1、湖南省长沙市开福区湖南省长沙市开福区二校联考九年级二校联考九年级上第一次月考数学试卷上第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2022 的相反数是（ ） A B C2022 D2022 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax2x6x12 Ba8a4a2 C2a2+3a26a4 D （3a）29a2 3 （3 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 4（3分） 据研究， 新病毒的变种奥密克的直径最小可达0.000002米， 其中0.000002科学记数法表示为 （ ）
2、A2105 B2106 C2107 D0.2105 5 （3 分）下列语句中正确的是（ ） A直径是弦，弦是直径 B相等的圆心角所对的弦相等 C三角形的内心到三边的距离相等 D三点确定一个圆 6 （3 分）将二次函数 y2x2的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） Ay2（x+2）2+3 By2（x+2）23 Cy2（x2）23 Dy2（x2）2+3 7 （3 分） 九章算术中第七章盈不足记载了一个问题： “今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文： “现有一些人合伙购买物品，若每人出 8 钱，则多出 3 钱；若每人出7 钱
3、，则还差 4 钱问人数、物品价格各是多少？”设有 x 个人，物品价格为 y 钱，则下列方程组中正确的是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，PA、PB 分别切O 于 A、B，PA10cm，C 是劣弧 AB 上的点（不与点 A、B 重合） ，过点C 的切线分别交 PA、PB 于点 E、F则PEF 的周长为（ ） A10cm B15cm C20cm D25cm 9 （3 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，CDB30，O 的半径为 2，则弦 CD 的长为（ ） A3 B C D9 10 （3 分）如图，RtABC 中，ABBC，AB6，BC4，P 是ABC 内部的一个动点，
4、且满足PABPBC，则线段 CP 长的最小值为（ ） A B2 C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）因式分解：x3x 12 （3 分）函数中，自变量 x 的取值范围是 13 （3 分）已知方程，则 x 14 （3 分）若 x1，x2是方程 x22x30 的两根，则 x1+x2x1x2 15 （3 分）若一个圆锥的母线长为 5cm，它的半径为 3cm，则这个圆锥的全面积为 cm2 16 （3 分）已知平面直角坐标系内有一点 P（4，3） ，连接 OP，将线段 OP 绕着点 O 逆时针旋转 90 度，
5、点 P 落在点 P的位置，则 P的坐标为 三、解答题（共三、解答题（共 9 个小题，第个小题，第 17、18、19 题每题题每题 6 分，第分，第 20、21 题每题题每题 8 分，第分，第 22、23 题每题题每题 9 分，第分，第24、25 题每题题每题 10 分，共分，共 72 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算： 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 1m5，从中选取一个整数值，代入求值 19 （6 分）直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 A
6、B 的解析式； （2）若直线 AB 上一点 C 在第一象限，且 SBOC4，求点 C 坐标 20 （8 分）某校在一次体育抽测活动中，随机抽取了七年级甲、乙两班部分女生进行测试，测试每位女生的一分钟内仰卧起坐次数，将测试成绩分成四个组（一分钟内仰卧起坐成绩记为 x 次/分钟） ；A 组（0 x15） ；B 组（15x30） ；C 组（30 x45） ；D 组（45x60） ，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图请你根据上述信息解答下列问题： （1）求出 m 的值，并通过计算将频数分布直方图补充完整； （2）如果该校七年级共有女生 200 人，请估计仰卧起坐能够一分钟完成 30
7、次以上（含 30 次）的女生有多少人？ （3）已知 A 组中只有一个甲班学生，D 组中只有一个乙班学生，体育老师随机从这两个组中各选一名学生进行交流座谈，请利用画树状图或列表的方法，求出所选两人正好都是甲班学生的概率 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，CAAB，D 是 AC 的中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E，过点 A作 AFBC 交 ED 的延长线于点 F，连接 AE，CF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AB2，FAC30，求 AC 的长 22 （9 分）中秋节吃月饼是中国古老的传统习俗，根据调查发现，若购买豆沙月饼 2 盒水果月饼 1 盒，共需资
