1、 2021-2022 学年北京市海淀区十五校联考八年级上期中数学试卷学年北京市海淀区十五校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 12022 年冬奥会将在北京举行，中国将是第一个实现奥运“全满贯” （先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）的国家以下会徽是轴对称图形的是（ ） A B C D 2用直角三角板，作ABC 的高，下列作法正确的是（ ） A B C D 3下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A5，11，6 B6，9，14 C10，5，4 D8，8，16 4已知点 P（3，2）与
2、点 Q 关于 x 轴对称，则 Q 点的坐标为（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 5三角形中，到三个顶点距离相等的点是（ ） A三条高线的交点 B三边垂直平分线的交点 C三条角平分线的交点 D三条中线的交点 6已知图中的两个三角形全等，则 等于（ ） A50 B60 C70 D80 7如图，已知BOP 与 OP 上的点 C，点 A，小临同学现进行如下操作： 以点 O 为圆心，OC 长为半径画弧，交 OB 于点 D，连接 CD； 以点 A 为圆心，OC 长为半径画弧，交 OA 于点 M； 以点 M 为圆心，CD 长为半径画弧，交第 2 步中所画的弧于点 E，连接
3、 ME 下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ） AACDEAP BOBAE CODCAEM DCDME 8 如图的 44 的正方形网格中， 有 A、 B 两点， 在直线 a 上求一点 P， 使 PA+PB 最短， 则点 P 应选在 （ ） AC 点 BD 点 CE 点 DF 点 9 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动、C 点固定，OCCDDE，点 D、E 可在槽中滑动若BDE75，则CDE 的度数是（ ） A60 B65 C75 D80 10如图，将
4、 RtABC 过点 B 折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，折痕为 BD，现有以下结论： DEAB； BCBE； BD 平分ABC； BCE 是等边三角形； BD 垂直平分 EC； 其中正确的有（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11一个多边形的内角和是 720，这个多边形的边数是 12如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这种做法依据的数学原理是 13如图，DEAB，A25，D45，则ACB 的度数为 14如图，在 RtABC 中ACB90A50，以点
5、B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交 AB 于点D，连接 CD那么ACD 的度数是 15如图，AOEBOE15，EFOB，ECOB，若 EC2，则 EF 16如图，ABC 为等边三角形，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上，AECF，CE 与 BF 相交于点 P，则EPB 17如图，ABC 中，ABAC，AD 平分BAC，点 E 是线段 BC 延长线上一点，连接 AE，点 C 在 AE 的垂直平分线上，若 DE12cm，则ABC 的周长是 18 定义： 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的 “特征值” 若等腰ABC中，A80，则它的特征值 k 三、解答题（本
6、大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 38 分）分） 19 （6 分）如图，已知：D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DEFE，FCAB求证：AECE 证明： ， 12 在AED 与CEF 中， AEDCEF （ ） AECE （ ） 20 （6 分）两个小区 A、B 与两条马路公路 l1，l2位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门需在 C 处修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区 A、B 的距离必须相等，到两条马路 l1，l2的距离也必须相等，那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点 C 21 （6 分）已知，如图，ABAC，
7、BDCD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，求证：DEDF 22 （6 分）如图，已知：OAB，EOF 都是等腰直角三角形，AOB90，中，EOF90，连接AE、BF求证： （1）AEBF； （2）AEBF 23 （6 分）在学习实数时，我们知道了正方形对角线的长度是边长的倍，所以等腰直角三角形的底边长是腰长的倍例如，图 1 中的四边形 ABCD 是正方形，ABC 是等腰直角三角形，则 ACAB 小玲遇到这样一个问题：如图 2，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，BAC45，BC2，ADBC于点 D，求 AD 的长 小玲发现：如图 3，分别以 AB，AC 为对称轴，分别作出ABD，ACD
8、 的轴对称图形，点 D 的对称点分别为 E，F，延长 EB，FC 交于点 G，可以得到正方形 AEGF，根据轴对称图形的性质和正方形四条边都相等就能求出 AD 的长， 请直接写出： BD 的长为 ， BG 的长为 ， AD 的长为 ； 参考小玲思考问题的方法，解决问题： 如图 4，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0） ，B（0，4） ，AB5，点 P 是OAB 外角的角平分线AP 和 BP 的交点，直接写出点 P 的坐标为 24 （8 分）如图 1，共顶点的两个三角形ABC，ABC，若 ABAB，ACAC，且BAC+BAC180，我们称ABC 与ABC互为“顶补三角形” （1）已知A
