2021-2022学年北京市石景山区高一上期中数学试卷（含答案详解）

1、2021-2022 学年北京市石景山区高一上期中数学试卷学年北京市石景山区高一上期中数学试卷 一、单项选择题。 （本题共一、单项选择题。 （本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，30 分。 ）分。 ） 1已知集合 A1，3，5，7，B2，3，4，5，则 AB（ ） A3 B5 C3，5 D1，2，3，4，5，7 2下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） Ay，y（）2 By|x|，y Cy，yx+1 Dyx，y 3 “x2”是“ （x2） （x3）0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

2、 Ayx+1 Byx2 Cy Dyx|x| 5命题“x0，+） ，x3+x0”的否定是（ ） Ax（，0） ，x3+x0 Bx（，0） ，x3+x0 Cx00，+） ，x03+x00 Dx00，+） ，x03+x00 6在以下区间中，存在函数 f（x）x3+3x3 的零点的是（ ） A1，0 B1，2 C0，1 D2，3 7已知函数 f（x），若 f（a）+f（1）0，则实数 a 的值等于（ ） A3 B1 C1 D3 8设 a，bR，下列命题中的真命题是（ ） A若 ab，则|a|b| B若 ab，则 C若 ab，则 a3b3 D若 ab，则1 9已知函数 f（x）是 R 上的单调函数，则实

3、数 a 的取值范围是（ ） A （，1） B （，0） C （0，+） D （， 10已知函数 f（x）|x+1|+|x2|，若 f（x）a 在 xR 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A （，3 B3，+） C （3，+） D0，3 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，18 分）分） 11集合 Mx|1x2，Mx|1x3，则 MN 12已知函数 f（x1）x2+1，则 f（2） ，f（x） 13函数 y的定义域是 14已知 a0，b0，+2，则 ab 的最小值为 15已知函数 f（x），则 f（f（2） ） ，f（x）的值域为 16对于实数 a

4、，b，定义运算“*” ：a*b，设 f（x）（2x1）*（x1） ，且关于 x的方程为 f（x）m（mR）恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 m 的取值范围是 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 小题，共小题，共 52 分，写出每题的解答过程）分，写出每题的解答过程） 17 （10 分）解下列关于 x 的不等式： （1）0； （2）x26ax+5a20 18 （15 分）解决下列问题 （1）已知 ab0，cd0，m0，求证：； （2）已知关于 x 的方程 x2+2（m2）x+m2+40 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值； （3）已知

5、 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 x0 时，f（x）x2+2x，求 f（x）在 R 上的解析式 19 （10 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在（，0上是增函数 （1）比较 f（a22a+4）与 f（2）的大小； （2）若 f（a2）f（a+6） ，求实数 a 的取值范围 20 （8 分）已知函数 f（x） （1）判断该函数在（1，+）上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间2，4上的最大值和最小值 21 （9 分）已知二次函数 f（x）ax2+bx+c （1）若 abc 且 f（1）0，试证明 f（x）必有两个零点； （2）若对 x1，x2R 且 x1

6、x2，f（x1）f（x2） ，方程 f（x）f（x1）+f（x2）有两个不等实根，证明必有一实根属于（x1，x2） 参考答案解析参考答案解析 一、单项选择题。 （本题共一、单项选择题。 （本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，30 分。 ）分。 ） 1已知集合 A1，3，5，7，B2，3，4，5，则 AB（ ） A3 B5 C3，5 D1，2，3，4，5，7 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】解：集合 A1，3，5，7，B2，3，4，5， AB3，5 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 2下列四组函数中

7、，表示同一函数的是（ ） Ay，y（）2 By|x|，y Cy，yx+1 Dyx，y 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数 【解答】解：对于 A，y定义域为 R，y（）2定义域为0，+） ，定义域不同，不是同一函数， 对于 B，y|x|定义域为 R，y|x|定义域为 R，对应法则也相同，是同一函数， 对于 C，y定义域为x|x1，yx+1 定义域为 R，定义域不同，不是同一函数， 对于 D，yx 定义域为 R，y定义域为x|x0，定义域不同，不是同一函数， 故选：B 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题 3 “x2”是“ （x2） （

