1、2021 年北京市西城区八校联考高三上期中数学试卷年北京市西城区八校联考高三上期中数学试卷 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1若集合 Ax|0 x1，Bx|x22x0，则下列结论中正确的是（ ） AAB BABR CAB DBA 2设 a，b，cR，且 ab，则（ ） Aacbc B Ca2b2 Da3b3 3下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间（1，1）内有零点的函数是（ ） Ayx3 By2x1 Cyx2 Dylog2（x+2） 4已知 sin，（，），则 tan（+）的值是（ ） A B C D 5 已知函数 ysin （x+）的部分图象如图所示，
2、 则点 P （， ） 的坐标为 （ ） A B C D 6如果正数 a，b，c，d 满足 a+bcd4，那么（ ） Aabc+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一 Babc+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一 Cabc+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值不唯一 Dabc+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值不唯一 7已知等比数列an的各项均为正数，且 a39，则 log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5（ ） A B C10 D15 8设函数 f（x）cos2xsinxcosx，则下列结论错误的是（ ） Af（x）的一个周期为 Byf（x
3、）的图象关于直线 x对称 C将函数 ycos2x 的图象向左平移个单位可以得到函数 f（x）的图象 Df（x）在（，）上单调递减 9已知函数 f（x），函数 g（x）ax2x+1，若函数 yf（x）g（x）恰好有 2 个不同零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（0，+） B（，0）（2，+） C（，）（1，+） D（，0）（0，1） 102020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（Day）历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n
4、 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2 的近似值按照阿尔卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ） A3n（sin+tan） B6n（sin+tan） C3n（sin+tan） D6n（sin+tan） 二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分；请将结果填入答题纸的指定位置） 11函数 f（x）的定义域是 12sin240 13数列an是公差为2 的等差数列，记an的前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a4成等比数列，则 a1 ；Sn 14已知 A，B 是函数 y2x的图象上的相异两点若点 A，B 到直线 y的距离相等，则点 A，B 的横坐标之和的取值范围是 15已知函
5、数 f（x），若函数 g（x）f（x）|kx22x|（kR）恰有 4 个不同的零点，则k 的取值范围是 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 85 分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；请将解答内容写在答题纸的指定位置上） 16如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D 是棱 AA1的中点，DC1BD （1）证明：DC1BC； （2）求二面角 A1BDC1的大小 17在ABC 中，c2，C30 再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： （1）a 的值； （2）ABC 的面积 条件：2ba；条件：b2；条件：A45 18某大型连锁超市的
6、市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取 8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查调查结果如下： 门店 1 门店 2 门店 3 门店 4 门店 5 门店 6 门店 7 门店 8 线下日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于 15 万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标 若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于
7、 30 万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标 （各门店的营业额之间互不影响） （）从 8 个样本门店中随机抽取 3 个，求抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标的概率； （） 若从该地区众多门店中随机抽取3个门店， 记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数 以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求 X 的分布列和数学期望； （） 线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为 1和 2， 线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为 S12和 S22试判断 1和 2的大小，以及 S12和 S22的大小（结论不要求证明） 19已知
