1、2021-2022 学年北京市西城区八校联考八年级上期中数学试卷学年北京市西城区八校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题一、选择题（本题共（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A1，2，1 B1，2，2 C1，2，3 D1，2，4 2在下列“禁毒” 、 “和平” 、 “志愿者” 、 “节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ） A B C D 3如图，在ABC 中，BC 边上的高为（ ） A线段 AE B线段 BE C线段 BF D线段 CF 4已知等腰三角形的一个内角为 4
2、0，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A40 B100 C40或 70 D40或 100 5已知图中的两个三角形全等，则1 等于（ ） A72 B60 C58 D50 6 如图， AD 是ABC 中BAC 的角平分线， DEAB 于点 E， DE2， AC3， 那么ACD 的面积是 （ ） A2 B3 C6 D无法确定 7 请仔细观察用直尺和圆规作一个角AOB等于已知角AOB 的示意图， 请你根据图形全等的知识，说明画出AOBAOB 的依据是（ ） ASSS BSAS CASA DAAS 8根据下列已知条件，能画出唯一的ABC 的是（ ） AC90，AB6 BAB4，BC3，A30 CA60，B
3、45，AB4 DAB3，BC4，CA8 9如图，直线 l 表示一条河，点 A，B 表示两个村庄，想在直线 l 上的某点 P 处修建一个水泵站向 A，B 两村庄供水现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道） ，则铺设的管道最短的是（ ） A B C D 10 如图， 等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4， 面积是 16， 腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC， AB 边于 E，F 点若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为（ ） A6 B8 C10 D12 二、填空题二、填空题（本题共（本题共 10 小题，每小题小题，每小
4、题 3 分，共分，共 24 分）分） 11写出点 M（2，3）关于 x 轴对称的点 N 的坐标 12一个多边形的每个外角都等于 72，则这个多边形的边数为 13如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，能解释这一实际应用的数学知识是 14如图，BE 与 CD 交于点 A，且CD添加一个条件： ，使得ABCAED 15如图，在ABC 中，BE、CE 分别是ABC 和ACB 的平分线，过点 E 作 DFBC 交 AB 于 D、交 AC于 F，若 AB4，AC3，则ADF 周长为 16 如图， 在ABC 中， ABC90， ACB60， BDAC， 垂足为 D
5、 若 AB6， 则 BD 的长为 17已知一张三角形纸片 ABC（如图甲） ，其中ABCC将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落到 AB边上的 E 点处，折痕为 BD（如图乙） 再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点 A 恰好与点 D 重合，折痕为EF（如图丙） 原三角形纸片 ABC 中，ABC 的大小为 18如图，D 是ABC 内部的一点，ADCD，BADBCD，下列结论中，DACDCA；ABAC；BDAC；BD 平分ABC所有正确结论的序号是 三、解答题三、解答题 19如图，点 B 是线段 AD 上一点，BCDE，ABED，BCDB 求证：ABCEDB 20如图，在平面直角坐标系 xOy
6、中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（2，3） ，B（1，0） ，C（1，2） （1）在图中作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2）如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 全等，写出所有符合条件的点 D 坐标 四、解答题四、解答题 21如图，在ABC 和ADE 中，BACDAE，ADAE连接 BD，CE，ABDACE求证：ABAC 22 如图， 在ABC 中， AD 是 BC 边上的高， BE 平分ABC 交 AC 边于 E， BAC60， ABE25 求DAC 的度数 23如图，已知ABC 中，D 是 BC 的中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 BECF猜想
7、AB 与 AC 的数量关系，并证明你的结论 24 为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题， 某爱心企业捐资助学， 计划新建一所学校， 如图 AB，AC 表示两条公路，点 M，N 表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：到两条公路的距离相等；到两个村庄的距离相等；在BAC 的内部请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论 五、解答题五、解答题 25已知：在ABC 中，ACB60，BD 平分ABC，交 AC 于点 D，点 E 在线段 BD 上（点 E 不与点B，D 重合） ，且EAB2ECB求证：AE+ABBC 26如图 1，已知ABC 是等边三角形，点 D 是 BC 边上
8、一点 （1） 以 AD 为边构造等边ADE （其中点 D、 E 在直线 AC 两侧） ， 连接 CE， 猜想 CE 与 AB 的位置关系，并证明你的结论； （2）若过点 C 作 CMAB，在 CM 上取一点 F，连 AF、DF，使得 AFDF，试猜想ADF 的形状，并证明你的结论 参考答案解析参考答案解析 一、选择题每小题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 ）一、选择题每小题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 ） 1下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A1，2，1 B1，2，2 C1，2，3 D1，2，4 【分析】根据三角形的三边关系：三角
