1、2021-2022学年山东省青岛市九年级上期中数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（ ）ABCD2（2021秋青岛期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解满足（ ）11.11.20.84ABCD3已知点是线段的一个黄金分割点，则的值为（ ）ABCD4（2022澄海区模拟）一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，它们除了颜色外都相同将球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球两次摸到的球颜色相同的概率是（ ）ABCD5（2022雁峰区校级模拟）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程
2、这一章后，改编了苏轼诗词念奴娇赤壁怀古：“大江东去浪淘尽，千古风流人物而立之年督东吴，早逝英年两位数十位恰小个位三，个位平方与寿同哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ）ABCD6在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A两人都对B两人都不对C甲对，乙不对D甲不对，乙对7（2020大庆）如图，在边长
3、为2的正方形中，分别为与的中点，一个三角形沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点恒在直线上，当点运动到线段的中点时，点，恰与，两边的中点重合，设点到的距离为，三角形与正方形的公共部分的面积为则当时，的值为（ ）A或B或CD或8（2021南充）如图，在矩形中，把边沿对角线平移，点，分别对应点，给出下列结论：顺次连接点，的图形是平行四边形；点到它关于直线的对称点的距离为48；的最大值为15；的最小值为其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9（2021大庆）已知，则10（2021济南模拟）兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药
4、品的价格，某种药品经过两次降价，由原来的每盒72元调至现在的56元若每次平均降价的百分率为，由题意可列方程为 11（2017青岛模拟）将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2米求该矩形铁皮的长和宽各是多少米？若设该矩形铁皮的宽是米，则根据题意，可得方程 12（2020秋郫都区期末）如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，则的最小值为 13（2021春温江区校级期末）如图，在菱形中，边长，连接，点是边上一动点，连接与对角线交于点，连接则当时，为等腰三角形14（2020顺城
5、区模拟）如图，是直线上的点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，已知，连接，和，依次相交于点，的面积依次为，则等于 三、作图题（用圆规、直尺作围，不写作法，但要保留作图痕迹）15（2021秋青岛期中）如图，已知，线段，求作：菱形，使，边四、计算题解下列一元二次方程：16（2021秋青岛期中）解方程：（1）；（2）17（6分）（2020秋浦北县期末）已知一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数的值五、解答题18（8分）（2021通城县模拟）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀（1）从中随
6、机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为 （2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率19（8分）（2021罗湖区校级模拟）如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门（1）设花圃的宽为米，请你用含的代数式表示的长米；（2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽20（8分）（2021秋青岛期中）如图，在中，的垂直平分线交于，交于，在上，并且（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当的大小满足什么条件时，四
7、边形是菱形？请回答并证明你的结论21（8分）（2021秋苍溪县期中）如图，在中，为对角线的中点，平分且交于点，交的延长线于点；作交于点，交于点（1）求证：；（2）若，求的长22（2021安乡县一模）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（
8、2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？23（12分）（2021秋青岛期中）阅读材料，回答下列问题：【问题提出】几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题转换成了数学问题，初中数学常用的几何模型有很多，但是通过整理归纳，就可以从这些基本模型找到其中所蕴含的规律【问题解决】如图1，在四边形中，过点作于点，连接，发现，之间的数量关系是
