1、2021-2022 学年北京市西城区四校联考八年级上期中数学试卷学年北京市西城区四校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ） A B C D 2如图，在ABC 中，BC 边上的高为（ ） A B C D 3如图，已知12，则不一定能使ABDACD 的条件是（ ） AABAC BBDCD CBC DBDACDA 4在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（3，5）关于 x 轴的对称点的坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （5，3） D （3，5） 5如
2、图，ABCDCB，若 AC7，BE5，则 DE 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 6下列命题中正确的有（ ）个 三个内角对应相等的两个三角形全等； 三条边对应相等的两个三角形全等； 有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等； 等底等高的两个三角形全等 A1 B2 C3 D4 7如图，在 RtABC 中，A30，DE 垂直平分 AB，垂足为点 E，交 AC 于 D 点，连接 BD，若 DE2，则 AC 的值为（ ） A4 B6 C8 D10 8下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A （x+3） （x+2）2x Bx（x+3）+6 C3（x+2）+x2 Dx2+5x 9已知，如
3、图在直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，BCx 轴于点 C，点 A 关于直线 OB 的对称点 D 恰好在BC 上，点 E 与点 O 关于直线 BC 对称，OBC35，则OED 的度数为（ ） A10 B20 C30 D35 10如图所示，在长方形 ABCD 的对称轴 l 上找点 P，使得PAB，PBC，PDC，PAD 均为等腰三角形，则满足条件的点 P 有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D1 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11计算a2 （6ab）的结果是 12如图，已知 OP 平分MON，PAON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点
4、若 PA2，则 PQ 的最小值为 ，理论根据为 13如图，点 P、M、N 分别在等边三角形 ABC 的各边上，且 MPAB 于点 P，MNBC 于点 M，PNAC于点 N，若 AB15cm，则 CM 的长为 14若等腰三角形的一个外角为 140，则它的顶角的度数为 15已知 a8131，b2741，c961，则 a、b、c 的大小关系是 16如图，RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AB10，BD 平分ABC，如果 M、N 分别为 BD、BC 上的动点，那么 CM+MN 的最小值是 17如果 xny，那么我们规定（x，y）n例如：因为 329，所以（3，9）2 根据上述规定， （2，8
5、） ，若（m，16）p， （m，5）q， （m，t）r，且满足 p+qr，则 t 18 如图， 点 D 是ABC 三条角平分线的交点， ABC68， 若 AB+BDAC， 则ACB 的度数为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 20 分）分） 19 （16 分）计算： （1）a （a2）3 （a2） ； （2）4xy2 （x2yz3） ； （3）2xy（x23y2）4xy（2x2+y2） ； （4） （3x2） （x+5） 20 （4 分）先化简，再求值x（2x24x）x2（6x3）+x（2x）2，其中 x 四、作图题（四、作图题（6 分）分） 21 （6 分）下面是小芸设计的“作三角形一边
6、上的高”的尺规作图过程 已知：ABC 求作：ABC 的边 BC 上的高 AD 作法：以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交直线 BC 于点 M，N； 分别以点 M，N 为圆心，以大于MN 的长为半径画弧，两弧相交于点 P； 作直线 AP 交 BC 于点 D，则线段 AD 即为所求ABC 的边 BC 上的高 根据小芸设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）AP 是线段 MN 的 （填下列选项的序号） 垂直平分线 角平分线 点 P 在这条线上的依据是 五、解答题（五、解答题（22-25 每题每题 6 分，分，26-27 每题每题 7 分，共分，共 38 分）
7、分） 22 （6 分）如图，ABC 中，ABAC，B30，点 D 是 AC 的中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E，连接 AE若 AE3，求 BC 的长 解：ABAC，B30 CB30（ ） ， BAC180BC120 点 D 是 AC 的中点，且 DEAC， ECEA3（ ） ， EACC30， BAEBACEAC 在 RtABE 中，B30， BE2 ， BCBE+EC 23 （6 分）已知：如图，BACDAM，ABAN，ADAM，求证：BANM 24 （6 分）如图，已知AD90，ABDC，AC 与 BD 相交于 E，F 是 BC 的中点，求证：BEFCEF 25 （6 分）
