1、2022年江苏省无锡市锡山区九年级三模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的相反数是（ ）A. 3B. C. D. 2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 分式可变形为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A 10B. 15C. 20D. 305. 某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）A 10，15B. 13，15C. 13，20D. 15，156. 如图，O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切
2、于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角BOD的大小为（）A. 108B. 118C. 144D. 1207. 下列说法中，正确的是（ ）A. 若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补B. 相等的角是对顶角C. 三角形的外角等于两个内角的和D 若三条直线两两相交，则共有6对对顶角8. 如图，平行四边形OABC的周长为7，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数的图象经过OABC顶点A和BC的中点M，则k的值为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF有下列四个结论：；四边形AFCE的面积是定值；
3、当时，E为ADC的内心；若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等其中正确的结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（ ）A. B. C. D. 8二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11. 在1、0、这四个数中，无理数是_12. 冠状病毒直径约为纳米，1纳
4、米米，若用科学记数法表示110纳米为_米13. 分解因式：4a216_14. 命题“如果a=b，那么|a|=|b|”的逆命题是_(填“真命题“或“假命题”)15. 已知一次函数的图象经过点和，当函数值时，x的取值范围为_16. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是hvt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）
5、若h12h2，则t1：t2_17. “勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在几何原本中曾对它做了深入研究如图，在ABC中，分别以ABC的三条边为边向外作正方形连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q若，则_，的值为_18. 如图，平面内几条线段满足AB、CD的交点为E，现测得，则CD的长度为_三、解答题（本大题共10小题，共96分请在相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19 （1）计算：；（2）化简：20. （1）解方程：；（2）解不等式组：21. 如图，在ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且满足CEAF（1）求证：ADECBF；（2）连接AC，若A
6、C恰好平分EAF，试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说明理由22. 三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道中，可随机选择其中的一个通过（1）一辆汽车经过此收费站时，选择通道通过的概率是_；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择通道通过的概率（请用画树状图的方法写出分析过程，并求出结果）23. 为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯，我区某校欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了
7、名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度；（2）将条形统计图（图1）补充完整；（3）若该校共有学生2500人，试估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数24. 如图，点、点是直线外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）（1）在图1中，在直线上取点使得；（2）在图2中，在直线上取点使得25. 如图，AB是O的直径，点C、D是O上两点，CE与O相切，交DB延长线于点E，且，连接AC，DC（1）求证：；（2）若，求BE的长度26. 五月，本地新鲜枇杷大量上市，某水果超市从枇杷基地购进了一批、两个品种的枇杷销售，两个品种的枇杷均按的盈利定价销售，前两天的销售情况如下
8、表所示：销售时间销售数量销售额品种品种第一天400斤500斤4000元第二天300斤800斤4700元（1）求该超市购进、两个品种的枇杷的成本价分别是每斤多少元？（2）两天后剩下的品种枇杷是剩下的品种枇杷数量的，但品种枇杷已经开始变坏出现了的损耗该超市决定降价促销：品种枇杷按原定价打9折销售，品种枇杷每斤在原定价基础上直接降价销售假如除损耗的以外，第三天把剩下的枇杷全部卖完，要保证第三天的总利润率不低于，则品种枇杷每斤在原定价基础上最多直接降价多少元？27. 把两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放在平面直角坐标系中，已知，将OCD绕点O顺时针旋转（1）当OCD旋转至如图的位置时，求此时点C的
9、坐标；（2）当OCD旋转至B，C，D三点在一条直线上时，求AC的长；（3）当OCD旋转至OBC的度数最大时，则OAD的面积为 28. 已知，关于x的二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，图像顶点为D，连接AC、BC、BD、CD，满足（1）请直接写出点A、点B的坐标以及a的取值范围；（2）点，点F在AC边上，若直线EF平分ABC的面积，求点F的坐标（用含a的代数式表示）；（3）BCD中CD边上的高是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由2022年江苏省无锡市锡山区九年级三模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的相反
