1、湖南省长沙市开福区二校联考九年级上第一次月考数学试题一、选择题（每题3分，共30分）1下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）ABCD2新冠病毒的大小为0.000 000 125米，用科学记数法表示为（ ）ABCD3如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）ABCD4已知的直径是8，圆心到直线的距离是3，则直线和的位置关系是（ ）A相离B相交C相切D外切5如图，菱形中，对角线、交于点，为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）A3.5B4C7D14 第3题图 第5题图 第6题图6如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为（ ）A5B4C3D27下列命题中，正确的有（ ）平分弦的
2、直径垂直于弦；三角形的三个顶点确定一个圆；圆内接四边形的对角相等；圆的切线垂直于过切点的半径；A1个B2个C3个D4个8已知点A（，），B（，），C（，）均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ）ABCD9如图，是的直径，上的两点，分别在直径的两侧，且，则的度数为（ ）ABCD10如图，抛物线与x轴交于、两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（ ）A3BCD4 第9题图 第10题图 第12题图二、填空题（每小题3分，共18分）11分解因式：_12如图，是的弦，于点，如果，则的半径为_13若实数，是方程的两个实数根，则_14如图，在平面直角坐标系中，将点P（，
3、）绕原点顺时针旋转得到点，则的坐标为_ 第14题图 第16题图15二次函数的图象向左移2个单位，再向下移3个单位后的解析式为_16如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是_三、解答题（17至19题6分，20、21题8分，22、23题9分，24、25题10分）17计算：18解方程：（1）（2）19已知：在中，（1）找到ABC的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）（2）若的外接圆的圆心到边的距离为8，请求出的面积20如图，是的弦，经过圆心，交于点（1）求证：直线与相切；（2）连接，若，求的长21如图，平面直角坐标系中，直线与直线都经过点，与y轴的交点分别为点，（1）求的
4、面积；（2）点是直线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为a，当以，为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值22某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施经调查发现，如果衬衫每降价5元，商场平均每天就可多售出10件（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天要想盈利1200元，又想尽快减少库存，每件衬衫应降价多少元？23如图，正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、（1）如图1，求证：；（2）当，时，求CMN的面积；（3）当绕点旋转到如图2位置时，线段、
5、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明 图1 图224阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数（，是常数）与（，是常数）满足，则这两个函数为“旋转函数”求函数的旋转函数小明是这样思考的：由函数可知，根据，求出，就能确定这个函数的旋转函数请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数的旋转函数；（2）若函数与互为旋转函数，求的值（3）已知函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点，关于原点的对称点分别是，试求证：经过点，的二次函数与互为“旋转函数”25已知抛物线过点C（0，4），顶点为，与x轴交于，两点如图所示以为直径作圆，记作（1）求抛物线解析式及点
6、坐标；（2）猜测直线与的位置关系，并证明你的猜想；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由湖南省长沙市开福区二校联考九年级上第一次月考数学试题一、选择题（每题3分，共30分）1下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故
7、选：2新冠病毒的大小为0.000 000 125米，用科学记数法表示为（ ）ABCD【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【解析】解：故选：B3如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）ABCD【分析】连接，可得是等边三角形，根据圆周角定理即可得结论【解析】解：如图，连接，根据题意可知：，是等边三角形，故选：4已知的直径是8，圆心到直线的距离是3，则直线和的位置关系是（ ）A相离B相交C相切D外切【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可【解析】解：的直
8、径是8，的半径是4，圆心到直线的距离是3，直线和相交故选：B5如图，菱形中，对角线、交于点，为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）A3.5B4C7D14 第3题图 第5题图 第6题图【分析】根据菱形的四条边都相等求出，再根据菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可【解析】解：菱形的周长为28，为边中点，是的中位线，故选：6如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为（ ）A5B4C3D2【分析】根据旋转的性质可得，可得是等边三角形可得的长【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，是等边三角形故选：7下列命题中，正确的有（ ）平分弦的
9、直径垂直于弦；三角形的三个顶点确定一个圆；圆内接四边形的对角相等；圆的切线垂直于过切点的半径；A1个B2个C3个D4个【分析】根据垂径定理的推论对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断；根据圆内接四边形的性质对进行判断；根据切线的性质对进行判断；【解析】解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以错误；三角形的三个顶点确定一个圆，所以正确；圆内接四边形的对角互补，所以错误；圆的切线垂直于过切点的半径，所以正确；故选：B8已知点A（，），B（，），C（，）均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ）ABCD【分析】求得抛物线对称轴为直线，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得
10、到答案【解析】解：抛物线，抛物线的开口向上，对称轴是直线，抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，点C（，）离对称轴最远，点A（，）离对称轴最近，故选：9如图，是的直径，上的两点，分别在直径的两侧，且，则的度数为（ ）ABCD【分析】利用圆周角定理求出，可得结论【解析】解：，故选：10如图，抛物线与x轴交于、两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（ ）A3BCD4 第9题图 第10题图 第12题图【分析】连接，如图，先解方程得，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，过圆心时，最大，如图，点运动到位置时，最大，然后计算出即可得到线段的最大值【解
