2021-2022学年北京市海淀区八校联考高一上期中数学试卷（含答案详解）

1、2021-2022 学年北京市海淀区八校联考高一上期中数学试卷学年北京市海淀区八校联考高一上期中数学试卷 一、选择题（本大題共一、选择题（本大題共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.） 1设全集 U2，3，4，5，6，7，集合 M2，4，5，N3，5，7，则 N（UM）（ ） A5 B3，7 C2，3，4，5，7 D2，3，4，6，7 2已知命题 P：xN，x31，则命题 P 的否定为（ ） AxN，x31 BxN，x31 CxN，x31 DxN，x31 3如果 ab，那么下列不等式中正确的是（ ） A Ba2b2 Ca|c|b|c| D 4下列各组函数是同一个函数

2、的是（ ） A与 y1 B与 yx C与 yx D与 yx1 5定义在 R 上的偶函数 f（x）满足：对任意的 x1，x20，+） （x1x2） ，有则（ ） Af（3）f（2）f（1） Bf（1）f（2）f（3） Cf（2）f（1）f（3） Df（3）f（1）f（2） 6已知函数 f（x）x35x+1，则下列区间中一定包含 f（x）零点的区间是（ ） A （2，1） B （1，0） C （0，1） D （1，2） 7函数 y的图象大致为（ ） A B C D 8 “a1”是“函数 f（x）|xa|在区间（，1上为减函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不

3、必要条件 9一元二次方程 x25x+1m0 的两根均大于 2，则实数 m 的取值范围是（ ） A B （，5） C D 10若函数的值域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ） A4，5 B4，4 C （，45，+） D （，44，+） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.将答案填在贾中横线上将答案填在贾中横线上.） 11函数的定义域是 12当 x3 时，则的最小值为 ，当 y 取得最小值时 x 的值为 13已知 f（x1）x2，则 f（x） 14不等式0 的解集为 15已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的解集为（，2）

4、（4，+） ，则不等式 cx2bx+a0 的解集为 16已知函数 f（x）x22x，g （1）gf（1） ； （2）若方程 gf（x）a 有 4 个实数根，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大題共三、解答题（本大題共 4 小题，共小题，共 36 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 17 （8 分）已知函数 f（x）x|x|2x （1）判断函数 f（x）的奇偶性并证明； （2）用分段函数的形式表示函数 f（x）的解析式，并画出函数 f（x）的图像； （3）写出函数 f（x）的单调递增区间 18 （10 分）已知二次函数 f（x）x22（a

5、1）x+4 （1）若 f（x）为偶函数，求 f（x）在1，3上的值域； （2）若 f（x）在区间（，2上是减函数，求实数 a 的取值范围； （3）若 x1，2时，f（x）的图像恒在直线 yax 的上方，求实数 a 的取值范围 19 （10 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x），mR （1）求 m； （2）用定义证明：f（x）在区间1，+）上单调递减； （3）若实数 a 满足 f（a2+2a+2），求 a 的取值范围 20 （8 分）已知函数 f（x）（1x4） ，且 f（1）5 （1）求实数 m 的值，并求函数 f（x）的值域； （2）函数 g（x）ax1（2x2） ，若对任意 x11，4

6、，总存在 x02，2，使得 g（x0）f（x1）成立，求实数 a 的取值范围 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大題共一、选择题（本大題共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.） 1设全集 U2，3，4，5，6，7，集合 M2，4，5，N3，5，7，则 N（UM）（ ） A5 B3，7 C2，3，4，5，7 D2，3，4，6，7 【分析】先求出UM，由此能求出 N（UM） 【解答】解：全集 U2，3，4，5，6，7，集合 M2，4，5，N3，5，7， UM3，6，7， N（UM）3，7 故选：B 【点评】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，

7、是基础题 2已知命题 P：xN，x31，则命题 P 的否定为（ ） AxN，x31 BxN，x31 CxN，x31 DxN，x31 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即xN，x31， 故选：B 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键 3如果 ab，那么下列不等式中正确的是（ ） A Ba2b2 Ca|c|b|c| D 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可 【解答】解：若 a0b，则，故 A 错误； 取 a1，b2，满足 ab，但 a2b2，故 B 错误； 若 c0，a|c|b

