根据勾股定理易求AB10 根据折叠的性质有BCBC， CDDC， CACD90 在ACD 中，设 DCx，则 AD8x，AC1064根据勾股定理可求 x在BCD 中，运用勾股定理求 BD 【解答】解：C90，AC8，BC6， AB10 根据折叠的性质，BCBC，CDDC，CACD90 AC1064 在ACD 中，设 DCx，则 AD8x，根据勾股定理得 （8x）2x2+42
18、解得 x3 CD3 BD3 故选：C 【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变 10在一条笔直的公路上，依次有 A、B、C 三地小明、小亮从 A 地驾车同时出发匀速运动小明从 A 地出发以 2 千米/分的速度到达 B 地后立即返回 A 地，到达 A 地后小明原地休息，小亮从 A 地出发途经 B地前往终点 C 地小明与小亮的距离 s（单位：千米）和小亮所用的时间 t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示则出发后小明从 B 地返回与小亮相遇时小亮距 C 地的距离为（ ） A5km B6km Ckm Dkm 【分析
19、】根据题意和函数图象可以求得小明的速度和小亮从 A 地到 C 地的时间，根据“路程速度时间” ，本题得以解决 【解答】解：由图可知，小明到达 B 所用的时间为 4 分钟； 当小亮与小明相距 8 千米时，小明刚好返回 A 地，则此时小明行驶的总的时间为 8 分钟，故小亮的速度为 881 千米/分， C 地与 A 地的距离为：11010 千米； 小明和小亮相遇的时间为：82（1+2）分钟， 出发后小明从 B 地返回与小亮相遇时小亮距 C 地的距离为：101（km） 故选：D 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，
20、共计分，共计 30 分）分） 11数字 0.0000245 用科学记数法表示为 2.45105 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00002452.45105 故答案为：2.45105 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 12在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x5 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意
21、义， 被开方数大于或等于 0， 分母不等于 0， 可以求出 x 的范围 【解答】解：根据题意得：， 解得：x5 故答案是：x5 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 13把多项式 16mx24m 分解因式的结果是 4m（2x1） （2x+1） 【分析】直接提取公因式 4m，进而利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：16mx24m4m（4x21） 4m（2x1） （2x+1） 故答案为：4m（2x1）
22、 （2x+1） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键 14不等式组的解集为 x1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 62x0，得：x3， 解不等式 2xx+1，得：x1， 则不等式组的解集为 x1， 故答案为：x1 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 15某扇形的圆心角为 45，面积为 18，该扇形的弧长为 3 【分析】根据扇形面积
23、公式 S，求得 r，再由弧长公式 l，计算即可 【解答】解：扇形的圆心角为 45，面积为 18， 18， r12， l， l3， 故答案为 3 【点评】本题考查了扇形的面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握扇形面积公式 S和弧长公 式 l 16抛物线 ymx22（m1）x+（m3）与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是 m1 且 m0 【分析】根据题意，可以列出关于 m 的不等式，从而可以求得 m 的取值范围 【解答】解：抛物线 ymx22（m1）x+（m3）与 x 轴有两个交点， 当 mx22（m1）x+（m30 时，2（m1）24m（m3）0， 解得，m1， 又m0 m 的取值范围是 m
24、1 且 m0 故答案是：m1 且 m0 【点评】本题考查抛物与 x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，列出关于 m 的不等式 17某校九年六班打算从语文、数学、英语、物理、化学五个课代表中随机抽取两人，参加学校组织的座谈会，则恰好抽到语文和数学两个课代表的概率为 【分析】依据随机抽取两人，可能的结果有共 10 种，其中恰好抽到语文和数学两个课代表的有 1 种，即可得出恰好抽到语文和数学两个课代表的概率 【解答】解：随机抽取两人，可能的结果有： 语文、数学；语文、英语；语文、物理；语文、化学；数学、英语；数学、物理；数学、化学；英语、物理；英语、化学；物理、化学；共 10 种，其中，恰好抽到语