8、金 400 元；若购买豆沙月饼 1 盒，水果月饼 1 盒，共需资金 280 元 （1）求豆沙月饼和水果月饼的单价分别是多少元？ （2）某商家准备购进这两种款式的月饼共 30 盒，其中水果月饼的数量不少于豆沙月饼的数量，若商家最多能够提供资金 4320 元，请你为商家设计一种比较实惠的购货方案 23 （9 分）如图，AB 是O 的直径，DAB 的角平分线 AC 交O 于点 C，过点 C 作 CDAD 于 D，AB的延长线与 DC 的延长线相交于点 P，ACB 的角平分线 CE 交 AB 于点 F、交O 于 E （1）求证：直线 PC 是O 的切线； （2）求证：PCPF； （3）若 AC8，求四
9、边形 ABCD 的面积 24 （10 分）定义若抛物线 yax2+bx+c（a0）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线” ，其交点为该直线的“幸运点” （1）已知直线解析式为 yx1，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是 ； （填序号） yx2+1；yx2+x2；yx2x； （2）如图，已知直线 l：yx4，抛物线 yx23x 为直线 l 的“双幸运曲线” ， “幸运点”分别为 A、B， 在直线 l 上方抛物线部分是否存在点 P 使PAB 面积最大， 若存在， 请求出面积的最大值和点 P 坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知 x 轴的“双幸运曲线”yax2+bx+c（ab0）
10、经过点（1，3） ， （0，2） ，在 x 轴的“幸运点”分别为 M、N，试求 MN 的取值范围 25 （10 分）如图，等边OAB 内接于圆 N 中，已知 A 点坐标为（4，0） ，圆 N 交 y 轴正半轴于点 C （1）请直接写出点 B、C 的坐标； （2）如图 1，过点 A 作圆 N 的切线交 y 轴于点 D，求图中阴影部分的面积； （3） 如图 2， 点 H 为 AB 中点， 连接 OH， P、 Q 分别在线段 OH 和 y 轴正半轴上， 且满足 OP+OQOH，连接 PQ 交 OB 于点 M，当OPM 为等腰三角形时，试求点 Q 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择
11、题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2022 的相反数是（ ） A B C2022 D2022 【分析】直接根据相反数的概念解答即可 【解答】解：2022 的相反数等于2022， 故选：D 【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax2x6x12 Ba8a4a2 C2a2+3a26a4 D （3a）29a2 【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可 【解答】解：A、x2x6x8，故 A
12、不符合题意； B、a8a4a4，故 B 不符合题意； C、2a2+3a25a2，故 C 不符合题意； D、 （3a）29a2，故 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握 3 （3 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】 根据如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A，B，C 选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D 选
13、项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 4（3分） 据研究， 新病毒的变种奥密克的直径最小可达0.000002米， 其中0.000002科学记数法表示为 （ ） A2105 B2106 C2107 D0.2105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，看小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同小数点向左移动时，n 是正整数；小数点向右移动时，n 是负整数 【
14、解答】解：0.0000022106， 故选：B 【点评】本题主要考查科学记数法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数解题关键是正确确定 a 的值以及 n 的值 5 （3 分）下列语句中正确的是（ ） A直径是弦，弦是直径 B相等的圆心角所对的弦相等 C三角形的内心到三边的距离相等 D三点确定一个圆 【分析】根据圆的有关知识进行分析，从而得到答案 【解答】解：A、直径是圆中特殊的弦，它经过圆心，但弦不一定是直径，故本选项不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故本选项不符合题意； C、三角形的内心到三边的距离相等，故本选项符合
