1、2022年广东省中山市初中毕业班学业水平考试三模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 3的相反数是（ ）A. B. C. D. 2. 解决全人类温饱问题是“世界杂交水稻之父”袁隆平的毕生追求，2021年中国早稻总产量达到28020000吨，是世界粮食第一大国将28020000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列图形中是轴对称图形是（ ）A. B. C. D. 4. 若在一组数据2，2，3，4，4中添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是（ ）A. 3B. 4C. 3.5D. 4.55. 若a是的一个根，则的值是（ ）A.
2、5B. 6C. 7D. 86. 已知一个正多边形的一个内角是144，则这个正多边形的边数是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 127. 如图，在中，以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交AC的延长线和BC于点D、E，分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧交于点F，连接CF，若，则的度数是（ ）A 25B. 30C. 40D. 508. 如图，AB是的直径，若，则BC长等于（ ）A. 4B. 5C. D. 9. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（ ）A.
3、 B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，ABC的边ABx轴，A（2，0），C（4，1），二次函数yx22x3的图象经过点B将ABC沿x轴向右平移m（m0）个单位，使点A平移到点A，然后绕点A顺时针旋转90，若此时点C的对应点C恰好落在抛物线上，则m的值为（）A. +1B. +3C. +2D. 2+1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11 因式分解:3ax - 9ay = _ .12. 已知等腰三角形的两边a，b的长满足，则该等腰三角形的周长为_13. 易经是中华民族聪明智慧的结晶如图是易经中的一种卦图，每一卦由三根线组成（线形为“”或”）从图中任选一卦，这一卦中恰
4、有2根“”和1根“”的概率是_14. 如图，小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，接着将该活动学具调成图2所示正方形，测得正方形的对角线，则图1中对角线AC的长为_15. 如图，在扇形ABC中，若以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是_16. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，顶点和在反比例函数的图象上，且对角线轴，则的面积等于_17. 如图，M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是M上的任意一点，PAPB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为
5、_三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18. 解不等式组，并写出它的最大整数解19. 在直角坐标系中，把横、纵坐标都为整数点称为整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形如图，已知整点，请在所给网格中按要求画三角形（1）在图1中画出一个整点，使得点P在第一象限，横、纵坐标之和等于5，且点A在的外部（2）在图2中画出一个整点，使得点Q在第一象限，横、纵坐标的平方和等于17，且点A在的内部20. 为了了解某小学某年级500名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数分布直方图，图中的a，b满足关系
6、式由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题（1）求出a、b的值；（2）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少？四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”（1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点求证：（2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分22. 某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯
7、的销售单价比A款保温杯多10元，用1200元购买B款保温杯的数量与用960元购买A款保温杯的数量相同（1）A、B两款保温杯销售单价各是多少元？（2）由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，A款保温杯的进价为每个30元，B款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？23. 如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点，点C在反比例函数的图象上（1）求反比例函数的表达式；（2）将平行四边形ABCD向上平移得到平行四边形EFGH，使点
8、F在反比例函数的图象上，GH与反比例函数图象交于点M连接AE，求AE的长及点M的坐标五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24. 如图，是外接圆，AB为的直径，P为圆外一点，连接PC、PB，且满足，连接PO并延长交于E、F两点（1）求证：PB是的切线；（2）证明：；（3）过点E作EG垂直AB交于点G，连接BE，若，求的值25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点，过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得的面积最大，求出点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，求的最小
9、值，并求出此时点M的坐标2022年广东省中山市初中毕业班学业水平考试三模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 3的相反数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0【详解】根据相反数的定义可得：3的相反数是3，故选D【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键2. 解决全人类温饱问题是“世界杂交水稻之父”袁隆平的毕生追求，2021年中国早稻总产量达到28020000吨，是世界粮食第一大国将28020000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D.