10、数是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据相反数的概念解答即可【详解】解：-3的相反数等于3，故选：A【点睛】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：，解得，故选：B【点睛】本题考查了二次根式、函数的自变量，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键3. 分式可变形为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据分式的性质，分子分母都乘以1，分式的值不变，可得答
11、案：分式的分子分母都乘以1，得.故选D考点：分式的基本性质4. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A. 10B. 15C. 20D. 30【答案】B【解析】【详解】、解：由三视图可知此几何体为圆锥，圆锥的底面半径为3，母线长为5，圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2r=23=6，圆锥的侧面积=lr=65=15，故选B5. 某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）A. 10，15B. 13，15C. 13，20D. 15，15【答案】D【解析】【分
12、析】将五个答题数，从小到大排列，5个数中间的就是中位数，出现次数最多的是众数.【详解】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15，故选D.【点睛】本题考查中位数和众数的概念，熟记概念即可快速解答.6. 如图，O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角BOD的大小为（）A. 108B. 118C. 144D. 120【答案】C【解析】【分析】由题意根据正多边形内角和公式可求出E、D，根据切线的性质可求出OAE、OCD，从而可求出AOC，然后根据圆弧长公式即可判断选项【详解】解：五边形ABCDE是正五边形，EA18010
13、8AB、DE与O相切，OBAODE90，BOD（52）1809010810890144，故选：C【点睛】本题主要考查切线的性质、正五边形的性质以及多边形的内角和公式，熟练掌握切线的性质是解决本题的关键7. 下列说法中，正确的是（ ）A. 若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补B. 相等的角是对顶角C. 三角形的外角等于两个内角的和D. 若三条直线两两相交，则共有6对对顶角【答案】D【解析】【详解】试题分析：A、若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补，错误；B、相等的角是对顶角，错误；C、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故错误；D、若三条直线两两相交，则共有6对对顶角，故正确；故选
14、D考点：命题与定理8. 如图，平行四边形OABC的周长为7，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数的图象经过OABC顶点A和BC的中点M，则k的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作ADx轴于D，MNx轴于N，设OA=a，根据题意得到，解RtADO表示出A、M的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立关于a的方程求解，则可求得A的坐标，从而求得k的值【详解】解：作ADx轴于D，MNx轴于N，四边形OABC是平行四边形，OA=BC，AB=OC，OABC，BCN=AOC=60，设OA=a，OABC的周长为7，AOC=60， ， ， ，M是BC的中点，BC=OA
15、=a，又MCN=60， ， ， ，点A，M都在反比例函数的图象上， ，解得a=2， ， 故选：A【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解题的关键是列出方程求出a的值9. 如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF有下列四个结论：；四边形AFCE的面积是定值；当时，E为ADC的内心；若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等其中正确的结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：FAE=CAF+
16、CAE=CAE+DAE=45，从而可判定正确；由已知及可得CAFDAE，由CAFDAE可得ADE=CDE=45，由正方形的性质可证明ADECDE，可得AE=CE，即可判断；即有EAC=ECA，再由AEC=135可得EAC=ECA=22.5，从而CE、AE分别平分ACD、CAD，即可判定正确；连接BD交AC于点O，由ADE=CDE=45知，点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，由知，点F的运动速度是点E的运动速度的倍，即错误，因而可确定答案【详解】解：四边形ABCD是正方形，AC是对角线，AD=CD，ADC=90，DAC=DCA=ACB=45，AEF是等腰直角三角形，FAE=DA
17、C=45，FAE=CAF+CAE=CAE+DAE=DAC=45，CAF=DAE，故正确；AEF、DAC都是等腰直角三角形， 即，CAF=DAE，CAFDAE，ADE=ACB=45，ADC=90，ADE=CDE=45，在ADE和CDE中，ADECDE(SAS)，AE=CE，EAC=ECA，四边形AECF的面积是定值，故正确；AEC=135，DAC=DCA=45=2EAC=2ECA，CE、AE分别平分ACD、CAD，ADE=CDE=45，DE平分ADC即点E是ADC角平分线的交点，从而是ADE的内心，故正确；如图，连接BD交AC于点O，ADE=CDE=45，当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点