15、题意； D、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，圆的认识，确定圆的条件，掌握与圆有关的概念是解决本题的关键 6 （3 分）将二次函数 y2x2的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） Ay2（x+2）2+3 By2（x+2）23 Cy2（x2）23 Dy2（x2）2+3 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 y2x2的图象先向右平移 2 个单位所得函数的解析式为：y2（x2）2； 由“上加下减”的原则可知，将二
16、次函数 y2（x2）2的图象先向下平移 3 个单位所得函数的解析式为：y2（x2）23 故选：C 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键 7 （3 分） 九章算术中第七章盈不足记载了一个问题： “今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文： “现有一些人合伙购买物品，若每人出 8 钱，则多出 3 钱；若每人出7 钱，则还差 4 钱问人数、物品价格各是多少？”设有 x 个人，物品价格为 y 钱，则下列方程组中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据每人出 8 钱，则多出 3 钱，可得 8x3y，根据每人出 7 钱，则还
17、差 4 钱，可得 7x+4y，从而可以列出相应的方程组 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B 【点评】 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组， 解答本题的关键是明确题意， 列出相应的方程组 8 （3 分）如图，PA、PB 分别切O 于 A、B，PA10cm，C 是劣弧 AB 上的点（不与点 A、B 重合） ，过点C 的切线分别交 PA、PB 于点 E、F则PEF 的周长为（ ） A10cm B15cm C20cm D25cm 【分析】根据切线长定理由 PA、PB 分别切O 于 A、B 得到 PBPA10cm，由于过点 C 的切线分别交PA、PB 于点 E、F，再根据切线长定理得到 EAEC
18、，FCFB，然后三角形周长的定义得到PEF 的周长PE+EF+PFPE+EC+FC+PF，用等线段代换后得到三角形 PEF 的周长等于 PA+PB 【解答】解：PA、PB 分别切O 于 A、B， PBPA10cm， EA 与 EC 为的切线， EAEC， 同理得到 FCFB， PEF 的周长PE+EF+PFPE+EC+FC+PF PE+EA+FB+PF PA+PB 10+10 20（cm） 故选：C 【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角 9 （3 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，CDB30，O 的
19、半径为 2，则弦 CD 的长为（ ） A3 B C D9 【分析】根据圆周角定理可求出COB 的度数，再利用特殊角的三角函数值及垂径定理即可解答 【解答】解：CDB30， COB60， 又OC2，CDAB 于点 E， CECOsin602， CD2CE2 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，易错易混点：学生易审题不清，求出 CE后错当作正确答案而选 A 10 （3 分）如图，RtABC 中，ABBC，AB6，BC4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PABPBC，则线段 CP 长的最小值为（ ） A B2 C D 【分析】首先证明点 P 在以 AB 为直径的O 上
20、，连接 OC 与O 交于点 P，此时 PC 最小，利用勾股定理求出 OC 即可解决问题 【解答】解：ABC90， ABP+PBC90， PABPBC， BAP+ABP90， APB90， OPOAOB（直角三角形斜边中线等于斜边一半） ， 点 P 在以 AB 为直径的O 上，连接 OC 交O 于点 P，此时 PC 最小， 在 RtBCO 中，OBC90，BC4，OB3， OC5， PCOCOP532 PC 最小值为 2 故选：B 【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点 P 位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型 二、填空题（本大题共二
