1、2021-2022 学年北京市海淀区十二校联考八年级上期中数学试卷学年北京市海淀区十二校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 20 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1如图各组两个图形属于全等图形的是（ ） A B C D 2下列四个图形中，线段 AD 是ABC 中 BC 边上的高的是（ ） A B C D 3下列运算结果为 a6的是（ ） Aa3a2 Ba9a3 C （a2）3 Da18a3 4计算：3x（2x5）的结果为（ ） A6x215x B6x2+5 C6x2+15x D6x25x 5已知 xm2，xn3，则 xm+n的值是（ ） A5 B6 C8 D9
2、6若三角形的两边长分别为 3 和 5，则第三边 m 的值可能是（ ） Am2 Bm4 Cm8 Dm9 7如图，AB 和 CD 相交于点 O，AC，则下列结论中不一定正确的是（ ） ABD B2B C1C+B DCD 8 如图， ABCDEF， DF 和 AC， FE 和 CB 是对应边 若A100， F47， 则DEF 等于 （ ） A100 B53 C47 D33 9如图，在ABC 中，ABAC，AD、CE 分别是ABC 的中线和角平分线若CAB40，则ACE的度数是（ ） A20 B30 C35 D70 10如图，经过直线 AB 外一点 C 作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点
3、K，使点 K 和点 C 在 AB 的两旁 （2）以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E （3）分别以点 D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F （4）作直线 CF则直线 CF 就是所求作的垂线根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ） ACDF BCDK CCDE DDEF 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11计算（3）0 12计算： （）20211.52022 13在平面直角坐标系中，已知点 A（3，b）和点 B（a，2）关于 y 轴对称，则 ab的值是
4、 14如图中 x 的值为 15如图（1）是一个长为 2a，宽为 2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积是 （用含 a，b 的式子表示） 16如图，D 在 BC 边上，ABCADE，EAC40，则B 的度数为 17 学了全等三角形的判定后， 小明编了这样一个题目：“已知： 如图， ADAC， BCBD， CABDAB，求证：ABDABC ” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是： 18 如图， 在ABC中， ABAC， AB的垂直平分线MN交AC于D点 若BD平分ABC
5、， 则A 19如图，OP 平分AOB，AOP15，PCOA，PDOA 于点 D，PC6，则 PD 20在等边ABC 中，M、N、P 分别是边 AB、BC、CA 上的点（不与端点重合） ，对于任意等边ABC，下面四个结论中： 存在无数个MNP 是等腰三角形； 存在无数个MNP 是等边三角形； 存在无数个MNP 是等腰直角三角形； 存在一个MNP 在所有MNP 中面积最小 所有正确结论的序号是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 30 分，第分，第 21 题每小题题每小题 12 分，第分，第 22、23 每题每题 4 分，分，24、25 题每题题每题 5 分）分） 21 （12 分）计算： （1
6、）5xy2 （xy2）3 （2） （2a）3 （a）4a2 （3） （5x+2y） （3xy） 22 （4 分）已知：如图，E 是 BC 上一点，ABEC，ABCD，BCCD求证：ACED 23 （4 分）化简求值：当 x22x30 时，求代数式（x+1） （x3）+x（x4）+（x2） （x+2）的值 24 （5 分）已知：如图，点 C 在MON 的边 OM 上 求作：射线 CD，使 CDON，且点 D 在MON 的角平分线上 作法：以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 OM，ON 于点 A，B；分别以点 A，B 为圆心，大于的长为半径画弧，交于点 Q；画射线 OQ；以点 C 为圆
7、心，CO 长为半径画弧，交射线 OQ 于点 D；画射线 CD射线 CD 就是所求作的射线 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： OD 平分MON， MOD OCCD， MOD NODCDO CDON（ ） （填推理的依据） 25 （5 分）如图，已知在等腰三角形 ABC 中，ABAC，P、Q 分别是边 AC，AB 上的点，且 APPQQCBC求PCQ 的度数 四、解答题： （共四、解答题： （共 3 道题，满分道题，满分 20 分，其中分，其中 26 题题 6 分，分，27 题题 7 分，分，28 题题 7 分）分） 26 （6 分）阅读材料： 我们