9、形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可 【解答】解：A、1+12，不能组成三角形，故 A 选项错误； B、1+22，能组成三角形，故 B 选项正确； C、1+23，不能组成三角形，故 C 选项错误； D、1+24，不能组成三角形，故 D 选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理 2在下列“禁毒” 、 “和平” 、 “志愿者” 、 “节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，故选项正确； C、
10、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对称图形，故选项错误 故选：B 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 3如图，在ABC 中，BC 边上的高为（ ） A线段 AE B线段 BE C线段 BF D线段 CF 【分析】利用三角形的高的定义可得答案 【解答】解：在ABC 中，BC 边上的高为 AE， 故选：A 【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高 4已知等腰三角形的一个内角为 40，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A40 B100 C40或
11、70 D40或 100 【分析】分这个角为底角和顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解即可 【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为 40， 当这个内角为底角时，则两个底角都为 40，此时顶角为：1804040100， 故选：D 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键 5已知图中的两个三角形全等，则1 等于（ ） A72 B60 C58 D50 【分析】根据图形条件和全等三角形的性质得出AF50，CE72，根据三角形内角和定理求出即可 【解答】解： 根据图形可知：ABCFDE， 所以AF50，CE72， 所以1180FE58， 故选：C 【点评】本题考查了
12、全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质得出AF50、CE72是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等 6 如图， AD 是ABC 中BAC 的角平分线， DEAB 于点 E， DE2， AC3， 那么ACD 的面积是 （ ） A2 B3 C6 D无法确定 【分析】过 D 作 DFAC，垂足为 F，由角平分线的性质可求得 DF 的长，再利用三角形的面积公式计算可求解 【解答】解：过 D 作 DFAC，垂足为 F， AD 平分BAC，DEAB， DFDE2， AC3， SACDACDF323 故选：B 【点评】本题主要考查角平分线的性质，构造ACD 中 AC 边上的
13、高是解题的关键 7 请仔细观察用直尺和圆规作一个角AOB等于已知角AOB 的示意图， 请你根据图形全等的知识，说明画出AOBAOB 的依据是（ ） ASSS BSAS CASA DAAS 【分析】根据作图过程可知 OCOC，ODOD，CDCD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据 【解答】解：根据作图过程可知 OCOC，ODOD，CDCD， 在OCD 与OCD中， OCDOCD（SSS） ， AOBAOB 故选：A 【点评】本题考查基本作图“作一个角等于已知角”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等从作法中找已知，根据已知条件选择判定方法 8根据
14、下列已知条件，能画出唯一的ABC 的是（ ） AC90，AB6 BAB4，BC3，A30 CA60，B45，AB4 DAB3，BC4，CA8 【分析】根据全等三角形的三边关系理逐个判断即可 【解答】解：A如图 RtACB 和 RtADB 的斜边都是 AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； BAB4，BC3，A30，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； CA60，B45，AB4，符合全等三角形的判定定理 ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； D3+48，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题
15、考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有 HL 9如图，直线 l 表示一条河，点 A，B 表示两个村庄，想在直线 l 上的某点 P 处修建一个水泵站向 A，B 两村庄供水现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道） ，则铺设的管道最短的是（ ） A B C D 【分析】依据轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离即可 【解答】解：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 BA交直线 l 于 P 根据两点之间，线段最短，可知选项
16、 D 铺设的管道最短 故选：D 【点评】本题考查了最短路线问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短” 凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 10 如图， 等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4， 面积是 16， 腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC， AB 边于 E，F 点若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】连接 AD，由于ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 ADBC，再根据三角形的面积公式求出 AD
