1、 河南省郑州市中原区河南省郑州市中原区二校联考二校联考九年级上第一次月考数学试卷九年级上第一次月考数学试卷 一、选择题（一、选择题（3 分分1030 分）分） 1 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+4x30 的一次项系数为（ ） A1 B4 C3 D3 2 （3 分）一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了 100 次球，发现有 71 次摸到红球请你估计这个口袋中白球的数量为（ ）个 A29 B30 C3 D7 3 （3 分）下列命题错误的是（ ） A对角线互相平分的四边形是
2、平行四边形 B两组邻边分别相等的四边形是菱形 C矩形的四个内角均为直角 D正方形的两条对角线互相垂直且相等 4 （3 分）一元二次方程 x28x10 配方后可变形为（ ） A （x+4）217 B （x4）217 C （x+4）215 D （x4）215 5 （3 分）下列说法正确的是（ ） A掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为 3 的概率是 B某种彩票中奖的概率是，那么买 10000 张这种彩票一定会中奖 C掷两枚质地均匀的硬币， “两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同 D通过大量重复试验，可以用频率估计概率 6 （3 分）若顺次连接某四边形的四边中
3、点得到一个矩形，则原四边形一定是（ ） A任意四边形 B对角线相等的四边形 C平行四边形 D对角线互相垂直的四边形 7 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx20，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D实数根的个数与实数 b 的取值有关 8 （3 分）要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场计划安排 28 场比赛，应邀请多少 个队参赛（ ） A6 B7 C8 D9 9 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，P 是 AD 上不与 A 和 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD
4、的垂线，垂足为 E，F则 PE+PF 的值为（ ） A2.5 B3 C2.4 D4.8 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC 上，把这个矩形沿 EF 折叠后，使点 D 恰好落在 BC 边上的 G 点处，若矩形面积为 4且AFG60，GE2BG，则折痕 EF 的长为（ ） A1 B C2 D 二、填空题（二、填空题（3 分分515 分）分） 11 （3 分）菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6cm，8cm，则这个菱形的周长是 cm 12 （3 分）若从2，0，1 这三个数中任取两个数，其中一个记为 a，另一个记为 b，则点 A（a，b
5、）恰好落在直线 yx1 上的概率是 13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（m2）x22x+10 有两个实数根，那么 m 的取值范围是 14 （3 分）已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 OE、F 分别是边 AD、CD 上的点，若 AE4cm，CF3cm，且 OEOF，则 EF 的长为 cm 15 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD8，点 E 是边 AD 上的一个动点，把BAE 沿 BE 折叠，点 A 落在 A处，如果 A恰在矩形的某条对称轴上，则 AE 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）分）
6、16 （10 分）解方程： （1） （x1）22x（1x） （2）3x2+5x+10 17 （9 分）某市有 A，B，C，D，E 五个景区很受游客喜爱对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图 （1）该小区居民在这次随机调查中被调查的人数是 人，m ； （2）补全条形统计图，若该小区有居民 1500 人，试估计去 C 景区旅游的居民约有多少人？ （3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从 B，C 两个景点中任意选择一个游玩，乙从 B，C，E 三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率
7、18 （9 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F求证：四边形 AFCE 是菱形 19 （9 分） 小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做 “配紫色” 游戏 （红色和蓝色在一起能配成紫色） ，同时随机转动这两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请列表格画树状图说明理由 20 （9 分）如图，ABC 中，ABAC，D 是 BC 中点，F 是 AC 中点，AN 是ABC 的外角MAC 的角平 分线，延长 DF 交 AN 于点 E，连接 CE （1）求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）填空：
8、 若 BCAB4，则四边形 ABDE 的面积为 当ABC 满足 时，四边形 ADCE 是正方形 21 （9 分）已知关于 x 的一元二次方程 x28x+m0 （1）若 x1 是方程的根，求 m 的值； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长为 3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，求 m 的值 22 （10 分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019 年该类电脑显卡的出厂价是 200 元/个，2020 年，2021 年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021 年该电脑显卡的出