8、定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对” 即：如果 abab，那么 与 b 就叫做“差商等数对” ，记为（a，b） 例如：4242；33； 则称数对（4，2） ， （，3）是“差商等数对” 根据上述材料，解决下列问题： （1）下列数对中， “差商等数对”是 （填序号） ； （8.1，9）（，）（，1） （2）如果（a，2）是“差商等数对” ，请求出 a 的值； （3）在（2）的条件下，先化简再求值：（4a2b2ab2b3）b（2a+b） （2ab）b 27 （7 分）数学老师布置了一道作业题： 等边三角形 ABC，过点 C 作直线 lAB，点 D 是线段 B
9、C 上一点，连接 AD，作 AD 的垂直平分线交直线l 于点 P，在点 D 运动过程中，探究线段 AC，DC，PC 之间的数量关系 数学小组同学们经过思考，交流了自己的想法： 小聪：利用轴对称知识，以直线 l 为对称轴构造ACP 的轴对称图形ACP（图 2） 可推得CAPCDP 小明：D 在运动过程中，APD 始终不变 小慧：通过证明三角形全等，可得到线段 AC，DC，PC 之间的数量关系 （1）用等式表示线段 AC，DC，PC 之间的数量关系是 （2）数学小组同学们解决完老师布置的作业题，进一步思考：若点 D 在点 B 左侧（如图 3） ，再探究线段 AC，DC，PC 之间的数量关系，画图并
10、证明 （3） 同学们继续思考： 若点D在直线BC上运动， 请直接写出线段AC， DC， PC之间的数量关系 28 （7 分）给出如下定义：在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P1（a，b） ，P2（c，b） ，P3（c，d） ，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点 P1，P2，P3的“完美间距” 例如：如图，点 P1（1，2） ，P2（1，2） ，P3（1，3）的“完美间距”是 1 （1）点 Q1（4，1） ，Q2（5，1） ，Q3（5，5）的“完美间距”是 ； （2）已知点 O（0，0） ，A（4，0） ，B（4，y） 若点 O，A，B 的“完美间距”是 2，则 y 的值为 ； 点 O
11、，A，B 的“完美间距”的最大值为 ； （3）已知点 C（0，4） ，D（4，0） ，点 P（m，n）为线段 CD 上一动点，当 O（0，0） ，E（m，0） ，P（m，n）的“完美间距”取到最大值时，求此时点 P 的坐标 2021-2022 学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷学年北京市海淀区中关村中学八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 20 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1如图各组两个图形属于全等图形的是（ ） A B C D 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断 【解答】解：A、两个正
12、方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项不符合题意 B、两个图形能够完全重合，故本选项符合题意； C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项不符合题意； D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题 2下列四个图形中，线段 AD 是ABC 中 BC 边上的高的是（ ） A B C D 【分析】根据三角形高的画法知，过点 A 作 ADBC，垂足为 D，其中线段 AD 是ABC 的高，再结合图形进行判断 【解答】解：线段 AD 是ABC 的高的图是选项 D 故选：D 【点评】本题主要考查了三角形的高，
13、三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段 3下列运算结果为 a6的是（ ） Aa3a2 Ba9a3 C （a2）3 Da18a3 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可 【解答】解：Aa3a2a5，故本选项不合题意； Ba9与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； C （a2）3a6，故本选项符合题意； Da18a3a15，故本选项不合题意 故选：C 【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键 4计算：3x（2x5）的结果为（
