1、浙江省台州市黄岩区二校联考九年级上第一次段考数学试卷浙江省台州市黄岩区二校联考九年级上第一次段考数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。 ）分。 ） 1 （4 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A2x+10 Bx2+10 Cy2+x1 D+x21 2（4 分）一元二次方程 x2+8x90 配方后得到的方程是（ ） A（x4）2+70 B（x+4）225 C（x4）225 D（x+4）270 3 （4 分）抛物线 y3（x+1）22 的顶点坐标是（ ） A（1，2） B（1，2） C（1，2） D（1，2） 4 （4 分
2、） 若关于 x 的一元二次方程 （k1） x2+4x+10 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是 （ ） Ak5 Bk5 Ck5，且 k1 Dk5，且 k1 5 （4 分）已知二次函数 yx2x+m1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ） Am5 Bm2 Cm5 Dm2 6 （4 分）抛物线 yx2+bx+c 图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图象的解析式为 yx22x3，则 b、c 的值为（ ） Ab2，c2 Bb2，c0 Cb2，c1 Db3，c2 7 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2+m0 的两个实数根的平方和为 12，则 m
3、 的值为（ ） Am2 Bm3 Cm3 或 m2 Dm3 或 m2 8 （4 分）已知 ， 是方程 x2+2017x+10 的两个根，则（1+2019+2） （1+2019+2）的值为（ ） A1 B2 C3 D4 9（4 分）若实数 a，b（ab）分别满足方程 a27a+20，b27b+20，则的值为（ ） A B C或 2 D或 2 10 （4 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x，结合图象分析下列结论： abc0； 3a+c0； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 一元二次方程 cx2+bx+a0 的两根分别为 x1，x2；
4、0； 若 m，n（mn）为方程 a（x+3） （x2）+30 的两个根，则 m3 且 n2， 其中正确的结论有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）若 x1 是方程 x2+bx0 的一个根，则它的两根之和是 12 （5 分）已知抛物线 yax2+bx+c 过（1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线 13 （5 分）如图，直线 ymx+n 与抛物线 yax2+bx+c 交于 A（1，p） ，B（4，q）两点，则关于 x 的不等式 mx+nax2+bx+c
5、的解集是 14 （5 分）对于实数 a，b，定义运算“*” ：a*b，若 x1，x2（x1x2）是一元二次方程 x25x+60 的两个根，则 x1*x2 15 （5 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，AF 平分BAE 交 BC 于点 F，将ADE绕点 A 顺时针旋转 90得ABG，则 CF 的长为 16 （5 分） 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数， 小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后 1.1 秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则 t 三、解答
6、题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，第小题，第 1720 题每题题每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22，23 题每题题每题 12 分，第分，第 24 题题 14分，共分，共 80 分）分） 17（8 分）解方程 （1）3x（2x+1）4x+2 （2） （y+1） （y1）2y1 18 （8 分）已知关于 x 的方程 x2+（2k1）x+k210 有两个实数根 x1，x2 （1）求实数 k 的取值范围； （2）若 x1，x2满足 x12+x2216+x1x2，求实数 k 的值 19 （8 分）如图所示，ABC 的三个顶点都在边长为 1 的小正方形组成的网格的格点上，以
7、点 O 为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题： （1）将ABC 先向上平移 5 个单位，再向右平移 1 个单位得到A1B1C1，画出A1B1C1，并直接写出A1的坐标 ； （2）将A1B1C1绕点（0，1）顺时针旋转 90得到A2B2C2，画出A2B2C2； （3）观察图形发现，A2B2C2是由ABC 绕点 顺时针旋转 度得到的 20 （8 分）2016 年，某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500 元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018 年，家庭年人均纯收入达到了 3600 元 （1）求该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持
8、不变，2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到 4200 元？ 21 （10 分） 如图， 根据防疫的相关要求， 学生入校需晨检， 体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观 我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长 4.5 米） ，其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇 1 米宽的进出口（不需材料） ，共用防疫隔离材料 8 米 （1）若面积为 10 平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？ （2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？ 22 （12 分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过 60 元）
