1、 2020-2021 学年江苏省淮安市九年级学年江苏省淮安市九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 24 分。）分。） 1一元二次方程 x2+3x0 的解是（ ） Ax3 Bx10，x23 Cx10，x23 Dx3 2一元二次方程 x23x+40 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根 3如图，AB、AC 是O 的两条弦，BAC25，过点 C 的切线与 OB 的延长线交于点 D，则D 的度数（ ） A25 B30 C35 D40 4若关于 x 的一元二次方程 x
2、22x+m0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 5关于 x 的一元二次方程 x2+nx+m0 的两根中只有一个等于 0，则下列条件正确的是（ ） Am0，n0 Bm0，n0 Cm0，n0 Dm0，n0 6如图，ABC 内接于O，C45，AB2，则O 的半径为（ ） A1 B C2 D 7如图，四边形 ABCD 内接于O，若B108，则D 的大小为（ ） A54 B62 C72 D82 8用扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是 4cm，底面周长是 6cm，则扇形的半径为（ ） A3cm B8cm C6cm D5cm 二、填空题（本题共二、填空题（本
3、题共 8 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 24 分。请把答案直接填在题中的横线上）分。请把答案直接填在题中的横线上） 9把方程 x26x+30，化为（x+m）2n（其中 m、n 为常数）的形式后为 10关于 x 的方程 x22x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 11如图，O 的直径 AB 与弦 CD 相交，ACD60，则BAD 12某企业五月份的利润是 25 万元，预计七月份的利润将达到 36 万元设平均月增长率为 x，根据题意所列方程是 13圆锥母线长为 6，底面半径为 2，则该圆锥的侧面积为 （结果用带 的数的形式表示） 14如图，正方形 ABCD 的边长为 4，以点 A
4、 为圆心，AD 为半径，画圆弧 DE 得到扇形 ADE（阴影部分，点 E 在对角线 AC 上） 若扇形 ADE 正好是一个圆锥的侧面展开图， 则该圆锥的底面圆的半径是 15已知扇形的圆心角为 150，它所对应的弧长为 20cm，则此扇形的面积是 cm2 16如图，在 RtAOB 中，OAOB3，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 11 小题，共小题，共 102 分。解答应写出必要的过程、推演步骤或文字说明）分。解答应写出必要的过程、推演步骤或文字说明） 17计算： （
5、1）3x24x0； （2）x24x+20 18已知关于 x 的方程 x26x+3m40 的一个根是1，求 m 的值和另一个根 19化简并求值，其中 m 满足 m2m20 20如图，点 O 为 AB 中点，分别延长 OA 到点 C，OB 到点 D，使 OCOD以点 O 为圆心，分别以 OA，OC 为半径在 CD 上方作两个半圆点 P 为小半圆上任一点（不与点 A，B 重合），连接 OP 并延长交大半圆于点 E，连接 AE，CP （1）求证：AOEPOC； （2）写出1，2 和C 三者间的数量关系，并说明理由 21已知关于 x 的一元二次方程 x2（m+3）x+m+20 （1）求证：无论实数 m
6、取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根的平方等于 4，求 m 的值 22已知O1经过 A（4，2）、B（3，3）、C（1，1）、O（0，0）四点，一次函数 yx2的图象是直线 l，直线 l 与 y 轴交于点 D （1）在如图的平面直角坐标系中画出直线 l，则直线 l 与O1的交点坐标为 ； （2）若O1上存在点 P 使得APD 为等腰三角形，则这样的点 P 有 个 23如图，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得到DBE，点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 的延长线上，连接AD （1）求证：BCAD； （2）若 AB4，BC1，求 A，C 两点旋转所经过的路径长之和 24如图，A
7、B 是O 的直径，点 C 是O 上一点，CAB 的平分线 AD 交于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，连接 BD若 OF1，BF2，求 BD 的长度 25某水果店购进一批优质水果，进价为 10 元/千克，售价不低于 15 元/千克，且不超过 40 元/每千克，根据销售情况，发现该水果在一天内的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系 销售量 y（千克） 32.5 35 35.5 38 售价 x（元/千克） 27.5 25 24.5 22 （1）某天这种水