14、） A6x215x B6x2+5 C6x2+15x D6x25x 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则进行解答即可得出答案 【解答】解：3x（2x5） 3x2x3x5 6x215x 故选：A 【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键 5已知 xm2，xn3，则 xm+n的值是（ ） A5 B6 C8 D9 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则化简求出答案 【解答】解：xm2，xn3， xm+nxmxn236 故选：B 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键 6若三角形的两边长分别为 3 和 5，则第三边 m 的值可能是（ ）
15、 Am2 Bm4 Cm8 Dm9 【分析】 已知两边， 则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和， 这样就可求出第三边长的范围 【解答】解：第三边 m 的取值范围是 53m5+3， 即 2m8 ，只有 m2 适合， 故选：B 【点评】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和 7如图，AB 和 CD 相交于点 O，AC，则下列结论中不一定正确的是（ ） ABD B2B C1C+B DCD 【分析】利用三角形内角和定理和三角形外角的性质逐一判断即可 【解答】解：AC，AOBBOC， BD，故 A 正确，不符合题意； 2 是BOC 的外角， 2
16、B，故 B 正确，不符合题意； 1 是BOC 的外角， 1B+C，故 C 正确，不符合题意； AD 与 BC 不一定平行， C 不一定等于D，故 D 错误，符合题意 故选：D 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键 8 如图， ABCDEF， DF 和 AC， FE 和 CB 是对应边 若A100， F47， 则DEF 等于 （ ） A100 B53 C47 D33 【分析】根据全等三角形的对应角相等、三角形的内角和是 180 度来解答 【解答】解：ABCDEF，DF 和 AC，FE 和 CB 是对应边， AFDE， 又A100，
17、FDE100； F47，FDE+F+DEF180， DEF180FFDE1804710033； 故选：D 【点评】本题主要考查的是全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理根据相等关系，把已知条件转到同一个三角形中然后利用三角形的内角和来求解是解决这类问题常用的方法 9如图，在ABC 中，ABAC，AD、CE 分别是ABC 的中线和角平分线若CAB40，则ACE的度数是（ ） A20 B30 C35 D70 【分析】根据等腰三角形的性质得到ACB70，最后根据角平分线的定义计算即可 【解答】解：ABAC，CAB40， BACB70， CE 是ABC 的角平分线， ACEACB35 故选：C
18、 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键 10如图，经过直线 AB 外一点 C 作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点 K，使点 K 和点 C 在 AB 的两旁 （2）以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E （3）分别以点 D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F （4）作直线 CF则直线 CF 就是所求作的垂线根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ） ACDF BCDK CCDE DDEF 【分析】依据尺规作图，即可得到 CDCK，
19、CDCE，DFEF，进而得出CDK，CDE，DEF 都是等腰三角形 【解答】解：由作图可得，CD，DF，CF 不一定相等，故CDF 不一定是等腰三角形； 而 CDCK，CDCE，DFEF，故CDK，CDE，DEF 都是等腰三角形； 故选：A 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11计算（3）0 1 【分析】根据零指数幂的性质即可得出答案 【解答】解： （3）01， 故答案为：1 【点评】本题主要考查了零指数幂的性质，比较简单 12计算： （）20211.5
20、2022 【分析】逆向运算积的乘方运算法则计算即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘 【解答】解： （）20211.52022 （）20211.520211.5 故答案为： 【点评】本题考查了积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键 13在平面直角坐标系中，已知点 A（3，b）和点 B（a，2）关于 y 轴对称，则 ab的值是 9 【分析】根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求 a、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解 【解答】解：点 A（3，b）和点 B（a，2）关于 y 轴对称， a3，b2， ab（3）29 故答案为：9 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴
21、对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 14如图中 x 的值为 130 【分析】根据五边形的内角和是 540列出方程，解方程即可 【解答】解：因为五边形的内角和是： （52）180540， 所以 x+x+80+90+（x20）540， 解得 x130， 故答案为：130 【点评】本题考查多边形的内角和公式，根据五边形的内角和列出方程是解题关键 15如图（1）是一个长为 2a，宽为 2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同
22、的小长方形， 然后按图 （2） 所示拼成一个大正方形， 则中间空白部分的面积是 （ab）2 （用含 a，b 的式子表示） 【分析】由图（1）得出小长方形的长与宽分别为 a，b，然后根据图（2）中大正方形的面积减去四个小长方形的面积表示出中空部分面积即可 【解答】解：中间空白部分的面积是： （a+b）24ab a2+2ab+b24ab a22ab+b2 （ab）2， 故答案为： （ab）2 【点评】本题考查了列代数式、完全平方公式的运算，能正确列出代数式是解决问题的前提，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键 16如图，D 在 BC 边上，ABCADE，EAC40，则B 的度数为 70 【分析】根
23、据全等三角形的性质得出 ABAD，BACDAE，求出BADEAC40，根据等腰三角形的性质得出BADB，即可求出答案 【解答】解：ABCADE， ABAD，BACDAE， BACDACDAEDAC， BADEAC， EAC40， BAD40， ABAD， BADB（180BAD）70， 故答案为：70 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出 ABAD 和求出BADEAC 是解此题的关键 17 学了全等三角形的判定后， 小明编了这样一个题目：“已知： 如图， ADAC， BCBD， CABDAB，求证：ABDABC ” 老师说他
24、的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是： CABDAB 或 BCBD 【分析】依据其中 AB 为公共边，依据 SSS 可证明ABDACE 即可 【解答】解：可以去掉的一个已知条件是：CABDAB 或 BCBD， 理由：在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SSS） 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） 可去掉的条件是CABDAB 或 BCBD 故答案为：CABDAB 或 BCBD 【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 18 如图， 在ABC 中， ABAC， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点 若 BD
25、 平分ABC， 则A 36 【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 ADBD，根据等边对等角可得AABD，然后表示出ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得CABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可 【解答】解：ABAC， CABC， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点 AABD， BD 平分ABC， ABDDBC， C2AABC， 设A 为 x， 可得：x+x+x+2x180， 解得：x36， 故答案为：36 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 19如图，OP 平分AOB，AOP15，
26、PCOA，PDOA 于点 D，PC6，则 PD 3 【分析】过点 P 作 PEOB 于 E，根据角平分线的定义可得AOB2AOP，根据两直线平行，同位角相等可得PCEAOB，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 PEPC，最后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 PDPE 【解答】解：如图，过点 P 作 PEOB 于 E， OP 平分AOB， AOB2AOP21530， PCOA， PCEAOB30， PEPC63， OP 平分AOB，PDOA，PEOB， PDPE3 故答案为：3 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形 30角所对的直角边等