8、函数 f（x）xalnx，g（x），（aR） （）若 a1，求函数 f（x）的极值； （）设函数 h（x）f（x）g（x），求函数 h（x）的单调区间； （）若在1，e（e2.718）上存在一点 x0，使得 f（x0）g（x0）成立，求 a 的取值范围 20已知椭圆 C 两焦点坐标分别为，且经过点 （）求椭圆 C 的标准方程； （）已知点 A（0，1），直线 l 与椭圆 C 交于两点 M，N若AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线 l 的方程 21已知函数 f（x）lnxx+a，其中 aR （）如果曲线 yf（x）与 x 轴相切，求 a 的值； （）若 aln2e，证明：f（x
9、）x； （）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1若集合 Ax|0 x1，Bx|x22x0，则下列结论中正确的是（ ） AAB BABR CAB DBA 【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能求出结果 解：集合 Ax|0 x1， Bx|x22x0 x|0 x2， AB 故选：C 2设 a，b，cR，且 ab，则（ ） Aacbc B Ca2b2 Da3b3 【分析】对于 A、B、C 可举出反例，对于 D 利用不等式的基本性质即可判断出 解：A、32，但是 3 （1）2 （1），故
10、A 不正确； B、12，但是，故 B 不正确； C、12，但是（1）2（2）2，故 C 不正确； D、ab，a3b3，成立，故 D 正确 故选：D 3下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间（1，1）内有零点的函数是（ ） Ayx3 By2x1 Cyx2 Dylog2（x+2） 【分析】根据题意，分别判定每一个选项中的函数是否满足条件即可 解：对于 A，yx3是减函数，不符合题意， 对于 B，y2x1 在（1，1）上是增函数，且 x1 时，y0，x1 时，y10，函数有零点，满足题意； 对于 C，yx2在（，0）为减函数，在（0，+）为增函数，不满足题意； 对于 D，ylog2（x+2）定义域
11、内为增函数，但是当 x1，y0，当 x1，y1，函数在（1，1）无零点，不满足题意 故选：B 4已知 sin，（，），则 tan（+）的值是（ ） A B C D 【分析】根据同角三角函数的基本关系以及角的范围，可得 cos，tan，由两角和正切公式可得 tan（+），由此求得 tan（+）的值 解：sin，（，），cos，tan， tan（+）， 故选：C 5 已知函数 ysin （x+）的部分图象如图所示， 则点 P （， ） 的坐标为 （ ） A B C D 【分析】由可求 T，由可求得 ，由 +，可求得 ，从而可求得点 P（，）的坐标 解：设其周期为 T，由图象可知， T， ，2， 又
12、ysin（x+）的图象经过（）， +，解得 ； P 点的坐标为（2，） 故选：A 6如果正数 a，b，c，d 满足 a+bcd4，那么（ ） Aabc+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一 Babc+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一 Cabc+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值不唯一 Dabc+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值不唯一 【分析】根据均值不等式分别有：；则 a，b，c，d 满足 a+bcd4，进而可得 2 化简即得 当且仅当 abcd2 时取等号 解：如果 a，b 是正数，则根据均值不等式有：，则（a+b）24ab 如果 c，d 是正数，则根据均值
13、不等式有：； 则 a，b，c，d 满足 a+bcd4， 2 当且仅当 abcd2 时取等号 化简即为：abc+d 且等号成立时 a，b，c，d 的取值唯一 故选：A 7已知等比数列an的各项均为正数，且 a39，则 log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5（ ） A B C10 D15 【分析】根据对数的运算性质和等比数列的性质即可求出 解：log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5log3（a1a2a3a4a5）log3a35log39510， 故选：C 8设函数 f（x）cos2xsinxcosx，则下列结论错误的是（ ） Af（x）的
14、一个周期为 Byf（x）的图象关于直线 x对称 C将函数 ycos2x 的图象向左平移个单位可以得到函数 f（x）的图象 Df（x）在（，）上单调递减 【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果 解：函数 f（x）cos2xsinxcosx， 所以函数的最小正周期为 ，故 A 正确； 当 x时，f（）cos31，故 B 正确； 函数 ycos2x 向左平移个单位，得到 f（x）cos（2x+）的图象，故 C 正确； 当 x（，）时，所以函数 f（x）在该区间上有增有减 故选：D 9已知函数 f（x），函数 g（x）ax2x+1，若函数 yf（x）g（x）恰好有 2 个