8、x3）0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先求出（x2） （x3）0，然后利用充分条件与必要条件的定义判断即可 【解答】解：由（x2） （x3）0，解得 x2 或 x3， 因为“x2”是“x2 或 x3”的充分而不必要条件， 所以“x2”是“ （x2） （x3）0”的充分而不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的定义，属于基础题 4下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） Ayx+1 Byx2 Cy Dyx|x| 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可 【

9、解答】解：Ayx+1 为非奇非偶函数，不满足条件 Byx2是偶函数，不满足条件 Cy是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件 D设 f（x）x|x|，则 f（x）x|x|f（x） ，则函数为奇函数， 当 x0 时，yx|x|x2，此时为增函数， 当 x0 时，yx|x|x2，此时为增函数，综上在 R 上函数为增函数 故选：D 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，比较基础 5命题“x0，+） ，x3+x0”的否定是（ ） Ax（，0） ，x3+x0 Bx（，0） ，x3+x0 Cx00，+） ，x03+x00 Dx00，+） ，x03+x00

10、【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项 【解答】解：命题“x0，+） ，x3+x0”是一个全称命题 其否定命题为：x00，+） ，x03+x00 故选：C 【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键 6在以下区间中，存在函数 f（x）x3+3x3 的零点的是（ ） A1，0 B1，2 C0，1 D2，3 【分析】要判断函数 f（x）x3+3x3 的零点的位置，我们可以根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值，应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置 【解答】解：f（1）7 f（0）3 f（1）1 f（

11、2）11 f（3）33 根据零点存在定理，f（0） f（1）0 故0，1存在零点 故选：C 【点评】要判断函数的零点位于哪个区间，可以根据零点存在定理，即如果函数 f（x）在区间（a，b）上存在一个零点，则 f（a） f（b）0，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，我们要分类讨论 7已知函数 f（x），若 f（a）+f（1）0，则实数 a 的值等于（ ） A3 B1 C1 D3 【分析】先求出 f（1）212，从而 f（a）2，当 a0 时，f（a）2a2，当 a0 时，f（a）a+12，

12、由此能求出实数 a 的值 【解答】解：函数 f（x）， f（1）212， f（a）+f（1）0， f（a）2， 当 a0 时，f（a）2a2，解得 a1，不成立， 当 a0 时，f（a）a+12，解得 a3 实数 a 的值等于3 故选：A 【点评】本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 8设 a，bR，下列命题中的真命题是（ ） A若 ab，则|a|b| B若 ab，则 C若 ab，则 a3b3 D若 ab，则1 【分析】根据已知条件，结合特殊值法和函数的单调性，即可求解 【解答】解：对于 A，令 a1，b1，满足 ab，但|a|b|，故 A 为假命题，

13、 对于 B，令 a2，b1，满足 ab，但，故 B 为假命题， 对于 C，f（x）x3 在 R 上单调递增， 又ab， f（a）f（b） ，即 a3b3，故 C 为真命题， 对于 D，令 a1，b1，满足 ab，但，故 D 为假命题 故选：C 【点评】本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法，以及利用函数单调性是解本题的关键，属于基础题 9已知函数 f（x）是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，1） B （，0） C （0，+） D （， 【分析】要使函数在 R 上单调，只需在每一段上具有相同的单调性，同时在 x1 时，满足单调性，由此解出 a 的范围 【解答】解：f（x

14、）x22x 的开口向上，x1 是对称轴，故 x（，1）时单调递减， 由题意 x1 时，f（x）ax+a 单调递减，故 a0，且 1221a1+a， 解得 故选：D 【点评】本题考查分段函数的单调性，属于基础题 10已知函数 f（x）|x+1|+|x2|，若 f（x）a 在 xR 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A （，3 B3，+） C （3，+） D0，3 【分析】利用绝对值三角不等式求出 f（x）的最小值，再结合不等式 af（x）在 R 上恒成立即可求得 a的取值范围 【解答】解：f（x）|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|3（当且仅当（x+1） （x2）0 时取等号） ， f（

15、x）min3， f（x）a 在 xR 上恒成立， af（x）min3， a 的取值范围为（，3， 故选：A 【点评】本题考查函数恒成立，考查利用绝对值不等式的基本性质解不等式，考查化归与转化思想及运算求解能力，属于中档题 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，18 分）分） 11集合 Mx|1x2，Mx|1x3，则 MN x|1x2 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】解：集合 Mx|1x2，Mx|1x3， MNx|1x2 故答案为：x|1x2 【点评】 本题考查交集定义等基础知识， 考查交集定义、 不等式的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础

