1、2021-2022 学年北京市海淀区三校联考高一上期中数学试卷学年北京市海淀区三校联考高一上期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1若集合 Ax|x1，Bx|2x3，则 AB（ ） Ax|x1 Bx|1x3 Cx|2x1 Dx|x2 2已知 a，b，cR，且 ab，则下列不等式一定成立的是（ ） Aacbc Ba2b2 C Da|c|b|c| 3已知命题 p：x3，x3x0，则p 是（ ） Ax3，x3x0 Bx3，x3x0 Cx3，x3x0 Dx3，x3x0 4下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（ ） A B
2、y（x1）2 Cy2x Dyx+1 5已知 a，b 是实数，则“a0 且 b0”是“ab0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 6函数 y的图象大致为（ ） A B C D 7 已知 x1， x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a2+a0 的两个实数根， 则 x12+x2212， 则 a 的值是 （ ） Aa3 Ba2 Ca3 或 a2 Da3 或 a2 8设 a0，若关于 x 的不等式对 x（0，+）恒成立，则 a 的最小值是（ ） A1 B4 C9 D16 9设 f（x）是奇函数，且在（，0）上是减函数，f（1）0，则的解集是（
3、） Ax|1x0 或 0 x1 Bx|x1 或 0 x1 Cx|1x0 或 x1 Dx|x1 或 x1 10设区间，函数，若 x0A，且 f（f（x0） ）A，则x0的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11函数 f（x）的定义域为 12已知集合 Aa2，a，若 1A，则实数 a 的值为 13 若函数 yx23x4 的定义域是0， m， 值域是， 请写出一个满足条件的 m 的值： 14若正实数 a，b 满足+，则 ab 的最小值为 15用 maxa，b表示 a，b 两个实数中的最大值设
4、f（x）maxx+2，x23x+5，则函数 f（x）的最小值是 16 设集合 Ax|xa2b2， aN， bN， xN*， 则集合 A 中的元素从小到大排列的第 101 个数是 三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 50 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17 （10 分）设全集 UR，AxR|3ax2a+5，BxR|x2+x20 （1）求UB； （2）若 AUB，求实数 a 的取值范围 18 （8 分）解关于 x 的不等式：x2+（a1）xa0（aR） 19 （10 分）已知函数是定义在1，1上的奇函数，且 （1）求函数 f（x
5、）的解析式； （2）用定义证明 f（x）在1，1上是增函数； （3）若实数 t 满足不等式 f（t1）+f（t）0，求 t 的取值范围 20 （12 分）已知二次函数 yf（x）满足：f（0）3；当 x1 时，函数 f（x）取得最小值 2 （1）求 f（x）的解析式； （2）记 g（x）f（x）+mx1，x1，2 若 g（x）是定义域上的单调函数，求 m 的取值范围； 记 g（x）的最小值为 h（m） ，求方程 h（m）1 的解集 21 （10 分） 对于定义域为 I 的函数 f （x） ， 如果存在区间m， nI， 使得 f （x） 在区间m， n上是单调函数 且函数 yf（x） ，xm，n
6、的值域是m，n，则称区间m，n是函数 f（x）的一个“优美区间” （）判断函数 yx2（xR）和函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明） （）如果m，n是函数的一个“优美区间” ，求 nm 的最大值； （）如果函数 g（x）x2+a 在 R 上存在“优美区间” ，求实数 a 的取值范围 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1若集合 Ax|x1，Bx|2x3，则 AB（ ） Ax|x1 Bx|1x3 Cx|2x1 Dx|x2 【分析】根据集合的并集的定义计算即可 【解答】解：Ax|x1，Bx|
