2022年黑龙江省哈尔滨市南岗区三模数学试卷（含答案解析）

1、2022年黑龙江省哈尔滨市南岗区三模数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1. 的相反数为（ ）A. B. C. D. 2. 下列运算一定正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 4. 如图是一个由3个相同的正方体组成的立体图形,则它的主视图为（ ）A B. C. D. 5. 将抛物线经过下面的平移可得到抛物线的是（ ）A. 向右平移3个单位，向下平移4个单位B. 向右平移3个单位，向上平移4个单位C 向左平移3个单位，向下平移4个单位D. 向左平移3个单位，向上平移4个单位6. 下列四个命题：一个

2、锐角的补角比它的余角大90；两直线平行，同旁内角相等；一个数的算术平方根一定比这个数小；平分弦的直径垂直于这条弦其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 37. 在反比例函数的图象的每一支上，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 在中，则的值为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，是的外接圆，于点D，则的直径为（ ）A. B. 8C. D. 1210. 如图，点E在菱形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于点F，则下列式子一定正确的是（ ）A. B. C. D. 第卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共计30分）11. 到20

3、20年底我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，将数据98990000科学记数法表示为_12. 在函数中，自变量的取值范围是_13. 计算的结果是_14. 把多项式分解因式结果是_15. 不等式组的解集是_16. 若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为_17. 已知扇形的半径为4cm，圆心角为120，则此扇形的弧长是_cm18. 如图，内接于，BD为切线，连接AD，若AD经过圆心O，且，则的大小为_度19. 在中，点D为直线AB上一点，连接CD，若，则线段BD的长为_20. 如图，在中，点D为内一点，连接AD，

4、将绕点C按逆时针方向旋转，使AC与BC重合，点D对应点为点E，连接DE交BC于点F，则线段BF的长为_三、解答题（其中2122题各7分，2324题各8分，2527题各10分，共计60分）21. 先化简,再求值:，其中x=2(tan 45-cos 30).22. 图1、图2均是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，线段AB的端点A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上（1）在图1中，以AB为底边画一个等腰；（2）在图2中，以AB为一边画一个面积为7的23. 学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠

5、时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：，B：，C：，D：），并绘制成如下两幅不完整的统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的大小为_度；（2）通过计算将条形统计图补充完整；（3）小明所在学校共有1600名学生，估计该校最近一周有多少名学生睡眠时长不足8小时？24. 已知四边形ABCD中，连接AC，BD交于点E，过点A作交BD于点F，连接CF（1）如图1，求证：四边形ABCF为菱形；（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形（等边三角形除外）25. 甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此

6、项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天?26. 已知中，是的外接圆，DE为的直径（1）如图1，求证：；（2）如图2，AB交DE于点F，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，作直径AG，连接EG交AC于点H，连接BH，若的面积是8，求线段BC的长27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，

7、经过点的抛物线与x轴的正半轴交于点A（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，且点P在抛物线对称轴的右侧，连接OP，AP，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，当时，连接BP，点C为线段OA上的一点，过点C作x轴的垂线交BP的延长线于点D，连接OD，BC，若，求点C的坐标2022年黑龙江省哈尔滨市南岗区三模数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1. 的相反数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据相反数的概念解题即可【详解】的相反数为，故选：D【点睛】本题主要考

8、查相反数，掌握相反数的概念是关键2. 下列运算一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案即可【详解】A.与不是同类项，不能合并，故A错误；B.，故B错误；C.，故C正确；D.，故D错误故选：C【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则，是解题关键3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，

9、这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴【详解】A是轴对称图形，故A符合题意；B不是轴对称图形，故B不符合题意；C不是轴对称图形，故C不符合题意；D是轴对称图形，故D不符合题意故选：A【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合4. 如图是一个由3个相同的正方体组成的立体图形,则它的主视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】【详解】解：从正面看第一列有2个正方形，第二列右下方有1个正方形故选A5. 将抛物线经过下面的平移可得到抛物线的是（ ）A. 向右平移3个单位，向下平移4个单位B. 向右平移3个单位，向上平移4个单