21、、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）因式分解：x3x x（x+1） （x1） 【分析】原式提取 x，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式x（x21）x（x+1） （x1） ， 故答案为：x（x+1） （x1） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 12 （3 分）函数中，自变量 x 的取值范围是 x3 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x+30， 解得 x3 故答案为：x3 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （
22、1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 13 （3 分）已知方程，则 x 3 【分析】应用解分式方程的方法，去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论进行计算即可得出答案 【解答】解：给分式方程两边同时乘 x（x2） ， 得 5x3（x2） ， 移项得 5x3x6， 合并同类项得 2x6， 解得 x3， 把 x3 代入 x（x2）中，3（32）150， 所以 x3 是原分式方程的解 故答案为：x3 【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法进行求解是解决本题的关键 14 （
23、3 分）若 x1，x2是方程 x22x30 的两根，则 x1+x2x1x2 5 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x22，x1x23，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：x1，x2是方程 x22x30 的两根， x1+x22，x1x23， 所以 x1+x2x1x22+35 故答案为：5 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2 15 （3 分）若一个圆锥的母线长为 5cm，它的半径为 3cm，则这个圆锥的全面积为 24 cm2 【分析】表面积底面积+侧面积底面半径2+底面周长母线长2 【解答】解：底面圆的半
24、径为 3cm，则底面周长6cm， 侧面面积6515（cm2） ； 底面积为9（cm2） ； 全面积为：15+924（cm2） 故答案为 24 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解 16 （3 分）已知平面直角坐标系内有一点 P（4，3） ，连接 OP，将线段 OP 绕着点 O 逆时针旋转 90 度，点 P 落在点 P的位置，则 P的坐标为 （3，4） 【分析】如图，把线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 90到 OP位置看作是把 RtOPA 绕点 O 逆时针旋转90到 RtOPA，再根据旋转的性质得到 OA、PA的长，然后根据第二象限点的坐标特征确定P点的坐标 【解答
25、】解：如图，OA4，PA3， 线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 90到 OP位置， OA 旋转到 x 轴负半轴 OA的位置，PAOPAO90，PAPA3， P点的坐标为（3，4） 故答案为： （3，4） 【点评】 本题考查了坐标与图形变化旋转： 在直角坐标系中线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转，然后利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据点的坐标特征确定点的坐标 三、解答题（共三、解答题（共 9 个小题，第个小题，第 17、18、19 题每题题每题 6 分，第分，第 20、21 题每题题每题 8 分，第分，第 22、23 题每题题每题 9 分，第分，第24、25 题每题题每题 10 分，共分，
26、共 72 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算： 【分析】利用负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、绝对值的运算法则计算即可 【解答】解：原式2+21+（2） 2+21+2 3+ 【点评】本题考查了实数的运算，做题关键要掌握负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、绝对值的运算法则 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 1m5，从中选取一个整数值，代入求值 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后求出 m 的值，最后代入原式即可求出答案 【解答】解：原式 ， 由分式有意义的条件可知：m 不能取 2