9、厂价调整为 162 元/个 （1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率； （2）2021 年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以 200 元/个销售时，平均每天可销售 20个为了减少库存，该电脑城决定降价销售经调查发现，单价每降低 5 元，每天可多售出 10 个，如果每天盈利 1150 元，单价应降低多少元？ 23 （10 分）如图 1已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 是 AD 边上的一个动点，点 A 关于直线 BP 的对称点是点 Q，连接 PQ、DQ、CQ、BQ，设 APx （1）BQ+DQ 的最小值是 此时 x 的值是 （2）如图 2，若 P
10、Q 的延长线交 CD 边于点 E，并且CQD90 求证：点 E 是 CD 的中点；求 x 的值 （3）若点 P 是射线 AD 上的一个动点，请直接写出当CDQ 为等腰三角形时 x 的值 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（一、选择题（3 分分×1030 分）分） 1 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+4x30 的一次项系数为（ ） A1 B4 C3 D3 【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如 ax2+bx+c0（a，b，c 为常数且 a0） ，一次项系数是 b，即可解答 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+4x30 的一次项系数为 4， 故选：B 【点评】本题考
11、查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键 2 （3 分）一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了 100 次球，发现有 71 次摸到红球请你估计这个口袋中白球的数量为（ ）个 A29 B30 C3 D7 【分析】根据题意，可以计算出红球出现的概率，从而可以得到白球出现的概率，从而可以求得白球的个数，本题得以解决 【解答】解：711000.7， 白球的数量为：10（10.7）100.33（个） ， 故选：C 【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是
12、明确题意，利用概率的知识解答 3 （3 分）下列命题错误的是（ ） A对角线互相平分的四边形是平行四边形 B两组邻边分别相等的四边形是菱形 C矩形的四个内角均为直角 D正方形的两条对角线互相垂直且相等 【分析】根据平行四边形、菱形的判定定理和矩形、正方形的性质判断即可 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意； B、两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如图，ABAD，CBCD，但四边形 ABCD 不是菱形，故本选项命题错误，符合题意； C、矩形的四个内角均为直角，命题正确，不符合题意； D、正方形的两条对角线互相垂直且相等，命题正确，不符合题意； 故选：B 【
13、点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 4 （3 分）一元二次方程 x28x10 配方后可变形为（ ） A （x+4）217 B （x4）217 C （x+4）215 D （x4）215 【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得 【解答】解：x28x10， x28x1， x28x+161+16，即（x4）217， 故选：B 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 5 （3 分）下列说法正确的是（ ） A掷一枚
14、质地均匀的骰子，掷得的点数为 3 的概率是 B某种彩票中奖的概率是，那么买 10000 张这种彩票一定会中奖 C掷两枚质地均匀的硬币， “两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同 D通过大量重复试验，可以用频率估计概率 【分析】根据概率的意义以及随机事件和必然事件的定义对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为 3 的概率是，此选项错误，不符合题意； B某种彩票中奖的概率是，那么买 10000 张这种彩票不一定会中奖，原命题说法是错误的，此选项不符合题意； C连续掷两枚质地均匀的硬币， “两枚硬币都是正面朝上”的概率是， “
15、一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率是，此选项错误，不符合题意； D通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此选项符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查概率公式和列表法与树状图法，解题的关键是掌握概率的意义与概率公式及树状图法与列表法求概率 6 （3 分）若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（ ） A任意四边形 B对角线相等的四边形 C平行四边形 D对角线互相垂直的四边形 【分析】利用中点四边形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论 【解答】解：顺次连接任意四边形的四边中点得到一个平行四边形， A 选项不符合题意； 顺次连接对角线相等的四边形的四边中点得到一个菱