9、BC 与ADE 互为“顶补三角形” ，AF 是ABC 的中线 如图 2，若ADE 为等边三角形时，直接写出 DE 与 AF 的数量关系 ； 如图 3，若ADE 为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由 如图 3，若ADE 为任意三角形，且 SADE5，则 SABC （2）如图 4，四边形 ABCD 中，B+C90，在平面内是否存在点 P，使PAD 与PBC 互为“顶补三角形” ，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 12022 年冬奥会将在北
10、京举行，中国将是第一个实现奥运“全满贯” （先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）的国家以下会徽是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】 根据如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义 2用直角三角板，作ABC 的高，下列作法正确的是（ ） A B C D 【分析】
11、根据高线的定义即可得出结论 【解答】解：A、B、C 均不是高线 故选：D 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键 3下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A5，11，6 B6，9，14 C10，5，4 D8，8，16 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可 【解答】解：A、5+611， 长为 5，11，6 的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、6+914， 长为 6，9，14 的三条线段能组成三角形，符合题意； C、4+510， 长为 5，11，6 的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、8+816， 长为 8，8，16 的三条线段不能组成三角
12、形，不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键 4已知点 P（3，2）与点 Q 关于 x 轴对称，则 Q 点的坐标为（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 【分析】利用关于 x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数的性质来求解 【解答】解：根据轴对称的性质，得点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（3，2） 故选：C 【点评】熟记关于 x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于 y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标均互为相反数 5三角形
13、中，到三个顶点距离相等的点是（ ） A三条高线的交点 B三边垂直平分线的交点 C三条角平分线的交点 D三条中线的交点 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出答案即可 【解答】解： OAOB， O 在线段 AB 的垂直平分线上， OAOC，OBOC， O 在线段 AC 的垂直平分上，O 在线段 BC 的垂直平分线上， O 是ABC 三边的垂直平分线的交点， 故选：B 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线的性质是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 6已知图中的两个三角形全等，则 等于（ ） A50 B60 C70 D80 【分析】根据全等三角
14、形的性质即可求出答案 【解答】解：两个三角形全等， 180506070， 故选：C 【点评】 本题考查了全等三角形的性质， 属于基础题型 解答本题的关键是熟练运用全等三角形的性质 7如图，已知BOP 与 OP 上的点 C，点 A，小临同学现进行如下操作： 以点 O 为圆心，OC 长为半径画弧，交 OB 于点 D，连接 CD； 以点 A 为圆心，OC 长为半径画弧，交 OA 于点 M； 以点 M 为圆心，CD 长为半径画弧，交第 2 步中所画的弧于点 E，连接 ME 下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ） AACDEAP BOBAE CODCAEM DCDME 【分析】证明OCDAME，根据平
15、行线的判定定理即可得出结论 【解答】解：在OCD 和AME 中， ， OCDAME（SSS） ， DCOEMA，OOAE，ODCAEM CDME，OBAE 故 B、C、D 都可得到 OCDAME， DCOAME，则ACDEAP 不一定得出 故选：A 【点评】本题考查了平行线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到相等的线段，证明OCDAME是关键 8 如图的 44 的正方形网格中， 有 A、 B 两点， 在直线 a 上求一点 P， 使 PA+PB 最短， 则点 P 应选在 （ ） AC 点 BD 点 CE 点 DF 点 【分析】首先求得点 A 关于直线 a 的对称点 A，连接 AB，即可求得答案
16、【解答】解：如图，点 A是点 A 关于直线 a 的对称点，连接 AB，则 AB 与直线 a 的交点，即为点 P，此时 PA+PB 最短， AB 与直线 a 交于点 C， 点 P 应选 C 点 故选：A 【点评】此题考查了最短路径问题注意首先作出其中一点关于直线 L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 L 的交点就是所要找的点 9 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动、C 点固定，OCCDDE，点 D、E 可在槽中滑动若BDE75，则CDE 的度数是（
