1、2021-2022 学年北京市朝阳区三校联考八年级上期中数学模拟试卷学年北京市朝阳区三校联考八年级上期中数学模拟试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分. 1下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A赵爽弦图 B费马螺线 C科克曲线 D斐波那契螺旋线 2下列计算正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba3a2a5 C （a2）3a5 Da8a2a4 3和点 P（3，2）关于 x 轴对称的点是（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 4 如图， ABC 沿 AB 向下翻折得到AB
2、D， 若ABC30， ADB100， 则BAC 的度数是 （ ） A100 B30 C50 D80 5如图，过ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（ ） A B C D 6下列命题中正确的有（ ）个 三个内角对应相等的两个三角形全等； 三条边对应相等的两个三角形全等； 有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等； 等底等高的两个三角形全等 A1 B2 C3 D4 7若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1 的度数为（ ） A40 B50 C60 D70 8如图，ABC 中，ABAC，B30，点 D 是 AC 的中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E
3、，连接EA则BAE 的度数为（ ） A30 B80 C90 D110 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，8） ，点 B（6，8） ，若点 P 同时满足下列条件：点 P 到 A，B 两点的距离相等；点 P 到xOy 的两边距离相等则点 P 的坐标为（ ） A （3，5） B （6，6） C （3，3） D （3，6） 10已知直线 l 及直线 l 外一点 P如图， （1）在直线 l 上取一点 A，连接 PA； （2）作 PA 的垂直平分线 MN，分别交直线 l，PA 于点 B，O； （3）以 O 为圆心，OB 长为半径画弧，交直线 MN 于另一点 Q； （4）作直线 PQ 根据以上
4、作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） AOPQOAB BPQAB CAPBQ D若 PQPA，则APQ60 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分. 11五边形的内角和为 度 12如果等腰三角形有两条边长分别为 2cm 和 3cm，那么它的周长是 13等腰三角形的一个角等于 40，则它的顶角的度数是 14已知射线 OM以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A，再以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 OB，如图所示，则AOB 度 15我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫
5、作等腰三角形的“特征值” ，记作 k若 k2，则该等腰三角形的顶角为 度 16 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， DEF 可以看作是由ABC 经过若干次的图形变化 （轴对称、 平移）得到的，写出一种由ABC 得到DEF 的过程： 17 如图， ABC 中， BAC90， C30， ADBC 于 D， BE 是ABC 的平分线， 且交 AD 于点 P，如果 AP2，则 AC 的长为 18如图所示，在长方形 ABCD 的对称轴 l 上找点 P，使得PAB，PBC 均为等腰三角形则满足条件的点P 有 个 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 个小题，共个小题，共 46 分分.19 题题
6、 5 分，分，20 题题 4 分，分，21-25 题每题题每题 5 分，分，26，27 题每题题每题 6 分分. 19 （5 分）数学课上，王老师布置如下任务： 如图，ABC 中，BCABAC，在 BC 边上取一点 P，使APC2ABC 小路的作法如下： 作 AB 边的垂直平分线，交 BC 于点 P，交 AB 于点 Q； 连接 AP 请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹） ；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： PQ 是 AB 的垂直平分线 AP ， （依据： ） ； ABC ， （依据： ） APC2ABC 20 （4 分）点 D 为ABC 的边 BC 的延长
7、线上的一点，DFAB 于点 F，交 AC 于点 E，A35，D40，求ACD 的度数 21 （5 分）已知：如图，F，C 是 AD 上的两点，且 ABDE，ABDE，AFCD 求证：BCEF 22 （5 分）已知：如图，C 是线段 AB 的中点，AB，ACEBCD 求证：ADBE 23 （5 分） 如图， ABC 中， ABBC，ABC90， F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上， 且 AECF （1）求证：AECF； （2）若BAE25，求ACF 的度数 24 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 O（0，0） ，A（1，2） ，B（2，1） （1）在图中画出AOB