8、 已知： 如图， D 是ABC 的边 BA 延长线上一点， 且 ADAB， E 是边 AC 上一点， 且 DEBC 求证：DEAC 26 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（t1，1）与点 B 关于过点（t，0）且垂直于 x 轴的直线对称 （1）以 AB 为底边作等腰三角形 ABC， 当 t2 时，点 B 的坐标为 ； 当 t0.5 且直线 AC 经过原点 O 时，点 C 与 x 轴的距离为 ； 若ABC 上所有点到 y 轴的距离都不小于 1，则 t 的取值范围是 （2）以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABD，直线 m 过点（0，b）且与 x 轴平行，若直线 m 上存在点 P，A
9、BD 上存在点 K，满足 PK1，直接写出 b 的取值范围 27 （7 分）在等边ABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线点 D 在直线 AM 上，以 CD 为一边在 CD 的下方作等边CDE，连接 BE （1）当点 D 在线段 AM 上时， 请在图 1 中补全图形； CAM 的度数为 ； 求证：ADCBEC； （2）当点 D 在直线 AM 上时，直线 BE 与直线 AM 的交点为 O（点 D 与点 M 不重合，点 E 与点 O 不重合） ，直接写出线段 OE，OM 与 OD 的数量关系 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1图
10、书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念解答 【解答】解：A、不是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：A 【点评】 本题考查的是轴对称图形的概念， 轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合 2如图，在ABC 中，BC 边上的高为（ ） A B C D 【分析】根据三角形高的定义判断即可 【解答】解：如图，在ABC 中，BC 边上的高为线段 AD， 故选：B 【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线、高，解答的关键是对三角形的高的定义的掌握 3如图，已知12
11、，则不一定能使ABDACD 的条件是（ ） AABAC BBDCD CBC DBDACDA 【分析】利用全等三角形判定定理 ASA，SAS，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案 【解答】解：A、12，AD 为公共边，若 ABAC，则ABDACD（SAS） ；故 A 不符合题意； B、12，AD 为公共边，若 BDCD，不符合全等三角形判定定理，不能判定ABDACD；故 B 符合题意； C、12，AD 为公共边，若BC，则ABDACD（AAS） ；故 C 不符合题意； D、12，AD 为公共边，若BDACDA，则ABDACD（ASA） ；故 D 不符合题意 故选：B 【点评】此题主要考查学生对
12、全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题 4在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（3，5）关于 x 轴的对称点的坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （5，3） D （3，5） 【分析】关于 x 轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数 【解答】解：关于 x 轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P（3，5）关于 x 轴的对称点的坐标是（3，5） 故选：D 【点评】本题主要考查的是关于坐标轴对称点的坐标特点，明确关于 x 轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键 5如图，ABCDCB，若 AC7，BE5，则 DE 的长为（ ） A2 B3
13、C4 D5 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知 BDAC7，然后根据线段的和差即可得到结论 【解答】解：ABCDCB， BDAC7， BE5， DEBDBE2， 故选：A 【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键 6下列命题中正确的有（ ）个 三个内角对应相等的两个三角形全等； 三条边对应相等的两个三角形全等； 有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等； 等底等高的两个三角形全等 A1 B2 C3 D4 【分析】根据三角形全等的判定定理 SSS、SAS、ASA、AAS、HL可得出正确结论 【解答】解：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，错