27、和 3， 故 m4， 原式1 【点评】本题考查分式的化简，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型 19 （6 分）直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上一点 C 在第一象限，且 SBOC4，求点 C 坐标 【分析】 （1）设直线 AB 的解析式为 ykx+b，将点 A（1，0） 、点 B（0，2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到 AB 的解析式； （2）设点 C 的横坐标为 x，根据三角形面积公式以及 SBOC4 求出 C 的横坐标，再代入直线即可求出纵坐标的值
28、，从而得到其坐标 【解答】解： （1）设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0） ， 直线 AB 过点 A（1，0） 、点 B（0，2） ， ， 解得， 直线 AB 的解析式为 y2x2 （2）设点 C 的横坐标为 x， SBOC4， 2|x|4， 解得 x4， 直线 AB 上一点 C 在第一象限， x4， y2422， 点 C 的坐标是（4，6） 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式 20 （8 分）某校在一次体育抽测活动中，随机抽取了七年级甲、乙两班部分女生进行测试，测试每位女生的一分钟内仰卧起坐次数，将测试成
29、绩分成四个组（一分钟内仰卧起坐成绩记为 x 次/分钟） ；A 组（0 x15） ；B 组（15x30） ；C 组（30 x45） ；D 组（45x60） ，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图请你根据上述信息解答下列问题： （1）求出 m 的值，并通过计算将频数分布直方图补充完整； （2）如果该校七年级共有女生 200 人，请估计仰卧起坐能够一分钟完成 30 次以上（含 30 次）的女生有多少人？ （3）已知 A 组中只有一个甲班学生，D 组中只有一个乙班学生，体育老师随机从这两个组中各选一名学生进行交流座谈，请利用画树状图或列表的方法，求出所选两人正好都是甲班学生的概率 【分
30、析】 （1）由频数分布直方图和扇形统计图易得 m 的值和 B 组的人数，即可解决问题； （2）利用样本估计总体的知识求解即可求得答案； （3）画出树状图，共有 12 种等可能的结果，其中所选两人正好都是甲班学生的有 3 种情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）抽取的总人数为：315%20（人） ， 则 m2020%4（人） ， B 组的人数为：20（3+4+7）6（人） ， 补全频数分布直方图如下： （2）200（35%+20%）2000.55110（人） ， 答：七年级一分钟完成 30 次以上（含 30 次）仰卧起坐的女生有 110 人； （3）A 组中只有一个甲班学生，D
31、组中只有一个乙班学生， A 组中有 2 个乙班学生，D 组中有 3 个甲班学生， 画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，其中所选两人正好都是甲班学生的有 3 种情况， 所选两人正好都是甲班学生的概率是 【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及扇形统计图、频数分布直方图等知识树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，CAAB，D 是 AC 的中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E，过点 A作 AFBC 交 ED 的延长线于点 F，连接 AE，CF （1）求证：
32、四边形 AECF 是菱形； （2）若 AB2，FAC30，求 AC 的长 【分析】 （1）证AFDCED（AAS） ，得 AFEC，则四边形 AECF 是平行四边形，再由 EFAC，即可得出结论； （2） 由菱形的性质得 AFBC， 可得ACBFAC30， 根据含 30 度角的直角三角形即可得出结论 【解答】 （1）证明：点 D 是 AC 的中点， ADDC， AFBC， FADECD，AFDCED， 在AFD 和CED 中， ， AFDCED（AAS） ， AFEC， AFBC， 四边形 AECF 是平行四边形， 又EFAC， 平行四边形 AECF 是菱形； （2）解：由（1）得：四边形 A
33、ECF 是菱形， AFBC， ACBFAC30， CAAB， BAC90， AB2， ACAB2 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键 22 （9 分）中秋节吃月饼是中国古老的传统习俗，根据调查发现，若购买豆沙月饼 2 盒水果月饼 1 盒，共需资金 400 元；若购买豆沙月饼 1 盒，水果月饼 1 盒，共需资金 280 元 （1）求豆沙月饼和水果月饼的单价分别是多少元？ （2）某商家准备购进这两种款式的月饼共 30 盒，其中水果月饼的数量不少于豆沙月饼的数量，若商家最多能够提供资金