25、文和数学两个课代表的有 1 种，故恰好抽到语文和数学两个课代表的概率为， 故答案为： 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图 18如图，AB 是O 的直径，C，D 两点在O 上，BCD27，则AOD 的度数为 126 【分析】根据圆周角定理即可解决问题； 【解答】解：BOD2BCD，BCD27， BOD54， AOD18054126， 故答案为 126 【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 19 ABC 是
26、等腰三角形， AC 为一腰， A30， CDAB 于点 D， 若 AB6， 则高 CD 的长为 3 或 【分析】根据题意画出两种情况，ABAC，根据含 30角的直角三角形性质求出即可；ACBC，求出 AD，根据含 30角的直角三角形性质和勾股定理得出 ADCD，即可求出 CD 【解答】解：分为两种情况：如图 1， 当 AB 为另一腰时， AB6， ACAB6， CDAB， ADC90， A30， CDAC3； 如图 2， 当 BC 为另一腰时， AB6，CDAB， ADC90，ADBD3， A30， ADCD， CD； 故答案为：3 或 【点评】 本题考查了勾股定理和含 30角直角三角形性质的
27、应用，能熟记含 30角的直角三角形性质是解此题的关键，用了分类讨论思想 20在ABC 中，CD 平分ACB，tanACB，AD2，BD6，则 CD 3 【分析】如图，过点 D 作 DMCB 于点 M，DNCA 交 CA 的延长线于点 N，过点 A 作 AHBC 于 H，首先证明 BC：AC3：1： ，设 AC5k，BC5k，利用勾股定理求出 k，再利用面积法求出 DM，BM，CM，可得结论 【解答】解：如图，过点 D 作 DMCB 于点 M，DNCA 交 CA 的延长线于点 N，过点 A 作 AHBC 于H， CD 平分ACB，DMCB，DNCA， DMDN， ， 3， 设 AC5k，则 CB
28、15k， tanACB， AH4k，CH3k， BHCBCH15k3k12k， 在 RtABH 中，AB2AH2+BH2， 6416k2+144k2， k（负根已经舍弃） ， AC，AH，BC3， SACBBCAHBCDM+ACDN， DM， BM， CMCBBM3， CD3， 故答案为：3 【点评】本题考查解直角三角形，三角函数的定义，勾股定理等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型 三、解答题（其中三、解答题（其中 21-22 题各题各 7 分，分，23-24 题各题各 8 分，分，25-27 题各题各 10 分）分） 21（7分） 先化简， 再求代数式的值 其中atan602，
29、b4cos60 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值分别把 a、b 化简，代入计算即可 【解答】解：原式+ + + ， atan602sin4522，b4cos6042， 原式 【点评】 本题考查的是分式的化简求值， 特殊角的三角函数值， 掌握分式的混合运算法则是解题的关键 22 （7 分）如图，网格中的每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，ABC 的顶点均在格点上 （1） 将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90得到将ADE （B 的对应点是 D， C 的对应点是 E） ， 画出ADE； （2）连接 BE，点 F 在格点上，满足：BFBE，BEF 的面积为，画出B
30、EF，连接 DF 并直接写出线段 DF 的长 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出 B、C 的对应点 D、E 即可； （2）利用勾股定理计算出 BE5，则 BF5，先利用 BF5 得到格点 F，再利用BEF 的面积为确定 F 点的位置，然后利用勾股定理计算出 DF 的长 【解答】解： （1）如图，ADE 为所作； （2）如图，BEF 为所作； DF5 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了勾股定理 23 （8 分）某调查小组采用简单
31、随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图： （1）该调查小组抽取的样本容量是多少？ （2）求样本学生中阳光体育运动时间为 1.5 小时的人数，并补全占频数分布直方图； （3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间 【分析】 （1）利用 0.5 小时的人数为：100 人，所占比例为：20%，即可求出样本容量； （2）利用样本容量乘以 1.5 小时的百分数，即可求出 1.5 小时的人数，画图即可； （3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可 【解答】解： （1）由题意可得：0.5 小时的人数为：100 人，所占