10、 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】解：28020000，故选：C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称
11、轴进行分析即可【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形故选：B【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合4. 若在一组数据2，2，3，4，4中添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是（ ）A. 3B. 4C. 3.5D. 4.5【答案】A【解析】【分析】添加一个数后平均数不变，则添加的数就是前五个的平均数，再将这新的六个数的数据从小到大排列
12、，得到中位数即可【详解】原5个数据的平均数：则添加的数为3将新的6个数据按顺序排列：2，2，3，3，4，4中间位置两个数：3，3中位数：【点睛】本题考查平均数，中位数，关键点是得出添加的数就是平均数，注意求中位数时，若中间位置两个数，中位数取两个数的平均值5. 若a是的一个根，则的值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】直接把a的值代入得出a2-2a=7，再整体代入即可得出答案【详解】解：a是方程x22x7=0的一个根，a2-2a-7=0，即a2-2a=7，a2-2a+1=7+1=8故选：D【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x=a代入方程得出a2
13、-2a=76. 已知一个正多边形的一个内角是144，则这个正多边形的边数是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】【分析】根据正多边形的内角公式“”进行计算即可得【详解】解：由题意得，即这个正多边形的边数是10，故选B【点睛】本题考查了正多边形的内角，解题的关键是掌握正多边形的内角公式7. 如图，在中，以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交AC的延长线和BC于点D、E，分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧交于点F，连接CF，若，则的度数是（ ）A. 25B. 30C. 40D. 50【答案】C【解析】【分析】由题意得CF是BCD的角平分线，结合平行线、三角形外角可得A与B
14、的关系，即可得到答案【详解】解：由题意得CF是BCD的角平分线，BCFDCF，又，BBCFDCF，又ABBCD即AB2BABB40故选：C【点睛】本题考查三角形外角，角平分线、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键8. 如图，AB是的直径，若，则BC长等于（ ）A. 4B. 5C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据AB是O的直径，直径所对的圆周角是直角，得到ACB=90，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，得到A=60，继而求得ABC=30，即可求得BC的长【详解】解：AB是O的直径，ACB=90，A=D=60，ABC=90-A=30，AC=2，AB=2AC=4BC=故选
15、：D【点睛】本题考查了圆周角定理与含30角的直角三角形解决此题的关键是熟练掌握圆周角定理与含30角的直角三角形的边的性质9. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，的长，从而可发现规律，根据规律即可求得【详解】解：四边形ABCD是矩形，按逆时针方向作矩形ADCB的相似矩形，矩形的边长和矩形ADCB的边长的比为，即， ，依此类推， 故选：A【点睛】本题考查了矩形的性质，勾
16、股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律10. 如图，在平面直角坐标系中，ABC的边ABx轴，A（2，0），C（4，1），二次函数yx22x3的图象经过点B将ABC沿x轴向右平移m（m0）个单位，使点A平移到点A，然后绕点A顺时针旋转90，若此时点C的对应点C恰好落在抛物线上，则m的值为（）A. +1B. +3C. +2D. 2+1【答案】C【解析】【分析】作CDAB于D，CDAB于D，先根据已知条件求出点B坐标，由A、B、C三点坐标可得CD2，AD1设点A（2，0）向右平移m个单位后得点A（m0），则点A坐标为（m2，0）进而表示出点C的坐标为（m1，2），最后将C坐
17、标代入二次函数解析式中计算即可得到点C坐标【详解】解：作CDAB于D，CDAB于D，ABx轴，二次函数yx22x3的图象经过点B，点B（2，5）A（2，0），C（4，1），CD2，AD1设点A（2，0）向右平移m个单位后得点A（m0），则点A坐标为（m2，0）ADAD1，CDCD2，点C坐标为（m1，2），又点C在抛物线上，把C（m1，2）代入yx22x3中，得：（m1）22（m1）32，整理得：m24m20解得：m12+，m22（舍去）故选：C【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特点，平移的性质，解一元二次方程，正确理解平移的性质是解题的关键二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28
18、分）11. 因式分解:3ax - 9ay = _ .【答案】【解析】【分析】提公因式即可.【详解】解：原式= 故答案为：.【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法因式分解是解题的关键.12. 已知等腰三角形的两边a，b的长满足，则该等腰三角形的周长为_【答案】13或14【解析】【分析】根据非负数之和为0，则每一项都为0，得到a，b的值，再根据等腰三角形，哪条边是腰，分情况讨论，即可【详解】依题意：解得：4为腰：4，4，5周长：4+4+5=135为腰：4，5，5周长：4+5+5=14故答案为：13或14【点睛】本题考查非负数之和为零，注意还要分类讨论以哪条边为等腰三角形腰13. 易经是中华民族
19、聪明智慧的结晶如图是易经中的一种卦图，每一卦由三根线组成（线形为“”或”）从图中任选一卦，这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率是_【答案】【解析】【分析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦中恰有2根“”和1根“”的基本事件个数m=3，由概率公式即可得出答案【详解】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦中恰有2根 “”和1根“”的基本事件个数m=3，任选一卦，这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率是，故答案为：【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数14. 如图，小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱
20、形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，接着将该活动学具调成图2所示正方形，测得正方形的对角线，则图1中对角线AC的长为_【答案】【解析】【分析】如图1，2中，连接AC在图2中，由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明ABC等边三角形即可解决问题【详解】解：如图1，2中，连接AC在图2中，四边形ABCD正方形，AB=BC，B=90，AC=30，AB=BC=，在图1中，BAD=120，B=60，且BA=BC，ABC是等边三角形，AC=BC=，故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型15. 如图，在扇形ABC中
21、，若以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是_【答案】【解析】【分析】连接AD，根据等边三角形的判定得出DAC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DAC=DCA=60，求出阴影部分的面积=扇形BAD的面积，再根据扇形的面积公式求出扇形BAD的面积即可【详解】解：连接AD，以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，AB=1，AD=AC=CD=1，ADC是等边三角形，DCA=DAC=60，BAC=90，BAD=BAC-DAC=90-60=30，阴影部分的面积=S扇形BAD=，故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能求出阴影部分的面积
22、=扇形BAD的面积是解此题的关键16. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，顶点和在反比例函数的图象上，且对角线轴，则的面积等于_【答案】10【解析】【分析】作轴于，轴于，于，设AC交y轴于点P，可得四边形AMNC，四边形AMOP，四边形OPNC都是矩形，根据平行四边形的性质得，则，再根据反比例函数系数k的几何意义解答即可【详解】解：作轴于，轴于，于，设AC交y轴于点P，轴，轴，四边形AMNC，四边形AMOP，四边形OPNC都是矩形，顶在反比例函数的图象上，顶点和在反比例函数的图象上，故答案为：10【点睛】本题考查平行四边形的性质，据反比例函数系数k的几何意义，作辅助线把平行
23、四边形的面积转化为两个矩形的面积的和是解题的关键17. 如图，M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是M上的任意一点，PAPB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为_【答案】12【解析】【分析】由RtAPB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交M于点P，当点P位于P位置时，OP取得最小值，据此求解可得【详解】解：连接OP，PAPB，APB=90，AO=BO，AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交M于点P，当点P位于P位置时，OP取得最小值，过点M作MQx轴于点Q， 则OQ=6、MQ=
24、8，OM=10，又MP=4，OP=6，AB=2OP=12，故答案为：12【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18. 解不等式组，并写出它的最大整数解【答案】，最大整数解为1【解析】【分析】求得不等式组解集后，根据解集即可得出最大整数解【详解】解：解得：， 解得：，不等式组的解集为：，不等式组的最大整数解为1【点睛】本题考查解不等式组掌握取不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小是无解”是解题关键19. 在直角坐标系中，把横、纵坐标都
25、为整数的点称为整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形如图，已知整点，请在所给网格中按要求画三角形（1）在图1中画出一个整点，使得点P在第一象限，横、纵坐标之和等于5，且点A在的外部（2）在图2中画出一个整点，使得点Q在第一象限，横、纵坐标的平方和等于17，且点A在的内部【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析【解析】【分析】（1）设P(x，y)，由题意知x+y=5，求出整数解即可； （2）设Q（x，y）由题意知，求出满足条件的整数解即可【小问1详解】解：设P(x，y)，由题意知x+y5，点P是在第一象限的整点，P（1，4）或（4，1）或（2，3）或（3，2）满足条件的整数点P（3，2）或（
26、4，1）或（2，3）的图像分别为：如图所示：（任意一个图像即可）【小问2详解】解：设Q（x，y）由题意知，点Q是在第一象限的整数点，Q（1，4）或（4，1）满足条件的点的整数点Q(1，4)作图如下：【点睛】本题考查了表格作图、二元方程的整数解问题等知识，解题的关键是理解题意，学会转化的思想思考问题20. 为了了解某小学某年级500名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数分布直方图，图中的a，b满足关系式由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题（1）求出a、
27、b值；（2）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少？【答案】（1） （2）100人【解析】【分析】（1）根据表格所给数据先求出50.575.5的有4人，75.5100.5的有16人，再根据a+b=20，2a=3b，即可求出a和b的值；（2）利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人【小问1详解】解：由题意所给数据可知：的有4人，的有16人，解得，【小问2详解】解：40名学生所在的样本中，跳绳成绩优秀的人所占的百分比为，该校该年级500名学生中跳绳成绩优秀的人数大约是(人) 【点睛】本题考
28、查了频数分布直方图、总体、个体、样本、用样本估计总体，解决本题的关键是熟练掌握各个概念，数形结合四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”（1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点求证：（2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到BAC=DAE，进而得到CAE=BAD，再证明即可得到答案；（2）过点A作AGDM于G，AH