11、析】解：连接，如图，当时，解得，则，是线段的中点，为的中位线，当最大时，最大，而过圆心时，最大，如图，点运动到位置时，最大，线段的最大值是故选：二、填空题（每小题3分，共18分）11分解因式：_【分析】先提公因式x，再利用平方差公式进行因式分解即可【解析】解：原式，故答案为：12如图，是的弦，于点，如果，则的半径为_【分析】先根据垂径定理得出，再根据勾股定理求出即可【解析】解：连接，如图所示：，在中，的半径为5，故答案为：513若实数，是方程的两个实数根，则_【分析】根据根与系数的关系得到即可求解【解析】解：实数，是方程的两个实数根，故答案为：814如图，在平面直角坐标系中，将点P（，）绕原点
12、顺时针旋转得到点，则的坐标为_ 第14题图 第16题图【分析】根据题意可得，点P和点关于原点对称，据此求出的坐标即可【解答】解：点P（，）绕原点顺时针旋转得到点，点和点P关于原点对称，点P的坐标为（2，3），点Q的坐标是（，）故答案为：（，）15二次函数的图象向左移2个单位，再向下移3个单位后的解析式为_【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式【解析】解：的顶点坐标为，把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得新抛物线顶点坐标为，平移不改变抛物线的二次项系数，平移后的抛物线的解析式是，即
13、故答案为：16如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是_【分析】作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，此时，点为的最小值时的位置，由垂径定理，为直径，为直径，的最小值是故答案为：8三、解答题（17至19题6分，20、21题8分，22、23题9分，24、25题10分）17计算：【分析】先计算绝对值、零指数幂、负指数幂，最后计算加减即可得到结果；【解析】解：原式；18解方程：（1）（2）【分析】（1）利用十字相乘法求解；（2）先移项，然后利用配方法解题即可
14、【解析】解：（1），或，或；（2）即，或；19已知：在中，（1）找到ABC的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）（2）若的外接圆的圆心到边的距离为8，请求出的面积【分析】（1）作和的垂直平分线，交点即为的外接圆的圆心（2）根据垂径定理以及勾股定理，即可得到的长，进而得出的面积【解析】解：（1）如图，即为所画的图形（2）设线段的垂直平分线交于点由题意，在中，20如图，是的弦，经过圆心，交于点（1）求证：直线与相切；（2）连接，若，求的长【分析】（1）连接，通过计算得到，证明与相切（2）是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出的长【解析】解：（1）证明：如图，连接
15、，所以直线与相切（2）连接，又是等边三角形，即：，21如图，平面直角坐标系中，直线与直线都经过点，与y轴的交点分别为点，（1）求的面积；（2）点是直线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为a，当以，为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值【分析】（1）构建方程组求出点坐标，由待定系数法求出、两点坐标即可解决问题；（2）构建，构建方程即可解决问题；【解析】解：（1）由题意，由，解得，（2）由题意，四边形，为顶点的四边形为平行四边形，或22某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施经调查发现，如果衬衫每降价5元，
16、商场平均每天就可多售出10件（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天要想盈利1200元，又想尽快减少库存，每件衬衫应降价多少元？【分析】（1）根据降价4元求出每天盈利的钱即可；（2）设每件衬衫降价元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果【解析】解：（1）（元，（元答：商场平均每天可盈利1008元；（2）设每件衬衫应降价元依题意得，解得，因为尽快减少库存，所以答：若商场每件衬衫降价4元，商场每天可盈利1008元，每件衫应降价20元23如图，正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、（1）如图1，求证：；（2）当，时，求CMN的面积；
17、（3）当绕点旋转到如图2位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明 图1 图2【分析】（1）分别证明、，根据全等三角形的性质解答；（2）先求出CM、CN的长度，然后利用面积求解即可；（3）在线段上截取，判断出，即可得出结论【解析】解：（1）证明如下：如图2，在的延长线上，截取，连接，在和中，在和中，又，；（2）又（1）可知设，则，由勾股定理得：解得：当时，当时，CMN的面积为：（3）理由：如图3，在线段上截取，连接，在与中，在和中，24阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数（，是常数）与（，是常数）满足，则这两个函数为“旋转函数”求函
18、数的旋转函数小明是这样思考的：由函数可知，根据，求出，就能确定这个函数的旋转函数请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数的旋转函数；（2）若函数与互为旋转函数，求的值（3）已知函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点，关于原点的对称点分别是，试求证：经过点，的二次函数与互为“旋转函数”【分析】（1）由二次函数的解析式可得出，的值，结合“旋转函数”的定义可求出，的值，此问得解；（2）由函数与互为“旋转函数”，可求出，的值，将其代入即可求出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，结合对称的性质可求出点，的坐标，由点，的坐标，利用交点式可求出过点，的二次函数解析式，由两函数的
19、解析式可找出，的值，再由，可证出经过点，的二次函数与函数互为“旋转函数”【解析】解：（1）由函数可知，函数的“旋转函数”为；（2）与互为“旋转函数”，解得：，（3）证明：当时，点的坐标为当时，解得：，点的坐标为，点的坐标为点，关于原点的对称点分别是，设过点，的二次函数解析式为，将代入，得：，解得：，过点，的二次函数解析式为，即，经过点，的二次函数与函数互为“旋转函数”25已知抛物线过点C（0，4），顶点为，与x轴交于，两点如图所示以为直径作圆，记作（1）求抛物线解析式及点坐标；（2）猜测直线与的位置关系，并证明你的猜想；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由【分析】（1）将点C的坐标代入求解即可；（2）按切线证明方法证明；【解析】解：（1）抛物线过点，解得：，抛物线的解析式为，令，则，解得：或，；（2）猜测直线与相切；理由如下：证明由（1）可知OD=3，点在圆上；如图，连接、，由抛物线，可知：，又是半径，直线与相切；，又是半径，直线与相切；（3）存在，理由如下：设坐标为（，），点P的坐标为（，），PC=PC，PCPC，点C（0，4）解得：或点P的坐标为（，）或（，）
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