34、 4320 元，请你为商家设计一种比较实惠的购货方案 【分析】 （1）设豆沙月饼的单价是 x 元/盒，水果月饼的单价是 y 元/盒，根据“购买豆沙月饼 2 盒水果月饼 1 盒，共需资金 400 元；购买豆沙月饼 1 盒，水果月饼 1 盒，共需资金 280 元” ，即可得出关于 x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进水果月饼 m 盒，则购进豆沙月饼（30m）盒，根据“购进水果月饼的数量不少于豆沙月饼的数量，且商家最多能够提供资金 4320 元” ，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，设购买 30 盒月饼的总费用为 w 元，利用总价单价数量，即可得
35、出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最实惠的购货方案 【解答】解： （1）设豆沙月饼的单价是 x 元/盒，水果月饼的单价是 y 元/盒， 依题意得：， 解得： 答：豆沙月饼的单价是 120 元/盒，水果月饼的单价是 160 元/盒 （2）设购进水果月饼 m 盒，则购进豆沙月饼（30m）盒， 依题意得：， 解得：15m18 设购买 30 盒月饼的总费用为 w 元，则 w160m+120（30m）40m+3600， 400， w 随 m 的增大而增大， 当 m15 时，w 取得最小值，此时 30m301515 最实惠的购货方案为：购进水果月饼 15 盒，豆沙月饼 15 盒
36、 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 23 （9 分）如图，AB 是O 的直径，DAB 的角平分线 AC 交O 于点 C，过点 C 作 CDAD 于 D，AB的延长线与 DC 的延长线相交于点 P，ACB 的角平分线 CE 交 AB 于点 F、交O 于 E （1）求证：直线 PC 是O 的切线； （2）求证：PCPF； （3）若 AC8，求四边形 ABCD 的面积 【分析】 （1）如图，连接 OC，根据 AC 是DAB 的角平分线，证
37、明 OCAD，进而可得 PC 与O相切； （2）根据 CF 是ACB 的角平分线及三角形外角的性质即可得PFCPCF，进而得 PCPF； （3）连接 OE，证明ABE 是等腰直角三角形，可得 ABAE10，从而 BC6，即得 SABCACBC24，由DACCAB，有 SDAC，故四边形 ABCD 的面积是 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图： OAOC， OACOCA， AC 是DAB 的角平分线， DACOAC， OCADAC， OCAD， ADCD， OCCD， OC 是O 的半径， PC 与O 相切； （2）证明：连接 OE，如图： CF 是ACB 的角平分线， ACFBCF， 由（
38、1）知 PC 与O 相切， CAFPCB， ACF+CAFBCF+PCB，即PFCPCF， PCPF （3）解：连接 OE，如图： AB 是O 的直径， ACB90， CE 平分ACB， BCFACB45， BOE2BCF90AOE， OAOBOE， OAEOEAOBEOEB45， ABE 是等腰直角三角形， ABAE510， 在 RtABC 中， BC6， SABCACBC8624， DACB90，DACBAC， DACCAB， （）2（）2，即， SDAC， S四边形ABCDSABC+SDAC24+， 四边形 ABCD 的面积是 【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形，相似
39、三角形等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质 24 （10 分）定义若抛物线 yax2+bx+c（a0）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线” ，其交点为该直线的“幸运点” （1）已知直线解析式为 yx1，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是 ； （填序号） yx2+1；yx2+x2；yx2x； （2）如图，已知直线 l：yx4，抛物线 yx23x 为直线 l 的“双幸运曲线” ， “幸运点”分别为 A、B， 在直线 l 上方抛物线部分是否存在点 P 使PAB 面积最大， 若存在， 请求出面积的最大值和点 P 坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知 x 轴的“双幸运曲线”yax2
40、+bx+c（ab0）经过点（1，3） ， （0，2） ，在 x 轴的“幸运点”分别为 M、N，试求 MN 的取值范围 【分析】 （1）由题意可得关于 x 的一元二次方程，求出根的判别式的值，结合“双幸运曲线”的定义即可求解； （2）过点 P 作 PDx 轴交直线 l 于点 D，联立直线 l：yx4，抛物线 yx23x 求出“幸运点”A、B 的坐标，设 P（p，p23p） ，则 D（p，p4） ，PDp23pp+4p24p+4，根据三角形面积公式可得关于 p 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）求出“幸运点”的坐标，将点（1，3） ， （0，2）代入 yax2+bx+c 可得 a+b