8、|c|，故 C 错误， 因为 c2+10，ab，故 D 正确 故选：D 【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题 4下列各组函数是同一个函数的是（ ） A与 y1 B与 yx C与 yx D与 yx1 【分析】两个函数只有对应关系一致，定义域相同，才是同一函数 【解答】解：对于 A，的定义域是x|x0，y1 的定义域是 R，与 y1 不是同一函数，故 A 错误； 对于 B，x 与 yx 对应关系相同，定义域都是 R，与 yx 是同一函数，故 B 正确； 对于 C，的定义域是x|x0，yx 的定义域是 R，与 yx 不是同一函数，故 C 错误； 对于 D，当 x1 时，与 yx1 对应关

9、系不同， 与 yx1 不是同一函数，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查两个函数是否是同一函数的判断，考查同一函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 5定义在 R 上的偶函数 f（x）满足：对任意的 x1，x20，+） （x1x2） ，有则（ ） Af（3）f（2）f（1） Bf（1）f（2）f（3） Cf（2）f（1）f（3） Df（3）f（1）f（2） 【分析】先由奇偶性将问题转化到0，+） ，再由函数在区间上的单调性比较 【解答】解：f（x）是偶函数 f（2）f（2） 又任意的 x1，x20，+） （x1x2） ，有， f（x）在0，+）上是减函数， 又123 f（1）f（

10、2）f（2）f（3） 故选：A 【点评】本题主要考查用奇偶性转化区间和单调性比较大小，在比较大小中，用单调性的较多，还有的通过中间桥梁来实现的，如通过正负和 1 来解决 6已知函数 f（x）x35x+1，则下列区间中一定包含 f（x）零点的区间是（ ） A （2，1） B （1，0） C （0，1） D （1，2） 【分析】利用函数的连续性，结合零点存在定理，直接计算函数在选项的区间端点出的函数值，根据函数值的符号来判断 【解答】解：函数 f（x）x35x+1，是连续函数， 并且 f（2）30， f（1）1+5+150， f（0）10； f（1）15+130， f（2）810+110， f（0

11、）f（1）0， 由零点存在定理，函数 f（x）在（0，1）有零点； 故选：C 【点评】本题考查函数的零点问题，考查零点存在定理，属于基础题 7函数 y的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断 【解答】解：函数 y的定义域为实数集 R，关于原点对称， 函数 yf（x），则 f（x）f（x） ，则函数 yf（x）为奇函数，故排除 C，D， 当 x0 时，yf（x）0，故排除 B， 故选：A 【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题 8 “a1”是“函数 f（x）|xa|在区间（，1上为减函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D

12、既不充分也不必要条件 【分析】先将函数 f（x）|xa|在区间（，1上为减函数，等价转化为 a1，然后利用充分条件和必要条件的定义求解即可 【解答】解：函数 f（x）|xa|在区间（，1上为减函数， 则 a1， 所以 a1 可以推出 a1，但是 a1 不能推出 a1， 故“a1”是“函数 f（x）|xa|在区间（，1上为减函数”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题 9一元二次方程 x25x+1m0 的两根均大于 2，则实数 m 的取值范围是（ ） A B （，5） C D 【分析】由题意可得结合函数的零点判断定

13、理以及判别式列出不等式组，由此求得实数 a 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x25x+1m0 的两根均大于 2，则 ， 解得 m5， 故选：C 【点评】 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系， 二次函数的性质， 体现了转化的数学思想，属于中档题 10若函数的值域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ） A4，5 B4，4 C （，45，+） D （，44，+） 【分析】求出 x1 时的最小值，与 x1 时的最大值，列出不等式求解即可 【解答】解：当 x1 时，f（x）x10， 函数的值域为 R， 必须 x1 时，f（x）2x2+ax2 的最大值大于等于 0， 二次函数的