8、果售价为 28 元/千克，求当天该水果的销售量； （2）如果水果店该天获利 400 元，那么这天水果的售价为多少元？ 26如图，A（5，0），B（3，0），点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO45，CDABCDA90点P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时时间 t 秒 （1）求点 C 的坐标； （2）当BCP15时，求 t 的值； （3）以点 P 为圆心，PC 为半径的P 随点 P 的运动而变化，当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值 27箭头四角形 模型规律 如图 1，延长 CO 交 AB 于点 D，则BOC1+BA+
9、C+B 因为凹四边形 ABOC 形似箭头，其四角具有“BOCA+B+C”这个规律，所以我们把这个模型 叫做“箭头四角形” 模型应用 （1）直接应用：如图 2，A+B+C+D+E+F 如图 3，ABE、ACE 的 2 等分线（即角平分线）BF、CF 交于点 F，已知BEC120，BAC50，则BFC 如图 4，BOi、COi分别为ABO、ACO 的 2019 等分线（i1，2，3，2017，2018）它们的交点从上到下依次为 O1、O2、O3、O2018已知BOCm，BACn，则BO1000C 度 （2）拓展应用：如图 5，在四边形 ABCD 中，BCCD，BCD2BADO 是四边形 ABCD
10、内一点，且 OAOBOD求证：四边形 OBCD 是菱形 参考答案参考答案 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 24 分。每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意分。每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）的选项填在下表中） 1一元二次方程 x2+3x0 的解是（ ） Ax3 Bx10，x23 Cx10，x23 Dx3 【分析】分解因式得到 x（x+3）0，转化成方程 x0，x+30，求出方程的解即可 解：x2+3x0， x（x+3）0， x0，x+30， x10，x23， 故选：C 2一元二次方程 x23x+40
11、的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根 【分析】先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况 解：b24ac（3）24147， 70， 原方程没有实数根 故选：D 3如图，AB、AC 是O 的两条弦，BAC25，过点 C 的切线与 OB 的延长线交于点 D，则D 的度数（ ） A25 B30 C35 D40 【分析】根据圆周角定理求出BOC，根据切线的性质得到 OCCD，根据直角三角形的两锐角互余计算即可 解：BAC25， BOC2BAC50， CD 是O 的切线， OCCD， D905040， 故选：D 4若关于 x 的一元二次方
12、程 x22x+m0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】方程没有实数根，则0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围 解：由题意知，44m0， m1 故选：C 5关于 x 的一元二次方程 x2+nx+m0 的两根中只有一个等于 0，则下列条件正确的是（ ） Am0，n0 Bm0，n0 Cm0，n0 Dm0，n0 【分析】由根与系数的关系可得 x1+x2n，x1x2m，再根据两根中只有一个等于 0，由此即可求解 解：关于 x 的一元二次方程 x2+nx+m0 的两根中只有一个等于 0， x1+x2n0，x1x2m0， m0，n0 故选：D 6
13、如图，ABC 内接于O，C45，AB2，则O 的半径为（ ） A1 B C2 D 【分析】连接 AO，并延长交O 于点 D，连接 BD，由圆周角定理可得D 与ABD 的度数，再由勾股定理即可解答 解：连接 AO，并延长交O 于点 D，连接 BD， C45，D45， AD 为O 的直径，ABD90， DABD45， AB2，BD2， AD2， O 的半径 AO 故选：D 7如图，四边形 ABCD 内接于O，若B108，则D 的大小为（ ） A54 B62 C72 D82 【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可 解：四边形 ABCD 内接于O，B108， D180B18010872， 故选：C