9、 ，每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1 件设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件 （1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 23 （12 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+（2k1）x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、A 两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐标； （3）对
10、于（2）中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使POB90？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 24 （14 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0） ，顶点 C 的坐标为（1，4） （1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式； （2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为 2？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在请说
11、明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。 ）分。 ） 1 （4 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A2x+10 Bx2+10 Cy2+x1 D+x21 【分析】 本题根据一元二次方程的定义解答 一元二次方程必须满足四个条件： 未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案 【解答】解：A、2x+10 是一元一次方程，故 A 错误； B、x2+10 是一元二次方程，故 B 正确； C、y2+x1 是二元二次方程，故
12、C 错误； D、+x21 是分式方程，故 D 错误； 故选：B 2 （4 分）一元二次方程 x2+8x90 配方后得到的方程是（ ） A（x4）2+70 B（x+4）225 C（x4）225 D（x+4）270 【分析】在本题中，把常数项9 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 8 的一半的平方 【解答】解：把方程 x2+8x9的常数项移到等号的右边，得到 x2+8x9， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x2+8x+169+16， 配方得（x+4）225 故选：B 3 （4 分）抛物线 y3（x+1）22 的顶点坐标是（ ） A（1，2） B（1，2） C（1，2） D（1，2
13、） 【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决 【解答】解：抛物线 y3（x+1）22， 该抛物线的顶点坐标为（1，2） ， 故选：D 4 （4 分） 若关于 x 的一元二次方程 （k1） x2+4x+10 有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是 （ ） Ak5 Bk5 Ck5，且 k1 Dk5，且 k1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k10 且424（k1）10，然后求出两个不等式的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k10 且424（k1）10， 解得：k5，且 k1 故选：D 5 （4 分）已知二次函数 yx2x+m1 的图
14、象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ） Am5 Bm2 Cm5 Dm2 【分析】由题意得：b24ac0，即可求解 【解答】解：由题意得：b24ac（1）24（m1）0， 解得：m5， 故选：A 6 （4 分）抛物线 yx2+bx+c 图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图象的解析式为 yx22x3，则 b、c 的值为（ ） Ab2，c2 Bb2，c0 Cb2，c1 Db3，c2 【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到 b，c 的值 【解答】解：由题意得新抛物线的顶点为（1，4） ，
15、 原抛物线的顶点为（1，1） ， 设原抛物线的解析式为 y（xh）2+k 代入得：y（x+1）21x2+2x， b2，c0 故选：B 7 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2+m0 的两个实数根的平方和为 12，则 m 的值为（ ） Am2 Bm3 Cm3 或 m2 Dm3 或 m2 【分析】 设 x1， x2是 x2+2mx+m2+m0 的两个实数根， 由根与系数的关系得 x1+x22m， x1x2m2+m，再由 x12+x22（x1+x2）22x1x2代入即可； 【解答】解：设 x1，x2是 x2+2mx+m2+m0 的两个实数根， 4m0， m0， x1+x22m，x1
16、x2m2+m， x12+x22（x1+x2）22x1x24m22m22m2m22m12， m3 或 m2； m2； 故选：A 8 （4 分）已知 ， 是方程 x2+2017x+10 的两个根，则（1+2019+2） （1+2019+2）的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】 由 、 是方程 x2+2017x+10 的两个根， 可得 2+2017+10， 2+2017+10， +2017，1，在将（1+2019+2） （1+2019+2）进行适当的变形，即可求出结果 【解答】解：， 是方程 x2+2017x+10 的两个根， 2+2017+10，2+2017+10，+2017，1， （1