14、开口向下，对称轴为 x， 当时，即 a4 时，f（1）4+a0，解得 a4； 当1 时，即 a4 时，f（）0，解得 a4 或 a4， 综上 a4 或 a4 故选：D 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.将答案填在贾中横线上将答案填在贾中横线上.） 11函数的定义域是 x|x2 且 x0 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0，且分式的分母不为 0 联立不等式组求解 【解答】解：要使原函数有意义，则，解得 x2 且 x0 函数的定义域是x|x

15、2 且 x0 故答案为：x|x2 且 x0 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题 12当 x3 时，则的最小值为 7 ，当 y 取得最小值时 x 的值为 5 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解 【解答】解：因为 x3，所以 x30， 所以x3+3+37， 当且仅当 x3，即 x5 时取等号， 故答案为：7，5 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题 13已知 f（x1）x2，则 f（x） （x+1）2 【分析】可用换元法求解该类函数的解析式，令 x1t，则 xt+1 代入 f（x1）x2可得到 f（t）（t+1）2即 f（x）（x+1）2 【解答】解：由 f（

16、x1）x2，令 x1t，则 xt+1 代入 f（x1）x2可得到 f（t）（t+1）2 f（x）（x+1）2 故答案为： （x+1）2 【点评】本题考查函数解析式的求解，考查学生的整体意识和换元法的思想，属基础题 14不等式0 的解集为 （，2）6，+） 【分析】根据分式不等式解法即可求解 【解答】解：由题得或， 解得 x6 或 x2， 综上：不等式的解集为（，2）6，+） ， 故答案为： （，2）6，+） 【点评】本题考查分式不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题 15已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的解集为（，2）（4，+） ，则不等式 cx2bx+a0 的解集为

17、 x|x或 x 【分析】由韦达定理可得 a0 且，用 a 表示出 b，c 的值，代入所求不等式，结合 a0 化简，即可求出不等式的解集 【解答】解：不等式 ax2+bx+c0 的解集为（，2）（4，+） ， a0 且， ， 不等式 cx2bx+a0 可化为8ax2+2ax+a0， 又a0，8x2+2x+10， 解得 x或 x， 即不等式的解集为x|x或 x 故答案为：x|x或 x 【点评】本题主要考查了解一元二次不等式，是基础题 16已知函数 f（x）x22x，g （1）gf（1） 2 ； （2）若方程 gf（x）a 有 4 个实数根，则实数 a 的取值范围是 1，） 【分析】 （1）用分段函

18、数定义求函数值即可； （2）作函数图象，用数形结合法求解 【解答】解： （1）因为 f（1）1213，所以 g（f（1） ）g（3）3+12 （2）令 yg（u） ，uf（x） ，作函数图象如图， 当 a1，1+）时，方程 gf（x）a 有 4 个实数根； 当 a1+时，方程 gf（x）a 有 3 个实数根； 当 a（，1）（1+，+）时，方程 gf（x）a 有 2 个实数根 所以实数 a 的取值范围是1，） 故答案为： （1）2； （2）1，） 【点评】本题考查了复合函数零点个数量问题，属于中档题 三、解答题（本大題共三、解答题（本大題共 4 小题，共小题，共 36 分分.解答应写出文字说明

19、、演算步骤或证明过程解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 17 （8 分）已知函数 f（x）x|x|2x （1）判断函数 f（x）的奇偶性并证明； （2）用分段函数的形式表示函数 f（x）的解析式，并画出函数 f（x）的图像； （3）写出函数 f（x）的单调递增区间 【分析】 （1）利用奇函数与偶函数的定义判断即可； （2）利用绝对值的定义去掉绝对值，转化为分段函数，即可得到解析式，然后作出函数的图像即可； （3）由函数的图像，即可得到单调递增区间 【解答】解： （1）函数 f（x）为奇函数 证明如下：函数 f（x）x|x|2x 的定义域为 R，关于原点对称， 又 f（x）x|x|2（x