16、形， B 选项的结论不符合题意； 顺次连接一个平行四边形的四边中点得到一个平行四边形， C 选项的结论不符合题意； 顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点得到一个矩形， D 选项的结论正确， 故选：D 【点评】本题主要考查了中点四边形的性质，充分利用中点四边形的性质对每个选项进行逐一判断是解题的关键 7 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx20，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D实数根的个数与实数 b 的取值有关 【分析】先求出“”的值，再根据根的判别式判断即可 【解答】解：x2+bx20， b241（2）b
17、2+8， 不论 b 为何值，b20， 0， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A 【点评】 本题考查了根的判别式， 能熟记根的判别式的内容是解此题的关键， 注意： 一元二次方程 ax2+bx+c0（a、b、c 为常数，a0） ，当 b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b24ac0 时，方程有两个相等的实数根；当 b24ac0 时，方程没有实数根 8 （3 分）要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场计划安排 28 场比赛，应邀请多少个队参赛（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】设邀请 x 个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x1）场球，第二个球队和其他球队打（
18、x2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+x1）场球，然后根据计划安排 28 场比赛即可列出方程求解 【解答】解：设邀请 x 个球队参加比赛， 依题意得 1+2+3+x115， 即28， x2x560， x8 或 x7（不合题意，舍去） 即：应邀请 8 个球队参加比赛 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的应用此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解 9 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，P 是 AD 上不与 A 和 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和
19、BD 的垂线，垂足为 E，F则 PE+PF 的值为（ ） A2.5 B3 C2.4 D4.8 【分析】 连接 OP， 过点 A 作 AGBD 于 G， 利用勾股定理列式求出 BD， 再利用三角形的面积求出 AG，然后根据AOD 的面积求出 PE+PFAG 即可 【解答】解：如图所示，连接 OP，过点 A 作 AGBD 于 G， AB3，AD4， 由勾股定理可得 BD5，SABDABADBDAG， 即345AG， 解得：AG， 在矩形 ABCD 中，OAOD， SAODOAPE+ODPFODAG， PE+PFAG 故 PE+PF2.4 故选：C 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面
20、积，熟练掌握各性质并利用面积法是解题的关键 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC 上，把这个矩形沿 EF 折叠后，使点 D 恰好落在 BC 边上的 G 点处，若矩形面积为 4且AFG60，GE2BG，则折痕 EF 的长为（ ） A1 B C2 D 【分析】由折叠的性质可知，DFGF、HECE、GHDC、DFEGFE，结合AFG60即可得出GFE60，进而可得出GEF 为等边三角形，在 RtGHE 中，通过解含 30 度角的直角三角形及勾股定理即可得出 GE2EC、DCEC，再由 GE2BG 结合矩形面积为 4，即可求出 EC 的长度，根据 EFGE
21、2EC 即可求出结论 【解答】解：由折叠的性质可知，DFGF，HECE，GHDC，DFEGFE GFE+DFE180AFG120， GFE60 AFGE，AFG60， FGEAFG60， GEF 为等边三角形， EFGE FGE60，FGE+HGE90， HGE30 在 RtGHE 中，HGE30， GE2HE2CE， GHHECE GE2BG， BCBG+GE+EC4EC 矩形 ABCD 的面积为 4， 4ECEC4， EC1，EFGE2 故选：C 【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定及性质以及解含 30 度角的直角三角形，根据边角关系及解直角三角形找出 BC4EC、DC
22、EC 是解题的关键 二、填空题（二、填空题（3 分分×515 分）分） 11 （3 分）菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6cm，8cm，则这个菱形的周长是 20 cm 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得 ACBD，OAAC，OBBD，再利用勾股定理列式求出 AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OAAC63cm， OBBD84cm， 根据勾股定理得，AB5cm， 所以，这个菱形的周长4520cm 故答案为：20 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记 12
23、 （3 分）若从2，0，1 这三个数中任取两个数，其中一个记为 a，另一个记为 b，则点 A（a，b）恰好落在直线 yx1 上的概率是 【分析】利用树状图得出所有的情况，从中找到使点 A（a，b）恰好落在直线 yx1 的结果数，再根据概率公式计算可得 【解答】解：画树状图如下 由树状图知，共有 6 个等可能的结果，在直线 yx1 上有（2，1）和（1，2） ， 点 A（a，b）恰好落在直线 yx1 上的概率是 故答案为： 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 m，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 n，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的