14、误； 三条边对应相等的两个三角形全等，正确； 有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确； 等底等高的两个三角形不一定全等，错误； 故选：B 【点评】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有 SSS、SAS、ASA、AAS、HL做题时要按判定全等的方法逐个验证 7如图，在 RtABC 中，A30，DE 垂直平分 AB，垂足为点 E，交 AC 于 D 点，连接 BD，若 DE2，则 AC 的值为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】依据含 30角的直角三角形的性质，即可得到 AD 的长，再根据角平分线的性质，即可得到 CD的长，进而得出 AC 的长 【解答】解：A30，DE 垂直平分 AB
15、，DE2， ADBD4， ABDA30， DBCABD30， 即 BD 平分ABC， 又DEAB，DCBC， CDDE2， AC4+26， 故选：B 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含 30角的直角三角形的性质此题注意掌握数形结合思想的应用 8下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A （x+3） （x+2）2x Bx（x+3）+6 C3（x+2）+x2 Dx2+5x 【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算 【解答】解：A、大长方形的面积为： （x+3） （x+2
16、） ，空白处小长方形的面积为：2x，所以阴影部分的面积为（x+3） （x+2）2x，故正确； B、 阴影部分可分为应该长为 x+3， 宽为 x 和一个长为 x+2， 宽为 3 的长方形， 他们的面积分别为 x （x+3）和 326，所以阴影部分的面积为 x（x+3）+6，故正确； C、 阴影部分可分为一个长为 x+2， 宽为 3 的长方形和边长为 x 的正方形， 则他们的面积为： 3 （x+2） +x2，故正确； D、x2+5x，故错误； 故选：D 【点评】本题考查了长方形和正方形的面积计算，难度适中 9已知，如图在直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，BCx 轴于点 C，点 A 关于直线 OB
17、 的对称点 D 恰好在BC 上，点 E 与点 O 关于直线 BC 对称，OBC35，则OED 的度数为（ ） A10 B20 C30 D35 【分析】先根据平行线的性质求出AOB 的度数，由直角三角形的性质得出BOC 的度数，再根据点 A关于直线 OB 的对称点 D 恰好在 BC 上得出 OB 是线段 AD 的垂直平分线，故可得出BOD 的度数，进而得出DOC 的度数，由点 E 与点 O 关于直线 BC 对称可知 BC 是 OE 的垂直平分线，故可得出DOCOED 【解答】解：连接 OD， BCx 轴于点 C，OBC35， AOBOBC35，BOC903555 点 A 关于直线 OB 的对称点
18、 D 恰好在 BC 上， OB 是线段 AD 的垂直平分线， BODAOB35， DOCBOCBOD553520 点 E 与点 O 关于直线 BC 对称， BC 是 OE 的垂直平分线， DOCOED20 故选：B 【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键 10如图所示，在长方形 ABCD 的对称轴 l 上找点 P，使得PAB，PBC，PDC，PAD 均为等腰三角形，则满足条件的点 P 有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D1 个 【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到 5 个符合条件的点：一是作 A
19、B 或 DC 的垂直平分线交 l于 P；二是在长方形内部 在 l 上作点 P，使 PAAB，PDDC，同理，在 l 上作点 P，使 PCDC，ABPB；三是如图，在长方形外 l 上作点 P，使 ABBP，DCPC， 同理，在长方形外 l 上作点 P，使 APAB，PDDC 【解答】解：如图，作 AB 或 DC 的垂直平分线交 l 于 P， 如图，在 l 上作点 P，使 PAAB，同理，在 l 上作点 P，使 PCDC， 如图，在长方形外 l 上作点 P，使 ABBP，同理，在长方形外 l 上作点 P，使 PDDC， 综上所述，符合条件的点 P 有 5 个 故选：A 【点评】此题主要考查学生对等
20、腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11计算a2 （6ab）的结果是 2a3b 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行求解即可 【解答】解：a2 （6ab） （6）a2+1b 2a3b 故答案为：2a3b 【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的运算法则的掌握 12如图，已知 OP 平分MON，PAON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点若 PA2，则 PQ 的最小值为 2 ，理论根据为 角平分线上的点到角两边的距离相等，垂线段最短 【分析】过 P
21、作 PQOM 于 Q，此时 PQ 的长最短，根据角平分线性质得出 PQPA2 即可 【解答】解： 过 P 作 PQOM 于 Q，此时 PQ 的长最短（垂线段最短） ， OP 平分MON，PAON，PA2， PQPA2（角平分线上的点到角两边的距离相等） ， 故答案为：2，角平分线上的点到角两边的距离相等，垂线段最短 【点评】本题考查了角平分线性质，勾股定理的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等 13如图，点 P、M、N 分别在等边三角形 ABC 的各边上，且 MPAB 于点 P，MNBC 于点 M，PNAC于点 N，若 AB15cm，则 CM 的长为 5cm 【分析】由ABC 是等边三
