1、2021年北京市东城区三校联考高二上期中数学试卷一、单项选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共36分，每小题3分）AB0，C0，1，D0，1，2计算的结果是（ ）A6B7 C8D103经过两点的直线的倾斜角是（ ）AB CD4过点且与直线垂直的直线方程是（ ）ABCD5圆心为的圆，在直线xy10上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为（ ）ABCD6椭圆的焦点坐标是（ ）A，B，C，D，7已知圆C与圆(x1)2y21关于原点对称则圆C的方程为（）Ax2y21Bx2(y1)21Cx2(y1)21D(x1)2y218椭圆的离心率为（ ）ABCD9已知空间向量a=（-3,2,5），b=（1，x，-
2、1），且a与b垂直，则等于（ ）A4B1C3D210如图，在平行六面体ABCDABCD中，设AB=a， AD=b， AA1=c，则下列与向量相等的表达式是（ ）A -a+b+cB-a-b+cC a-b-cD a+b-c11已知以原点为中心的椭圆C的左焦点为F，离心率等于，则C的方程是（ ）ABCD12如图,在棱长为的正方体中,点、是棱、的中点, 是底面上（含边界）一动点,满足,则线段长度的取值范围是AB CD第卷二、填空题（下列各小题共32分，每小题4分）13函数的定义域是_.14经过点，且与直线平行的直线方程是_.15已知椭圆：的两个焦点分别为，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点，则MN
3、F2的周长是_.16已知：，：，则与之间的距离为_17已知圆与圆外切则_18的焦点为F1、F2，点在椭圆上，若|PF1|=4，则F1PF2的大小为_.19已知圆: ，则圆心的坐标为_；若直线：与圆交于两点，且为等腰直角三角形，则_20如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，七个点，是椭圆的一个焦点，则P1F+P2F+P3F+P7F的值为_三、解答题21已知ABC的三个顶点，点为的中点.（1）求直线的方程；（2）求的面积.22如图，在四棱锥中，底面为正方形且平面，M，N分别为的中点（1）求证：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值23已知两点及圆.为经过点的一条动直线.
4、（1）若直线经过点，求证：直线与圆相切；（2）若直线与圆相交于两点从下列条件中选择一个作为已知，求的面积条件：直线平分圆；条件：直线的斜率为24已知椭圆：过点和点.（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）斜率为的直线与椭圆交于两点（不与重合），直线与轴分别交于两点，证明.参考答案1A【分析】先化简集合A，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为，0，1，所以，故选：A2A【分析】由指数和对数的运算性质求解即可.【详解】故选：A3B【分析】求出直线的斜率后可得倾斜角【详解】经过两点的直线的斜率为，设该直线的倾斜角为 ，则，又，所以.故选：B4D【分析】由题意设所求直线方程为，然后将点代入方程中求出的
5、值【详解】解：由题意设所求直线方程为，因为直线过点，所以，解得，所以所求直线为，故选：D5A【分析】由垂径定理，根据弦长的一半及圆心到直线的距离求出圆半径，即可写出圆的标准方程.【详解】圆心到直线xy10的距离弦长为，设圆半径为r，则故r=2则圆的标准方程为故选：A【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和圆的标准方程，属于基础题.6B【分析】根据方程，可得的值，根据a，b，c的关系，可求得c值，即可得答案.【详解】根据方程可得，且焦点在x轴，又，所以，所以焦点坐标为，.故选：B7D【分析】利用对称性，可得点坐标以及圆的半径，然后可得结果.【详解】由题可知：圆的圆心，半径为所以圆的方程为：故选：
6、D【点睛】本题考查圆的方程，直观形象，简单判断，对圆的方程关键在于半径和圆心，属基础题.8B【分析】根据椭圆方程求出的值，然后根据离心率公式即可求解出离心率的值.【详解】因为椭圆方程为，所以，所以离心率，故选：B.9A【分析】根据向量垂直列方程，由此求得.【详解】由于与垂直，所以.故选：A10D【分析】由即可得到答案.【详解】由题意：故选：D.11D【分析】用待定系数法求椭圆方程.【详解】由题意可设所求的椭圆为：，因为椭圆C的左焦点为F，离心率等于，所以，解得：，所以C的方程是.故选：D12D【详解】因为平面 ，平面 ，所以 ，又因为 所以可得平面 ，当点在线段 上时，总有，所以的最大值为 ，