41、5，c2，可得|MN|，根据非负数的性质即可求解 【解答】解： （1）由题意可得关于 x 的一元二次方程 x2+1x1， 整理得 x2x+20， 141270， 方程无解，即直线 yx1 与抛物线 yx2+1 无交点， 抛物线 yx2+1 不是直线 yx1 的“双幸运曲线” ； 由题意可得关于 x 的一元二次方程 x2+x2x1， 整理得 x210， 041（1）40， 方程有两个不相等的实数根，即直线 yx1 与抛物线 yx2+x2 有两个交点， 抛物线 yx2+x2 是直线 yx1 的“双幸运曲线” ； 由题意可得关于 x 的一元二次方程 x2xx1， 整理得 x22x+10， 44110
42、， 方程有两个相等的实数根，即直线 yx1 与抛物线 yx2x 有一个交点， 抛物线 yx2x 不是直线 yx1 的“双幸运曲线” ； 故答案为：； （2）过点 P 作 PDx 轴交直线 l 于点 D， 联立直线 l：yx4，抛物线 yx23x 得：x4x23x， 整理得 x2+4x40， x22， “幸运点”A、B 的坐标分别为（2+2，6+2） ， （22，62） ， 设 P（p，p23p） ，则 D（p，p4） ， PDp23pp+4p24p+4， SPAB（2+2+2+2） （p24p+4）2（p+2）2+16， p2 时，PAB 面积的最大值为 16，点 P 坐标为（2，2） ； （
43、3）yax2+bx+c（ab0）经过点（1，3） ， （0，2） ， ， ， x 轴的“双幸运曲线”yax2+bx+c（ab0） ， ax2+bx20， x， “幸运点”的坐标为（，0） ， （，0） ， |MN|， MN， MN 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、一元二次方程根的判别式、函数图象的交点、二次函数的性质、数形结合思想思想等知识利用一元二次方程根的判别式以及用点的坐标表示出线段的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中 25 （10 分）如图，等边OAB 内接于圆 N 中，已知 A 点坐标为（4，0） ，圆 N 交 y 轴正半轴于点 C （1）请直接写
44、出点 B、C 的坐标； （2）如图 1，过点 A 作圆 N 的切线交 y 轴于点 D，求图中阴影部分的面积； （3） 如图 2， 点 H 为 AB 中点， 连接 OH， P、 Q 分别在线段 OH 和 y 轴正半轴上， 且满足 OP+OQOH，连接 PQ 交 OB 于点 M，当OPM 为等腰三角形时，试求点 Q 的坐标 【分析】 （1）由于 OA 是等边三角形的边，又是圆的弦，过 B 点作 OA 的垂线，根据等边三角形的性质，可求 B 点坐标，连接 AC，则OCAOBA60，解直角OCA 可求 OC （2）连接 AC，ON，由AOC90，得 AC 是N 的直径，通过解直角三角形，根据 S阴影S
45、AON+SAODS扇形ANO，可得阴影部分面积是； （3）分三种情况： （I）若 OPOM，过 P 作 PEOC 于 E，可得t，点 Q 的坐标为（0，2） ； （II）若 OMPM，可得 t（2t） ，点 Q 的坐标为（0，） ； （）若 OPPM，POMPMOCOB，此时 PQOC，不满足题意 【解答】解： （1）过点 B 作 OA 的垂线，垂足为 G，连接 AC，如图： A（4，0） ， OA4，OGOA2， 设 B 点坐标为（2，t） ，则4， t2（负值已舍去） ， B（2，2） ， OCAOBA60， tan60， OC， C（0，） ； （2）连接 AC，ON，如图： AOC90
46、， AC 是N 的直径， 由（1）知 OC，ACD60， SAOCOAOC4， ANCN， SAONSCONSAOC， 在 RtAOC 中，AC2OC， AD 是N 的切线， CAD90， 在 RtACD 中，CD2AC， ODCDOC4， SAODOAOD448， ANO2B120， S扇形ANO， S阴影SAON+SAODS扇形ANO+8； （3）设点 Q 的坐标为（0，t） ， OHOAcos602， OP+OQOH，又 OP+HPOH， OQHPt， OPOHHP2t， （I）若 OPOM，过 P 作 PEOC 于 E，如图： OPMOMP75， POQ90AOH60， OQP180OPMPOQ45， PEQE， 在 RtPOE 中，OEOP，PEOE， t， 解得：t2， 点 Q 的坐标为（0，2） ； （II）若 OMPM， 则MOPMPO30， PQOA， OQOP， 即 t（2t） ， 解得 t， 点 Q 的坐标为（0，） ； （）若 OPPM，POMPMOCOB，此时 PQOC，不满足题意； 综上所述，点 Q 的坐标为（0，2）或（0，） 【点评】本题考查了正三角形与圆，圆的切线性质，等腰三角形条件的探求方法，面积求法及分类讨论的思想，具有较强的综合性
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