9、；【问题探究】如图2，在四边形中，连接，点是两边垂直平分线的交点，连接，探究一：与之间有怎样的数量关系？请说明理由；探究二：连接，已知，求的长（用含，的式子表示）【拓展延伸】如图3，中，点为边上一点（不与、重合），过作于，做交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，拓展一：线段、之间有怎样的数量关系？请说明理由；拓展二：若，求的值是 24（12分）（2021秋青岛期中）已知：如图1，矩形中，点从点出发，沿方向匀速向点运动，速度为每秒，同时点从点出发，沿方向匀速向向点运动，速度为每秒，过点平行于的直线，交于，交于，当点运动到线段上时，点、点都停止运动设运动时间为秒，（1）如图2，过点作于，当为
10、何值时，？（2）设的面积为，求关于的函数关系式；（3）连接，当平分线段时，请求出的值；（4）如图3，取的中点，连接，交于，请问随着时间的改变，点的位置会发生改变吗？如果会改变，请说明点的变化情况；如果不会改变，请求出点到点长度参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1【解答】解：关于的方程是一元二次方程，故选：2【解答】解：时，时，时，即方程必有一个解满足，故选：3【解答】解：根据题意得，所以，所以故选：4【解答】解：画树状图如图：共有25种等可能的结果，两次摸出的球颜色相同有13种情况，两次摸出的球颜色相同的概率为，故选：5【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位
11、数字是，则可列方程为，故选：6【解答】解：甲：根据题意得：，甲说法正确；乙：根据题意得：，则，新矩形与原矩形不相似乙说法正确故选：7【解答】解：如图1中，当过在正方形内部时，连接交于，连接，设交于，交于由题意，是等腰直角三角形，如图2中，当点在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形，解得，综上所述，满足条件的的值为或，故选：8【解答】解：如图1中，当与不重合时，四边形是平行四边形，当点与重合时，四边形不存在，故错误，作点关于直线的对称点，连接交于，交于点，作于点，由平移的性质，得，由矩形的对称性，得，四边形是矩形，故正确，的最大值为15，故正确，如图2中，作点关于的对称点，连接交于，过点作交的
12、延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值，由，可得，由，可得，的最小值为故正确，故选：二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9【解答】解：，设，则，故答案为：10【解答】解：第一次降价后的售价为，则第二次降价后的售价为，即故答案为：11【解答】解：设该矩形铁皮的宽是米，则长方体水箱底面的宽为，则长为米根据题意，得；故答案为12【解答】解：如图，连接，过点作于，交于四边形是矩形，点是的中点，点是对角线，的交点，点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，的最小值为故答案为：13【解答】解：当时，如图，过点作于点，四边形是菱形，在和中，设，解得（舍去），或，；当时，如图，；当时，是的中点，
13、是的中点，是的中位线，与不平行，此种情况不存在综上所述：或时，是等腰三角形故答案为：或14【解答】解：，根据题意得，、，与据题意对应高之比之比为边上的高为同理可得，边上的高为，边上的高为，故答案为三、作图题（用圆规、直尺作围，不写作法，但要保留作图痕迹）15【解答】解：如图，菱形为所作四、计算题解下列一元二次方程：16【解答】解：（1），；（2），则，17【解答】解：（1）方程的一个根为，；（2）由题意且，解得，是正整数，或2或4五、解答题18【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，其中数字不小于2的情况有：2，3，4，共3种，则（小球上
14、写的数字不小于；故答案为：；（2）根据题意列表得：12341234所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况有8种，则（两次摸出小球上的数字和恰好是奇数）19【解答】解：（1）故答案为；（2），化简得：，解得：，当时，符合要求；当时，不符合要求，舍去答：花圃的宽为5米20【解答】解：（1）为的垂直平分线，又，为的中点，在中，且，又，四边形为平行四边形；（2）要使得平行四边形为菱形，则即可，又，又，即可，在中，当时，故时，四边形为菱形21【解答】（1）证明：连接、，四边形是平行四边形，又，四边形是平行四边形，；（2）平分，又，又，22【解答】解：（1）由题意，得（千克）；（2
15、）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为千克，由题意，得， 整理，得解得：，（舍去）， ；答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是23【解答】解：【问题解决】如图1中，故答案为：；【问题探究】探究一：结论：理由：如图2中，连接，作的外接圆点是两边垂直平分线的交点点是的外心，；探究二：如图中，在射线的下方作，过点作于，；【拓展延伸】拓展一：结论：理由：如图中，连接交于，作交的延长线于，；拓展二：如图中，作于则四边形是矩形，由（2）可知，设，在中，整理得：，或，当时，易证，此时当时，综上所述，的值为或故答案为：或24【解答】解：（1）如图2，过点作于点，矩形中，如图2，过点作于点，四边形是矩形，解得；（2），；（3）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设与的交点为，由题意可得：点坐标为，点，点，点，点，直线的解析式为：，直线的解析式为，点，平分线段，经检验，是分式方程的解，；（4）不变如图3，设与交于点，由题意可知：，、是的中线，点是定点
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