10、位C. 向左平移3个单位，向下平移4个单位D. 向左平移3个单位，向上平移4个单位【答案】D【解析】【分析】根据函数平移口诀：左加右减，上加下减，依次检验各选项即可得到正确答案【详解】解：A、将抛物线向右平移3个单位，向下平移4个单位，得到抛物线，不符题意；B、将抛物线向右平移3个单位，向上平移4个单位，得到抛物线，不符题意；C、将抛物线向左平移3个单位，向下平移4个单位，得到抛物线，不符题意；D、将抛物线向左平移3个单位，向上平移4个单位，得到抛物线，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了函数的平移，正确掌握平移口诀是解题的关键6. 下列四个命题：一个锐角的补角比它的余角大90；两直线平行，同

11、旁内角相等；一个数的算术平方根一定比这个数小；平分弦的直径垂直于这条弦其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】设这个锐角为，根据这个锐角的余角为90-，补角为180-， 180-（90-）=90，得到一个锐角的补角比它的余角大90是真命题：根据两直线平行，同旁内角互补，得到两直线平行，同旁内角相等是假命题；根据，而0.10.01，得到一个数的算术平方根一定比这个数小是假命题；根据平分的弦是直径时，两条直径不一定垂直，得到平分弦的直径垂直于这条弦是假命题【详解】解：一个锐角的补角比它的余角大90；设这个锐角为，则这个锐角的余角为90-，补角为180-，这

12、个锐角的补角比它的余角大：180-（90-）=90，故一个锐角的补角比它的余角大90是真命题：两直线平行，同旁内角相等；两直线平行，同旁内角互补，故两直线平行，同旁内角相等是假命题；一个数的算术平方根一定比这个数小；，而0.10.01，故一个数的算术平方根一定比这个数小是假命题；平分弦的直径垂直于这条弦；当平分的弦是直径时，两条直径不一定垂直，故平分弦的直径垂直于这条弦是假命题故选：B【点睛】本题主要考查了判断真命题和假命题，解决问题的关键是熟练掌握真命题和假命题的定义，判断真命题用推理的方法，判断假命题用举反例的方法7. 在反比例函数的图象的每一支上，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（

13、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据y随x的增大而增大判断出k-3的符号，求出k的取值范围即可【详解】反比例函数的图象每一支上，y随x的增大而增大，k-30，解得k3故选：A【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线，当双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大8. 在中，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正切的定义解答即可【详解】解：C=90，BC6，AC8，故选：B【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键9. 如图，是的外接圆，于点D，则的直径为（ ）A.

14、B. 8C. D. 12【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理求出，再根据垂径定理和30所对直角边是斜边的一半计算即可【详解】解：连接AO、CO是的外接圆，又，；O的直径为故选：C【点睛】本题主要考查了圆周角定理和垂径定理的应用，解题的关键是结合所对直角边是斜边的一半计算10. 如图，点E在菱形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于点F，则下列式子一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】A. 根据菱形ABCD中，ADBC，得到，A选项不正确；B. 根据ABCD，得到ABFDEF，推出，B选项不正确；C. 根据，AB=AD，得到，C选项正确；D. 根据，CD=

15、AB，得到，D选项不正确故选：C【详解】A. ；菱形ABCD中，ADBC，故本选项不正确；B. ；ABCD，ABFDEF，故本选项不正确；C. ；，AB=AD，故本选项正确；D. ；，CD=AB，故本选项不正确故选：C本题主要考查了菱形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握菱形的边的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质第卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题3分，共计30分）11. 到2020年底我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，将数据98990000科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其

16、中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：989900009.899107故答案为：9.899107【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值12. 在函数中，自变量的取值范围是_【答案】【解析】【分析】在函数中，分母不为0，则x-30，求出x的取值范围即可.【详解】在函数中，分母不为0，则，即，故答案为：.【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分母不为0是解决本题的关键.13. 计算的结果是_【答案】3【解析】【分

17、析】直接利用算数平方根进行计算即可【详解】解：【点睛】本题考查实数的计算，熟练掌握算术平方根的运算是关键14. 把多项式分解因式的结果是_【答案】5(a-b)2【解析】【分析】先提取公因式5，再根据完全平方公式进行二次分解完全平方公式：a2-2ab+b2=（a-b）2【详解】解：5a2-10ab+5b2，=5（a2-2ab+b2），=5（a-b）2故答案5（a-b）2【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底15. 不等式组的解集是_【答案】【解析】【分析】先解每个不等式，再确定不等式的解集即可详解】解： 由得x2，由得x8，不等式组

