1、2021-2022 学年北京市海淀区二校联考高一上期中数学试卷学年北京市海淀区二校联考高一上期中数学试卷 一一.选择题（共选择题（共 10 个小题，共个小题，共 40 分）分） 1若集合 Ax|1x2|，Bx|x1，则 AB 等于（ ） Ax|1x2 Bx|x1 Cx|x1 Dx|1x2 2若 ab，cd，则下列不等式中必然成立的一个是（ ） Aa+db+c Bacbd Cdacb D 3设 a，bR，则“ （ab）a20”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4设集合 Ax|xk+，kZ，By|y，kZ，则它们之间最准确的关系是（ ） A
2、AB BAB CAB DAB 5若 a0，b0，则“a+b4”是“ab4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6已知函数 g（x）f（x）+2，若 f（x）是奇函数，且 g（1）3，则 g（1）（ ） A1 B3 C1 D3 7已知函数 f（x）x2+bx+c，则“c0”是“x0R，使 f（x0）0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8若关于 x 的不等式 x2+ax20 在区间1，5上有解，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C （，1） D （，1 9已知函数 f（x）x|x|，若
3、对任意的 x1 有 f（x+m）+f（x）0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，1） B （，1 C （，2） D （，2 10 定义全集 U 的子集 A 的特征函数 fA（x） 对于任意的集合 A、 BU， 下列说法错误的是 （ ） A若 AB，则 fA（x）fB（x） ，对于任意的 xU 成立 BfAB（x）fA（x）+fB（x） ，对于任意的 xU 成立 CfAB（x）fA（x）fB（x） ，对于任意的 xU 成立 D若 AUB，则 fA（x）+fB（x）1，对于任意的 xU 成立 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，共小题，共 25 分）分） 11已知集合 Ax，x2
4、（xR） ，若 1A，则 x 12若实数 x，y 满足 xy1，则 x2+2y2的最小值为 13若 0 xy1，则 xy 的取值范围是 14设 UR，集合 Ax|x2+3x+20，Bx|x2+（m+1）x+m0；若（UA）B，m 15有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如表： 房间 A 房间 B 房间 C 35m2 20m2 28m2 涂料 1 涂料 2 涂料 3 16 元/m2 18 元/m2 20 元/m2 那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 元 三、解答题三、解答题 16 （7 分）已知集合 Ax
5、|x25x60，Bx|m2xm （）若 m0，全集 UAB，求UB； （）从条件和条件选择一个作为已知，求实数 m 的取值范围 条件：若 ABA； 条件：若 AB 17 （8 分）已知函数 f（x）2x+c（b，c 为常数） ，f（1）4，f（2）5 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）用定义证明：函数 f（x）在区间（0，1）上是减函数 18 （10 分）设函数 f（x）（a21）x2+（a1）x+3（aR） （1）求对于一切实数 x，f（x）0 恒成立的充要条件； （2）求对于一切实数 x，f（x）0 恒成立的一个充分非必要条件 19 （10 分）已知函数 f（x）x21，g（x）a|
6、x1| （1）若关于 x 的方程|f（x）|g（x）只有一个实数解，求实数 a 的取值范围； （2）若当 xR 时，不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围 20 （10 分）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）2x+1 （1）求 f（x）的解析式； （2）若 x0 时，方程 f（x）x2+tx+2t 仅有一实根或有两个相等的实根，求实数 t 的取值范围 21 （10 分） 对于正整数集合 Aa1， a2， ， an （nN*， n3） ， 如果去掉其中任意一个元素 ai（i1， 2， ，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且
7、这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 A 为“和谐集” （1）判断集合1，2，3，4，5是否是“和谐集” （不必写过程） ； （2）请写出一个只含有 7 个元素的“和谐集” ，并证明此集合为“和谐集” ； （3）当 n5 时，集合 Aa1，a2，a3，a4，a5，求证：集合 A 不是“和谐集” 参考答案解析参考答案解析 一一.选择题（共选择题（共 10 个小题，共个小题，共 40 分）分） 1若集合 Ax|1x2|，Bx|x1，则 AB 等于（ ） Ax|1x2 Bx|x1 Cx|x1 Dx|1x2 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|1x2|，Bx|x1， ABx|1x2 故选：
8、A 【点评】本题考查了描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题 2若 ab，cd，则下列不等式中必然成立的一个是（ ） Aa+db+c Bacbd Cdacb D 【分析】根据题意取特殊值即可判断 ABD，利用不等式的基本性质即可判断 C 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，若 a4，b2，c2，d1，满足 ab，cd，但不满足 a+db+c，A 错误， 对于 B，若 a4，b2，c1，d2，满足 ab，cd，但不满足 acbd，B 错误， 对于 C，若 ab，则ab，又由 cd，则 dacb，C 正确， 对于 D，若 a4，b2，c1，d2，满足 ab，cd，但不满