7、2x3， 则 ABx|x2， 故选：D 【点评】本题考查了并集的运算，是基础题 2已知 a，b，cR，且 ab，则下列不等式一定成立的是（ ） Aacbc Ba2b2 C Da|c|b|c| 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解 【解答】解：对于 A，ab，cc， 由不等式的可加性可得，acbc，故 A 正确， 对于 B，令 a1，b3，满足 ab，但 a2b2，故 B 错误， 对于 C，令 a1，b3，满足 ab，但，故 C 错误， 对于 D，当 c0 时，a|c|b|c|，故 D 错误 故选：A 【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于
8、基础题 3已知命题 p：x3，x3x0，则p 是（ ） Ax3，x3x0 Bx3，x3x0 Cx3，x3x0 Dx3，x3x0 【分析】直接写出特称命题的否定得答案 【解答】解：命题 p：x3，x3x0，为特称命题，其否定p：x3，x3x0 故选：A 【点评】本题考查特称命题的否定，是基础题 4下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（ ） A By（x1）2 Cy2x Dyx+1 【分析】由常见函数的单调性判断即可 【解答】解：对于 A，y在区间（0，+）上为减函数，不符合题意； 对于 C，y（x1）2在（0，1）上为减函数，不符合题意； 对于 C，y2x 在区间（0，+）上为增函数，符合
9、题意； 对于 D，yx+1 在区间（0，+）上为减函数，不符合题意 故选：C 【点评】本题主要考查函数单调性的判断，熟练掌握常见函数的单调性是解题的关键，属于基础题 5已知 a，b 是实数，则“a0 且 b0”是“ab0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 【分析】根据已知条件，结合“a0 且 b0”与“ab0”的互推性，即可求解 【解答】解：由 a0 且 b0，可得 ab0， 由 ab0，可得 a0，b0 或 a0，b0， 故“a0 且 b0”是“ab0”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题主要考查充分性与必要性，考查不等式的性质，属于基
10、础题 6函数 y的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断 【解答】解：函数 y的定义域为实数集 R，关于原点对称， 函数 yf（x），则 f（x）f（x） ，则函数 yf（x）为奇函数，故排除 C，D， 当 x0 时，yf（x）0，故排除 B， 故选：A 【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题 7 已知 x1， x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a2+a0 的两个实数根， 则 x12+x2212， 则 a 的值是 （ ） Aa3 Ba2 Ca3 或 a2 Da3 或 a2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x22a 且
11、 x1x2a2+a，即可求解 【解答】解：x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a2+a0 的两个实数根， x1+x22a 且 x1x2a2+a，4a24（a2+a）4a0，a0， x12+x2212， （x1+x2）22x1x212， 即 4a22（a2+a）12，a2a60， a3 或 a2 a0，a2， 故选：B 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题 8设 a0，若关于 x 的不等式对 x（0，+）恒成立，则 a 的最小值是（ ） A1 B4 C9 D16 【分析】利用基本不等式求得 x+的最小值，得到关于 a 的不等式求解 【解答】解：a0，x+2， 当
12、且仅当 x，即 x时等号成立， 又关于 x 的不等式对 x（0，+）恒成立， 26，解得 a9 a 的最小值为 9 故选：C 【点评】本题考查恒成立问题的求解方法，训练了利用基本不等式求最值，属于基础题 9设 f（x）是奇函数，且在（，0）上是减函数，f（1）0，则的解集是（ ） Ax|1x0 或 0 x1 Bx|x1 或 0 x1 Cx|1x0 或 x1 Dx|x1 或 x1 【分析】先利用奇函数的性质，确定函数 f（x）在（0，+）上是减函数，然后分 x0 和 x0 两种情况，利用函数的单调性去掉“f” ，求解即可得到答案 【解答】解：f（x）是奇函数，且在（，0）上是减函数， 则 f（x