17、+2019+2） （1+2019+2） （1+2017+2+2） （1+2017+2+2） 4 4， 故选：D 9 （4 分）若实数 a，b（ab）分别满足方程 a27a+20，b27b+20，则的值为（ ） A B C或 2 D或 2 【分析】由实数 a，b 满足条件 a27a+20，b27b+20，可把 a，b 看成是方程 x27x+20 的两个根，再利用根与系数的关系即可求解 【解答】解：由实数 a，b 满足条件 a27a+20，b27b+20， 可把 a，b 看成是方程 x27x+20 的两个根， a+b7，ab2， 故选：A 10 （4 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与
18、 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x，结合图象分析下列结论： abc0； 3a+c0； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 一元二次方程 cx2+bx+a0 的两根分别为 x1，x2； 0； 若 m，n（mn）为方程 a（x+3） （x2）+30 的两个根，则 m3 且 n2， 其中正确的结论有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x 抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0）和（2，0） ，
19、且 ab 由图象知：a0，c0，b0 abc0 故结论正确； 抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） 9a3b+c0 ab c6a 3a+c3a0 故结论正确； 当 x时，y 随 x 的增大而增大；当x0 时，y 随 x 的增大而减小 结论错误； cx2+bx+a0，c0 x2+x+10 抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0）和（2，0） ax2+bx+c0 的两根是3 和 2 1，6 x2+x+10 即为：6x2+x+10，解得 x1，x2； 故结论正确； 当 x时，y0 0 故结论正确； 抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0
20、）和（2，0） ， yax2+bx+ca（x+3） （x2） m，n（mn）为方程 a（x+3） （x2）+30 的两个根 m，n（mn）为方程 a（x+3） （x2）3 的两个根 m，n（mn）为函数 ya（x+3） （x2）与直线 y3 的两个交点的横坐标 结合图象得：m3 且 n2 故结论成立； 故选：C 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）若 x1 是方程 x2+bx0 的一个根，则它的两根之和是 1 【分析】将 x1 代入原方程可求出 b 值，再利用两根之和等于，即可求出方程的两根之和 【解答】解：将
21、x1 代入原方程得 12+b0， 解得：b1， 原方程为 x2x0， 即 a1，b1， 它的两根之和是1 故答案为：1 12 （5 分） 已知抛物线 yax2+bx+c 过 （1， 1） 和 （5， 1） 两点， 那么该抛物线的对称轴是直线 x2 【分析】根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案 【解答】解： 抛物线 yax2+bx+c 过（1，1）和（5，1）两点， 对称轴为 x2， 故答案为：x2 13 （5 分）如图，直线 ymx+n 与抛物线 yax2+bx+c 交于 A（1，p） ，B（4，q）两点，则关于 x 的不等式 mx+nax2+bx+c 的解集是 x1 或 x4 【分
22、析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论 【解答】解：观察函数图象可知：当 x1 或 x4 时，直线 ymx+n 在抛物线 yax2+bx+c 的上方， 不等式 mx+nax2+bx+c 的解集为 x1 或 x4 故答案为：x1 或 x4 14 （5 分）对于实数 a，b，定义运算“*” ：a*b，若 x1，x2（x1x2）是一元二次方程 x25x+60 的两个根，则 x1*x2 3 【分析】首先解方程 x25x+60，再根据 a*b，求出 x1*x2的值即可 【解答】解：x25x+60， （x2） （x3）0， 解得：x12，x23 x1*x22*323323 故答案为：3 15 （5
23、 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，AF 平分BAE 交 BC 于点 F，将ADE绕点 A 顺时针旋转 90得ABG，则 CF 的长为 62 【分析】利用勾股定理计算出 AE2，再根据旋转的性质得到 AGAE2，BGDE2，34，GAE90，ABGD90，于是可判断点 G 在 CB 的延长线上，接着证明 FA 平分GAD得到 GAGFAE，然后计算 CGGF 就可得到 CF 的长 【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点， DE2， AE2， ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得ABG， AGAE2，BGDE2，34，GAE90，A
24、BGD90， 而ABC90， 点 G 在 CB 的延长线上， AF 平分BAE 交 BC 于点 F， 12， 2+41+3，即GAFDAF， DAFAFG， GAGF， GFGAAE2， CFCGGF4+2262 故答案为 62 16 （5 分） 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数， 小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后 1.1 秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则 t 1.6 【分析】设各自抛出后 1.1 秒时到达相同的最大离地高度为 h，这个最大高度为 h，则小球的高度 ya（
25、t1.1）2+h，根据题意列出方程即可解决问题 【解答】解：方法一：设各自抛出后 1.1 秒时到达相同的最大离地高度为 h，这个最大高度为 h，则小球的高度 ya（t1.1）2+h， 由题意 a（t1.1）2+ha（t11.1）2+h， 解得 t1.6 故第一个小球抛出后 1.6 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同 方法二：结合函数图象可知，两个抛物线的对称轴分别为 t1.1，t2.1， t 在两条对称轴的中间，故 t（1.1+2.1）1.6， 故答案为 1.6 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，第小题，第 1720 题每题题每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，