32、比例为：20%， 本次调查共抽样了 500 名学生； （2）1.5 小时的人数为：50024%120（人） 如图所示： （3）根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约 1 小时 【点评】此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键 24 （8 分）在ABC 中，BAC90，ADBC 于 D，BG 平分ABC 交 AD 于 E，交 AC 于 G，GFBC于 F，连接 EF （1）如图 1，求证：四边形 AEFG 是菱形； （2）如图 2，若 E 为 BG 的中点，过点 E 作 EMBC 交 AC 于 M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图
33、 2 中是 CM 长倍的所有线段 【分析】 （1）先证明四边形 AEFG 是平行四边形，再证明 AEAG 即可 （2）先证明 ABAG，再分别证明 ABBFCFEM，CMAG 即可 【解答】 （1）证明：ADBC，GFBC， ADFGFC90， AEGF， 在ABG 和FBG 中， ， ABGFBG， AGFG， FBG+BED90， BEDAEG， FBG+AEG90， ABG+AGE90， ABGFBG， AEGAGE， AEAG， AEFG， 四边形 AEFG 是平行四边形， AEAG四边形 AEFG 是菱形 （2）解：四边形 AEFG 是菱形， AEAG， BEEG，BAG90， AE
34、BEEG， AEG 是等边三角形， AGE60， 在 RTABG 中，ABG30， ABAG， C30，BC2AB， BEGE，EFAC，EMBC， BFFC，CMGM， 在 RTAEM 中，AMEC30，GEM+GME60， GEMGME30， EGAGGMCM， EMFC，EFCM， 四边形 EFCM 是平行四边形， ABBFCFEMCM， 是 CM 长倍的所有线段有 AB、BF、CF、EM 【点评】本题考查菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形 30 度角的性质等知识，寻找全等三角形是解题的关键，必须熟练掌握特殊三角形边角关系，属于中考常考题型 25
35、 （10 分）荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20 元，若用 400 元购买台灯和用 160 元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半 （1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？ （2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的 2 倍还多 8 个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过 670 元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？ 【分析】 （1）设购买该品牌一个手电筒需要 x 元，则购买一个台灯需要（x+20）元则根据等量关系：购买台灯的个数是
36、购买手电筒个数的一半，列出方程； （2）设公司购买台灯的个数为 a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8）个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过 670 元”列出不等式 【解答】解： （1）设购买该品牌一个手电筒需要 x 元，则购买一个台灯需要（x+20）元 根据题意 得 解得 x5 经检验，x5 是原方程的解 所以 x+2025 答：购买一个台灯需要 25 元，购买一个手电筒需要 5 元； （2）设公司购买台灯的个数为 a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8a） 由题意得 25a+5（2a+8a）670 解得 a21 荣庆公司最多可购买 21 个该品牌的台灯 【点评】 本题考查了
37、一元一次不等式和分式方程的应用 解决问题的关键是读懂题意， 找到关键描述语，进而找到所求的量的等量（不等量）关系 26 （10 分）如图 1，O 为ABC 的外接圆，ABAC，过点 B 作 BDAC，垂足为点 H，交O 于点 D，连接 AD （1）求证：CAB2CAD； （2）如图 2，在劣弧 AB 上取一点 E，使弧 AD弧 AE，连接 CE 交 BD 于点 F，交 AB 于点 G，求证：点 G 为线段 EF 的中点； （3）如图 3，在（2）的条件下，过圆心 O 作 OMAB 于点 M，若 OM：FG5：6，AB25，求线段AD 的长 【分析】 （1）根据DAHC，DAC90ADH 可得证