9、足，D 错误， 故选：C 【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题 3设 a，bR，则“ （ab）a20”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案 【解答】解：由（ab）a20，得 ab0，即 ab，由 ab，得 ab0，则（ab）a20， “ （ab）a20”是“ab”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题 4设集合 Ax|xk+，kZ，By|y，kZ，则它们之间最准确的关系是（ ） AAB BAB CAB DAB 【分析】由集合 A
10、与 B 的元素即可判断两集合的包含关系 【解答】解：由集合 A 得 x，kZ， 则 A ， ， 由集合 B 得 y，kZ， 则 B ， ， 则 AB， 故选：C 【点评】本题考查元素与集合的关系，属于容易题 5若 a0，b0，则“a+b4”是“ab4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果 【解答】解：a0，b0，4a+b2， 2，ab4，即 a+b4ab4， 若 a4，b，则 ab14， 但 a+b4+4， 即 ab4 推不出 a+b4， a+b4 是 ab4 的充分不必要条件 故选
11、：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力 6已知函数 g（x）f（x）+2，若 f（x）是奇函数，且 g（1）3，则 g（1）（ ） A1 B3 C1 D3 【分析】先根据 g（1）3 可求出 f（1）1，再根据 f（x）是奇函数，即可得出 g（1）f（1）+21 【解答】解：g（1）f（1）+23； f（1）1； f（x）是奇函数； g（1）f（1）+2f（1）+21+21 故选：C 【点评】考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法 7已知函数 f（x）x2+bx+c，则“c0”是“x0R，使 f（x0）0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要
12、而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】通过 c0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明 c 的值不一定小于 0，判断必要性即可 【解答】解：函数 f（x）x2+bx+c，则“c0”时，函数与 x 有两个交点，所以“x0R，使 f（x0）0 成立 而“x0R，使 f（x0）0”即 x2+bx+c0，b24c0，即 b24c，c 不一定有 c0， 综上函数 f（x）x2+bx+c，则“c0”是“x0R，使 f（x0）0”的充分不必要条件； 故选：A 【点评】本题考查充要条件的判断与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力 8若关于 x 的不等式
13、 x2+ax20 在区间1，5上有解，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C （，1） D （，1 【分析】把不等式化为 ax，求出 f（x）x 在区间1，5上的最大值，即可得出实数 a 的取值范围 【解答】解：由 x1，5，不等式 x2+ax20 可化为 ax2x2，即 ax； 设 f（x）x，其中 f（x）在区间1，5上单调递减， 所以 f（x）有最大值为 f（1）211； 所以实数 a 的取值范围是（，1） 故选：C 【点评】本题考查了不等式成立的应用问题，也考查了转化与求解能力，是基础题 9已知函数 f（x）x|x|，若对任意的 x1 有 f（x+m）+f（x）0 恒成立，则实数
14、m 的取值范围是（ ） A （，1） B （，1 C （，2） D （，2 【分析】根据函数 f（x）的解析式判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分离法转化为求函数的最值即可 【解答】解：f（x）x|x|， 则函数 f（x）在定义域为增函数， 且 f（x）x|x|x|x|f（x） ， 则函数 f（x）为奇函数， 则若对任意的 x1 有 f（x+m）+f（x）0 恒成立， 等价为对任意的 x1 有 f（x+m）f（x）f（x） ， 即 x+mx 恒成立， 即 m2x 恒成立， x1，2x2， 则 m2， 故选：C 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，
15、根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常用方法 10 定义全集 U 的子集 A 的特征函数 fA（x） 对于任意的集合 A、 BU， 下列说法错误的是 （ ） A若 AB，则 fA（x）fB（x） ，对于任意的 xU 成立 BfAB（x）fA（x）+fB（x） ，对于任意的 xU 成立 CfAB（x）fA（x）fB（x） ，对于任意的 xU 成立 D若 AUB，则 fA（x）+fB（x）1，对于任意的 xU 成立 【分析】根据题中特征函数的定义，利用集合交集、并集和补集的运算法则，对四个选项中的运算加以验证，即可得到答案 【解答】解：对于 A，因