18、F与点C重合时，点E与点D重合，点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，且点F与点E的运动时间相同，即点F与点E的运动速度不相同，故错误故选：C 【点睛】本题是一个综合性较强的题目，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，点的运动路径的确定等知识，熟练运用这些知识是正确解答本题的关键确定点E的运动路径是本题的难点所在10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动作于点G，则运动过程中
19、，AG的最大值为（ ）A. B. C. D. 8【答案】A【解析】【分析】连接OB交PQ于F，过点F作FHOC于H，连接AF，设运动时间为t秒，则由已知易证明BFQOFP，则可得PQ过定点F；再证明OFHOBC，则可求得点F的坐标，进而求得AF的长，则由垂线段最短可确定AG的最大值详解】连接OB交PQ于F，过点F作FHOC于H，连接AF，如图设运动时间为t秒，则BQ=2t，OP=3t，B、C的纵坐标相同，BCOA，BFQOFP，PQ恒过定点FFHBC，OFHOBC，即，由勾股定理得：PQ恒过定点F，且AGPQ，AGAF，AG的最大值为AF，即AG的最大值为故选：A【点睛】本题是动点问题，考查了
20、相似三角形的判定与性质，勾股定理，确定PQ过定点是问题的关键二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11. 在1、0、这四个数中，无理数是_【答案】【解析】【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可【详解】解：-1，0是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；是无理数故答案为：【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如，0.8080080008（每两个8之间依次多1个0）等形式12. 冠状病毒的直径约为纳米，1纳米米，若用科学记数法表示110纳米为_米【答
21、案】【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：110纳米=11010-9米=1.110-7米故答案为：【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10-n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定13. 分解因式：4a216_【答案】4（a+2）（a-2）【解析】【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可【详解】解：4a2-16=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）故答案为：4
22、（a+2）（a-2）【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键14. 命题“如果a=b，那么|a|=|b|”的逆命题是_(填“真命题“或“假命题”)【答案】假命题【解析】【分析】直接利用绝对值的性质进而判断命题的正确性【详解】解：如果a=b，那么|a|=|b|的逆命题是：如果|a|=|b|，则a=b是假命题故答案为：假命题【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确写出逆命题是解题关键15. 已知一次函数的图象经过点和，当函数值时，x的取值范围为_【答案】#【解析】【分析】由点A，B的坐标可得出y随x的增大而减小，结合一次函数y=kx+b的图象经过点A（-3，0）
23、，可得出当y0时，x-3【详解】解：一次函数y=kx+b图象经过点A（-3，0）和B（0，-2），即y随x的增大而减小，k0又一次函数y=kx+b的图象经过点A（-3，0），当y0时，x-3故答案为：x-3【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k0，y随x的增大而增大；k0，y随x的增大而减小”是解题的关键16. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是hvt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，
24、竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）若h12h2，则t1：t2_【答案】【解析】【分析】根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出，结合h12h2，即可求解【详解】解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：hv1t4.9t2，令h=0，或（舍去），图2中的函数解析式为：hv2t4.9t2， 或（舍去），h12h2，=2，即：=或=-（舍去），t1：t2=：=，故答案是：【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图像和性质，二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键17. “勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在几何原本中曾对它做了深入研究如
25、图，在ABC中，分别以ABC的三条边为边向外作正方形连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q若，则_，的值为_【答案】 . . #【解析】【分析】（1）根据题中条件，根据两个三角形全等的判定定理证得，根据全等的性质得出，（2）在（1）的基础上，得到，；设，则可得、及的长，再由证得，得出，即可得出结果【详解】（1）解：四边形、四边形四边形都为正方形，在和中，故答案为：；（2）由（1）可知，设，则，在中，由勾股定理得：，在和中，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键18. 如图，平面内几条线段满足A
26、B、CD的交点为E，现测得，则CD的长度为_【答案】【解析】【分析】延长交于，过作交于，根据“字形”可知，得到相似比，设，在中，根据勾股定理得，结合条件得出，再利用相似比即可求出的长度【详解】解：延长交于，过作交于，如图所示：，,设，则，在中，根据勾股定理得,，解得，解得，故答案为：【点睛】本题考查求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质、三角函数值求线段长、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解决问题的关键三、解答题（本大题共10小题，共96分请在相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）计算：；（2）化简：【答案】（1） ；（2）【解析】【分