29、EM于H，证明BADCAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG=AH，根据角平分线的判定定理证明结论【小问1详解】证明：和互为“兄弟三角形”，即，（SAS），【小问2详解】证明：如图，过点A作于G，于H，和互为“兄弟三角形”，即，（SAS），（SAS），AM平分【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键22. 某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用1200元购买B款保温杯的数量与用960元购买A款保温杯的数量相同（1）A、B两款保温杯销售单价各是多少元？（2）由于需求量
30、大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，A款保温杯的进价为每个30元，B款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【答案】（1）A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元 （2）购进A款保温杯40个，购进B款保温杯80个，销售利润最大，最大利润是1600元【解析】【分析】（1）根据B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，若A为x元，则B为（x+10）元，再用1200元购买B款保温杯的数量与用960元购买A款保温杯的数量相同这个等量关
31、系，列方程求解，即可（2）设购进A款保温杯x个，条件较多，列表梳理：销售单价进价数量A4030mB5035120-m根据A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，得到m的取值范围，再根据：利润=单件利润销量，得到利润W的表达式，最后在m的范围内求出利润W的最大值即可【小问1详解】设A款保温杯销售单价是x元，则B款保温杯销售单价是(x+10)元，依题意：解得：x=40检验：x=400x+10=40+10=500故A、B两款保温杯销售单价各是40，50元【小问2详解】设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯（120-m）个，总利润为W元，依题意：解得：依题意：当m=40时，Wmax=1800-54
32、0=1600此时120-m=120-40=80故购进A款保温杯40个，购进B款保温杯80个，销售利润最大，最大利润1600元【点睛】本题考查分式方程和一次函数的实际应用注意第一小问分式方程要检验分母不为0，第二小问难点在于列不等式算m的取值范围以及W与m关系式的正确书写23. 如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点，点C在反比例函数的图象上（1）求反比例函数的表达式；（2）将平行四边形ABCD向上平移得到平行四边形EFGH，使点F在反比例函数的图象上，GH与反比例函数图象交于点M连接AE，求AE的长及点M的坐标【答案】（1） （2），【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行
33、且相等算出C点坐标，再将C点坐标代入反比例函数中求得k即可（2）向上平移，B点和F点横坐标相等得到F点横坐标，根据F点在双曲线上算出F点纵坐标，对比B点和F点纵坐标得到AE长度；M点的纵坐标可由CD向上平移到GF得出，将M点纵坐标代入反比例函数解析式得M点横坐标，即可【小问1详解】点，四边形ABCD是平行四边形点C坐标为点C在反比例函数的图象上反比例函数的表达式为：【小问2详解】向上平移得到点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是点F在反比例函数的图象上点F的坐标为是由向上平移2个单位长度所得，点M的纵坐标点M的横坐标为点M的坐标为【点睛】考查几何与反比例函数的综合注意第一小问利用平行四边形对边平
34、行且相等算点C坐标，第二小问上下平移前后对应点横坐标不变，纵坐标发生变化五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24. 如图，是的外接圆，AB为的直径，P为圆外一点，连接PC、PB，且满足，连接PO并延长交于E、F两点（1）求证：PB是的切线；（2）证明：；（3）过点E作EG垂直AB交于点G，连接BE，若，求的值【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）证出即可得出结论；（2）求证，得出，根据即可得出结论；（3）设的面积为，则的面积为，证出，从而得到的面积为S，进而得出，表示出EG和BG的长度，即可得到答案【小问1详解】AB为的直径，又，OBPB，且OB
35、为半径，PB是的切线；【小问2详解】，OP为BC的垂直平分线，由（1）得：， ，又，；【小问3详解】设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积为4S，又， 的面积为S， ，设，则，【点睛】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质和锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点，过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得的面积最大，求出点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标【答
36、案】（1） （2） （3），【解析】【分析】(1) 由得点A的对称点B的坐标，将A、B坐标代入中， 利用待定系数法可求；(2)求出直线BE的解析式，用m表示点P、H的坐标，进而表示线段PH,根据SBDP=PH3，用含m的代数式表示的面积，利用二次函数的性质，求出S关于m的二次函数的顶点横坐标即可得出结论；(3) 过点M作轴，过点E作轴，过A作交于点T，构造出直角三角形，利用三角函数找到与相等的线段，根据“垂线段最短”得的最小值，将二次函数与直线方程联立，解方程组，先求出点E坐标，点M坐标可求【小问1详解】解：对称轴为直线， 抛物线经过A、B两点， 解得：【小问2详解】， ，直线BE的解析式为：过P作轴，交AB于点H设，则当时，即时的面积最大【小问3详解】（3）过点M作轴，过点E作轴，过A作交于点T轴 的最小值为AT由得：或的最小值为，此时【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的求法，待定系数法，利用函数图象上点的坐标的特征表示相应三角形的面积，二次函数的极值，一元二次方程的解法，利用函数图象上点的坐标的特征表示相应的线段的长度是解题的关键
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