14、8用扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是 4cm，底面周长是 6cm，则扇形的半径为（ ） A3cm B8cm C6cm D5cm 【分析】首先根据圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径，然后根据勾股定理求得圆锥的母线长就是扇形的半径 解：底面周长是 6cm， 底面的半径为 3cm， 圆锥的高为 4cm， 圆锥的母线长为：5（cm）， 扇形的半径为 5cm， 故选：D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 24 分。请把答案直接填在题中的横线上）分。请把答案直接填在题中的横线上） 9把方程 x26x+30，化为（x+m）2n（其中 m、n 为常数）的
15、形式后为 （x3）26 【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上 9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果 解：x26x+30， 移项得：x26x3， 配方得：x26x+93+9，即（x3）26 故答案为：（x3）26 10关于 x 的方程 x22x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 1 【分析】根据根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次方程，解之即可得出 k 值 解：关于 x 的方程 x22x+k0 有两个相等的实数根， （2）241k0， 解得：k1 故答案为：1 11如图，O 的直径 AB 与弦 CD 相交，ACD60，则BAD 30 【分析】 根据圆周角定
16、理得到ADB90， ABDACD60， 然后利用互余计算BAD 的度数 解：AB 为直径， ADB90， ABDACD60， BAD90ABD30 故答案为 30 12某企业五月份的利润是 25 万元，预计七月份的利润将达到 36 万元设平均月增长率为 x，根据题意所列方程是 25（1+x）236 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率），如果设这个增长率为 x，根据“五月份的利润是 25 万元，预计七月份的利润将达到 36 万元”，即可得出方程 解：设这个增长率为 x， 根据题意可得：25（1+x）236， 故答案为：25（1+x）236 13圆锥母线长为 6，底面
17、半径为 2，则该圆锥的侧面积为 12 （结果用带 的数的形式表示） 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解 解：圆锥的侧面积226212， 故答案为：12 14如图，正方形 ABCD 的边长为 4，以点 A 为圆心，AD 为半径，画圆弧 DE 得到扇形 ADE（阴影部分，点 E 在对角线 AC 上） 若扇形 ADE 正好是一个圆锥的侧面展开图， 则该圆锥的底面圆的半径是 【分析】设该圆锥的底面圆的半径为 r，根据正方形的性质得到DAC45，AD4，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到 2r，然后解方程即可 解：设该圆锥的底面圆
18、的半径为 r， 四边形 ABCD 为正方形， DAC45，AD4， 根据题意得 2r，解得 r 故答案为 15已知扇形的圆心角为 150，它所对应的弧长为 20cm，则此扇形的面积是 240 cm2 【分析】首先根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求解 解：设扇形的半径是 R，由题意得：l20， 解得：R24cm， 则扇形的面积 SlR20242410240cm2 故答案是：240 16如图，在 RtAOB 中，OAOB3，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为 2 【分析】首先连接 OP、
19、OQ，根据勾股定理知 PQ2OP2OQ2，可得当 OPAB 时，即线段 PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案 解：连接 OP、OQ PQ 是O 的切线， OQPQ； 根据勾股定理知 PQ2OP2OQ2， 当 POAB 时，线段 PQ 最短， 在 RtAOB 中，OAOB3， ABOA6， OP3， PQ2 故答案为：2 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 11 小题，共小题，共 102 分。解答应写出必要的过程、推演步骤或文字说明）分。解答应写出必要的过程、推演步骤或文字说明） 17计算： （1）3x24x0； （2）x24x+20 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法