8、关于 y 轴对称的A1OB1，并直接写出点 A1和点 B1的坐标； （不写画法，保留画图痕迹） （2）求A1OB1的面积 25 （5 分）如图，点 D 在ABC 的 AB 边上，且ACDA （1）作BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） ； （2）在（1）的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系（不要求证明） 26 （6 分）如图，在等腰直角ABC 中，ACB90，P 是线段 BC 上一点，连接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQCP， 过点 Q 作 QHAP 于点 H， 交 AB 于点 M（1） 若CAP20， 则AMQ （2）判
9、断 AP 与 QM 的数量关系，并证明 27 （6 分）在ABC 中，ACBC，ACB90，点 D 在 BC 的延长线上，M 是 BD 的中点，E 是射线CA 上一动点，且 CECD，连接 AD，作 DFAD，DF 交 EM 延长线于点 F （1）如图 1，当点 E 在 CA 上时，填空：AD DF（填“” 、 “”或“” ） （2）如图 2，当点 E 在 CA 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断 AD 与 DF 的数量关系，并证明你的结论 附加题附加题 28定义：如图 1，在ABC 和ADE 中，ABACADAE，当BAC+DAE180时，我们称ABC与DAE 互为 “顶补等腰三角形”
10、 ， ABC 的边 BC 上的高线 AM 叫做ADE 的 “顶心距” ， 点 A 叫做 “旋补中心” （1）特例感知：在图 2，图 3 中，ABC 与DAE 互为“顶补等腰三角形” ，AM 是“顶心距” 如图 2，当BAC90时，AM 与 DE 之间的数量关系为 AM DE； 如图 3，当BAC120，ED6 时，AM 的长为 （2）猜想论证： 在图 1 中，当BAC 为任意角时，猜想 AM 与 DE 之间的数量关系，并给予证明 （3）拓展应用 如图 4，在四边形 ABCD 中，ADAB，CDBC，B90，A60，CD，在四边形 ABCD的内部找到点 P，使得PAD 与PBC 互为“顶补等腰三
11、角形” 并回答下列问题 请在图中标出点 P 的位置，并描述出该点的位置为 ； 直接写出PBC 的“顶心距”的长为 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分. 1下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A赵爽弦图 B费马螺线 C科克曲线 D斐波那契螺旋线 【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C 【点评】 此题主要考查了轴对称
12、图形， 判断轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合 2下列计算正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba3a2a5 C （a2）3a5 Da8a2a4 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，逐一进行计算即可判断 【解答】解：A因为 a3+a2a5，故 A 选项计算错误； B因为 a3a2a5，故 B 选项计算正确； C因为（a2）3a6，故 C 选项计算错误； D因为 a8a2a6，故 D 选项计算错误 故选：B 【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解决本题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法
13、，幂的乘方与积的乘方法则 3和点 P（3，2）关于 x 轴对称的点是（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答 【解答】解：点 P（3，2）关于 x 轴对称的点是（3，2） 故选：C 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 4 如图， ABC 沿 AB 向下翻折得到ABD， 若ABC30， ADB100， 则BAC 的度数是
14、 （ ） A100 B30 C50 D80 【分析】由翻折的特点可知，ACBADB100，进一步利用三角形的内角和求得BAC 的度数即可 【解答】解：ABC 沿 AB 向下翻折得到ABD， ACBADB100， BAC180ACBABC 18010030 50 故选：C 【点评】此题考查翻折的特点：翻折前后两个图形全等；以及三角形的内角和定理的运用 5如图，过ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（ ） A B C D 【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答 【解答】解：四个选项中只有 ADBC， C 正确 故选：C
15、 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟记三角形高线的定义是解题的关键 6下列命题中正确的有（ ）个 三个内角对应相等的两个三角形全等； 三条边对应相等的两个三角形全等； 有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等； 等底等高的两个三角形全等 A1 B2 C3 D4 【分析】根据三角形全等的判定定理 SSS、SAS、ASA、AAS、HL可得出正确结论 【解答】解：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，错误； 三条边对应相等的两个三角形全等，正确； 有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确； 等底等高的两个三角形不一定全等，错误； 故选：B 【点评】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有 S