17、） A60 B65 C75 D80 【分析】根据 OCCDDE，可得OODC，DCEDEC，根据三角形的外角性质可知DCEO+ODC2ODC， 进一步根据三角形的外角性质可知BDE3ODC75， 即可求出ODC的度数，进而求出CDE 的度数 【解答】解：OCCDDE， OODC，DCEDEC， DCEO+ODC2ODC， O+OED3ODCBDE75， ODC25， CDE+ODC180BDE105， CDE105ODC80 故选：D 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题 的关键 10如图，将 RtABC 过点 B 折叠，使直角顶点 C 落
18、在斜边 AB 上的点 E 处，折痕为 BD，现有以下结论： DEAB； BCBE； BD 平分ABC； BCE 是等边三角形； BD 垂直平分 EC； 其中正确的有（ ） A B C D 【分析】由折叠的性质可得BEDBCD90，BCBE，CBDEBD，DEDC，可得 DEAB，BD 平分ABC，由线段垂直平分线的判定可得 BD 垂直平分 EC，由ABC 不一定等于 60，可得BEC 不一定是等边三角形，即可求解 【解答】解：将 RtABC 过点 B 折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处， BCDBED， BEDBCD90，BCBE，CBDEBD，DEDC， DEAB，BD 平
19、分ABC，故正确， DEDC，BEBC， BD 垂直平分 EC，故正确， ABC 不一定等于 60， BEC 不一定是等边三角形，故错误， 故选：D 【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的性质，等边三角形的判定等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11一个多边形的内角和是 720，这个多边形的边数是 6 【分析】根据内角和定理 180 （n2）即可求得 【解答】解：多边形的内角和公式为（n2） 180， （n2）180720， 解得 n6， 这个多边形的边数是 6 故答案为：6
20、【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即 180 （n2） ，难度适中 12如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这种做法依据的数学原理是 三角形具有稳定性 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可 【解答】解：为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这种做法依据的数学原理是 三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 【点评】本题考查的是三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键 13如图，DEAB，A25，D45，则ACB 的度数为 110 【分析】由 DE 与 AB 垂直，利用垂直的定义得到BED 为直角，进而确定出BDE 为直角三
21、角形，利用直角三角形的两锐角互余，求出B 的度数，在ABC 中，利用三角形的内角和定理即可求出ACB的度数 【解答】解：DEAB， BED90， D45， B180BEDD45， 又A25， ACB180（A+B）110 故答案为：110 【点评】此题考查了三角形的外角性质，直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键 14如图，在 RtABC 中ACB90A50，以点 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交 AB 于点D，连接 CD那么ACD 的度数是 20 【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，A5
22、0， B40， BCBD， BCDBDC（18040）70， ACD907020， 故答案为：20 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键 15如图，AOEBOE15，EFOB，ECOB，若 EC2，则 EF 4 【分析】作 EGOA 于 F，根据角平分线的性质得到 EG 的长度，再根据平行线的性质得到OEFCOE15，然后利用三角形的外角和内角的关系求出EFG30，利用 30角所对的直角边是斜边 的一半解题 【解答】解：作 EGOA 于 G，如图所示： EFOB，AOEBOE15 OEFCOE15，EGCE2， AOE15， EFG15+1530，
23、 EF2EG4 故答案为：4 【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含 30角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出EFG30是解决问题的关键 16如图，ABC 为等边三角形，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上，AECF，CE 与 BF 相交于点 P，则EPB 60 【分析】证明BCEABF（SAS） ，由全等三角形的性质得到BCEABF，则由图示知PBC+PCBPBC+ABFABC60，即PBC+PCB60，所以根据三角形内角和定理求得BPC120，易得EPB 的度数 【解答】解：ABC 是等边三角形， BCAB，AEBC60， 在BCE 与ABF 中， ， BC