27、于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形以及与 PD 相等的线段是解题的关键 20在等边ABC 中，M、N、P 分别是边 AB、BC、CA 上的点（不与端点重合） ，对于任意等边ABC，下面四个结论中： 存在无数个MNP 是等腰三角形； 存在无数个MNP 是等边三角形； 存在无数个MNP 是等腰直角三角形； 存在一个MNP 在所有MNP 中面积最小 所有正确结论的序号是 【分析】利用图象法，画出图形判定即可解决问题 【解答】解：如图 1 中，满足 AMBNPC，可证PMN 是等边三角形，这样的三角形有无数个 如图 2 中， 当 NMNP， MNP90时， MNP 是
28、等腰直角三角形， 这样的三角形有无数个 （见图 3） 故正确，PNM 的面积不存在最小值（面积可以接近 O，没有最小值） 故答案为 【点评】 本题考查等腰三角形的判定和性质， 等边三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 30 分，第分，第 21 题每小题题每小题 12 分，第分，第 22、23 每题每题 4 分，分，24、25 题每题题每题 5 分）分） 21 （12 分）计算： （1）5xy2 （xy2）3 （2） （2a）3 （a）4a2 （3） （5x+2y） （3xy） 【分析】 （1）原式利用
29、幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘单项式法则计算即可得到结果； （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可得到结果； （3）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果 【解答】解： （1）原式5xy2 （x3y6） 5x4y8； （2）原式8a3a4a2 8a7a2 8a5； （3）原式15x25xy+6xy2y2 15x2+xy2y2 【点评】此题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键 22 （4 分）已知：如图，E 是 BC 上一点，ABEC，ABCD，BCCD求证：ACED 【分析】根据两直线平行，内
30、错角相等可得BECD，然后利用“边角边”证明ABC 和ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证 【解答】证明：ABCD， BDCE 在ABC 和ECD 中， ， ABCECD（SAS） ACED 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，比较简单，求出BECD 是证明三角形全等的关键 23 （4 分）化简求值：当 x22x30 时，求代数式（x+1） （x3）+x（x4）+（x2） （x+2）的值 【分析】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可 【解答】解： （x+1） （x3）+x（x4）+（x2） （x+2） x23x+x3+x24x+x24
31、 3x26x7， x22x30， x22x3， 当 x22x3 时，原式3（x22x）73372 【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序 24 （5 分）已知：如图，点 C 在MON 的边 OM 上 求作：射线 CD，使 CDON，且点 D 在MON 的角平分线上 作法：以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 OM，ON 于点 A，B；分别以点 A，B 为圆心，大于的长为半径画弧，交于点 Q；画射线 OQ；以点 C 为圆心，CO 长为半径画弧，交射线 OQ 于点 D；画射线 CD射线 CD 就是所求作的射线 （1）使用直尺和圆规
32、，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： OD 平分MON， MOD NOD OCCD， MOD CDO NODCDO CDON（ 内错角相等两直线平行 ） （填推理的依据） 【分析】 （1）根据要求作出图形即可 （2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明CDODON 即可 【解答】解： （1）如图，射线 CD 即为所求作 （2）OD 平分MON， MODNOD OCCD， MODCDO， NODCDO CDON（内错角相等两直线平行） 故答案为：NOD，CDO，内错角相等两直线平行 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题