16、SS、SAS、ASA、AAS、HL做题时要按判定全等的方法逐个验证 7若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1 的度数为（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】在左图中，先利用三角形内角和计算出边 a 所对的角为 50，然后根据全等三角形的性质得到1 的度数 【解答】解：在左图中，边 a 所对的角为 180607050， 因为图中的两个三角形全等， 所以1 的度数为 50 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等 8如图，ABC 中，ABAC，B30，点 D 是 AC 的中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点
17、E，连接EA则BAE 的度数为（ ） A30 B80 C90 D110 【分析】根据BAEBACEAD，只要求出BAC，EAD 即可解决问题 【解答】解：ABAC， BC30， BAC1803030120， DE 垂直平分线段 AC， EAEC， EADC30， BAEBACEAD90 故选：C 【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，8） ，点 B（6，8） ，若点 P 同时满足下列条件：点 P 到 A，B 两点的距离相等；点 P 到xOy 的两边距离相等则点 P 的坐标为
18、（ ） A （3，5） B （6，6） C （3，3） D （3，6） 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到点 P 在线段 AB 的垂直平分线 x3 上，根据角平分线的性质解答即可 【解答】解：点 A（0，8） ，点 B（6，8） ，点 P 到 A，B 两点的距离相等， 点 P 在线段 AB 的垂直平分线 x3 上， 点 P 到xOy 的两边距离相等， 点 P 的坐标为（3，3） 故选：C 【点评】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、坐标与图形性质，掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键 10已知直线 l 及直线 l 外一点 P如图， （1）在直线 l 上取一点 A
19、，连接 PA； （2）作 PA 的垂直平分线 MN，分别交直线 l，PA 于点 B，O； （3）以 O 为圆心，OB 长为半径画弧，交直线 MN 于另一点 Q； （4）作直线 PQ 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） AOPQOAB BPQAB CAPBQ D若 PQPA，则APQ60 【分析】连接 AQ，BP，如图，利用基本作图得到 BQ 垂直平分 PA，OBOQ，则可根据“SAS”判断OABOPQ，根据全等三角形的性质得ABOPQO，于是可判断 PQAB；由 BQ 垂直平分 PA 得到 QPQA，若 PQPA，则可判断PAQ 为等边三角形，于是得到APQ60，从而可对各选
20、项进行判断 【解答】解：连接 AQ，BP，如图， 由作法得 BQ 垂直平分 PA，OBOQ， POQAOB90，OPOA， OABOPQ（SAS） ； ABOPQO， PQAB； BQ 垂直平分 PA， QPQA， 若 PQPA，则 PQQAPA，此时PAQ 为等边三角形，则APQ60 故选：C 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了菱形的判定与性质 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分. 11
21、五边形的内角和为 540 度 【分析】n 边形内角和公式为（n2）180，把 n5 代入可求五边形内角和 【解答】解：五边形的内角和为（52）180540 故答案为：540 【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算和数据处理 12如果等腰三角形有两条边长分别为 2cm 和 3cm，那么它的周长是 7cm 或 8cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 2cm 和 3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 【解答】解：当 2 是腰时，2，2，3 能组成三角形， 周长3+2+27（cm） ； 当 3 是腰时，3
22、，3，2 能够组成三角形， 周长3+3+28（cm） ， 综上所述，周长为 7cm 或 8cm， 故答案为：7cm 或 8cm 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形 13等腰三角形的一个角等于 40，则它的顶角的度数是 40或 100 【分析】 由等腰三角形中有一个角等于 40， 可分别从若 40为顶角与若 40为底角去分析求解，即可求得答案 【解答】解：分两种情况讨论： 若 40为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为 40； 若 40为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180402100 这个等腰三角形的顶角的度数为：40或 1