24、EABF（SAS） ， BCEABF， PBC+PCBPBC+ABFABC60，即PBC+PCB60， BPC18060120 即：BPC120， BPE60 故答案为：60 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质、 等边三角形的性质 证明BCEABF 是解题的关键 17如图，ABC 中，ABAC，AD 平分BAC，点 E 是线段 BC 延长线上一点，连接 AE，点 C 在 AE 的垂直平分线上，若 DE12cm，则ABC 的周长是 24cm 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 ACCE，根据等腰三角形三线合一的性质可得 BDCD，然后求出 AD+BDDE 【解答】
25、解：点 C 在 AE 的垂直平分线上， ACCE， ABAC，AD 平分BAC， BDCD， AB+BDAC+CDCE+CDDE， DE12cm， AB+BC+ACAB+BD+AC+CD21224cm 故答案为：24cm 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键 18 定义： 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的 “特征值” 若等腰ABC中，A80，则它的特征值 k 或 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数从而可求解 【解答】解： 当A 为顶角时，等腰三角形两底角
26、的度数为：50 特征值 k 当A 为底角时，顶角的度数为：180808020 特征值 k 综上所述，特征值 k 为或 故答案为或 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知A 的度数，要分A 是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 38 分）分） 19 （6 分）如图，已知：D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DEFE，FCAB求证：AECE 证明： FCAB ， 12 在AED 与CEF 中， AEDCEF （ AAS ） AECE （ 全等三角形的对应边相等 ）
27、【分析】由“AAS“可证AEDCEF，可得 AECE 【解答】证明：FCAB， 12， 在AED 和CEF 中， ， AEDCEF（AAS） ， AECE（全等三角形的对应边相等） 故答案为：FCAB；DEFE；AAS；全等三角形的对应边相等 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键 20 （6 分）两个小区 A、B 与两条马路公路 l1，l2位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门需在 C 处修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区 A、B 的距离必须相等，到两条马路 l1，l2的距离也必须相等，那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图
28、找出所有符合条件的点 C 【分析】作EOF 的角平分线 OP，作线段 AB 的垂直平分线 MN，MN 交 OP 于点 C，点 C 即为所求 【解答】解：如图，点 C 即为所求 【点评】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质解决问题 21 （6 分）已知，如图，ABAC，BDCD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，求证：DEDF 【分析】连接 AD，利用“边边边”证明ABD 和ACD 全等，然后根据全等三角形对应角相等可得BADCAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可
29、【解答】证明：如图，连接 AD， 在ABD 和ACD 中， ， ABDACD（SSS） ， BADCAD， 又DEAB，DFAC， DEDF 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 22 （6 分）如图，已知：OAB，EOF 都是等腰直角三角形，AOB90，中，EOF90，连接AE、BF求证： （1）AEBF； （2）AEBF 【分析】 （1）可以把要证明相等的线段 AE，CF 放到AEO，BFO 中考虑全等的条件，由两个等腰直 角三角形得 AOBO，OEOF，再找夹角相等，这两个夹角
30、都是直角减去BOE 的结果，当然相等了，由此可以证明AEOBFO； （2）由（1）知：OACOBF，BDAAOB90，由此可以证明 AEBF 【解答】 （1）证明：在AEO 与BFO 中， RtOAB 与 RtEOF 等腰直角三角形， AOOB，OEOF，AOE90BOEBOF， AEOBFO， AEBF； （2）证明：延长 AE 交 BF 于 D，交 OB 于 C，则BCDACO， 由（1）知：OACOBF， BDAAOB90， AEBF 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条
31、件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 23 （6 分）在学习实数时，我们知道了正方形对角线的长度是边长的倍，所以等腰直角三角形的底边长是腰长的倍例如，图 1 中的四边形 ABCD 是正方形，ABC 是等腰直角三角形，则 ACAB 小玲遇到这样一个问题：如图 2，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，BAC45，BC2，ADBC于点 D，求 AD 的长 小玲发现：如图 3，分别以 AB，AC 为对称轴，分别作出ABD，ACD 的轴对称图形，点 D 的对称点分别为 E，F，延长 EB，FC 交于点 G，可以得到正方形 AEGF，根据轴对称图形的性质和