22、角形，MPAB，MNBC，PNAC 可证明PMN 是等边三角形，得出 PNPMMN， 进而证明PBMMCNNAP， 得出PABMCN， PBMCAN， 再由MPB90，PMB30，得出 BM2PB，结合 AB15cm，可求出 PBMC5cm 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABC60， MPAB，MNBC，PNAC， MPBNMCPNA90， PMBMNCAPN30， NPMPMNMNP60， PMN 是等边三角形， PNPMMN， PBMMCNNAP（AAS） ， PABMCN，PBMCAN， BM+PBAB15cm， MPB90，PMB30， BM2PB， 2PB+PB15cm， PB
23、5cm， MC5cm， 故答案为：5cm 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键 14若等腰三角形的一个外角为 140，则它的顶角的度数为 40或 100 【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于等腰三角形外角的位置不确定，因此本题要分情况进行讨论 【解答】解：本题可分两种情况： 如图，当DCA140时，ACB40， ABAC，BACB40， A180BACB100； 如图，当EAC140时，BAC40， 因此等腰三角形的顶角度数为 40或 100 故填 40或 100 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理、三
24、角形外角的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键 15已知 a8131，b2741，c961，则 a、b、c 的大小关系是 abc 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解 【解答】解：a81313124， b27413123， c9613122， a、b、c 的底数相同， abc 故答案为：abc 【点评】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则 16如图，RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AB10，BD 平分ABC，如果 M、N 分别为 BD、BC 上的动点，那么 CM+MN 的最小值
25、是 4.8 【分析】先作 CE 垂直 AB 交 BD 于点 M，再作 MN 垂直 BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点 M 和 N，进而求得 CM+MN 的最小值 【解答】解：如图所示： 过点 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M， 过点 M 作 MNBC 于点 N， BD 平分ABC， MEMN， CM+MNCM+MECE RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，AB10，CEAB， SABCABCEACBC 10CE68 CE4.8 故答案为 4.8 【点评】本题考查了最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使 CM+MN 最小时的动
26、点 M和 N 17如果 xny，那么我们规定（x，y）n例如：因为 329，所以（3，9）2 根据上述规定， （2，8） 3 ，若（m，16）p， （m，5）q， （m，t）r，且满足 p+qr，则 t 80 【分析】根据有理数的乘方、同底数幂的乘法解决此题 【解答】解：238， （2，8）3 （m，16）p， （m，5）q， （m，t）r， mp16，mq5，mrt mpmqmp+q80 p+qr， mp+qmr mr80t t80 故答案为：3，80 【点评】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法是解决本题的关键 18 如图， 点 D 是ABC 三条
27、角平分线的交点， ABC68， 若 AB+BDAC， 则ACB 的度数为 34 【分析】 在 AC 上截取 AEAB， 连接 DE， 则可证明ABDAED， 得出 BDED， DEEC， 将ACB转化为ABD 进行计算 【解答】解：在 AC 上截取 AEAB，连接 DE， ACAB+BD， ECBD， 在ABD 和AED 中， ABAE，DACBAD，ADAD， ABDAED（SAS） ， BDED， DEEC， EDCECD， ACBEDC+ECDAEDABDABC34 故答案为 34 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，有一定难度，关键是仔细理解题
28、意，作出辅助线，要熟练掌握全等三角形的判定定理 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 20 分）分） 19 （16 分）计算： （1）a （a2）3 （a2） ； （2）4xy2 （x2yz3） ； （3）2xy（x23y2）4xy（2x2+y2） ； （4） （3x2） （x+5） 【分析】 （1）先算乘方，再按同底数幂的乘法法则计算； （2）按单项式乘单项式法则计算； （3）先按单项式乘单项式法则计算乘法，再合并同类项； （4）按多项式乘多项式法则计算 【解答】解： （1）a （a2）3 （a2） aa6 （a2） a1+6+2 a9； （2）4xy2 （x2yz3） （4） （xx2）