23、00 故答案为：40或 100 【点评】此题考查了等腰三角形的性质解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用 14已知射线 OM以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A，再以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 OB，如图所示，则AOB 60 度 【分析】首先连接 AB，由题意易证得AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得AOB 的度数 【解答】解：连接 AB， 根据题意得：OBOAAB， AOB 是等边三角形， AOB60 故答案为：60 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到 OBOA
24、AB 15我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值” ，记作 k若 k2，则该等腰三角形的顶角为 90 度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论 【解答】解：k2， 设顶角2，则底角， +2180， 45， 该等腰三角形的顶角为 90， 故答案为：90 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键 16 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， DEF 可以看作是由ABC 经过若干次的图形变化 （轴对称、 平移）得到的，写出一种由ABC 得到DEF 的过程： 将ABC 沿 y 轴翻折，再将得到的三角形向下平移 3个单
25、位长度（答案不唯一） 【分析】依据轴对称变换以及平移变换，即可得到由ABC 得到DEF 的过程 【解答】解：将ABC 沿 y 轴翻折，再将得到的三角形向下平移 3 个单位长度，即可得到DEF 故答案为：将ABC 沿 y 轴翻折，再将得到的三角形向下平移 3 个单位长度（答案不唯一） 【点评】本题考查坐标与图形变化对称或平移，解题的关键是灵活运用图形的基本变换解决问题 17 如图， ABC 中， BAC90， C30， ADBC 于 D， BE 是ABC 的平分线， 且交 AD 于点 P，如果 AP2，则 AC 的长为 6 【分析】先计算出ABC60，再根据角平分线的定义得到ABPDBP30，接
26、着计算出BAD30，则 BPAP2，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系求出 PD，从而得到 AC 的长 【解答】解：A90，C30， ABC60， BE 是ABC 的平分线， ABPDBP30， ADBC， BAD30， PABPBA， BPAP2， 在 RtPBD 中，PDPB1， ADAP+PD2+13， 在 RtADC 中，AC2AD6 故答案为 6 【点评】本题考查了角平分线的性质：一个角的平分线把这个角分成相等的两部分；角的平分线上的点到角的两边的距离相等 18如图所示，在长方形 ABCD 的对称轴 l 上找点 P，使得PAB，PBC 均为等腰三角形则满足条件的点P 有 5
27、个 【分析】 利用分类讨论的思想， 此题共可找到 5 个符合条件的点： 作 AB 或 DC 的垂直平分线交 l 于 P； 在长方形内部 在 l 上作点 P，使 PAAB，PDDC，同理，在 l 上作点 P，使 PCDC，ABPB；三是如图，在长方形外 l 上作点 P，使 ABBP，DCPC，同理，在长方形外 l 上作点 P，使 APAB，PDDC 【解答】解：如图，作 AB 或 DC 的垂直平分线交 l 于 P， 如图，在 l 上作点 P，使 PAAB，同理，在 l 上作点 P，使 PCDC， 如图，在长方形外 l 上作点 P，使 ABBP，同理，在长方形外 l 上作点 P，使 PDDC， 综
28、上所述，符合条件的点 P 有 5 个 故答案为：5 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 个小题，共个小题，共 46 分分.19 题题 5 分，分，20 题题 4 分，分，21-25 题每题题每题 5 分，分，26，27 题每题题每题 6 分分. 19 （5 分）数学课上，王老师布置如下任务： 如图，ABC 中，BCABAC，在 BC 边上取一点 P，使APC2ABC 小路的作法如下： 作 AB 边的垂直平分线，交 BC 于点 P，交 AB 于点 Q； 连接 AP 请你根据小路同学的作图
29、方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹） ；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： PQ 是 AB 的垂直平分线 AP BP ， （依据： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ） ； ABC BAP ， （依据： 等边对等角 ） APC2ABC 【分析】作 AB 的垂直平分线交 BC 于 P 点，根据线段垂直平分线的性质得到 APBP，再根据等腰三角形的性质得ABCBAP，然后根据三角形外角性质得到APC2ABC 【解答】解：如图，点 P 为所作； 理由如下： PQ 是 AB 的垂直平分线 APBP， （依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） ； ABCBAP，