32、正方形四条边都相等就能求出 AD 的长， 请直接写出： BD 的长为 ， BG 的长为 2 ， AD 的长为 2+ ； 参考小玲思考问题的方法，解决问题： 如图 4，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0） ，B（0，4） ，AB5，点 P 是OAB 外角的角平分线 AP 和 BP 的交点，直接写出点 P 的坐标为 （6，6） 【分析】根据等腰三角形的性质得出 BDDC，求出ADCADB90，根据折叠得出 ADAEAF， EADB90， FADC90， EABDAB， FACDAC， 求出四边形 AEGF是正方形，根据正方形的性质得出 AEAFFGEG，G90，设 AEAFFGEGx，则
33、 BGCGx，在 RtBGC 中，由勾股定理得出（2）2（x）2+（x）2，求出方程的解即可； 过点 P 分别作 PCx 轴于点 C， PDy 轴于点 D， PEAB 于点 E， 求出四边形 OCPD 是正方形，推出 ACAE，BDBE，OCCP，求出 OC+ODOA+AB+BO12 即可 【解答】解：ABAC，BAC45，BC2， BDDC，BG 的长为 2，AD 的长为 2+； 理由是：如图 3， ABAC，ADBC，BC2， BDDC， ADBC， ADCADB90， 分别以 AB，AC 为对称轴，分别作出ABD，ACD 的轴对称图形，点 D 的对称点分别为 E，F， ADAEAF，EA
34、DB90，FADC90，EABDAB，FACDAC， BACBAD+CAD45， EAF45+4590， 四边形 AEGF 是正方形， AEAFFGEG，G90， 设 AEAFFGEGx，则 BGCGx， 在 RtBGC 中，由勾股定理得： （2）2（x）2+（x）2， 解得：x2+（负值舍去） ， 即 BG2+2，ADAE2+， 故答案为：；2；2+； 如图 4，过点 P 分别作 PCx 轴于点 C，PDy 轴于点 D，PEAB 于点 E， 则BDPDOCPCO90， AP 和 BP 是OAB 的外角的角平分线， EAPCAP，DBPEBP，PCPEPD， 四边形 OCPD 是正方形，ACA
35、E，BDBE， OCCPPDDO， A（3，0） ，B（0，4） ， AB5， OC+ODOA+AB+BO12， OCOD6， CPPD6， P（6，6） 故答案为： （6，6） 【点评】本题考查了三角形的综合题，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正方形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，题目比较好，难度偏大，用了方程思想 24 （8 分）如图 1，共顶点的两个三角形ABC，ABC，若 ABAB，ACAC，且BAC+B AC180，我们称ABC 与ABC互为“顶补三角形” （1）已知ABC 与ADE 互为“顶补三角形” ，AF 是ABC 的中线 如图 2，若ADE 为等边
36、三角形时，直接写出 DE 与 AF 的数量关系 DE2AF ； 如图 3，若ADE 为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由 如图 3，若ADE 为任意三角形，且 SADE5，则 SABC 5 （2）如图 4，四边形 ABCD 中，B+C90，在平面内是否存在点 P，使PAD 与PBC 互为“顶补三角形” ，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由等边三角形的性质可得 ADAEDE，DAE60，由互为“顶补三角形”定义可得 ABADAEACDE，BAC120，由等腰三角形和直角三角形的性质可求 ABDE2AF； 延长 AF 到 G，使 AFFG，连接 BG，
37、CG，由题意可证四边形 ABGC 是平行四边形，可得 BGAC，ACBG，BAC+ABG180，由互为“顶补三角形”定义可得 ABAD，ACAE，BAC+DAE180，可证ABGDAE，即 DEAG2AF； 延长 BA 到 G，使 AGAB，连接 CG，证明ADEAGC（SAS） ，根据全等三角形的性质可得 SADESAGC5，根据等底同高的三角形面积相等即可求解； （2） 延长 CD 交 BA 延长线于点 Q， 作 CD 的垂直平分线 EP 交 AB 的垂直平分线于点 P， 连接 CP， DP，AP，BP，由线段垂直平分线的性质可得 PCPD，PAPB，PECD，PFAB，由等腰三角形的性质
38、可得DPECPE，APFBPF，可证APD+BPC180，即可证PAD 与PBC 互为“顶补三角形” 【解答】解： （1）DE2AF， 证明：ADE 是等边三角形， ADAEDE，DAE60， ABC 与ADE 互为“顶补三角形” ， ABADAEACDE，BAC120， ABAC，AF 是中线，BAC120， AFBC，B30， AB2AF， DE2AF， 故答案为：DE2AF； 结论仍然成立，理由如下： 如图，延长 AF 到 G，使 AFFG，连接 BG，CG， AFFG，BFFC， 四边形 ABGC 是平行四边形， BGAC，ACBG， BAC+ABG180， ABC 与ADE 互为“顶
39、补三角形” ， ABAD，ACAE，BAC+DAE180， AEACBG，DAEABG，且 ABAD， ABGDAE（SAS） ， DEAG2AF； 延长 BA 到 G，使 AGAB，连接 CG， ABC 与ADE 互为“顶补三角形” ， ABAD，ACAE，且BAC+DAE180， AGAD， BAC+GAC180， GACDAE， 在ADE 和AGC 中， ， ADEAGC（SAS） ， SADESAGC5， ABC 和AGC 等底同高， SABC5 故答案为：5； （2）解：存在， 证明：如图，延长 CD 交 BA 延长线于点 Q，作 CD 的垂直平分线 EP 交 AB 的垂直平分线于点 P，连接CP，DP，AP，BP， EP 垂直平分 CD，PF 垂直平分 AB， PCPD，PAPB，PECD，PFAB， DPECPE，APFBPF， B+C90， Q90，且 PECD，PFAB， EPF90， APD+DPE+APF90， APD+BPCAPD+EPF+CPE+BPFAPD+DPE+APF+90， APD+BPC180，且 PCPD，PAPB， PAD 与PBC 互为“顶补三角形” 【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键
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