16、为 AB，若 xA，则 xB， 因为 fA（x）， fB（x）， 而UA 中可能有 B 中的元素， 但UB 中不可能有 A 中的元素， 所以 fA（x）fB（x） ， 即对于任意的 xU，都有 fA（x）fB（x）成立， 故选项 A 正确； 对于 B，因为， 当某个元素 x 在 A 中且在 B 中， 由于它在 AB 中，故 fAB（x）1， 而 fA（x）1 且 fB（x）1，可得 fAB（x）fA（x）+fB（x） ， 故选项 B 错误； 对于 C， ， 故选项 C 正确； 对于 D，因为， 结合 fA（x）， 所以 fB（x）1fA（x） ， 即 fA（x）+fB（x）1， 故选项 D 正
17、确 故选：B 【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，共小题，共 25 分）分） 11已知集合 Ax，x2（xR） ，若 1A，则 x 1 【分析】根据元素与集合的关系进行计算即可 【解答】解：集合 Ax，x2（xR） ， 1A， 即 x1 或 x21， 可得 x1 或 x1 当 x1 时，违背集合的互异性， 故答案为：x1 【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题 12若实数 x，y 满足 xy1，则
18、 x2+2y2的最小值为 2 【分析】由已知可得 y，代入要求的式子，由基本不等式可得 【解答】解：xy1， x2+2y22xy2， 当且仅当 x22y2，即 x时取等号， 故答案为：2 【点评】本题考查基本不等式，属基础题 13若 0 xy1，则 xy 的取值范围是 （1，0） 【分析】由不等式的基本性质求解即可 【解答】解：因为 0 xy1， 所以 0 x1，1y0， 所以1xy1， 又因为 xy0， 所以 xy 的取值范围是（1，0） 故答案为： （1，0） 【点评】本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题 14设 UR，集合 Ax|x2+3x+20，Bx|x2+（m+
19、1）x+m0；若（UA）B，m 1 或 2 【分析】先化简集合 A，B，再结合题中条件： “ （UA）B”推知集合 B 中元素的特点即可解决 【解答】解：Ax|x2+3x+201，2， x2+（m+1）x+m0 得： x1 或 xm （UA）B， 集合 B 中只能有元素1 或2， m1 或 2 故答案为 1 或 2 【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算、空集的含义，属于基础题 15有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如表： 房间 A 房间 B 房间 C 35m2 20m2 28m2 涂料 1 涂料 2 涂料
20、 3 16 元/m2 18 元/m2 20 元/m2 那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 1464 元 【分析】若涂料总费用最少，只需大面积粉刷便宜的即可 【解答】解：由题意得：3516+2818+20201464， 故答案为：1464 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是一道基础题 三、解答题三、解答题 16 （7 分）已知集合 Ax|x25x60，Bx|m2xm （）若 m0，全集 UAB，求UB； （）从条件和条件选择一个作为已知，求实数 m 的取值范围 条件：若 ABA； 条件：若 AB 【分析】 （）先求出集合 A，B，然后由并集的定义求出 U，再利用补集的定义求解即
21、可； （）若选条件：利用 ABA，可得 BA，然后由集合子集的定义求解即可； 若选条件：AB，由集合交集以及空集的定义列式求解即可 【解答】解： （）当 m0 时，Bx|m2xm2x0， 又 Ax|x25x60 x|1x6， 所以 UABx|2x6， 故UBx|0 x6； （）若选条件：由 ABA，可得 BA， 则，解得 1m6， 故 m 的取值范围为1，6 若选条件： 由 AB，则 m1 或 m26， 解得 m1 或 m8， 故 m 的取值范围为（，18，+） 【点评】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集、补集、并集、子集的定义，属于基础题 17 （8 分）已知函数 f（x）2x+
22、c（b，c 为常数） ，f（1）4，f（2）5 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）用定义证明：函数 f（x）在区间（0，1）上是减函数 【分析】 （1）利用 f（1）4，f（2）5，列出关于 b，c 的方程组，求出 b，c 的值，即可得到答案； （2）直接利用函数单调性的定义证明即可 【解答】 （1）解：函数 f（x）2x+c（b，c 为常数） ，f（1）4，f（2）5， 则，解得 b2，c0， 所以； （2）证明：令 0 x1x21， 则， 因为 0 x1x21， 所以 x1x20，0 x1x21，x1x20， 故 f（x1）f（x2） ， 所以函数 f（x）在区间（0，1）上是减函数
23、 【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数单调性的证明，要掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的一般步骤，考查了逻辑推理能力，属于基础题 18 （10 分）设函数 f（x）（a21）x2+（a1）x+3（aR） （1）求对于一切实数 x，f（x）0 恒成立的充要条件； （2）求对于一切实数 x，f（x）0 恒成立的一个充分非必要条件 【分析】 （1）通过对二次项系数是否为 0 讨论 a 的范围，当 a210 时结合二次函数的性质求出 a 的取值范围，再取并可得其充要条件； （2）取 a1，利用充分不必要条件的定义，检验即可 【解答】解： （1）f（x）（a21）x2+（a1）x+30 恒成立，