30、（依据：等边对等角） APC2ABC 故答案为 BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；BAP，等边对等角 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 20 （4 分）点 D 为ABC 的边 BC 的延长线上的一点，DFAB 于点 F，交 AC 于点 E，A35，D40，求ACD 的度数 【分析】根据三角形外角的性质，得ACDB+A欲求ACD，需求B由 DFAB，得AFD90由AFDB+D，得BAFDD50 【解
31、答】解：DFAB， AFD90 AFDB+D， BAFDD904050 ACDB+A50+3585 【点评】本题主要考查三角形外角的性质、垂直，熟练掌握三角形外角的性质、垂直的定义是解决本题的关键 21 （5 分）已知：如图，F，C 是 AD 上的两点，且 ABDE，ABDE，AFCD 求证：BCEF 【分析】证ABCDEF（SAS） ，即可得出结论 【解答】证明：AFCD， AF+CFCD+CF， 即 ACDF， ABDE， AD， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF（SAS） ， BCEF 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明AB
32、CDEF 是解题的关键 22 （5 分）已知：如图，C 是线段 AB 的中点，AB，ACEBCD 求证：ADBE 【分析】根据题意得出ACDBCE，ACBC，进而得出ADCBEC 即可得出答案 【解答】证明：C 是线段 AB 的中点， ACBC ACEBCD， ACDBCE， 在ADC 和BEC 中， ， ADCBEC（ASA） ADBE 【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 23 （
33、5 分） 如图， ABC 中， ABBC，ABC90， F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上， 且 AECF （1）求证：AECF； （2）若BAE25，求ACF 的度数 【分析】 （1）由 HL 证明 RtABERtCBF，即可解决问题； （2）由等腰直角三角形得出ACB45，证明BAEBCF25，即可解决问题 【解答】 （1）证明：延长 AE 交 CF 于点 H，如图所示： ABC90， CBF90， 在 RtABE 与 RtCBF 中， RtABERtCBF（HL） ， BAEBCF， F+BCF90， BAE+F90， AHF90， AECF； （2）ABBC，ABC90，
34、 ACBBAC45， 由（1）得：ABECBF， BAEBCF25， ACF45+2570 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 24 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 O（0，0） ，A（1，2） ，B（2，1） （1）在图中画出AOB 关于 y 轴对称的A1OB1，并直接写出点 A1和点 B1的坐标； （不写画法，保留画图痕迹） （2）求A1OB1的面积 【分析】 （1）利用关于 y 轴对称的点的坐标特征得到点 A1和点 B1的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直
35、角三角形的面积去计算A1OB1的面积 【解答】解： （1）如图，A1OB1为所作；A1（1，2） ，B1（2，1） ； （2）A1OB1的面积321221132.5 【点评】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的 25 （5 分）如图，点 D 在ABC 的 AB 边上，且ACDA （1）作BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） ； （2）在（1）的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系（不要求证明） 【分析】 （1）根据角平分线基本作图的作法作图即可； （
36、2）根据角平分线的性质可得BDEBDC，根据三角形内角与外角的性质可得ABDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论 【解答】解： （1）如图所示： （2）DEAC DE 平分BDC， BDEBDC， ACDA，ACD+ABDC， ABDC， ABDE， DEAC 【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行 26 （6 分）如图，在等腰直角ABC 中，ACB90，P 是线段 BC 上一点，连接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQCP， 过点 Q 作 QHAP 于点 H， 交 AB 于点 M （1） 若CAP20， 则AMQ 65 （2）判断
37、 AP 与 QM 的数量关系，并证明 【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质得出BACB45，则PAB25，再由直角三角形的性质即可求解； （2）连接 AQ，由线段垂直平分线的性质得 APAQ，则QACPAC再证QMAMQB+45，QAMQAC+45，然后证BQMPAC，得QMAQAM，即可得出结论 【解答】 （1）ABC 是等腰三角形，ACB90， BACB45 CAP20， PAB25 QHAP 于点 H， AHM90 AMQ90PAB902565， 故答案为：65 （2）解：APQM，证明如下： 连接 AQ，如图所示： ACB90， ACPQ 又CQCP， APAQ ACPQ， QACP