17、 的长，再再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A，故AD 的长为 CM+MD 的最小值，由此即可得出结论 【解答】解：连接 AD， ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， ADBC， SABCBCAD4AD16，解得 AD8， EF 是线段 AC 的垂直平分线， 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A， AD 的长为 CM+MD 的最小值， CDM 的周长最短CM+MD+CDAD+BC8+48+210 故选：C 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键 二、填空题二、填空题 11写出点 M
18、（2，3）关于 x 轴对称的点 N 的坐标 （2，3） 【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）解得即可 【解答】解：点 M（2，3）关于 x 轴对称的点 N 的坐标为（2，3） 故答案为： （2，3） 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键 12一个多边形的每个外角都等于 72，则这个多边形的边数为 5 【分析】利用多边形的外角和 360，除以外角的度数，即可求得边数 【解答】解：多边形的边数是：360725 故答案为：5 【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是 360 度是关键 13如图，盖
19、房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，能解释这一实际应用的数学知识是 三角形的稳定性 【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断 【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性 故答案为：三角形的稳定性 【点评】 本题考查三角形稳定性的实际应用 三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用， 如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得 14如图，BE 与 CD 交于点 A，且CD添加一个条件： 答案不唯一
20、，但必须是一组对应边，如：ACAD ，使得ABCAED 【分析】根据三角形全等的判定方法填空 【解答】解：已知CDBACEAD（对顶角相等） ，则添加一组对应边相等即可 故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：ACAD 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 15如图，在ABC 中，BE、CE 分别是ABC 和ACB 的平分线，过点 E 作 DFBC 交 AB 于 D、交 AC于 F，若 AB4
21、，AC3，则ADF 周长为 7 【分析】根据角平分线的定义可得EBDEBC，ECFECB，再根据两直线平行，内错角相等可得EBCBED，ECBCEF，然后求出EBDDEB，ECFCEF，再根据等角对等边可得 EDBD，EFCF，即可得出 DFBD+CF；求出ADF 的周长AB+AC，然后代入数据进行计算即可得解 【解答】解：E 是ABC，ACB 平分线的交点， EBDEBC，ECFECB， DFBC， DEBEBC，FECECB， DEBDBE，FECFCE， DEBD，EFCF， DFDE+EFBD+CF， 即 DEBD+CF， ADF 的周长AD+DF+AF（AD+BD）+（CF+AF）A
22、B+AC， AB4，AC3， ADF 的周长4+37， 故答案为 7 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键 16 如图， 在ABC 中， ABC90， ACB60， BDAC， 垂足为 D 若 AB6， 则 BD 的长为 3 【分析】利用含 30的直角三角形的性质解答即可 【解答】解：在ABC 中，ABC90，ACB60， BAC90ACB906030， BDAC， ADB90， AB6， BDAB， 故答案为：3 【点评】此题考查含 30的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角
23、形中，30角所对的直角边等于斜边的一半解答 17已知一张三角形纸片 ABC（如图甲） ，其中ABCC将纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落到 AB边上的 E 点处，折痕为 BD（如图乙） 再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点 A 恰好与点 D 重合，折痕为EF（如图丙） 原三角形纸片 ABC 中，ABC 的大小为 72 【分析】先设ABCC2，然后用含有 的式子表示A，ADE，BED，进而得到AED，最后利用三角形的外角性质列出方程求得 ，即可求得ABC 的大小 【解答】解：设ABCC2，则A180ABCC1804， 由折叠得，BEDC2，ADEA1804， BED 是AED 的外角， BE
24、DA+ADE， 21804+1804， 解得：36， ABC72， 故答案为：72 【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示 18如图，D 是ABC 内部的一点，ADCD，BADBCD，下列结论中，DACDCA；ABAC；BDAC；BD 平分ABC所有正确结论的序号是 【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论 【解答】解：ADCD， DACDCA，故正确； BADBCD， BAD+DACBCD+DCA， 即BACBCA， ABBC，故错误； ABBC，ADDC， BD 垂直平分
25、 AC，故正确； BD 平分ABC，故正确； 故答案为： 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和判断，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键 三、解答题三、解答题 19如图，点 B 是线段 AD 上一点，BCDE，ABED，BCDB 求证：ABCEDB 【分析】先根据平行线的性质得到ABCD，然后根据“SAS”判断ABCEDB 【解答】证明：BCDE， ABCD， 在ABC 和EDB 中 ， ABCEDB（SAS） 【点评】本题考查了全等三角形的判定：灵活运用全等三角形的 5 种判定方法 20如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（2，3） ，B（