26、第 22，23 题每题题每题 12 分，第分，第 24 题题 14分，共分，共 80 分）分） 17（8 分）解方程 （1）3x（2x+1）4x+2 （2） （y+1） （y1）2y1 【分析】 （1）根据因式分解法，可得答案； （2）根据因式分解法，可得方程的解 【解答】解：（1）因式分解，得 （2x+1） （3x2）0， 于是，得 2x+10 或 3x20， 解得 x1，x2； （2）化简，得 y22y0 因式分解，得 y（y2）0， 于是，得 y0 或 y20， 解得 y10，y22 18 （8 分）已知关于 x 的方程 x2+（2k1）x+k210 有两个实数根 x1，x2 （1）求实
27、数 k 的取值范围； （2）若 x1，x2满足 x12+x2216+x1x2，求实数 k 的值 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出4k+50，解之即可得出实数 k 的取值范围； （2）由根与系数的关系可得 x1+x212k、x1x2k21，将其代入 x12+x22（x1+x2）22x1x216+x1x2中，解之即可得出 k 的值 【解答】解： （1）关于 x 的方程 x2+（2k1）x+k210 有两个实数根 x1，x2， （2k1）24（k21）4k+50， 解得：k， 实数 k 的取值范围为 k （2）关于 x 的方程 x2+（2k1）x+k210 有两个实数根 x1，
28、x2， x1+x212k，x1x2k21 x12+x22（x1+x2）22x1x216+x1x2， （12k）22（k21）16+（k21），即 k24k120， 解得：k2 或 k6（不符合题意，舍去） 实数 k 的值为2 19 （8 分）如图所示，ABC 的三个顶点都在边长为 1 的小正方形组成的网格的格点上，以点 O 为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题： （1）将ABC 先向上平移 5 个单位，再向右平移 1 个单位得到A1B1C1，画出A1B1C1，并直接写出A1的坐标 （3，4） ； （2）将A1B1C1绕点（0，1）顺时针旋转 90得到A2B2C2，画出A2B2C2； （3）观
29、察图形发现，A2B2C2是由ABC 绕点 （2，4） 顺时针旋转 90 度得到的 【分析】 （1）根据网格结构找出点 A、B、C 平移后的对应点 A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 A1的坐标； （2）根据网格结构找出点 A1、B1、C1绕点（0，1）顺时针旋转 90的对应点 A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可； （3）作对应点 A、A2、B、B2的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，再根据图形确定出旋转角度数即可 【解答】解： （1）A1B1C1如图所示，A1（3，4） ； （2）A2B2C2如图所示； （3）如图，A2B2C2是由ABC 绕点（2，4
30、）顺时针旋转 90 度得到的 故答案为： （1） （3，4） ； （3） （2，4） ，90 20 （8 分）2016 年，某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500 元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018 年，家庭年人均纯收入达到了 3600 元 （1）求该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到 4200 元？ 【分析】 （1） 设该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 x， 根据该该贫困户 2016年及 2018 年家庭年人均纯收入，即可得出关
31、于 x 的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论； （2） 根据 2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入2018 年该贫困户的家庭年人均纯收入 （1+增长率） ，可求出 2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与 4200 比较后即可得出结论 【解答】解： （1）设该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 x， 依题意，得：2500（1+x）23600， 解得：x10.220%，x22.2（舍去） 答：该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20% （2）3600（1+20%）4320（元）， 43204200 答：2019 年
32、该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元 21 （10 分） 如图， 根据防疫的相关要求， 学生入校需晨检， 体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观 我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长 4.5 米） ，其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇 1 米宽的进出口（不需材料） ，共用防疫隔离材料 8 米 （1）若面积为 10 平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？ （2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？ 【分析】 （1）设这个隔离区一边 AB 长为 x 米，则另一边 BC 长为（8x+1）米，根据隔离区面积为10 平方米，列出方程并解答 （2）由
33、（1）可知隔离区的面积表达式，配方后再根据二次函数的性质求解即可 【解答】解： （1）设这个隔离区一边 AB 长为 x 米，则另一边 BC 长为（8x+1）米 依题意，得 x（8x+1）10， 解得 x15，x24 当 x5 时，54.5（舍去） ， 当 x4 时，（8x+1）2.5（米）4.5 米 若面积为 10 平方米，隔离区的长为 4 米，宽为 2.5 米 （2）隔离区有最大面积，理由如下： 由（1）知，隔离区的面积为 x（8x+1）x2+x（x）2+， 0， 当 x时，隔离区有最大面积，最大面积为平方米 22 （12 分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定