16、题 12已知函数 f（x1）x2+1，则 f（2） 10 ，f（x） x2+2x+2 【分析】利用整体代换令 x12，即可求解 f（2） ，利用换元法求解解析式即可 【解答】解：函数 f（x1）x2+1， 则令 x12，则 x3， 所以 f（2）32+110， 令 tx1，则 xt+1， 所以 f（t）（t+1）2+1t2+2t+2， 则 f（x）x2+2x+2 故答案为：10；x2+2x+2 【点评】本题考查了函数解析式的求解，要掌握常见的函数解析式的求解方法：待定系数法、换元法、配凑法、消元法等，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题 13函数 y的定义域是 （，12，+） 【分析】

17、由|2x3|10 可求得函数定义域 【解答】解：由|2x3|10 得：2x31 或 2x31， 解得：x（，12，+） 故答案为： （，12，+） 【点评】本题考查函数定义域求法，考查数学运算能力，属于基础题 14已知 a0，b0，+2，则 ab 的最小值为 2 【分析】将+2 整理成 2b+a2ab，再结合基本不等式，即可得解 【解答】解：因为+2，所以 2b+a2ab， 因为 a0，b0，所以 2ab2b+a2，当且仅当 a2b2 时，等号成立， 解得 ab2， 所以 ab 的最小值为 2 故答案为：2 【点评】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题 15已知函数

18、 f（x），则 f（f（2） ） 0 ，f（x）的值域为 1，+） 【分析】利用分段函数的解析式，先求出 f（2） ，再求解 f（f（2） ）即可；分 x1 和 x1 两种情况，分别利用二次函数的性质以及基本不等式求解函数的值域，即可得到答案 【解答】解：函数 f（x）， 所以 f（2）（2）24， 则 f（f（2） ）f（4）， 当 x1 时，f（x）x2在（，0）上单调递减，在（0，1上单调递增， 所以 f（x）f（0）0； 当 x1 时， 当且仅当 x，即 x2 时取等号， 所以 f（x）1 综上所述，f（x）1， 所以 f（x）的值域为1，+） 故答案为：0；1，+） 【点评】 本题考

19、查了分段函数的应用， 二次函数性质以及基本不等式的理解与应用， 对于分段函数问题，一般运用分类讨论或是数形结合法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题 16对于实数 a，b，定义运算“*” ：a*b，设 f（x）（2x1）*（x1） ，且关于 x的方程为 f（x）m（mR）恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 m 的取值范围是 【分析】根据题意确定函数的解析式为 f（x），画出函数的图象从图象上观察当关于x 的方程为 f（x）m（mR）恰有三个互不相等的实数根时 m 的取值范围 【解答】解：由 2x1x1 可得 x0，由 2x1x1 可得 x0 根据题意得 f（x）

20、即 f（x）， 画出函数的图象，从图象上观察当关于 x 的方程为 f（x）m（mR）恰有三个互不相等的实数根时， 函数的图象和直线 ym 有三个不同的交点 再根据函数的极大值为 f（）， 可得 m 的取值范围是（0， ） ， 故答案为： （0， ） 【点评】本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 小题，共小题，共 52 分，写出每题的解答过程）分，写出每题的解答过程） 17 （10 分）解下列关于 x 的不等式： （1）0； （2）x26ax+5a20 【分析】 （1）直接利用分式不等式

21、的解法求出结果； （2）利用分类讨论思想的应用求出一元二次不等式的解集 【解答】解： （1），整理得， 即且 x2， 故不等式的解集为x| （2）x26ax+5a20， 当 a0 时，解集为0， 当 a0 时， （xa） （x5a）0，解得x|ax5a； 当 a0 时， （xa） （x5a）0，解得x|5axa； 综上所述：当 a0 时，解集为0， 当 a0 时，x|ax5a； 当 a0 时，x|5axa 【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题 18 （15 分）解决下列问题 （1）已知 ab0，cd0，m0，求证：

22、； （2）已知关于 x 的方程 x2+2（m2）x+m2+40 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值； （3）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 x0 时，f（x）x2+2x，求 f（x）在 R 上的解析式 【分析】 （1）根据不等关系判断出 acbd0，从而判断证明的不等式关系； （2）根据二次方程根的情况满足0，结合韦达定理求得参数值； （3）根据奇函数的定义求得函数解析式 【解答】 （1）证明：由题知，cd0，则 acbd0， 从而，又 m0， 则得证 （2）解：由题知，2（m2）24（m2+4）0，解得 m0， 由韦达定理知，x1+x22（m