13、）在（0，+）上是减函数， 因为 f（1）0， 则 f（1）0， 不等式等价于 xf（x）0， 当 x0 时，则 f（x）0，即 f（x）f（1） ，解得 x1； 当 x0 时，则 f（x）0，即 f（x）f（1） ，解得 x1 综上所述，不等式的解集为x|x1 或 x1 故选：D 【点评】本题考查了抽象函数的理解与应用，函数性质的应用，主要考查了函数奇偶性以及单调性的应用，函数与不等式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题 10设区间，函数，若 x0A，且 f（f（x0） ）A，则x0的取值范围是（ ） A B C D 【分析】利用当 x0A 时，ff （x0）A，列出不等式，
14、解出 x0的取值范围 【解答】解：0 x0，f（x0）x0+，1B， ff（x0）3（1f（x0） ）31（x0+）3（x0） ff（x0）A，03（x0），x0 又0 x0，x0 故选：A 【点评】本题考查分段函数的应用，考查求函数值的方法以及不等式的解法，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11函数 f（x）的定义域为 1，+） 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0 求得 x 的范围得答案 【解答】解：由 x10，得 x1 函数的定义域是1，+） 故答案为：1，+） 【点评】本题考查函数的定义域及其求法
15、，是基础的计算题 12已知集合 Aa2，a，若 1A，则实数 a 的值为 1 【分析】由已知可得，a21 或 a1，从而可求 【解答】解：Aa2，a，1A， 所以 a21 或 a1， 所以 a1 或 a1， 当 a1 时，A1，1与元素的互异性矛盾， 当 a1 时，A1，1 故答案为：1 【点评】本题主要考查了元素与集合的包含关系，属于基础题 13 若函数 yx23x4 的定义域是0， m， 值域是， 请写出一个满足条件的 m 的值： 2 【分析】利用配方，先由值域确定函数的定义域的取值范围，再利用二次函数的图象与性质即可求解 【解答】解：函数 yx23x4（x）2， 所以当 x时，函数有最小
16、值， 当 yx23x44 时，即 yx23x0，解得 x0 或 x3， 因为函数的定义域为0，m，要使值域为，4， 则有m3，m2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，函数的值域与二次函数的对称性的应用，是中档题 14若正实数 a，b 满足+，则 ab 的最小值为 2 【分析】由题意可得22，由不等式的性质变形可得 【解答】解：正实数 a，b 满足， 22， ab2 当且仅当即 a且 b2时取等号 故答案为：2 【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题 15用 maxa，b表示 a，b 两个实数中的最大值设 f（x）maxx+2，x23x+5，则函数
17、f（x）的最小值是 3 【分析】根据题意，将问题转化为分段函数的最小值问题求解 【解答】解：由题意 f（x）， 因为 f（x）x23x+5 在（，1）上单调递减，故 f（x）f（1）3，在（3，+）上单调递增，故 f（x）f（3）5；f（x）x+2 在1，3上单调递增，故 f（x）f（1）3， 综上可知，f（x）minf（1）3 故答案为：3 【点评】本题考查分段函数最值的求法，属于基础题 16 设集合 Ax|xa2b2， aN， bN， xN*， 则集合 A 中的元素从小到大排列的第 101 个数是 135 【分析】由 2k1k2（k1）2，当 kN*时，kN，k1N，2k1（kN*）都属于
18、集合 A由 4k（k+1）2（k1）2，当 kN*时，k+1N，k1N，4k（kN*）都属于集合 A由 4k2（kN*）不属于集合 A即在每 4 个数一组的数中，只有 3 个数属于集合 A，由此求出集合 A 中的元素从小到大排列的第 101 个数是什么 【解答】解：由 2k1k2（k1）2，当 kN*时，kN，k1N，所以 2k1（kN*）都属于集合 A 由 4k（k+1）2（k1）2，当 kN*时，k+1N，k1N，所以 4k（kN*）都属于集合 A 由 4k2（kN*）不属于集合 A，用反证法证明如下： 假设 4k2A，则存在 aN，bN，使得 a2b24k2， 当 a、b 都是偶数或 a