38、AC QMAMQB+B， QMAMQB+45 QAMQAC+CAB， QAMQAC+45 ACPQ，APMQ， BQMPAC QACPAC， QACMQB QMAQAM APQM 【点评】 本题考查了等腰直角三角形的性质、 等腰三角形的判定与性质、 线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明QMAQAM 是解题的关键 27 （6 分）在ABC 中，ACBC，ACB90，点 D 在 BC 的延长线上，M 是 BD 的中点，E 是射线CA 上一动点，且 CECD，连接 AD，作 DFAD，DF 交 EM 延长线于点 F （1）如图 1，当点 E 在 CA 上时，填空：AD DF（填
39、“” 、 “”或“” ） （2）如图 2，当点 E 在 CA 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断 AD 与 DF 的数量关系，并证明你的结论 【分析】 （1） 连接 BE， 先证ACDBCE （SAS） ， 得 ADBE， EBMDAC， 再证EBMFDM（ASA） ，得 BEDF，即可得出结论； （2） 连接 BE， 先证ACD 和BCE （SAS） ， 得 ADBE， ADCBEC， 再证BMEDMF （ASA） ，得 BEDF，即可得出结论 【解答】解： （1）ADDF，理由如下： 连接 BE，如图 1 所示： ACB90， DCA90， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE
40、（SAS） ， ADBE，EBMDAC， DAC+ADC90，FDM+ADC90， DACFDM， EBMFDM， M 是 BD 的中点， BMDM， 在EBM 和FDM 中， ， EBMFDM（ASA） ， BEDF， ADDF， 故答案为：； （2）根据题意将图形补全，如图 2 所示： AD 与 DF 的数量关系：ADDF，证明如下： 连接 BE， ACB90，点 D 在 BC 的延长线上， ACDBCE90， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ， ADBE，ADCBEC， ACB90，DFAD， BEC+MBEADC+MDF90， MBEMDF， M 是 BD 的中点
41、， MBMD， 在BME 和DMF 中， ， BMEDMF（ASA） ， BEDF， ADDF 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型 附加题附加题 28定义：如图 1，在ABC 和ADE 中，ABACADAE，当BAC+DAE180时，我们称ABC与DAE 互为 “顶补等腰三角形” ， ABC 的边 BC 上的高线 AM 叫做ADE 的 “顶心距” ， 点 A 叫做 “旋补中心” （1）特例感知：在图 2，图 3 中，ABC 与DAE 互为“顶补等腰三角形” ，AM 是“顶心距” 如图 2，当BAC90时，AM 与
42、DE 之间的数量关系为 AM DE； 如图 3，当BAC120，ED6 时，AM 的长为 2 （2）猜想论证： 在图 1 中，当BAC 为任意角时，猜想 AM 与 DE 之间的数量关系，并给予证明 （3）拓展应用 如图 4，在四边形 ABCD 中，ADAB，CDBC，B90，A60，CD，在四边形 ABCD的内部找到点 P，使得PAD 与PBC 互为“顶补等腰三角形” 并回答下列问题 请在图中标出点 P 的位置， 并描述出该点的位置为 点 P 是线段 BC 的垂直平分线与 AC 的交点， ； 直接写出PBC 的“顶心距”的长为 【分析】 （1） 由等腰直角三角形的性质可得 AMBMCMBC，
43、由全等三角形性质可得 BCDE，即可求解； 由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （2）过点 A 作 ANED 于 N，由等腰三角形的性质可得DANDAE，NDDE，由全等三角形的性质可得 NDAM，则可得结论； （3）由“顶补等腰三角形”定义可求解； 由“顶心距”的定义可求解 【解答】解： （1）BAC90，BAC+DAE180 DAEBAC90 ABAC，BAC90，AMBC AMBMCMBC ABACADAE，且DAEBAC90 DAECAB（SAS） BCDE， AMDE 故答案为： BAC120，BAC+DAE180 DAE60， ABACADAE，DAE60，BAC120，
44、 ABM30，ADE 是等边三角形 AB2AM，DEADAE6AB， AM3 故答案为：3 （2）猜想：结论 AMDE 理由如下：如图，过点 A 作 ANED 于 N AEAD，ANED DANDAE，NDDE 同理可得：CAMCAB， DAE+CAB180， DAN+CAM90， CAM+C90 DANC， AMBC AMCAND90 在AND 与AMC 中， ANDAMC（AAS） ， NDAM AMDE （3）如图，线段 BC 的垂直平分线交 AC 于点 P，连接 DP，BP， 理由如下：ADAB，CDBC，且 ACAC ADCABC（SSS） ABCADC90，DACBACDAB30
45、ACB60，AC2BC PN 垂直平分 BC PCPB，且ACB60 PBC 是等边三角形， ACPC，BPC60 APPC，且ADC90 APDP ADP 是等腰三角形，ADPDAP30， APD120， APD+BPC180 PAD 与PBC 互为“顶补等腰三角形” 故答案为：线段 BC 的垂直平分线交 AC 于点 P， 如图，过点 P 作 PHAD 于点 H， DAC30，PHAD，ADC90 HPAP，AC2CD2 APPC AP PH PBC 的“顶心距”的长为 故答案为： 【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，运用“顶补等腰三角形”的定义解决问题是本题的关键
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