33、的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型 25 （5 分）如图，已知在等腰三角形 ABC 中，ABAC，P、Q 分别是边 AC，AB 上的点，且 APPQQCBC求PCQ 的度数 【分析】设A，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到CPQA+AQP2，BQCA+ACQ3，然后根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论 【解答】解：设A， APPQ， AQPA， CPQA+AQP2， PQCQ， QPCPCQ2， BQCA+ACQ3， CQBC， CQB+B3， ACAB， ACBB3， A+ACB+B180， +3+3180， ， PCQ2 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形
34、的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 四、解答题： （共四、解答题： （共 3 道题，满分道题，满分 20 分，其中分，其中 26 题题 6 分，分，27 题题 7 分，分，28 题题 7 分）分） 26 （6 分）阅读材料： 我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对” 即：如果 abab，那么 与 b 就叫做“差商等数对” ，记为（a，b） 例如：4242；33； 则称数对（4，2） ， （，3）是“差商等数对” 根据上述材料，解决下列问题： （1）下列数对中， “差商等数对”是 （填序号） ； （8.1，9）（，）（，
35、1） （2）如果（a，2）是“差商等数对” ，请求出 a 的值； （3）在（2）的条件下，先化简再求值：（4a2b2ab2b3）b（2a+b） （2ab）b 【分析】 （1）根据“差商等数对”的概念逐一计算即可判断； （2）根据“差商等数对”的定义列出关于 a 的方程 a2，解之即可； （3）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算即可 【解答】解： （1）8.1（9）8.1+90.9，0.9，即（8.1，9）是“差商等数对” ， 0，1，即（，）不是“差商等数对” ， （1）+1，即（，1）是“差商等数对” ， 故答案为：； （2）（a，2）是“差商等数对” ， a
36、2， 解得：a4； （3）（4a2b2ab2b3）b（2a+b） （2ab）b （4a22abb24a2+b2）b （2ab）b 3a， 当 a4 时， 原式3412 【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序 27 （7 分）数学老师布置了一道作业题： 等边三角形 ABC，过点 C 作直线 lAB，点 D 是线段 BC 上一点，连接 AD，作 AD 的垂直平分线交直线l 于点 P，在点 D 运动过程中，探究线段 AC，DC，PC 之间的数量关系 数学小组同学们经过思考，交流了自己的想法： 小聪：利用轴对称知识，以直线 l 为对称轴构造AC
37、P 的轴对称图形ACP（图 2） 可推得CAPCDP 小明：D 在运动过程中，APD 始终不变 小慧：通过证明三角形全等，可得到线段 AC，DC，PC 之间的数量关系 （1）用等式表示线段 AC，DC，PC 之间的数量关系是 CACD+CP （2）数学小组同学们解决完老师布置的作业题，进一步思考：若点 D 在点 B 左侧（如图 3） ，再探究线段 AC，DC，PC 之间的数量关系，画图并证明 （3）同学们继续思考：若点 D 在直线 BC 上运动，请直接写出线段 AC，DC，PC 之间的数量关系 当点 D 在线段 BC 上时，结论：CACD+CP当点 D 在 CB 的延长线时，结论：CDCP+C
38、A当点 D 在BC 的延长线上时，结论：CPCA+CD 【分析】 （1）如图 2 中，结论：CACD+CP以直线 l 为对称轴构造ACP 的轴对称图形ACP，在CA 上取一点 M，使得 CMCD，连接 DM，设 DP 交 AC 于点 J证明ADMPDC（SAS） ，可得结论； （2）如图 3 中，结论：CDCP+CA证明方法类似（1） ； （3）分三种情形，当点 D 在线段 BC 上时，结论：CACD+CP当点 D 在 CB 的延长线时，结论：CDCP+CA当点 D 在 BC 的延长线上时，结论：CPCA+CD证明方法类似 【解答】解： （1）如图 2 中，结论：CACD+CP 理由： 以直线
39、 l 为对称轴构造ACP 的轴对称图形ACP， 在 CA 上取一点 M， 使得 CMCD， 连接 DM，设 DP 交 AC 于点 J ABC 是等边三角形， ACBCAB60， CPAB， ACPCAB60， PCAPCA60， ACB+ACP+PCA180， B，C，A共线， 点 P 在线段 AD 的垂直平分线上， PAPD， PAPA， PDPA， PDAA， ACAP， PDCPAC， AJPDJC， APJDCJ60， ADP 是等边三角形， DADP， CDCM，DCM60， DCM 是等边三角形， DMDC， ADBMDC60， ADMPDC， ADMPDC（SAS） ， AMPC