19、、b 都是奇数时，a+b、ab 均为偶数，所以 a2b2（a+b） （ab）是 4 的倍数，这与 a2b24k2 矛盾， 当 a、b 一个是奇数、一个是偶数时，a+b、ab 均为奇数，所以 a2b2（a+b） （ab）是奇数，这与a2b24k2 矛盾， 所以假设不成立，即 4k2A 综上知，在 1，2，3，4 中，只有 2A，在 5，6，7，8 中，只有 6A，.， 在 4k3，4k2，4k1，4k（kN*）中，只有 4k2A， 所以在每 4 个数一组的数中，只有 3 个数属于集合 A，且 101333+2， 因此集合 Ax|xa2b2，aN，bN，xN*中，集合 A 中的元素从小到大排列的第
20、 101 个数是 334+3135 故答案为：135 【点评】本题考查了推理与运算能力，也考查了元素与集合的关系应用问题，是难题 三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 50 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17 （10 分）设全集 UR，AxR|3ax2a+5，BxR|x2+x20 （1）求UB； （2）若 AUB，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求出集合 B，由此能求出UB （2）由 AUB，得 A时，3a2a+5，A时，或，由此能求出实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）全集 UR，AxR|3ax2a+5， Bx
21、R|x2+x20 x|2x1， UBx|x2 或 x1 （2）AUB， A时，3a2a+5，解得 a5 A时，或， 解得 a或， 综上，实数 a 的取值范围是（，），+） 【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 18 （8 分）解关于 x 的不等式：x2+（a1）xa0（aR） 【分析】由题意，一元二次不等式的两个根为a 和 1，分类讨论a 和 1 的大小，从而求得它的解集 【解答】解：x 的不等式：x2+（a1）xa0，即 （x+a） （x1）0， 此不等式的两个根为a 和 1 当a1 时，即 a1 时，此时不等式即 （x1）20，它的解集为x|x1；
22、 当a1 时，a1，它的解集为x|xa，或 x1； 当a1 时，a1，它的解集为x|xa，或 x1 综上，当 a1 时，解集为x|x1； 当 a1 时，解集为x|xa，或 x1； 当 a1 时，解集为x|xa，或 x1 【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题 19 （10 分）已知函数是定义在1，1上的奇函数，且 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）用定义证明 f（x）在1，1上是增函数； （3）若实数 t 满足不等式 f（t1）+f（t）0，求 t 的取值范围 【分析】 （1）利用奇函数的性质 f（0）0，求出 b，然后由，求出 a 的值，即可得到
23、 f（x）的解析式，验证即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性以及单调性将不等式等价转化为，求解不等式组即可 【解答】 （1）解：函数是定义在1，1上的奇函数， 所以 f（0）0，即，解得 b0， 又，则，解得 a1， 所以， 经检验，为奇函数， 所以； （2）证明：设1x1x21， 则 f（x1）f（x2）， 因为1x1x21， 所以 x2x10，x1x220， 则 f（x1）f（x2） ， 故 f（x）在1，1上是增函数； （3）解：不等式 f（t1）+f（t）0， 即 f（t1）f（t） ， 因为 f（x）为奇函数， 所以 f（t1）f（t） ， 又 f（x