20、求解即可 解：（1）3x24x0， x（3x4）0， 解得 x10，x2； （2）x24x+20， x24x+42+4， （x2）22， x2， x12+，x22 18已知关于 x 的方程 x26x+3m40 的一个根是1，求 m 的值和另一个根 【分析】根据方程有根，求出 m 的取值范围，然后将 x1 代入原方程即可求得 m 及另一根的值 解：关于 x 的方程 x26x+3m40 有实数根， 364（3m4）0 m， 把 x1 代入方程得：1+6+3m40， 解得：m1， 将 m1 代入得：x26x70，解得：x1 或 x7， 故 m 的值为1，方程的另一根为 7 19化简并求值，其中 m
21、满足 m2m20 【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出 m 的值代入计算即可求出值 解：原式， 由 m2m20 得，m12，m21， 因为 m1，所以 m2 时，原式 20如图，点 O 为 AB 中点，分别延长 OA 到点 C，OB 到点 D，使 OCOD以点 O 为圆心，分别以 OA，OC 为半径在 CD 上方作两个半圆点 P 为小半圆上任一点（不与点 A，B 重合），连接 OP 并延长交大半圆于点 E，连接 AE，CP （1）求证：AOEPOC； （2）写出1，2 和C 三者间的数量关系，并说明理由 【分析】（1）利用公共角相等，根据 SAS 证明三角形全等便可； （2）由
22、全等三角形得CE，再利用三角形外角性质得结论 解：（1）在AOE 和POC 中， ， AOEPOC（SAS）； （2）1+C2，理由是： AOEPOC， EC， 1+E2， 1+C2 21已知关于 x 的一元二次方程 x2（m+3）x+m+20 （1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根的平方等于 4，求 m 的值 【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于 m 的一元二次方程，求出 m 的值即可； （2）根据题意得到 x2 是原方程的根，将其代入列出关于 m 的新方程，通过解新方程求得 m 的值 【解答】（1）证明：（m+3）24（m+2）（m+1）
23、20， 无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）解：方程有一个根的平方等于 4， x2 是原方程的根， 当 x2 时，42（m+3）+m+20 解得 m0； 当 x2 时，4+2（m+3）+m+20， 解得 m4 综上所述，m 的值为 0 或4 22已知O1经过 A（4，2）、B（3，3）、C（1，1）、O（0，0）四点，一次函数 yx2的图象是直线 l，直线 l 与 y 轴交于点 D （1） 在如图的平面直角坐标系中画出直线 l， 则直线 l 与O1的交点坐标为 （4， 2） 、 （1， 1） ； （2）若O1上存在点 P 使得APD 为等腰三角形，则这样的点 P 有 3 个 【分
24、析】（1）要先在坐标系上找到这些点，再画过这些点的图象； （2）根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等作 AD 的垂直平分线，与圆的交点且是整点的点的坐标就是所求的坐标当 ADPD 时，该点也满足条件 解：（1）先在坐标系中找到 A（4，2），B（3，3）， C（1，1），O（0，0）的坐标，然后画圆，过此四点， 一次函数 yx2，当 x0 时，y2； 当 y0 时，x2，从坐标系中先找出这两点，画过这两点的直线， 即是一次函数 yx2 的图象 该直线与圆的交点是点 A、C，它们的坐标分别是（4，2）、（1，1）； 故答案是：（4，2）、（1，1）； （2）作 AD 的垂直平分线，与圆的交
25、点 P1，P2是所求的点（根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等），以点 D 为圆心，以 DA 为半径画弧，弧与O1的交点是 A 点和 P3点， 故答案是：3 23如图，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得到DBE，点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 的延长线上，连接AD （1）求证：BCAD； （2）若 AB4，BC1，求 A，C 两点旋转所经过的路径长之和 【分析】（1）只要证明CBEDAB60即可， （2）由题意，BABD4，BCBE1，ABDCBE60，利用弧长公式计算即可 【解答】（1）证明：由题意，ABCDBE，且ABDCBE60， ABDB， ABD 是等边三角形， DA