24、概率也考查了一次函数的图象上点的坐标特征 13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（m2）x22x+10 有两个实数根，那么 m 的取值范围是 m3 且m2 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于 k 的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为 0 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（m2）x22x+10 有两个实数根， b24ac0， 即：44（m2）0， 解得：m3， 关于 x 的一元二次方程（m2）x22x+10 中 m20， m2， 故答案为：m3 且 m2 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况
25、 14 （3 分）已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 OE、F 分别是边 AD、CD 上的点，若 AE4cm，CF3cm，且 OEOF，则 EF 的长为 5 cm 【分析】连接 EF，根据条件可以证明OEDOFC，则 OEOF，CFDE3Ccm，则 AEDF4，根据勾股定理得到 EF5cm 【解答】解：连接 EF， OEOF EOD+FOD90 四边形 ABCD 是正方形 COF+DOF90 EODFOC 而ODEOCF45 OFCOED， OEOF，CFDE3cm，则 AEDF4， 根据勾股定理得到 EF5cm 故答案为 5 【点评】根据已知条件以及正方形的性
26、质求证出两个全等三角形是解决本题的关键 15 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD8，点 E 是边 AD 上的一个动点，把BAE 沿 BE 折叠，点 A 落在 A处，如果 A恰在矩形的某条对称轴上，则 AE 的长为 或 【分析】分两种情况：过 A作 MNCD 交 AD 于 M，交 BC 于 N，则直线 MN 是矩形 ABCD 的对称 轴，得出 AMBN4，由勾股定理得到 AN3，求得 AM2，再由勾股定理解得 AE 即可； 过 A作 PQAD 交 AB 于 P，交 CD 于 Q；求出EBA30，由含 30角的直角三角形的性质即可得出结果 【解答】解：分两种情况： 如图 1，过 A
27、作 MNCD 交 AD 于 M，交 BC 于 N， 则直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴， AMBNAD4，MNAB5， ABE 沿 BE 折叠得到ABE， AEAE，ABAB5， AN3， AMMNAN532， 由勾股定理得：AE2EM2+AM2， AE2（4AE）2+22， 解得：AE， AE； 如图 2，过 A作 PQAD 交 AB 于 P，交 CD 于 Q， 则直线 PQ 是矩形 ABCD 的对称轴， PQAB，APPB，ADPQBC， AB2PB， PAB30， ABC30， EBA30， AEAEAB； 综上所述：AE 的长为或， 故答案为：或 【点评】本题考查了翻折变换折叠问
28、题，矩形的性质，勾股定理，含 30角的直角三角形的性质等知识；正确理解折叠的性质是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （10 分）解方程： （1） （x1）22x（1x） （2）3x2+5x+10 【分析】 （1）先移项得到（x1）2+2x（x1）0，然后利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式解方程 【解答】解： （1） （x1）22x（1x） ， （x1）22x（x1） ， （x1）2+2x（x1）0， （x1） （x1+2x）0， x10 或 x1+2x0， 所以 x1
29、1，x2； （2）52431130， x， 所以 x1，x2 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了公式法解一元二次方程 17 （9 分）某市有 A，B，C，D，E 五个景区很受游客喜爱对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图 （1）该小区居民在这次随机调查中被调查的人数是 200 人，m 35 ； （2）补全条形统计图，若该小区有居民 1500 人，试估计去 C 景区旅游的居民约有多少人？ （3）甲
30、、乙两人暑假打算游玩，甲从 B，C 两个景点中任意选择一个游玩，乙从 B，C，E 三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率 【分析】 （1）用去 D 景区旅游的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用去到 B 景区旅游的居民数除以总人数可得到 m 的值； （2）先计算出去到 C 景区旅游的居民数，则可补全条形统计图；然后用去 C 景区旅游的居民数的百分比乘以 1500 即可； （3）画树状图展示所有 6 种等可能的结果，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数为 2010%2
31、00（人） ； m%100%35%， 即 m35； 故答案为 200；35； （2）去 C 景区旅游的居民人数为 2002070205040（人） ， 补全统计图如下： 1500300（人） ， 所以估计去 C 景区旅游的居民约有 300 人； （3）画树状图为： 共有 6 种等可能的结果，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为 2， 所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了统计图 18 （9 分）已知：如图，在四边