38、； （2）连接 AF，AE，可证ACGABH，再证 AHFAGF，最后证 AGFAGE； （3）作射线 AF，设 OM5a，GF6a，可证得 AF 过点 O，可证BCGFAG，可求得 AG15，ABG10，根据 OMCE，表示出 CG，在 RtBFG 中，由勾股定理得 a 的值，从而求得 cosMAO，进而求得 AD 【解答】 （1）证明：如图 1， BDAC， AHD90， CAD90ADB， ， ADBC， CAD90C， ACAB， CB， CAD90， CAB2CAD； （2）证明：如图 2， 连接 AF，AE， ， ACEABD， AHB90， ABD+BAC90， ACE+BAC9
39、0， AGC90， ABAC， ACGABH（AAS） ， AHAG， AFAF， AHFAGF（HL） ， HAFAFG， ABAC， ， ， ， BAECAD， FAGBAE， AGAG， AGFAGE（ASA） ， EGFG， G 是 EF 的中点； （3）如图 3， 作射线 AF，设 OM5a，GF6a， 由（2）知：AF 平分CAB， AF 过点 O，AFBC， CGAB， BCGGAF， CGAB， AGFBGC90， BCGFAG， ， OMAB， OMCE，AMBMAB， ， AGAM15， BGABAG251510， ， CG， BFCFCGFG6a， 在 RtBFG 中，由
40、勾股定理得， FG2+BG2BF2， （6a）2+102（）2， a， GF6a，OM5a， tanMAO， cosMAO， 由（2）知：AHAG15， DACMAO， 在 RtADH 中， AD 【点评】本题考查了圆的有关性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解决问题的关键是利用相似三角形求解相关线段的长，并根据勾股定理列方程 27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yax2+bx+8 与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，点 D 在抛物线上，且点 D 的坐标为（2，4） ，CO：BO4：3 （1）求抛
41、物线的解析式； （2）P 为第一象限抛物线上一点，连接 PC、PD，设点 P 的横坐标为 t，PCD 的面积为 S，求 S 与 t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，作 PEx 轴于点 E，点 F 在线段 OC 上，BEOF，线段 BF 和 CE 交于点 G，CGF45，求点 P 的坐标，并求此时PCD 的面积 【分析】 （1）首先根据抛物线 yax2+bx+8，得到 C 的坐标，根据 OC 与 BO 比值求出 OB 的长，进而确定出 B 的坐标，把 B 与 C 的坐标代入抛物线解析式求出 a 与 b 的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图所示，构造矩形 DEFG，根据题意表示出 P
42、 的坐标，进而分别表示出 E，F，G 的坐标，表示出三角形 EDC 面积，三角形 DGP 面积，三角形 CFP 面积，以及矩形 DEFG 面积，表示出 S 与 t 的函数关系式即可； （3） 过点 E 作 EN 垂直于 BF， 过 F 作 FQ 垂直于 CE， 根据题意证明出三角形 NEB 与三角形 BOF 相似，三角形 EGN 与三角形 FGQ 相似， 根据等腰三角形的性质， 勾股定理和相似三角形的性质可表示出 CQ，QG 以及 GE 的长，最后在三角形 OCE 中根据勾股定理列出方程求出解即可 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+8， 当 x0 时，y8，即 C（0，8） ，OC8
43、， CO：BO4：3， BO6，即 B（6，0） ， 把 B（6，0）与 D（2，4）代入抛物线解析式得：， 解得：， 则抛物线解析式为 yx2+x+8； （2）如图 1 所示， 设 P（t，t2+t+8） ， 四边形 DEFG 为矩形，D（2，4） ，C（0，8） ， E（2，8） ，F（t，8） ，G（t，4） ， DE4，CE2，CFt，PF8（t2+t+8）t2t，PGt2+t+84t2+t+4，DGt+2， SS矩形DEFGSDECSCFPSDGPDGDEDECECFFPDGPG 4（t+2）42t（t2t）（t+2）（t2+t+4） t2+t； （3）如图 2 所示， 过点 E 作
44、 ENFB，过点 F 作 FQCE， ENBF， ENBFOB90， NBEOBF， NBEOBF， ， ENBF，FQCE， FQGENG， FGQEGN， EGNFGQ， ，BGEFGQ45， GFQ 和GEN 都为等腰直角三角形， 由（2）可知，BE6t，OB6，OC8， OFBE6t， CFOCOF8（6t）t+2， 在 RtOBF 中，BF， ENGN，BN， GE， GFBFBNGN， FQGQGFsinFGQ， CQ， CECQ+QG+GQ， +， 解得：t4， y42+4+86， P（4，6） ， St2+t42+410 【点评】此题考查了二次函数与几何综合题，二次函数的表达式等知识，解题的关键是设出点的坐标并表示出相关的线段长度
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