18、的解集为2x8；故答案为2x8【点睛】本题考查了不等式组的解法，解题关键是熟练运用解不等式组的方法进行准确计算，会确定不等式组的解集16. 若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为_【答案】【解析】【分析】利用概率公式即可求得答案【详解】解：从甲、乙、丙3位同学中随机选取1人进行在线辅导功课共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种可能，故答案为：【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数17. 已知扇形的半径为4cm，圆心角为120，则此扇形的弧长是_cm【答案】【解析】【详解

19、】由扇形的弧长公式可得：弧长18. 如图，内接于，BD为的切线，连接AD，若AD经过圆心O，且，则的大小为_度【答案】70【解析】【分析】连接OB、BM，利用BD与O相切，可得OBD=90，进而BOD=40，即可得OAB=OBA=20，根据AD过圆心O点，可知AM为O的直径，即有ABM=90，则OAB=20，即有AMB=70，则C可求【详解】连接OB、BM，如图，BD与O相切，OBBD，OBD=90，D=50，BOD=40，AO=BO，OAB=OBA，OAB+OBA=BOD=40，OAB=OBA=20，AD过圆心O点，AM为O的直径，ABM=90，OAB=20，AMB=70，C=70，故答案为

20、：70【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质以及三角形外角的性质等知识，添加辅助线求得AMB=70是解答本题的关键19. 在中，点D为直线AB上一点，连接CD，若，则线段BD的长为_【答案】或【解析】【分析】根据题意，时，点D在AB上或者AB的延长线上当点D在AB上时，过点D作AC的垂线，垂足为E，证明ACBAED，得到，设，解出x与AD的值，求出BD即可；当点D在AB的延长线上时，过点D作DEAC交AC的延长线于E，同理得，设，解出x与AD的值，求出BD即可【详解】根据题意，时，点D在AB上或者AB的延长线上当点D在AB上时，如下图所示：在中，过点D作AC的垂线，垂足为E，（公共角），AC

21、BAED，设，则，解得，当点D在AB的延长线上时，如下图所示：过点D作DEAC交AC的延长线于E，设，则，同理可得，解得，综上：BD的长为或【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形相似的判定以及性质，找到相似三角形并利用对应边成比例求长度，是解答本题的关键20. 如图，在中，点D为内一点，连接AD，将绕点C按逆时针方向旋转，使AC与BC重合，点D的对应点为点E，连接DE交BC于点F，则线段BF的长为_【答案】【解析】【分析】先证，通过全等三角形的性质和已知条件，求得过C作CGDE于点G，解直角三角形，求得AD的长，即得到BE的长，从而在中，求得BF的长【详解】解：将绕点C按逆时针方向旋转，使AC

22、与BC重合，点D的对应点为点E， 绕点C按逆时针方向旋转了，即，在与中，（SAS），如图，过C作CGDE于点G，则在中，在中，在中，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用以上知识，是解题的关键三、解答题（其中2122题各7分，2324题各8分，2527题各10分，共计60分）21. 先化简,再求值:，其中x=2(tan 45-cos 30).【答案】【解析】【详解】试题分析：本题主要考查分式的混合运算以及特殊角的三角函数值，需要先把原式化为最简形式；试题解析： 原式 把代入，22. 图1、图2均是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正

23、方形的边长为1，线段AB的端点A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上（1）在图1中，以AB为底边画一个等腰；（2）在图2中，以AB为一边画一个面积为7的【答案】（1）见解析； （2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，使得，画出图形即可；（2）由四边形ABCD是平行四边形判断，且，通过对边平行且相等找出合适的即可【小问1详解】解：如图所示，为所作等腰三角形【小问2详解】解：如图所示，为所作面积为7的平行四边形【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及平行四边形的性质，熟练掌握和应用等腰三角形和平行四边形的性质是解题的关键23. 学完统计知识后，小明对同

24、学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：，B：，C：，D：），并绘制成如下两幅不完整的统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的大小为_度；（2）通过计算将条形统计图补充完整；（3）小明所在学校共有1600名学生，估计该校最近一周有多少名学生睡眠时长不足8小时？【答案】（1）18 （2）见解析 （3）160人【解析】【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数，用360乘以D组人数所占比例即可；（2）根据四组总人数为40人求出C组人数，从而补全图形；（3）用总人数乘以样本中A组人