26、1，0） ，C（1，2） （1）在图中作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2）如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 全等，写出所有符合条件的点 D 坐标 【分析】 （1）利用轴对称变换，即可作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2）依据以 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 全等，可知两个三角形有公共边 BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点 D 坐标 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求； （2）当BCD 与BCA 关于 BC 对称时，点 D 坐标为（0，3） ， 当BCA 与CBD 关于 BC 的中点对称时，点 D 坐标为（ 0，1） ， B
27、CA 与CBD 关于 BC 的中垂线对称时，点 D 坐标为当（2，1） 【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等 四、解答题四、解答题 21如图，在ABC 和ADE 中，BACDAE，ADAE连接 BD，CE，ABDACE求证：ABAC 【分析】由“AAS”可证BADCAE，可得 ABAC 【解答】证明：BACDAE， BACCADDAECAD， 即BADCAE， 在BAD 和CAE 中， BADCAE（AAS） ， ABAC 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明BADCAE 是本题的关键 22
28、如图， 在ABC 中， AD 是 BC 边上的高， BE 平分ABC 交 AC 边于 E， BAC60， ABE25 求DAC 的度数 【分析】根据角平分线的定义可得ABC2ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出BAD，然后根据DACBACBAD 计算即可得解 【解答】解：BE 平分ABC， ABC2ABE22550， AD 是 BC 边上的高， BAD90ABC905040， DACBACBAD604020 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键 23如图，已知ABC 中，D 是 BC 的中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且
29、 BECF猜想 AB 与 AC 的数量关系，并证明你的结论 【分析】由“HL”可证 RtBEDRtCFD，可得BC，可得结论 【解答】解：ABAC，理由如下： 点 D 是 BC 边上的中点， BDCD， DEAB 于 E，DFAC 于 F， DEBDFC90， 在 RtBED 和 RtCFD 中， ， RtBEDRtCFD（HL） ， BC， ABAC 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键 24 为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题， 某爱心企业捐资助学， 计划新建一所学校， 如图 AB，AC 表示两条公路，点 M，N 表示两个村庄，学校的位置需满足三个条
30、件：到两条公路的距离相等；到两个村庄的距离相等；在BAC 的内部请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论 【分析】先连接 MN，根据线段垂直平分线的性质作出线段 MN 的垂直平分线 DE，再作出BAC 的平分线 AF，DE 与 AF 相交于 P 点，则点 P 即为所求 【解答】解：点 P 为线段 MN 的垂直平分线与BAC 的平分线的交点，则点 P 到点 M、N 的距离相等，到 AB、AC 的距离也相等，作图如下： 【点评】此题考查作图应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键 五、解答题五、解答题 25已知：在ABC 中，ACB60，
31、BD 平分ABC，交 AC 于点 D，点 E 在线段 BD 上（点 E 不与点B，D 重合） ，且EAB2ECB求证：AE+ABBC 【分析】在 BC 上截取 BFAB，连接 EF，证明ABEFBE，推 AEEF，EABEFB，再根据三角形的外角等于不相邻的连个内角的和这一定理， 写出EFBFEC+ECB， 通过等量代换推ECBFEC，进一步证明 EFFC，再通过等量代换，证明 AE+ABBC 【解答】证明：在 BC 上截取 BFAB，连接 EF， BD 平分ABC， 在ABE 与FBE 中， ， ABEFBE（SAS） ， AEEF，EABEFB， EAB2ECB， EFBFEC+ECB，
32、2ECBFEC+ECB， ECBFEC， EFFC， BCBF+FC， AE+ABBC 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质， 熟练掌握判定与性质的综合应用， 在 BC 上截取 BFAB，连接 EF，证明ABEFBE 是解题的关键 26如图 1，已知ABC 是等边三角形，点 D 是 BC 边上一点 （1） 以 AD 为边构造等边ADE （其中点 D、 E 在直线 AC 两侧） ， 连接 CE， 猜想 CE 与 AB 的位置关系，并证明你的结论； （2）若过点 C 作 CMAB，在 CM 上取一点 F，连 AF、DF，使得 AFDF，试猜想ADF 的形状，并证明你的结论 【分析】 （1）C
33、EAB，由“SAS”可证BADCAE，可得ABDACEBAC60，可得结论； （2）延长 BC 至 G，构造等边三角形 CFG，证明DFGAFC，然后证明AFDCFG60，从而证明ADF 为等边三角形 【解答】解： （1）CEAB， 证明：ABC 和ADE 是等边三角形， ABAC，ADAE，BACDAE60ABC， BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE（SAS） ， ABDACE60， BACACE， CEAB； （2）延长 BC 至点 G，使得 CGCF，作 FHCG 于点 H， 作 FNAC 于点 N， CM/AB， FCGB60， CFG 是等边三角形， CFFG， 又ACFBAC60， FCNG60， FMCFHG90， NFCHFG（AAS） ， NFFH， 又AFDF， RtAFNRtDFH（HL） ， DFHAFN， DFH+GFHAFN+NFC， 即AFCDFG， AFD+DFCCFG+DFC， AFDCFG60， ADF 是等边三角形 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形额判定和性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定
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