40、， CACM+AMCD+CP 故答案为：CACD+CP （2）如图 3 中，结论：CDCP+CA 理由： 以直线 l 为对称轴构造ACP 的轴对称图形ACP， 在 CB 上取一点 N， 使得 CNCP， 连接 PN，设 DC 交 AP 于点 J 同法可证，B，C，A共线， PAPDPA， APDJCAJ， AJCDJP， APDACJ60， CNCP，PCN60， PCN 是等边三角形， PCPN， APDCPN60， DPNAPC， DPNAPC（SAS） ， DNAC， CDCN+DNCP+CA； （3）当点 D 在线段 BC 上时，结论：CACD+CP（证明见（1） ） 当点 D 在 C
41、B 的延长线时，结论：CDCP+CA （证明见（2） ） 如图 4 中，当点 D 在 BC 的延长线上时，结论：CPCA+CD 理由：以直线 l 为对称轴构造ACP 的轴对称图形ACP，在 CP 上取一点 K，使得 CKCD 同法可证，ADCPDK（SAS） ， ACPK， PCCK+PKCD+CA 故答案为：当点 D 在线段 BC 上时，结论：CACD+CP 当点 D 在 CB 的延长线时，结论：CDCP+CA 当点 D 在 BC 的延长线上时，结论：CPCA+CD 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
42、全等三角形解决问题 28 （7 分）给出如下定义：在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P1（a，b） ，P2（c，b） ，P3（c，d） ，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点 P1，P2，P3的“完美间距” 例如：如图，点 P1（1，2） ，P2（1，2） ，P3（1，3）的“完美间距”是 1 （1）点 Q1（4，1） ，Q2（5，1） ，Q3（5，5）的“完美间距”是 1 ； （2）已知点 O（0，0） ，A（4，0） ，B（4，y） 若点 O，A，B 的“完美间距”是 2，则 y 的值为 2 ； 点 O，A，B 的“完美间距”的最大值为 4 ； （3）已知点 C（0，4） ，D（4
43、，0） ，点 P（m，n）为线段 CD 上一动点，当 O（0，0） ，E（m，0） ，P（m，n）的“完美间距”取到最大值时，求此时点 P 的坐标 【分析】 （1）分别计算出 Q1Q2，Q2Q3，Q1Q3的长度，比较得出最小值即可； （2）分别计算出 OA，AB 的长度，由于斜边大于直角边，故 OBOA，OBAB，所以“最佳间距”为 OA 或者 AB 的长度，由于“最佳间距”为 1，而 OA4，故 OB2，即可求解 y 的值； 由可得， “最佳间距”为 OA 或 AB 的长度，当 OAAB 时， “最佳间距”为 OA4，当 OAAB 时，“最佳间距”为 AB4，比较两个“最大间距” ，即可解决
44、； （3）同（2） ，当点 O（0，0） ，E（m，0） ，P（m，n）的“最佳间距”为 OE 或者 PE 的长度，先求出直线 CD 的解析式，用 m 表示出线段 OE 和线段 PE 的长度，分两类讨论，当 OEPE 和 OEPE 时，求出各自条件下的“最佳间距” ，比较 m 的范围，确定“最佳间距”的最大值，进一步求解出 P 点坐标 【解答】解： （1）如图，在给出图形中标出点 Q1，Q2，Q3， Q1（4，1） ，Q2（5，1） ，Q3（5，5） ， Q1Q21，Q2Q34， 在 RtQ1Q2Q3中，Q1Q3， 14， “最佳距离”为 1， 故答案为：1 （2）如图， O（0，0） ，A（
45、4，0） ，B（4，y） ， OA4，AB|y|， 在直角ABO 中，OBOA，OBAB， 又点 O，A，B 的“最佳间距”是 2， 且 42， |y|2， y2， 故答案为：2； 由可得，OBOA，OBAB， “最佳间距”的值为 OA 或者是 AB 的长， OA4，AB|y|， 当 ABOA 时， “最佳间距”为 4， 当 ABOA 时， “最佳间距”为|y|4， 点 O，A，B 的“最佳间距”的最大值为 4， 故答案为：4； （3）设直线 CD 为 ykx+4，代入点 D 得，如图， 4k+40， k1， 直线 CD 的解析式为：yx+4， E（m，0） ，P（m，n） ，且 P 是线段 CD 上的一个动点， PEy 轴， OEm，PEnm+4， 当mm+4 时，即 OEPE 时，m2， “最佳间距”为 m+4，此时 m+42， 当mm+4 时，即 OEPE 时，2m0， “最佳间距“为m，此时m2， 点 O（0，0） ，E（m，0） ，P（m，n）的“最佳间距”取到最大值时，m2， m2， nm+42， P（2，2） 【点评】本题是一次函数背景下的新定义题目，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键， （2）中 OA 与 AB 的长度大小不确定时，需要分类讨论，是解决此题的突破口
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