20、）x|x|+2xf（x） ， 所以函数 f（x）为奇函数； （2）当 x0 时，f（x）xx2xx22x； 当 x0 时，f（x）x （x）2xx22x 故； 作出函数 f（x）的图像如图所示： （3）由图像可得，f（x）的单调递增区间为（，1） ， （1，+） 【点评】本题考查了含有绝对值函数的应用，对于含有绝对值的函数，常见的解法是利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题 18 （10 分）已知二次函数 f（x）x22（a1）x+4 （1）若 f（x）为偶函数，求 f（x）在1，3上的值域； （2）若 f（x）在区间（，2上是减

21、函数，求实数 a 的取值范围； （3）若 x1，2时，f（x）的图像恒在直线 yax 的上方，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求出二次函数的对称轴为 xa1，再由 f（x）为偶函数，可得 a1 （2）利用二次函数的单调性即可求解 （3）由 f（x）ax 恒成立可转化为 x2（3a2）x+40 恒成立，再分离参数求最值即可 【解答】解： （1）二次函数 f（x）x22（a1）x+4 的对称轴为 xa1， f（x）为偶函数，a10，a1， f（x）x2+4， 对称轴为 x0，x1，3， f（x）minf（0）4，f（x）maxf（3）13， f（x）在1，3上的值域为4，13 （2）f（x

22、）在区间（，2上是减函数， a12，a3， 实数 a 的取值范围为3，+） （3）x1，2时，f（x）的图像恒在直线 yax 的上方， 当 x1，2时，f（x）ax 恒成立， 即 x2（3a2）x+40， 3a2x+恒成立， x+24，当且仅当 x，即 x2 时等号成立， 3a24，a2， a 的取值范围是（，2） 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，恒成立问题，属于中档题 19 （10 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x），mR （1）求 m； （2）用定义证明：f（x）在区间1，+）上单调递减； （3）若实数 a 满足 f（a2+2a+2），求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据函

23、数是奇函数，得 f（0）0，即可求得 m 的值； （2）根据减函数的定义进行证明即可； （3）由 a2+2a+21，f（2），及（2）中结论，将不等式转化为 a2+2a+22，解之即可 【解答】 （1）解：f（x）是定义在 R 上的奇函数， f（0）0，解得 m0 （2）证明：由（1）知 f（x）， 任取 1x1x2，f（x1）f（x2） ， 1x1x2， x1x20，x1x21，1x1x20， f（x1）f（x2）0， f（x1）f（x2） ， f（x）在1，+）上单调递减 （3）解：由（2）可知 f（x）在1，+）上单调递减， 又a2+2a+2（a+1）2+11，f（2）， f（a2+2a

24、+2），可化为 f（a2+2a+2）f（2） ， 则 a2+2a+22， 解得 a2 或 a0， 即 a 的取值范围是（，2）（0，+） 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合，利用减函数的定义证明单调性，由函数的单调性解不等式，属于中档题 20 （8 分）已知函数 f（x）（1x4） ，且 f（1）5 （1）求实数 m 的值，并求函数 f（x）的值域； （2）函数 g（x）ax1（2x2） ，若对任意 x11，4，总存在 x02，2，使得 g（x0）f（x1）成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）根据 f（1）5 求 m 的值，结合对勾函数的性质，利用单调性即可求解函数 f（

25、x）的值域； （2）根据任意 x11，4，总存在 x02，2，使得 g（x0）f（x1）成立，可得 f（x）的值域是 g（x）的子集，即可求解实数 a 的取值范围 【解答】解：由题意，f（1）5 即 1+m5， m4， 则 f（x）， f（x）在1，2上递减，在2，4上递增，且 f（2）4，f（1）f（4）5； 函数 f（x）的值域为4，5 （2）对任意 x11，4，总存在 x02，2，使得 g（x0）f（x1）成立，可得 f（x）的值域是 g（x）的子集， 当 a0 时，g（x）1，显然不成立； 当 a0 时，g（x）ax1 是单调递增函数， 2x2， 2a1g（x）2a1； 则， 解得 a3； 当 a0 时，g（x）ax1 是单调递减函数， 2x2， 2a1g（x）2a1； 则 解得 a3； 综上，可得实数 a 的取值范围是（，33，+） 【点评】本题考查函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题