15、不同零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（0，+） B（，0）（2，+） C（，）（1，+） D（，0）（0，1） 【分析】化函数 yf（x）g（x）恰好有 2 个不同零点为函数 f（x）+x1 与函数 yax2的图象有两个不同的交点，从而解得 解：f（x）（ax2x+1）0， f（x）+x1ax2， 而 f（x）+x1， 作函数 yf（x）+x1 与函数 yax2的图象如下， ， 结合选项可知， 实数 a 的取值范围是（，0）（0，1）， 故选：D 102020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（Day）历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿
16、尔卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2 的近似值按照阿尔卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ） A3n（sin+tan） B6n（sin+tan） C3n（sin+tan） D6n（sin+tan） 【分析】设内接正 6n 边形的边长为 a，外切正 6n 边形的边长为 b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值 解：如图，设内接正 6n 边形的边长为 a，外切正 6n 边形的边长为 b， 可得 a2sin2sin， b2tan2tan， 则 26n（
17、sin+tan）， 即 3n（sin+tan）， 故选：A 二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分；请将结果填入答题纸的指定位置） 11函数 f（x）的定义域是 2，+） 【分析】使该函数有意义，需要对数的真数大于 0，同时需要根号下的代数式大于等于 0 解：要使原式有意义，须有 log2（x1）0 且 x10， 即 log2（x1）log21 且 x10 ulog2（x1）为增函数， x11， x2 故答案为：2，+） 12sin240 【分析】由诱导公式 sin（180+）sin 和特殊角的三角函数值求出即可 解：根据诱导公式 sin（180+）sin 得： sin
18、240 sin（180 +60 ）sin60 故答案为： 13数列an是公差为2 的等差数列，记an的前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a4成等比数列，则 a1 8 ；Sn n2+9n 【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项 a1的值 解：因为数列an是公差为2 的等差数列其 a1，a3，a4成等比数列， 所以 a32a1a4，即（a14）2a1（a16）， 解得 a18， 所以 Sn8n+ （2）n2+9n 故答案为：8，n2+9n 14已知 A，B 是函数 y2x的图象上的相异两点若点 A，B 到直线 y的距离相等，则点 A，B 的横坐标之和的取值范围是 （，2） 【分析
19、】作函数 y2x与 y的图象，设 A，B 的横坐标分别为 a（a1），b（b1），结合基本不等式得 2a22b，从而求得 解：如图，作函数 y2x与 y的图象， 设 A，B 的横坐标分别为 a（a1），b（b1）， 由题意得，2a+2b1， 22b+2b21， （当且仅当2bb，即 b1 时，等号成立） 2a22b， 即 a2b， 即 a+b2， 故答案为：（，2） 15已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）|kx22x|（kR）恰有 4 个不同的零点，则k 的取值范围是 （，0）（2，+） 【分析】问题转化为 f（x）|kx22x|有四个根，即 yf（x）与 yh（x）|kx22x|有
20、四个交点，再分k0，k0，k0 讨论两个函数是否能有 4 个交点，进而得出 k 的取值范围 解：若函数 g（x）f（x）|kx22x|（kR）恰有 4 个零点， 则 f（x）|kx22x|有四个根， 即 yf（x）与 yh（x）|kx22x|有四个交点， 当 k0 时，yf（x）与 y|2x|2|x|图象如下： 两图象只有两个交点，不符合题意； 当 k0 时，y|kx22x|与 x 轴交于两点 x10，x2（x2x1）， 图象如图所示： 当 x时，函数 y|kx22x|的函数值为，函数 yx 的函数值为， 两图象有 4 个交点，符合题意； 当 k0 时，y|kx22x|与 x 轴交于两点 x1
21、0，x2（x2x1），在0，）内两函数图象有两个交点， 则若有四个交点，只需 yx3与 ykx22x 在（，+）内有两个交点即可， 即 x3kx22x 在（，+）还有两个根，也就是 kx+在（，+）内有两个根， 函数 yx+2，（当且仅当 x时，取等号）， 0，且 k2，得 k2， 综上所述，k 的取值范围为（，0）（2，+） 故答案为：（，0）（2，+） 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 85 分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；请将解答内容写在答题纸的指定位置上） 16如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D 是棱 AA1的中点，DC1BD （1）证明：DC1B
22、C； （2）求二面角 A1BDC1的大小 【分析】（1）证明 DC1BC，只需证明 DC1面 BCD，即证明 DC1DC，DC1BD； （2）证明 BC面 ACC1A1，可得 BCAC 取 A1B1的中点 O，过点 O 作 OHBD 于点 H，连接 C1O，C1H，可得点 H 与点 D 重合且C1DO 是二面角 A1BDC1的平面角，由此可求二面角 A1BDC1的大小 【解答】（1）证明：在 RtDAC 中，ADAC，ADC45 同理：A1DC145 ，CDC190 DC1DC，DC1BD DCBDD DC1面 BCD BC面 BCD DC1BC （2）解：DC1BC，CC1BC，DC1CC1