26、B60， CBEDAB， BCAD （2）解：由题意，BABD4，BCBE1，ABDCBE60， A，C 两点旋转所经过的路径长之和+ 24如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，CAB 的平分线 AD 交于点 D，过点 D 作 DEBC交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，连接 BD若 OF1，BF2，求 BD 的长度 【分析】（1）连接 OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出ADODAE，从而 ODAE，由 DEBC 得E90，由两直线平行，同旁内角互补得出ODE90，由切线的判定定理得出答案； （2）先由直径所
27、对的圆周角是直角得出ADB90，再由 OF1，BF2 得出 OB 的值，进而得出AF 和 BA 的值，然后证明DBFABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得 BD2的值，求算术平方根即可得出 BD 的值 解：（1）连接 OD，如图， OAOD， OADADO， AD 平分CAB， DAEOAD， ADODAE， ODAE， DEBC， E90， ODE180E90， DE 是O 的切线； （2）AB 是O 的直径， ADB90， OF1，BF2， OB3， AF4，BA6 DFAB， DFB90， ADBDFB， 又DBFABD， DBFABD， ， BD2BFBA2612 BD2 解法二
28、：利用勾股定理求出 DF，再利用勾股定理求出 BD 即可 25某水果店购进一批优质水果，进价为 10 元/千克，售价不低于 15 元/千克，且不超过 40 元/每千克，根据销售情况，发现该水果在一天内的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系 销售量 y（千克） 32.5 35 35.5 38 售价 x（元/千克） 27.5 25 24.5 22 （1）某天这种水果售价为 28 元/千克，求当天该水果的销售量； （2）如果水果店该天获利 400 元，那么这天水果的售价为多少元？ 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法可求出 y 与 x 之间的函
29、数关系式，再代入 x28 求出与之对应的 y 值即可得出结论； （2）根据总利润每千克的利润日销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论 解：（1）设该一次函数解析式为 ykx+b（k0）， 将（25，35），（22，38）代入 ykx+b，得：， 解得：， yx+60（15x40） 当 x28 时，y28+6032 答：当水果售价为 28 元/千克时，当天该水果的销售量为 32 千克 （2）依题意，得：（x10）（x+60）400， 整理，得：x270 x+10000， 解得：x120，x250（不合题意，舍去） 答：这天水果的售价为 20 元 26如图，A（5，0
30、），B（3，0），点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO45，CDABCDA90点P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时时间 t 秒 （1）求点 C 的坐标； （2）当BCP15时，求 t 的值； （3）以点 P 为圆心，PC 为半径的P 随点 P 的运动而变化，当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值 【分析】（1）由CBO45，BOC 为直角，得到BOC 为等腰直角三角形，又 OB3，利用等腰直角三角形 COB 的性质知 OCOB3，然后由点 C 在 y 轴的正半轴可以确定点 C 的坐标； （2）需要对点 P 的位置进行
31、分类讨论：当点 P 在点 B 右侧时，如图 2 所示，由BCO45，用BCOBCP 求出PCO 为 30，又 OC3，在 RtPOC 中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出 OP 的长，由 PQOQ+OP 求出运动的总路程，由速度为 1 个单位/秒，即可求出此时的时间t；当点 P 在点 B 左侧时，如图 3 所示，用BCO+BCP 求出PCO 为 60，又 OC3，在 RtPOC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出 OP 的长，由 PQOQ+OP 求出运动的总路程，由速度为 1 个单位/秒，即可求出此时的时间 t； （3）当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相