32、形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F求证：四边形 AFCE 是菱形 【分析】先证AOECOF，根据全等三角形的性质得出 OEOF，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据线段垂直平分线求出 AECE，即可得出答案 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， EAOFCO， 在AOE 和COF 中 AOECOF， OEOF， OAOC， 四边形 AFCE 是平行四边形， EF 是 AC 的垂直平分线， AECE， 平行四边形 AFCE 是菱形 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判
33、定，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是求出 OEOF，综合性比较强，难度适中 19 （9 分） 小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做 “配紫色” 游戏 （红色和蓝色在一起能配成紫色） ，同时随机转动这两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请列表格画树状图说明理由 【分析】将 A 盘中蓝色划分为两部分，将 B 盘中红色也划分为两部分，画树状图列出所有等可能结果， 根据概率公式求出两人获胜的概率即可判断 【解答】解：不公平， 将 A 盘中蓝色部分记为蓝 a、蓝 b，B 盘中红色部分记为红 1、红 2， 画树状图如下： 由树状图可知共有 9 种等可能结果，其中能
34、配成紫色的有 5 种结果， 小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ， 这个游戏对双方不公平 【点评】 本题考查的是游戏公平性的判断 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率， 概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 20 （9 分）如图，ABC 中，ABAC，D 是 BC 中点，F 是 AC 中点，AN 是ABC 的外角MAC 的角平分线，延长 DF 交 AN 于点 E，连接 CE （1）求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）填空： 若 BCAB4，则四边形 ABDE 的面积为 4 当ABC 满足 BAC90 时，四边形 ADCE 是正方形 【分析】 （1）根据
35、 AN 是ABC 外角CAM 的平分线，推得MAE（B+ACB） ，再由BACB，得MAEB，则 ANBC，根据 CEAN，得出四边形 ADCE 为矩形 （2）先证明四边形 ABDE 为平行四边形，由条件可证明ABC 为等边三角形，求出 BD 和 AD 长，则四边形 ABDE 的面积可求出； 由（1）知四边形 ADCE 是矩形，增加条件能使 ADDC 即可 【解答】证明：AN 是ABC 外角CAM 的平分线， MAEMAC， MACB+ACB， ABAC， BACB， MAEB， ANBC， F 为 AC 的中点，D 为 BC 的中点， FDAB， 四边形 ABDE 为平行四边形， AEBD
36、BDCD， AECD， 四边形 ADCE 为平行四边形， ABAC，点 D 为 BC 中点， ADBC， ADAE， DAE90， 四边形 ADCE 为矩形； （2）解：ABAC，D 是 BC 中点，F 是 AC 中点， DFAB， 由（1）知 AEBD， 四边形 ABDE 是平行四边形， BCAB4，ABAC， ABC 是等边三角形， ABD60， D 为 BC 的中点， ADC90，BD2， ， 四边形 ABDE 的面积为 BDAD24， 故答案为：4； 解：答案不唯一，如当BAC90时，四边形 ADCE 是正方形 BAC90，ABAC， ABC 为等腰直角三角形， D 为 BC 的中点，
37、 ADDC， 四边形 ADCE 为矩形， 四边形 ADCE 为正方形 故答案为：BAC90 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键 21 （9 分）已知关于 x 的一元二次方程 x28x+m0 （1）若 x1 是方程的根，求 m 的值； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长为 3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，求 m 的值 【分析】 （1）将 x1 代入原方程即可求出 m 值； （2）由0，求出 m 的取值范围，分两种情况：当 3 是腰时，3 是方程的一个根，把 x3 代入方程可求得
38、m；两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由0 可求出 m16，两种情况都根据三角形的三边关系检验 【解答】解： （1）将 x1 代入 x28x+m0 得，181+m0， 解得 m7； （2）根据题意得824m0，解得 m16， 当 3 是腰时，3 是方程的一个根，把 x3 代入方程得 924+m0， 解得 m15， 此时方程的另一根为 5， 3+35， 三角形存在； 两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根， 0， 则 m16， 此时两根都为 4， 三角形存在， 综上所述，m15 或 16 【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）的根的
39、判别式b24ac掌握当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程没有实数根是解决问题的关键 22 （10 分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019 年该类电脑显卡的出厂价是 200 元/个，2020 年，2021 年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021 年该电脑显卡的出厂价 调整为 162 元/个 （1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率； （2）2021 年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，