24、 由 a210，得 a1 或 1； 当 a1 时，f（x）30 恒成立，适合题意； 当 a1 时，f（x）2x+30 不恒成立，a1 不适合题意； a210 时，f（x）0 恒成立，须满足，解得 a1 或 a， 综上，f（x）0 的充要条件是：a1 或 a； （2）由（1）知，a1 时，f（x）30 恒成立， 而 f（x）0 时，a 不一定是 1， 故 a1 是 f（x）0 的充分不必要条件 【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于中档题 19 （10 分）已知函数 f（x）x21，g（x）a|x1| （1）若关于 x 的方程|f（x）|g（x）只有一
25、个实数解，求实数 a 的取值范围； （2）若当 xR 时，不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）将方程变形，利用 x1 已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|a 有且仅有一个等于 1 的解或无解，从而可求实数 a 的取值范围； （2）将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）方程|f（x）|g（x） ，即|x21|a|x1|，变形得|x1|（|x+1|a）0， 显然，x1 已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|a 有且仅有一个等于 1 的解或无解， a0（6 分） （2）当 x
26、R 时，不等式 f（x）g（x）恒成立，即（x21）a|x1|（*）对 xR 恒成立， 当 x1 时， （*）显然成立，此时 aR； 当 x1 时， （*）可变形为 a， 令 （x） 因为当 x1 时，（x）2，当 x1 时，（x）2，所以 （x）2，故此时 a2 综合，得所求实数 a 的取值范围是 a2（12 分） 【点评】本题考查构成根的问题，考查分离参数法的运用，考查恒成立问题，正确变形是解题的关键 20 （10 分）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）2x+1 （1）求 f（x）的解析式； （2）若 x0 时，方程 f（x）x2+tx+2t 仅有一实根或有两个
27、相等的实根，求实数 t 的取值范围 【分析】 （1）根据奇函数的性质，当 x0 时，f（x）0，结合当 x0 时，f（x）2x+1，可得出 x0时的解析式，进而得到答案； （2）问题即为方程 x2+（t2）x+2t+10 仅有一个负实数或有两个相等的负实数根，然后分类讨论即可得出结论 【解答】解： （1）f（x）是定义在 R 上的奇函数， f（0）0， 当 x0 时，x0，又当 x0 时，f（x）2x+1， f（x）2x+1，则 f（x）f（x）2x1， 综上，； （2）当 x0 时，f（x）2x1，则方程 f（x）x2+tx+2t 即为 x2+（t2）x+2t+10，则该方程仅有一个负实数或
28、有两个相等的负实数根， 当 2t+10，即时，此时方程 x2+（t2）x+2t+10 有一正根，一负根，符合题意； 当 2t+10，即时，此时方程即为，其解为 0 或，不合题意； 当 2t+10，即，此时方程两根同号，需满足，解得 t12； 综上，实数 t 的取值范围为 【点评】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，考查二次方程根的分布问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题 21 （10 分） 对于正整数集合 Aa1， a2， ， an （nN*， n3） ， 如果去掉其中任意一个元素 ai（i1， 2， ，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的
29、所有元素之和相等，就称集合 A 为“和谐集” （1）判断集合1，2，3，4，5是否是“和谐集” （不必写过程） ； （2）请写出一个只含有 7 个元素的“和谐集” ，并证明此集合为“和谐集” ； （3）当 n5 时，集合 Aa1，a2，a3，a4，a5，求证：集合 A 不是“和谐集” 【分析】 （1）根据定义，判断集合1，2，3，4，5不是“和谐集” ； （2）写出集合1，3，5，7，9，11，13，利用定义证明即可； （3）假设集合 A 是“和谐集” ，结合定义推出矛盾，即可得证 【解答】解： （1）对于集合1，2，3，4，5，当去掉元素 2 时，剩余的所有元素之和为 13， 不能分为两个交
30、集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合1，2，3，4，5不是“和谐集” （2）集合1，3，5，7，9，11，13是“和谐集” ，证明如下： 当去掉元素 1 时，有 3+5+7+911+13； 当去掉元素 3 时，有 1+9+135+7+11； 当去掉元素 5 时，有 9+131+3+7+11； 当去掉元素 7 时，有 1+9+113+5+13； 当去掉元素 9 时，有 1+3+5+117+13； 当去掉元素 11 时，有 3+7+91+5+13； 当去掉元素 13 时，有 1+3+5+97+11 所以集合1，3，5，7，9，11，13是“和谐集” （3）证明：假设集合 A 是“和谐集” ， 不妨设 0a1a2a3a4a5，必能将集合a1，a3，a4，a5分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有 a1+a5a3+a4，或 a5a1+a3+a4， 也必能将集合a2，a3，a4，a5分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有 a2+a5a3+a4，或 a5a2+a3+a4， 由，得 a1a2，矛盾， 由，得 a1a2，矛盾， 由，得 a1a2，矛盾， 由，得 a1a2，矛盾， 所以假设不成立， 故当 n5 时，集合 A 一定不是“和谐集” 【点评】本题考查新定义的认识与理解能力，考查反证法的应用，属于难题
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