32、切时，分三种情况考虑： 当P 与 BC 边相切时， 利用切线的性质得到 BC 垂直于 CP， 可得出BCP90， 由BCO45，得到OCP45，即此时COP 为等腰直角三角形，可得出 OPOC，由 OC3，得到 OP3，用OQOP 求出 P 运动的路程，即可得出此时的时间 t； 当P 与 CD 相切于点 C 时，P 与 O 重合，可得出 P 运动的路程为 OQ 的长，求出此时的时间 t； 当P 与 AD 相切时，利用切线的性质得到DAO90，得到此时 A 为切点，由 PCPA，且 PA9t，POt4，在 RtOCP 中，利用勾股定理列出关于 t 的方程，求出方程的解得到此时的时间 t 综上，得
33、到所有满足题意的时间 t 的值 解：（1）BCOCBO45， OCOB3， 又点 C 在 y 轴的正半轴上， 点 C 的坐标为（0，3）； （2）分两种情况考虑： 当点 P 在点 B 右侧时，如图 2， 若BCP15，得PCO30， 故 POCOtan30，此时 t4+； 当点 P 在点 B 左侧时，如图 3， 由BCP15，得PCO60， 故 OPCOtan603， 此时，t4+3， t 的值为 4+或 4+3； （3）由题意知，若P 与四边形 ABCD 的边相切时，有以下三种情况： 当P 与 BC 相切于点 C 时，有BCP90， 从而OCP45，得到 OP3，此时 t1； 当P 与 CD
34、 相切于点 C 时，有 PCCD，即点 P 与点 O 重合，此时 t4； 当P 与 AD 相切时，由题意，得DAO90， 点 A 为切点，如图 4，PC2PA2（9t）2，PO2（t4）2， 于是（9t）2（t4）2+32，即 8118t+t2t28t+16+9， 解得：t5.6， t 的值为 1 或 4 或 5.6 27箭头四角形 模型规律 如图 1，延长 CO 交 AB 于点 D，则BOC1+BA+C+B 因为凹四边形 ABOC 形似箭头，其四角具有“BOCA+B+C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形” 模型应用 （1）直接应用：如图 2，A+B+C+D+E+F 2 如图 3，
35、ABE、ACE 的 2 等分线（即角平分线）BF、CF 交于点 F，已知BEC120，BAC50，则BFC 85 如图 4，BOi、COi分别为ABO、ACO 的 2019 等分线（i1，2，3，2017，2018）它们的交点从上到下依次为 O1、O2、O3、O2018已知BOCm，BACn，则BO1000C （m+n） 度 （2）拓展应用：如图 5，在四边形 ABCD 中，BCCD，BCD2BADO 是四边形 ABCD 内一点，且 OAOBOD求证：四边形 OBCD 是菱形 【分析】（1）由A+B+CBOC，D+E+FDOE 可得答案； 由BECEBF+ECF+F，FABF+ACF+A 且E
36、BFABF，ECFACF 知BECFA+F，从而得F，代入计算可得； 由BOCOBO1000+OCO1000+BO1000C（ABO+ACO）+BO1000C，BO1000CABO1000+ACO1000+BAC（ABO+ACO）+BAC 知ABO+ACO（BO1000CBAC），代入BOC（ABO+ACO）+BO1000C 得BOC（BO1000C BAC） +BO1000C，据此得出BO1000C（BOC+BAC） BOC+BAC，代入可得答案； （2） 由OABOBA，OADODA 知BODBAD+ABO+ADO2BAD，结合BCD2BAD 得BCDBOD，连接 OC，根据全等三角形的判
37、定和性质以及菱形的判定解答即可 解：（1）如图 2， 在凹四边形 ABOC 中，A+B+CBOC， 在凹四边形 DOEF 中，D+E+FDOE， A+B+C+D+E+F2； 如图 3， BECEBF+ECF+F，FABF+ACF+A，且EBFABF，ECFACF， BECFA+F， F， BEC120，BAC50， F85； 如图 3， 由题意知ABO1000ABO，OBO1000ABO， ACO1000ACO，OCO1000ACO， BOCOBO1000+OCO1000+BO1000C（ABO+ACO）+BO1000C， BO1000CABO1000+ACO1000+BAC（ABO+ACO）
38、+BAC， 则ABO+ACO（BO1000CBAC）， 代入BOC（ABO+ACO）+BO1000C 得BOC（BO1000CBAC）+BO1000C， 解得：BO1000C（BOC+BAC）BOC+BAC， BOCm，BACn， BO1000Cm+n； 故答案为：2；85；（m+n）； （2）如图 5，连接 OC， OAOBOD， OABOBA，OADODA， BODBAD+ABO+ADO2BAD， BCD2BAD， BCDBOD， BCCD，OAOBOD，OC 是公共边， OBCODC（SSS）， BOCDOC，BCODCO， BODBOC+DOC，BCDBCO+DCO， BOCBOD，BCOBCD， 又BODBCD， BOCBCO， BOBC， 又 OBOD，BCCD， OBBCCDDO， 四边形 OBCD 是菱形
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