29、（y2y） z3 x3y3z3； （3）2xy（x23y2）4xy（2x2+y2） 2xyx22xy3y24xy2x24xyy2 2x3y6xy38x3y4xy3 6x3y10 xy3； （4） （3x2） （x+5） 3xx+3x52x25 3x2+15x2x10 3x2+13x10 【点评】本题考查了整式的计算，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式法则是解决本题的关键 20 （4 分）先化简，再求值x（2x24x）x2（6x3）+x（2x）2，其中 x 【分析】先利用整式的乘法计算，合并化简，最后代入求得数值即可 【解答】解：原式2x34x26x3+
30、3x2+4x3 x2， 当 x时， 原式 【点评】此题考查整式的混合运算与化简求值，掌握计算方法与合并同类项的方法是解决问题的关键 四、作图题（四、作图题（6 分）分） 21 （6 分）下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程 已知：ABC 求作：ABC 的边 BC 上的高 AD 作法：以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交直线 BC 于点 M，N； 分别以点 M，N 为圆心，以大于MN 的长为半径画弧，两弧相交于点 P； 作直线 AP 交 BC 于点 D，则线段 AD 即为所求ABC 的边 BC 上的高 根据小芸设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕
31、迹） （2）AP 是线段 MN 的 （填下列选项的序号） 垂直平分线 角平分线 点 P 在这条线上的依据是 到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】 （1）根据要求作出图形即可； （2）利用线段的垂直平分线的判定解决问题即可 【解答】解： （1）图形如图所示： （2） 直线 AP 是线段 MN 的垂直平分线， 理由是到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 故答案为：，到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型 五、解答题（五、解答题（22-25 每题每题
32、6 分，分，26-27 每题每题 7 分，共分，共 38 分）分） 22 （6 分）如图，ABC 中，ABAC，B30，点 D 是 AC 的中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E，连接 AE若 AE3，求 BC 的长 解：ABAC，B30 CB30（ 等边对等角 ） ， BAC180BC120 点 D 是 AC 的中点，且 DEAC， ECEA3（ 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 ） ， EACC30， BAEBACEAC 90 在 RtABE 中，B30， BE2 AE 6 ， BCBE+EC 9 【分析】根据等腰三角形的性质得出CB30，根据三角形的内角和定理求出
33、BAC180BC120， 根据线段垂直平分线性质得出 ECEA3， 求出EACC30， BAEBACEAC90，根据含 30角的直角三角形的性质得出 BE2AE6，再求出答案即可 【解答】解：ABAC，B30， CB30（等边对等角） ， BAC180BC120， 点 D 是 AC 的中点，且 DEAC， ECEA3（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等） ， EACC30， BAEBACEAC90 在 RtABE 中，B30， BE2AE6， BCBE+EC6+39， 故答案为：等边对等角，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，90，AE，6，9 【点评】本题考查了等腰三
34、角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和含 30角的直角三角形的性质等知识点，能熟记含 30角的直角三角形的性质是解此题的关键 23 （6 分）已知：如图，BACDAM，ABAN，ADAM，求证：BANM 【分析】由BACDAM 可得出BADNAM，结合 ABAN、ADAM 即可证出BADNAM（SAS） ，再根据全等三角形的性质可得出BANM 【解答】证明：BACDAM，BACBAD+DAC，DAMDAC+NAM， BADNAM 在BAD 和NAM 中， BADNAM（SAS） ， BANM 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理 SAS 证出BADN
35、AM 是解题的关键 24 （6 分）如图，已知AD90，ABDC，AC 与 BD 相交于 E，F 是 BC 的中点，求证：BEFCEF 【分析】先利用 AAS 证明ABEDCE，再利用 SSS 证明BFECFE 即可 【解答】证明：在ABE 和DCE 中， ， ABEDCE， BECE， F 是 BC 的中点， BFCF， 在BFE 和CFE 中， ， BFECFE， BEFCEF 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握利用 AAS 和 SSS 证明三角形全等，此题难度不大 25 （6 分） 已知： 如图， D 是ABC 的边 BA 延长线上一点， 且 ADAB，