23、2） ， 由条件知，即， 化简得 m216m170，解得 m1 或 17（舍） ， 故 m1 （3）解：取 x0，则 f（x）（x）2+2（x）x22x， 又 f（x）是定义在 R 上的奇函数，则 f（x）f（x）2xx2， 因此 【点评】本题主要考查不等式的证明，函数解析式的求解，韦达定理及其应用，函数奇偶性的应用等知识，属于中等题 19 （10 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在（，0上是增函数 （1）比较 f（a22a+4）与 f（2）的大小； （2）若 f（a2）f（a+6） ，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由配方法可得 a22a+4（a1）2+32，结合单

24、调性及奇偶性，即可得到所求函数值的大小； （2）由函数的单调性，可得 a2a+6，解不等式即可得到所求范围 【解答】解： （1）函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在（，0上是增函数， 所以 f（x）在0，+）上是减函数， 由 a22a+4（a1）2+32， 可得 f（a22a+4）f（2） ， 又 f（2）f（2） ， 所以 f（a22a+4）f（2） （2）因为 f（a2）f（a+6）等价于 f（a2）f（|a+6|） ， 因为 f（x）在0，+）上是减函数， 所以 a2|a+6|， 所以或， 解得2a3， 即实数 a 的取值范围是（2，3） 【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的运

25、用：比较大小和解不等式，考查运算能力，属于中档题 20 （8 分）已知函数 f（x） （1）判断该函数在（1，+）上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间2，4上的最大值和最小值 【分析】 （1）根据函数的单调性的定义证明函数 f（x）在（1，+）上的单调性即可； （2）由（1）得出的函数 f（x）的单调性即可求出该函数在区间2，4上的最大值和最小值 【解答】解： （1）函数 f（x）在（1，+）上单调递减，证明如下： 因为函数 f（x）， 所以x1，x2（1，+） ，且 x1x2，则 x2x10，x210，x110， 于是，f（x1）f（x2）0， 即 f（x1）f（x2）

26、故函数 f（x）在（1，+）上单调递减 （2）由（1）知：函数 f（x）在（1，+）上单调递减， 所以函数 f（x）在区间2，4上的最大值为 f（2）4，最小值为 f（4） 【点评】本题考查函数的单调性、最值，考查学生的逻辑思维能力，属中档题 21 （9 分）已知二次函数 f（x）ax2+bx+c （1）若 abc 且 f（1）0，试证明 f（x）必有两个零点； （2）若对 x1，x2R 且 x1x2，f（x1）f（x2） ，方程 f（x）f（x1）+f（x2）有两个不等实根，证明必有一实根属于（x1，x2） 【分析】 （1）由条件得到 a0，c0，判别式b24ac4ac0，从而证得方程 ax

27、2+bx+c0 有两个不等实根 （2）令 g（x）f（x）f（x1）+f（x2），证明 g（x1） g（x2）0，可得 g（x）0 在（x1，x2）内必有一实根， 问题得证 【解答】证明： （1）f（1）0，a+b+c0又abc，a0，c0，即 ac0 又b24ac4ac0，方程 ax2+bx+c0 有两个不等实根 所以，函数 f（x）必有两个零点 （2）令 g（x）f（x）f（x1）+f（x2）， 则 g（x1）f（x1）f（x1）+f（x2）， g（x2）f（x2）f（x1）+f（x2）， g（x1） g（x2）f（x1）f（x2）2 f（x1）f（x2） ，g（x1） g（x2）0 g（x）0 在（x1，x2）内必有一实根 方程 f（x）f（x1）+f（x2）在（x1，x2）内必有一实根 再由 g（x1） g（x2）0 可得二次函数 g（x）的函数值可正可负， 故函数 g（x）f（x）f（x1）+f（x2）的图象与 x 轴一定有两个交点， 故方程 f（x）f（x1）+f（x2）有两个不等实根 综上可得，方程 f（x）f（x1）+f（x2）有两个不等实根，且必有一实根属于（x1，x2） 【点评】本题考查二次函数的性质，方程的根就是对应函数的零点，以及函数零点存在的条件，属于中档题