34、，该种玩具每件利润不能超过 60 元） ，每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1 件设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件 （1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？ 【分析】 （1）根据“每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1件”列函数关系式即可； （2）根据题意“每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1
35、 件，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元”即可得到结论； （3）根据题意得到 w（x30）2+2450，根据二次函数的性质得到当 x30 时，w 随 x 的增大而增大，于是得到结论 【解答】解： （1）根据题意得，yx+50（0 x20） ； （2）根据题意得， （40+x） （x+50）2250， 解得：x150，x210， 每件利润不能超过 60 元， x10， 答：当 x 为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元； （3）根据题意得，w（40+x） （x+50）x2+30 x+2000（x30）2+2450， a0， 当 x30 时，w 随 x 的增大而增大， 4
36、0+x60，x20， 当 x20 时，w最大2400， 答：当 x 为 20 时 w 最大，最大值是 2400 元 23 （12 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+（2k1）x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、A 两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐标； （3）对于（2）中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使POB90？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）把（0，0）代入二次函数 yx2+（2k1）x+k+1 中可得 k 的值，可得结论； （2）
37、根据（1）得出的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标，也就求出了 OA 的长，根据OAB 的面积可求出 B 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出 B 点的坐标，然后根据 B 点在抛物线对称轴的右边来判断得出的 B 点是否符合要求即可 （3）根据POB90和BOA45，得POA45，设 P（x，x23x） ，列方程可得结论 【解答】解： （1）函数的图象与 x 轴相交于 O， 0k+1，即 k1， yx23x， （2）假设存在点 B，过点 B 作 BDx 轴于点 D， AOB 的面积等于 6， AOBD6， 当 0 x23x，即 x（x3）0， 解得：x0
38、或 3， AO3，BD4 即 4x23x， 解得：x4 或 x1（舍去） yx23x（x）2， 又顶点坐标为： （1.5，2.25） 2.254， x 轴下方不存在 B 点， 点 B 的坐标为： （4，4） ； （3）存在 点 B 的坐标为： （4，4） ， BOA45， BO， 当POB90， POD45， 设 P 点横坐标为：x，则纵坐标为：x23x， 即xx23x，解得 x2 或 x0（舍去）， 点 P 的坐标为： （2，2） 在抛物线上仅存在一点 P（2，2） 24 （14 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐
39、标为（3，0） ，顶点 C 的坐标为（1，4） （1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式； （2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使BDQ 中 BD 边上的高为 2？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由 【分析】 （1）可设抛物线解析式为顶点式，由 B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得 D 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BD 解析式； （2）设出 P 点坐标，从而可表示出 PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
40、（3）过 Q 作 QGy 轴，交 BD 于点 G，过 Q 和 QHBD 于 H，可设出 Q 点坐标，表示出 QG 的长度，由条件可证得DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于 Q 点坐标的方程，可求得 Q 点坐标 【解答】解： （1）抛物线的顶点 C 的坐标为（1，4） ， 可设抛物线解析式为 ya（x1）2+4， 点 B（3，0）在该抛物线的图象上， 0a（31）2+4，解得 a1， 抛物线解析式为 y（x1）2+4，即 yx2+2x+3， 点 D 在 y 轴上，令 x0 可得 y3， D 点坐标为（0，3） ， 可设直线 BD 解析式为 ykx+3， 把 B 点坐标代入可得 3k+30，解得
41、 k1， 直线 BD 解析式为 yx+3； （2）设 P 点横坐标为 m（m0） ，则 P（m，m+3） ，M（m，m2+2m+3） ， PMm2+2m+3（m+3）m2+3m（m）2+， 当 m时，PM 有最大值； （3）如图，过 Q 作 QGy 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E，作 QHBD 于 H， 设 Q（x，x2+2x+3） ，则 G（x，x+3） ， QG|x2+2x+3（x+3）|x2+3x|， BOD 是等腰直角三角形， DBO45， HGQBGE45， 当BDQ 中 BD 边上的高为 2时，即 QHHG2， QG24， |x2+3x|4， 当x2+3x4 时，9160，方程无实数根， 当x2+3x4 时，解得 x1 或 x4， Q（1，0）或（4，5）， 综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为（1，0）或（4，5）
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