23、C1，BC面 ACC1A1， AC面 ACC1A1，BCAC 取 A1B1的中点 O，过点 O 作 OHBD 于点 H，连接 C1O，OH A1C1B1C1，C1OA1B1， 面 A1B1C1面 A1BD，面 A1B1C1面 A1BDA1B1， C1O面 A1BD 而 BD面 A1BD BDC1O， OHBD，C1OOHO， BD面 C1OHC1HBD，点 H 与点 D 重合且C1DO 是二面角 A1BDC1的平面角 设 ACa，则， sinC1DO C1DO30 即二面角 A1BDC1的大小为 30 17在ABC 中，c2，C30 再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确
24、定唯一的三角形，求： （1）a 的值； （2）ABC 的面积 条件：2ba；条件：b2；条件：A45 【分析】选条件时，（1）直接利用余弦定理的应用求出 a 的值； 利用勾股定理的逆定理的应用求出三角形的面积； 选条件时，（1）利用余弦定理的应用求出 a 的值； （2）利用勾股定理的逆定理的应用求出三角形的面积； 选条件时，（1）利用正弦定理的应用求出 a 的值； （2）利用三角函数的关系式的变换和三角形面积公式的应用求出结果 解：选条件时， （1）由于：2ba； 由于 c2，C30 ， 所以 cosC， 整理得 a4； （2）根据题意：b2， 所以满足 a2b2+c2， 故ABC 为直角三角
25、形； 所以 选条件时：b2， 由于 c2，C30 ， 所以 cosC， 所以 a4， （2）由于 c2， 所以满足 a2b2+c2， 故ABC 为直角三角形； 所以 选条件时：由于 A45 C30 ，c2， 利用正弦定理：，解得 a2， （2）在ABC 中，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC， 所以 18某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取 8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查调查结果如下： 门店 1 门店 2 门店 3 门店 4 门店 5 门店 6 门店 7 门店 8 线下 日营业
26、额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于 15 万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标 若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于 30 万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标 （各门店的营业额之间互不影响） （）从 8 个样本门店中随机抽取 3 个，求抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标的概率； （） 若从该地区众多门店中随机抽取3个门店， 记随机
27、变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数 以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求 X 的分布列和数学期望； （） 线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为 1和 2， 线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为 S12和 S22试判断 1和 2的大小，以及 S12和 S22的大小（结论不要求证明） 【分析】 （） 设“抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标”为事件 A， 利用古典概型的概率公式求解即可 （）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3求解概率，得到分布列，然后求解期望即可 （）利用表格数据，判断 解：（）设“抽取的 3 个门店的线下日营
28、业额均达标”为事件 A， 由题意知，8 个样本门店中线下日营业额达标的有 3 家， 所以 所以抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标的概率为 （）由题意，8 个样本门店中线下日营业总额达标的有 4 家， 所以从该地区众多门店中任选 1 个门店，日营业总额达标的概率为 依 题 意 ， 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0 ， 1 ， 2 ， 3.； ； 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 其数学期望 （） 19已知函数 f（x）xalnx，g（x），（aR） （）若 a1，求函数 f（x）的极值； （）设函数 h（x）f（x）g（x），求函数 h（x）的单调
29、区间； （）若在1，e（e2.718）上存在一点 x0，使得 f（x0）g（x0）成立，求 a 的取值范围 【分析】（）先求出其导函数，让其大于 0 求出增区间，小于 0 求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数 f（x）的极值； （）先求出函数 h（x）的导函数，分情况讨论让其大于 0 求出增区间，小于 0 求出减区间即可得到函数的单调区间； （）先把 f（x0）g（x0）成立转化为 h（x0）0，即函数在1，e上的最小值小于零；再结合（）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出 a 的取值范围 解：（）f（x）的定义域为（0，+），（1 分） 当 a1 时，f（x）xlnx， x （0，1