24、）在1，1上是增函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为 【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数奇偶性的应用，函数单调性的证明与应用，函数单调性定义的理解与应用，函数与不等式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题 20 （12 分）已知二次函数 yf（x）满足：f（0）3；当 x1 时，函数 f（x）取得最小值 2 （1）求 f（x）的解析式； （2）记 g（x）f（x）+mx1，x1，2 若 g（x）是定义域上的单调函数，求 m 的取值范围； 记 g（x）的最小值为 h（m） ，求方程 h（m）1 的解集 【分析】 （1）根据题意得出 c3，1，ab+c2，解方程组即可 （2
25、）利用二次函数的单调性求解即可，利用对称轴与区间的关系，再结合单调性即可求解 【解答】解： （1）设二次函数 yf（x）ax2+bx+c（a0） ， f（0）3，当 x1 时，函数 f（x）取得最小值 2， c3，1，ab+c2， 解得 a1，b2，c3， f（x）x2+2x+3 （2）g（x）f（x）+mx1x2+（m+2）x+2，x1，2， 对称轴为 x，且开口向上， g（x）是定义域上的单调函数， 1 或2， m0 或 m6， m 的取值范围（，60，+） 当1，即 m0 时，则 g（x）在1，2单调递增，h（m）g（1）1m1，m0， 当2，即 m6 时，则 g（x）在1，2单调递减，
26、h（m）g（2）22m1，m（舍去） ， 当 02，即6m0 时，h（m）g（）1，m0 或 m4，m4， 综上，方程 h（m）1 的解集为4，0 【点评】本题考查了利用待定系数求解函数解析式，二次函数的单调性和最值的求法，属于中档题 21 （10 分） 对于定义域为 I 的函数 f （x） ， 如果存在区间m， nI， 使得 f （x） 在区间m， n上是单调函数 且函数 yf（x） ，xm，n的值域是m，n，则称区间m，n是函数 f（x）的一个“优美区间” （）判断函数 yx2（xR）和函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明） （）如果m，n是函数的一个“优美区间” ，求 n
27、m 的最大值； （）如果函数 g（x）x2+a 在 R 上存在“优美区间” ，求实数 a 的取值范围 【分析】（） 由 “优美区间” 的定义即可判断函数函数 yx2（xR） 存在 “优美区间” ， 函数不存在“优美区间” ； （）由“优美区间”的定义可得 m，n（mn）是方程x 的两个同号的实数根，等价于方程 a2x2（a2+a）x+10 有两个同号的实数根，则 a1 或 a3，由根与系数的关系可得 mn，运用二次函数的图象及性质即可求得最大值； （）根据 g（x）的单调区间，分m，n0，+）和m，n（，0两种情况讨论，结合定义及根与系数的关系即可求解 a 的取值范围 【解答】解： （）存在区
28、间0，1，使得 yx2在区间0，1上单调递增，且值域为0，1，所以函数 yx2（xR）存在“优美区间” ； 函数不存在“优美区间” ， 由为（0，+）上的增函数，则有 f（m）m，f（n）n， 即方程 3x 有两个不同的解 m，n， 即方程 x3x+40 有两个不同的实数解， 而91670，可知该方程无实数解， 所以不存在“优美区间” （）由在（，0）和（0，+）上均为增函数， 已知 f（x）在“优美区间”m，n上单调， 所以m，n（，0）或m，n（0，+） ，且 f（x）在m，n上为单调增， 则同理可得 f（m）m，f（n）n， 即 m，n（mn）是方程x 的两个同号的实数根， 等价于方程
29、a2x2（a2+a）x+10 有两个同号的实数根，并注意到 mn0， 则只要（a2+a）24a20，解得 a1 或 a3， 而由根与系数的关系知 m+n，mn， 所以 mn， 其中 a1 或 a3， 所以当 a3 时，nm 取得最大值 （）函数 g（x）x2+a 在（，0上单调递减，在0，+）上单调递增， 如果函数 g（x）x2+a 在 R 上存在“优美区间”m，n， 则当m，n0，+）时，则， 即 m，n 是方程 x2x+a0 的两个不相等的非负实根， 则，解得 0a； 当m，n（，0时，则， 两式相减化简可得 m+n1， 则 m2+a1m，n2+a1n， 所以 m，n 是方程 x2+x+a+10 的两个不相等的非正实根， 则，解得1a 综上，如果函数 g（x）x2+a 在 R 上存在“优美区间” ，则实数 a 的取值范围是1，）0，） 【点评】本题考查新定义问题以及函数的单调性，解题的关键是充分理解“优美区间”的概念，考查知识的迁移及学以致用的能力，属于难题
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