36、E 是边 AC 上一点， 且 DEBC 求证：DEAC 【分析】过点 D 作 BC 的平行线交 CA 的延长线于点 F，根据全等三角形的判定和性质证明即可 【解答】证明：过点 D 作 BC 的平行线交 CA 的延长线于点 F， CF 点 A 是 BD 的中点， ADAB 在ADF 和ABC 中， ADFABC（AAS） DFBC， DEBC， DEDF FDEA 又CF， CDEA 【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，根据全等三角形的判定和性质证明是解题关键 26 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（t1，1）与点 B 关于过点（t，0）且垂直于 x 轴的直线对称 （1
37、）以 AB 为底边作等腰三角形 ABC， 当 t2 时，点 B 的坐标为 （3，1） ； 当 t0.5 且直线 AC 经过原点 O 时，点 C 与 x 轴的距离为 1 ； 若ABC 上所有点到 y 轴的距离都不小于 1，则 t 的取值范围是 t2 或 t2 （2）以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABD，直线 m 过点（0，b）且与 x 轴平行，若直线 m 上存在点 P，ABD 上存在点 K，满足 PK1，直接写出 b 的取值范围 【分析】 （1）根据 A，B 关于直线 x2 对称解决问题即可 求出直线 OA 与直线 x0.5 的交点 C 的坐标即可判断 由题意 A（t1，1） ，B（t+1，
38、1） ，根据ABC 上所有点到 y 轴的距离都不小于 1，构建不等式即可解决问题 （2）由题意 ABt+1（t1）2，由ABD 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，推出点 D 到 AB 的距离为 1，分两种情形分别求解即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中， 由题意 A（1，1） ，A，B 关于直线 x2 对称， B（3，1） 故答案为（3，1） 如图 2 中， 由题意 A（0.5，1） ，直线 l：x0.5， 直线 AC 的解析式为 y2x， C（0.5，1） ， 点 C 到 x 轴的距离为 1， 故答案为 1 由题意 A（t1，1） ，B（t+1，1） ， ABC 上所有点到 y
39、轴的距离都不小于 1， t11 或 t+11， 解得 t2 或 t2 故答案为 t2 或 t2 （2）如图 3 中， A（t1，1） ，B（t+1，1） ， ABt+1（t1）2， ABD 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， 点 D 到 AB 的距离为 1， 当点 D 在 AB 上方时，若直线 m 上存在点 P，ABD 上存在点 K，满足 PK1，则 0b3 当点 D 在 AB 下方时，若直线 m 上存在点 P，ABD 上存在点 K，满足 PK1，则1b2 综上所述，1b3 【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参
40、数根据不等式解决问题，属于中考压轴题 27 （7 分）在等边ABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线点 D 在直线 AM 上，以 CD 为一边在 CD 的下方作等边CDE，连接 BE （1）当点 D 在线段 AM 上时， 请在图 1 中补全图形； CAM 的度数为 30 ； 求证：ADCBEC； （2）当点 D 在直线 AM 上时，直线 BE 与直线 AM 的交点为 O（点 D 与点 M 不重合，点 E 与点 O 不重合） ，直接写出线段 OE，OM 与 OD 的数量关系 【分析】 （1）根据要求作出图形即可； 利用等腰三角形的三线合一的性质求解即可； 根据 SAS 证明三角形全等即可；
41、（2）根据要求作出图形，结论：OE+OD2OM利用全等三角形的性质证明即可 【解答】解： （1）图形如图 1 中所示： ABC 是等边三角形， BAC60， AM 是ABC 的中线， CAMBAMBAC30 故答案为：30； ABC，DCE 都是等边三角形， ACBDCE60，CACB，CDCE， ACDBCE， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ； （2）当点 D 在 BC 的下方 BE 的上方时，如图 2 中所示结论：OE+OD2OM 理由：同法可证，ACDBCE， BEAD，CBECAD30， OB2OM，AO2OB， OB+OEAOOD， 2OM+OE2OBOD， 2OM+OE4OMOD， OE+OD2OM 如图 3 中，当点 D 在 BC 的上方时，同法可得 ODOE+2OM 如图 4 中，当点 D 在 BE 的下方时，同法可得 2OMOEOD 【点评】本题考查作图复杂作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形 30角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型
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