27、析】（1）原式首先计算，然后再进行加减运算即可得到答案（2）原式分别运用平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可得到答案【详解】解：（1）=；（2）= =【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键20. （1）解方程：；（2）解不等式组：【答案】（1）x1=6，x2=-1；（2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出x的值即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【详解】解：（1）原方程可化为（x-6）（x+1）=0，x-6=0或x+1=0，解得x1=6，x2=-1；（2）由得，x3，由得，x5，故此不等式组的解集为：
28、x5【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程与解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键21. 如图，在ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且满足CEAF（1）求证：ADECBF；（2）连接AC，若AC恰好平分EAF，试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说明理由【答案】（1）见解析；（2）菱形，证明见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得：ADBC，BD，ABDC，又由再CEAF可得DEBF，再根据SAS可得ADECBF；（2）先证明四边形AECF为平行四边形和AEEC，从而得出结论【详解】（1）四边形ABC
29、D是平行四边形，ADBC，ABDC，BDCEAF，DCCEABAF，即DEBF，在ADE和CBF中，ADECBF（2）四边形AECF是菱形理由如下：如图所示：在ABCD中，ABDC，DCACAB，AC平分EAF，EACCAB，DCAEAC，AEECABDC，CEAF，四边形AECF为平行四边形，又AEEC，四边形AECF为菱形【点晴】考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定，解题关键是熟记其性质和判定22. 三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道中，可随机选择其中的一个通过（1）一辆汽车经过此收费站时，选择通道通过的概率是_；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择通道通过的概
30、率（请用画树状图的方法写出分析过程，并求出结果）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到至少有两辆汽车选择B通道通过的概率【详解】解：（1）在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过一辆汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率为：，故答案为：；（2）画树状图得：共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择通道通过的有4种情况，至少有两辆汽车选择通道通过的概率为【点睛】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键23. 为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯，我区某校欲购
31、进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了 名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度；（2）将条形统计图（图1）补充完整；（3）若该校共有学生2500人，试估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数【答案】（1）200；126 （2）作图见解析 （3）300【解析】【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图中的相关数据求出样本容量，再根据“小说类”的人数求出其在总数中的占比即可求出该项对应的圆心角；（2）根据（1）中得到
32、的喜欢“生活类”的学生数为（人），喜欢“小说类”的学生数为（人），补全条形统计图即可；（3）通过样本中喜欢“社科类”书籍的学生人数占总人数的比例估算该校2500名学生中喜欢“社科类”书籍的学生人数【小问1详解】解：在条形统计图中喜欢“文史类”的学生数是人，在扇形统计图中喜欢“文史类”的学生占比为，从而得到此次调查的样本容量为（人）；在扇形统计图中喜欢“生活类”的学生占比为，从而得到喜欢“生活类”的学生数为（人），则喜欢“小说类”的学生数为（人），喜欢“小说类”的学生占比为，则得到“小说类”所在扇形的圆心角为，故答案为：；【小问2详解】解：由（1）可知，喜欢“生活类”的学生数为（人），喜欢“小说
33、类”的学生数为（人），补全条形统计图如下所示：【小问3详解】解：抽取的名学生中喜欢“社科类”书籍的学生人数占比为，该校2500名学生中喜欢“社科类”书籍的学生人数为（人），答：该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数为人【点睛】本题考查统计问题，涉及到条形统计图与扇形统计图数据关联、求样本容量、扇形统计图某项对应的圆心角、补全条形统计图和用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计相关基础知识及读懂统计图表是解决问题的关键24. 如图，点、点是直线外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）（1）在图1中，在直线上取点使得；（2）在图2中，在直线上取点