25、数所占比例；据概率公式求解【小问1详解】本次调查的学生人数为2255%=40（名），表示D组的扇形圆心角的度数为360=18，故答案为： 18；【小问2详解】C组人数为40-（4+22+2）=12（名），补全图形如下：【小问3详解】（人）答：估计该校最近一周有160名学生睡眠时长不足8小时【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键24. 已知四边形ABCD中，连接AC，BD交于点E，过点A作交BD于点F，连接CF（1）如图1，求证：四边形ABCF为菱形；（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三

26、角形（等边三角形除外）【答案】（1）见解析 （2），【解析】【分析】（1）由题意易证，则有AB=BC，；由平行条件可得四边形ABCF为平行四边形，从而可得它是菱形；（2）由（1）可得、是等腰三角形；由等边三角形的判定与性质易得F是BD的中点，可得、是等腰三角形【小问1详解】在和中， ， 四边形ABCF为平行四边形为菱形【小问2详解】由（1）知，四边形ABCF是菱形，则、是等腰三角形；ABD=60，AB=BFABF是等边三角形AFB=BAF=60FAD=90BAF=30ADB=90ABD=30=FADFA=FD=FB即F是BD的中点，是等腰三角形CF=FD是等腰三角形综上，、是等腰三角形【点睛】

27、本题考查了直角三角形全等的判定与性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，题目不难，但涉及的知识点较多，有一定的综合性25. 甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天?【答案】（1）甲队单独完

28、成此项任务需30天，乙队单独完成此颊任务需20天（2）甲队至少再单独施工3天【解析】【详解】解：（1）设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需(x+10)天，根据题意得，解得，x=20，经检验x=20是原方程的解x+10=30答：甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此颊任务需20天（2）设甲队再单独施工a天 ，解得3，答：甲队至少再单独施工3天（1）设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需（x+10）天，根据“甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同” 列方程即可（2）设甲队再单独施工a天，结合（1）的解和甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，列不

29、等式求解26. 已知中，是的外接圆，DE为的直径（1）如图1，求证：；（2）如图2，AB交DE于点F，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，作直径AG，连接EG交AC于点H，连接BH，若的面积是8，求线段BC的长【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4【解析】【分析】（1）连接OB，OC ，令的半径为r，先由同弧所对的圆周角为圆心角的一半求出，再利用勾股定理求出，即可证明；（2）连接AD，AE，BE先证，再通过导角证明，由等角对等边得出，即可证明；（3）连接AD，AE，BE，BE交AC于点P先证，推出，利用它们的正弦值相等得到，结合求出AE，利用勾股定理求出DE，利用（1）的结论即可

30、求出BC小问1详解】证明：如图，连接OB，OC ，令的半径为r， ，在中，；小问2详解】证明：如图，连接AD，AE，BE，又，；【小问3详解】解：如图，连接AD，AE，BE，BE交AC于点PDE为的直径，又，又 ，AG为的直径，又 ， ， ，在中， ，在中， ， ，在中，由（1）得，【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理、三角函数解直角三角形、等腰三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，利用三角函数由推出是解题的关键27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，经过点的抛物线与x轴的正半轴交于点A（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，且点P在抛物线对称轴的右侧，连

31、接OP，AP，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，当时，连接BP，点C为线段OA上的一点，过点C作x轴的垂线交BP的延长线于点D，连接OD，BC，若，求点C的坐标【答案】（1） （2） （3）点C的坐标为【解析】【分析】（1）将点代入二次函数，求得b的值即可；（2）过点P作轴，垂足为点E，得出点，求得PE的长，再求出点C的坐标，最后求出S与t的函数解析式；（3）过点P作轴，垂足为点E，过点B作轴，垂足为点F，先证明，取OD的中点M，连接BM，CM，再证明，最后求出OC的长即可【小问1详解】点在抛物线图像上，解得抛物线的解析式为【小问2详解】如图1，过点P作轴，垂足为点E点P在抛物线上，点P的横坐标为t，当时，解得，点C在x轴的正半轴上点C的坐标为【小问3详解】如图2，当时，解得，抛物线的对称轴为直线，点P在对称轴的右侧点P的坐标为过点P作轴，垂足为点E，过点B作轴，垂足为点F，FG交EP的延长线于点G又点P的坐标为在中，在中，又取OD的中点M，连接BM，CM，延长BM交x轴于点N，延长CM至点H令，轴，点C的坐标为【点睛】本题是二次函数结合图形的综合题，考查了二次函数、等腰三角形、解直角三角形，综合性很强，解决问题的关键是熟悉掌握解直角三角形