7、的最小值为 ，可得线段长度的取值范围是，故选D.【方法点晴】本题主要考查正方体的性质、线面垂直的判定定理的应用，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.13，【分析】根据使函数有意义的原则，构造不等式组，解得答案【详解】由得：，故函数的定义域为，故答案为：，14【分析】设直线方程为，代入求
8、得，从而得到结果.【详解】设与直线平行的直线方程为，代入得： ，故答案为： .158【分析】根据椭圆的定义可求的周长.【详解】的周长为，故答案为：8.16【分析】由题意利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果【详解】解：，：，则与之间的距离为，故答案为：174【分析】由两圆相外切可得圆心距等于两半径之和，从而可求出【详解】因为，圆的半径为1，圆的半径为，所以，因为两圆外切所以，得故答案为：418【分析】根据椭圆的定义可得，结合，三角形中利用余弦定理求解即可.【详解】由椭圆可得:,.根据椭圆定义可得:, ,可得，解得:.在三角形中由余弦定理:,所以故答案为: .1928【解析】设椭圆的另一个焦
9、点为 由椭圆的几何性质可知： ，同理可得，且，故,故答案为.20 或 【分析】由圆的方程直接写出圆心坐标，根据直线与圆交于且为等腰直角三角形，可知弦心距与半径的数量关系，列方程求参数即可.【详解】由圆方程知：圆心为，且半径，到直线的距离，等腰中，则有 ，即，可得或；故答案为：，或21（1）；（2）【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程.（2）利用两点间的距离公式求得的长度，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，再利用三角形的面积公式求得面积.【详解】（1）设，则，点D的坐标为直线的斜率为直线的方程为：，即（2），A到直线的距离为的面积为22（1）详见解析；（2）.【分析】（1）要证明线面平行
10、，需证明线线平行，即转化为证明；（2）首先建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式求解.【详解】（1）连结，分别是的中点，平面，平面，平面；（2）如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，设平面的法向量，则，即，令，则，平面的法向量，则，所以与平面所成角的正弦值是.23（1）证明见解析；（2）条件：；条件：.【分析】根据题意，圆心，半径 （1）方法一：求出直线和的斜率，求出，可得，即可证明结果；法二：求出直线的方程，根据点到直线的距离等于半径，即可证明结果；（2）选择条件：直线平分圆，可得直线的方程，根据点到直线的距离求出点到直线的距离根据面积公式即可求出结果； 选
11、择条件：直线的斜率为，求出直线的方程，根据点到直线的距离求出点到直线的距离根据面积公式即可求出结果.【详解】解：根据题意，圆心，半径 （1）法一：若直线经过点，由满足，可知，点在圆上.直线的斜率，所以.所以直线与圆相切. 法二：若直线经过点，则直线的方程为. 圆心到直线的距离为所以直线与圆相切. （2）选择条件：直线平分圆，此时，直线过圆心，方程为 点到直线的距离所以， 选择条件：直线的斜率为，直线的方程为此时，圆心在直线上，点到直线的距离所以，24（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）将点，的坐标代入椭圆的方程，解方程组可得的值，结合可得的值，再由即可求解；（2）设斜率为的直线为，联立直线与椭圆方程可得，进而可得直线的方程，令求出点的坐标，同理可得点的坐标，计算中点的横坐标等于点的横坐标即可求证.【详解】（1）因为椭圆：过点和点，所以，可得，所以，所以椭圆的标准方程为，离心率；（2）设斜率为的直线为，由 可得，所以，所以直线的方程为：，即，令可得，所以，同理可得：，所以中点的横坐标，因为，所以即为线段的垂直平分线，所以.
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