34、使得【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析【解析】【分析】（1）如图1，过点作于点，延长，用尺规作，连接交于点，根据线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一的性质可证；（2）如图2，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，根据垂径定理和等腰三角形的三线合一的性质可证；如图3，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，根据垂径定理和等腰三角形的三线合一的性质可证【小问1详解】如图1，过点作于点，延长，用尺规作，连接交于点，由图可知，故点即为所求【小问2详解】如图2，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点， ，点为圆心，垂直平分，如图3，以点为圆
35、心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，点为圆心，垂直平分，点即为所求【点睛】本题考查了作图复杂作图，熟练掌握垂径定理和中垂线的尺规作图，线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一的性质是解本题的关键25. 如图，AB是O的直径，点C、D是O上两点，CE与O相切，交DB延长线于点E，且，连接AC，DC（1）求证：；（2）若，求BE的长度【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到，进而得到 ，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理证明即可；（2）连接BC，证明，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理计算出AB，再利用弦切角定理得到，利用，得到即可求解
36、【小问1详解】证明：连接OC，CE与相切，由圆周角定理得：，；【小问2详解】解：连接BC，AB是的直径，解得：，由勾股定理得：，CE与O相切，【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、弦切角定理，锐角三角函数值的求法，圆周角定理，掌握相关知识是解题的关键26. 五月，本地新鲜枇杷大量上市，某水果超市从枇杷基地购进了一批、两个品种的枇杷销售，两个品种的枇杷均按的盈利定价销售，前两天的销售情况如下表所示：销售时间销售数量销售额品种品种第一天400斤500斤4000元第二天300斤800斤4700元（1）求该超市购进、两个品种的枇杷的成本价分别是每斤多少元？（2）两天后剩下的品种枇杷是
37、剩下的品种枇杷数量的，但品种枇杷已经开始变坏出现了的损耗该超市决定降价促销：品种枇杷按原定价打9折销售，品种枇杷每斤在原定价基础上直接降价销售假如除损耗的以外，第三天把剩下的枇杷全部卖完，要保证第三天的总利润率不低于，则品种枇杷每斤在原定价基础上最多直接降价多少元？【答案】（1）、两个品种的枇杷的成本价分别是4元斤和3.2元斤；（2）降价0.4元【解析】【分析】（1）设枇杷的销售价为每斤元，枇杷售价为每斤元，根据第一天和第二天的销售额列出方程组即可求得，的售价，根据两个品种的枇杷均按的盈利定价销售，求出成本价；（2）设枇杷剩余斤，则枇杷剩余斤，枇杷每斤降价元，求出第三天的总销售额和总成本，即可
38、得到总利润，根据第三天的总利润不低于列出不等式，即可求得【详解】解：（1）设枇杷的销售价为每斤元，枇杷售价为每斤元，则，解得，因为两个品种的枇杷均按的盈利定价销售，则成本价的1.25倍是售价，成本价：（元斤），成本价：（元斤），答：、两个品种的枇杷的成本价分别是4元斤和3.2元斤；（2）设枇杷剩余斤，则枇杷剩余斤，枇杷每斤降价元，第三天总销售额：，第三天总成本：，由题意知总利润不低于，种枇杷最多每斤降0.4元【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，体现了应用意识，找到题目中的等量关系和不等关系是解题的关键27. 把两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放在平面直角坐标系中，已知，
39、将OCD绕点O顺时针旋转（1）当OCD旋转至如图的位置时，求此时点C的坐标；（2）当OCD旋转至B，C，D三点在一条直线上时，求AC的长；（3）当OCD旋转至OBC的度数最大时，则OAD的面积为 【答案】（1） （2） （3）6【解析】【分析】（1）如图中，过点C作CEOA于E，解直角三角形求出OE，CE，可得出结论；（2）要分OCD在y轴左侧还是右侧两种情况：如图中,当在y轴右侧时，过点O作OFBD于F；当在y轴左侧时，过点O作OGBD于点G，首先证明，推出AC=BD，求出BD，即可得出结论；（3）如图中，当OCBC时，OBC的值最大，此时，再证明，即可得出结论【小问1详解】解 如图中，过点
40、C作CEOA于E，绕点O顺时针旋转，【小问2详解】解：如图中，当OCD旋转到y轴右侧时，过点O作OFBD于F，OA=OB，OC=OD，AC=BD，在中，OFCD，OC=OD，当OCD旋转到y轴左侧时，过点O作OGBD于点G，OA=OB，OC=OD，AC=BD，在中，OGCD，OC=OD，综上，AC=【小问3详解】解：当OCBC时，OBC的值最大，此时，过点D作DFx轴于F，过点C作CEOB于E，OC=OD，EC=DF，OB=OA，【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题28. 已
41、知，关于x的二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，图像顶点为D，连接AC、BC、BD、CD，满足（1）请直接写出点A、点B的坐标以及a的取值范围；（2）点，点F在AC边上，若直线EF平分ABC的面积，求点F的坐标（用含a的代数式表示）；（3）BCD中CD边上的高是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）A（3，0），B（1，0）， （2） （3）存在；最大值为1【解析】【分析】（1）先求出A、B、C的坐标，求出当AMB90且M在y轴负半轴上时，OM的长度，结合图形可得ACB90即OCOM，即求出a的取值范围；（2）求出ABC的面积（用a表示），求出直线AC解析式，设AC边上点F横坐标为t，即能用t把F纵坐标及AEF面积表示出来，再根据AEF面积为ABC面积的一半列得方程，即能求出t进而得F的坐标；（3）求出直线BD与y轴的交点P，即能用“水平长与铅垂高的积的一半”求BCD面积又CD可求，所以CD边上的高h也能用a的式子表示根据第（1）题求出a的范围和不等式性质，即能求出h的取值范围，得到h的最大值【小问1详解】解：当yax2
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