40、以 200 元/个销售时，平均每天可销售 20个为了减少库存，该电脑城决定降价销售经调查发现，单价每降低 5 元，每天可多售出 10 个，如果每天盈利 1150 元，单价应降低多少元？ 【分析】 （1）设平均下降率为 x，利用 2021 年该类电脑显卡的出厂价2019 年该类电脑显卡的出厂价（1下降率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设单价应降低 m 元，则每个的销售利润为（38m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值即可得出结论 【解答】解
41、： （1）设平均下降率为 x， 依题意得：200（1x）2162， 解得：x10.110%，x21.9（不合题意，舍去） 答：平均下降率为 10% （2）设单价应降低 m 元，则每个的销售利润为（200m162）（38m）元，每天可售出 20+10（20+2m）个， 依题意得： （38m） （20+2m）1150， 整理得：m228m+1950， 解得：m115，m213 为了减少库存， m15， 答：单价应降低 15 元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 23 （10 分）如图 1已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 是 AD 边上的
42、一个动点，点 A 关于直线 BP 的对称点是点 Q，连接 PQ、DQ、CQ、BQ，设 APx （1）BQ+DQ 的最小值是 此时 x 的值是 （2）如图 2，若 PQ 的延长线交 CD 边于点 E，并且CQD90 求证：点 E 是 CD 的中点；求 x 的值 （3）若点 P 是射线 AD 上的一个动点，请直接写出当CDQ 为等腰三角形时 x 的值 【分析】 （1） BQ+DQ 为点 B 到 D 两段折线的和 由两点间线段最短可知， 连接 DB， 若 Q 点落在 BD 上，此时和最短，且为考虑动点运动，这种情形是存在的，由 APx，则 PD1x，PQx又 PDQ45，所以，即 1x求解可得 x
43、（2）由已知条件对称分析，ABBQBC，则BCQBQC，由BQEBCE90，可得EQCECQ那么若有 QEED，则结论可证再分析新条件CQD90，易得结论求 x，通常都是考虑勾股定理， 选择直角三角形 PDE， 发现 PE， DE， PD 都可用 x 来表示， 进而易得方程， 求解即可 （3）若CDQ 为等腰三角形，则边 CD 比为改等腰三角形的一腰或者底边又 Q 点为 A 点关于 PB 的对称点，则 ABQB，以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，则 Q 点只能在弧 AB 上若 CD 为腰，以点 C 为圆心，以 CD 的长为半径画弧，两弧交点即为使得CDQ 为等腰三角形（CD 为腰）的
44、 Q 点若CD 为底边，则作 CD 的垂直平分线，其与弧 AC 的交点即为使得CDQ 为等腰三角形（CD 为底）的 Q点则如图所示共有三个 Q 点，那么也共有 3 个 P 点作辅助线，利用直角三角形性质求之即可 【解答】 （1）答：， （2）证明：在正方形 ABCD 中， ABBC，ABCD90 Q 点为 A 点关于 BP 的对称点， ABQB，APQB90， QBBC，BQEBCE， BQCBCQ， EQCEQBCQBECBQCBECQ， EQEC 在 RtQDC 中， QDE90QCE， DQE90EQC， QDEDQE， EQED， CEEQED，即 E 为 CD 的中点 解：APx，A
45、D1， PD1x，PQx，CD1 在 RtDQC 中， E 为 CD 的中点， DEQECE， PEPQ+QEx+， ， 解得 x （3）答：CDQ 为等腰三角形时 x 的值为 2，2+ （分析如下：以下内容作答不要求书写） 如图，以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，以点 C 为圆心，以 CD 的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3此时CDQ1，CDQ3都为以 CD 为腰的等腰三角形 作 CD 的垂直平分线交弧 AC 于点 Q2，此时CDQ2以 CD 为底的等腰三角形 以下对此 Q1，Q2，Q3分别讨论各自的 P 点，并求 AP 的值 讨论 Q1，如图作辅助线，连接 BQ1、CQ1，作
46、 PQ1BQ1交 AD 于 P，过点 Q1，作 EFAD 于 E，交BC 于 F BCQ1为等边三角形，正方形 ABCD 边长为 1， ， 在四边形 ABQ1P 中， ABQ130， APQ1150， PEQ1为含 30的直角三角形， PE AE， xAPAEPE2 讨论 Q2，如图作辅助线，连接 BQ2，AQ2，过点 Q2作 PGBQ2，交 AD 于 P，连接 BP，过点 Q2作EFCD 于 E，交 AB 于 F EF 垂直平分 CD， EF 垂直平分 AB， AQ2BQ2 ABBQ2， ABQ2为等边三角形 在四边形 ABQP 中， BADBQP90，ABQ260， APE120 EQ2G
47、DPG18012060， ， EG， DGDE+GE1， PD1， xAP1PD 讨论 Q3，如图作辅助线，连接 BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点 Q3作 BQ3PQ3，交 AD 的延长线于 P，连接 BP，过点 Q1，作 EFAD 于 E，此时 Q3在 EF 上，不妨记 Q3与 F 重合 BCQ1为等边三角形，BCQ3为等边三角形，BC1， ， 在四边形 ABQ3P 中 ABFABC+CBQ3150， EPF30， EPEF AE， xAPAE+PE+2 综上所述，CDQ 为等腰三角形时 x 的值为 2，2+ 【点评】本题第一问非常基础，难度较低第二问因为动点的原因，思路不易找到，这里就需要做题时充分分析已知条件，尤其是新给出的条件其中求边长是勾股定理的重要应用，是很重要的考点第三问是一个难度非常高的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点 Q 找全另外求解各个 P 点也是考察三角函数及勾股定理的综合应用，有着极高的难度
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