30、） 1 （1，+） f（x） 0 + f（x） 极小 所以 f（x）在 x1 处取得极小值 1 （）， 当 a+10 时，即 a1 时，在（0，1+a）上 h（x）0，在（1+a，+）上 h（x）0， 所以 h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+）上单调递增； 当 1+a0，即 a1 时，在（0，+）上 h（x）0， 所以，函数 h（x）在（0，+）上单调递增 （III）在1，e上存在一点 x0，使得 f（x0）g（x0）成立，即 在1，e上存在一点 x0，使得 h（x0）0， 即函数在1，e上的最小值小于零 由（）可知 即 1+ae，即 ae1 时，h（x）在1，e上单调递减，
31、所以 h（x）的最小值为 h（e）， 由可得， 因为， 所以； 当 1+a1，即 a0 时，h（x）在1，e上单调递增， 所以 h（x）最小值为 h（1），由 h（1）1+1+a0 可得 a2； 当 11+ae，即 0ae1 时，可得 h（x）最小值为 h（1+a）， 因为 0ln（1+a）1， 所以，0aln（1+a）a 故 h（1+a）2+aaln（1+a）2 此时，h（1+a）0 不成立 综上讨论可得所求 a 的范围是：或 a2 20已知椭圆 C 两焦点坐标分别为，且经过点 （）求椭圆 C 的标准方程； （）已知点 A（0，1），直线 l 与椭圆 C 交于两点 M，N若AMN 是以 A
32、为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线 l 的方程 【分析】（）利用椭圆的定义求出 a，根据椭圆，求出 c，从而可求 b，即可求椭圆 C 的标准方程； （）设直线 l 的方程为 ykx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据|AM|AN|，线段 MN 中点为 Q，所以 AQMN， 分类讨论， 利用AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形， 即可求直线 l 的方程 解：（）设椭圆标准方程为 依题意，所以 a2 又，所以 b2a2c21 于是椭圆 C 的标准方程为 （）依题意，显然直线 l 斜率存在设直线 l 的方程为 ykx+m，则 由得（4k2+1）x2+8kmx+4m240 因为64k2m2
33、4（4k2+1）（4m24）0，得 4k2m2+10 设 M（x1，y1），N（x2，y2），线段 MN 中点为 Q（x0，y0），则 于是 因为|AM|AN|，线段 MN 中点为 Q，所以 AQMN （1）当 x00，即 k0 且 m0 时，整理得 3m4k2+1 因为 AMAN， 所以， 整理得 5m2+2m30，解得或 m1 当 m1 时，由不合题意舍去 由知，时， （2）当 x00 时， （）若 k0 时，直线 l 的方程为 ym，代入椭圆方程中得 设，依题意，若AMN 为等腰直角三角形，则 AQQN 即，解得 m1 或m1 不合题意舍去， 即此时直线 l 的方程为 （）若 k0 且
34、m0 时，即直线 l 过原点 依椭圆的对称性有 Q（0，0），则依题意不能有 AQMN，即此时不满足AMN 为等腰直角三角形 综上，直线 l 的方程为或或 21已知函数 f（x）lnxx+a，其中 aR （）如果曲线 yf（x）与 x 轴相切，求 a 的值； （）若 aln2e，证明：f（x）x； （）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求 a 的取值范围 【分析】（）先求导，再根据导数的几何意义即可求出， （）构造函数 F（x）f（x）xlnx2x+ln2e，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明 （）先求出函数 g（x）在（1，e）上是单调函数 a 的范围即可，求导，分离参
35、数构造函数，求出函数的最值即可 解：（I）求导得 f（x）1 曲线 yf（x）与 x 轴相切，此切线的斜率为 0 由 f（x）0，解得 x1， 又由曲线 y（x）与 x 轴相切，得 f（1）1+a0 解得 a1 证明（II）由题意，f（x）lnxx+ln2e， 令函数 F（x）f（x）xlnx2x+ln2e 求导，得 F（x）2 由 F（x）0，得 x， 当 x 变化时，F（x）与 F（x）的变化情况如下表所示： x （0，） （，+） F（x） + 0 F（x） 增 极大值 减 函数 F（x）在（0，）上单调递增，在（，+）单调递减， 故当 x时，F（x）maxF（）ln1+ln2e0， 任
36、给 x（0，+），F（x）f（x）x0，即 f（x）x， （）由题意可得，g（x）， g（x）， 当 g（x）0 时，在（1，e）上恒成立，函数 g（x）单调递增， 当 g（x）0 时，在（1，e）上恒成立，函数 g（x）单调递减， x2lnx+12a0 在（1，e）上恒成立，或 x2lnx+12a0 在（1，e）上恒成立， 2ax2lnx+1 在（1，e）上恒成立，或 2ax2lnx+1 在（1，e）上恒成立， 令 h（x）x2lnx+1， h（x）1， 由 h（x）0，解得 x2， 当 x（1，2）时，h（x）0，函数 h（x）单调递减， 当 x（2，e）时，h（x）0，函数 h（x）单调递增， h（1）2，h（e）e2+1e1， h（x）maxh（1）2 h（x）minh（2）32ln2， 2a2 或 2a32ln2， a1 或 aln2， 函数在区间（1，e）上不是单调函数， ln2a1， 故 a 的取值范围为（ln2，1）
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