1、2021年北京市丰台区二校联考高三上期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1（4分）已知集合，2，则A，B，2，CD2（4分）已知向量，若，则的值为A4B1CD3（4分）命题“，使得”的否定为A，使得B，使得C，都有D，都有4（4分）设，且，则ABCD5（4分）下列函数中，是偶函数且在区间上为增函数的是ABCD6（4分）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是ABCD7（4分）已知，则，的大小关系为ABCD8（4分）已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象若函数为奇函数，则的最小值是ABCD9（4分）设，是实数，则“，且”是“”的A充分
2、而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10（4分）已知函数，则下列结论中正确的是A的最小正周期为B的最大值为2C在区间上单调递增D的图象关于对称二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11（5分）若复数，则12（5分）已知，则13（5分）的内角，的对边分别为，若，则的面积为14（5分）在边长为2的正三角形中，是的中点，是线段的中点若，则；15（5分）在中，内角，的对边分别是，若，则等于三、解答题（共6小题，共85分.解答写出文字说明、演算步骙或证明过程。）16（14分）在中，（）若的面积为，求的值；（）求的值17（14分）已知函数（）求函数的单调递减区间
3、；（）求函数在，上的最大值和最小值18（14分）已知函数（）求不等式的解集；（）求函数在区间，上的最大值和最小值19（14分）已知函数（）求的值；（）从，；，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在，上的最小值，并直接写出函数的一个周期20（14分）已知函数（）求的单调递减区间；（）设当，时，的取值范围为，求的最大值21（15分）已知函数（）当时，求曲线在点，（3）处的切线方程；（）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；（）当时，若，求的取值范围参考答案一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1【分析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可【解答】解：，2，故选：【点评】本题
4、考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题2【分析】根据平面向量共线定理的坐标表示，列方程求出的值【解答】解：向量，若，则，解得；所以的值为故选：【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题3【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为特称命题，则命题“，使得”的否定为，都有，故选：【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础4【分析】由不等式的基本性质，基本不等式逐一判断即可【解答】解：由，可得，故错误；，由，可得，即，故错误；由，可得，即，故错误；由，可得，故正确故选：【点评】本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式的应用，属
5、于基础题5【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可【解答】解：对于，函数的定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意；对于，是定义域上的偶函数，且在区间上为增函数满足题意；对于，为奇函数，不满足题意；对于，为偶函数，但在区间上不是单调函数，不满足题意故选：【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断问题，属于基础题6【分析】判断函数的单调性，求出（2），（3）函数值的符号，利用零点判定定理判断即可【解答】解：函数，是连续增函数，又（2），（3），可得（2）（3），由零点判定定理可知：函数包含零点的区间是：故选：【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意的单调性的判断7【分析】根
6、据对数函数的单调性即可比较【解答】解：，则，的大小关系，故选：【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题，8【分析】由图象可得时，函数的函数值为0，可以解出的表达式，再利用平移的知识可以得出的最小值【解答】解：由图象可得时，函数的函数值为0，即，将此函数向左平移个单位得，又因为为奇函数，故选：【点评】本题考查三角函数图象与性质，奇函数的定义，图象的平移，属于基础题9【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：由，可得，由，可得， “，且”可得“”，由，可得，不能够推出“，且”， “，且”是“”的充分不必要条件故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属
7、于基础题10【分析】利用辅助角公式化简，由周期公式即可判断选项，利用三角函数的有界性即可判断选项，由正弦函数的单调性即可判断选项，由三角函数的对称性即可判断选项【解答】解：因为函数，函数的最小正周期为，故选项错误；的最大值为，故选项错误；因为，所以，由正弦函数的单调性可知，在上单调递增，故选项正确；因为，故函数的图象不关于对称，故选项错误故选：【点评】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，辅助角公式的应用，三角函数周期公式的应用，正弦函数的有界性、单调性、对称性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11【分析】直接利用复数的模
8、的计算公式求解即可【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力12【分析】直接利用两角和与差的正切函数，化简求解即可【解答】解：，可得，解得故答案为：【点评】本题考查两角和与差的正切函数公式的应用，是基础题13【分析】利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可【解答】解：由余弦定理有，故答案为：【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题14【分析】用表示出，得出，的值即可求出；根据平面向量数量积的定义计算【解答】解：是的中点，是的中点，故是边长为2的正三角形，是的中点，且，故答案为：，1【点评】本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于基础题
9、15【分析】根据正弦定理得到，的等量关系，结合余弦定理先求出即可【解答】解：由得，又，得，即，则，由余弦定理得，则，故答案为：【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理余弦定理以及同角的基本关系进行转化是解决本题的关键三、解答题（共6小题，共85分.解答写出文字说明、演算步骙或证明过程。）16【分析】（）由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据三角形的面积公式即可求解的值（）由正弦定理可得，进而利用余弦定理即可求解【解答】解：（）因为：，可得，又因为的面积为，所以解得（）因为：，可得，所以由余弦定理可得，即，所以解得：【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基
10、本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17【分析】（）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求函数的单调递减区间；（）根据函数的导数判断函数的单调性求解函数的极值以及端点值，即可求函数在，上的最大值与最小值【解答】解：（）函数的导数为，令，递减区间为：；（）当变化时，与的变化情况如下： ，1 1，00极大值极小值，而（1），（3），（1）（3）【点评】本题主要考查函数的单调性和最值的求解，导数的应用是解决本题的关键18【分析】（）由题意结合指数函数的性质将原问题转化为求解二次不等式的问题，然后求解不等式的解集即可；（）首先利
11、用导函数研究函数的单调性，然后结合函数的单调性和区间端点处的函数值即可求得函数的最大值和函数的最小值【解答】解：（）由于恒成立，故题中的不等式即，即，据此可得不等式的解集为：或（）由函数的解析式可得：，当，时， ，单调递减，当，时， ，单调递增，且：，（1），（2），故函数的最大值为，最小值为【点评】本题主要考查不等式的解法，利用导数求函数最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力19【分析】（）由函数的解析式求出的值；（）选择条件时的一个周期为，利用三角恒等变换化简，再求在的最小值选择条件时的一个周期为，化简，利用三角函数的性质求出在的最小值【解答】解：（）由函数，则；（）选择条
12、件，则的一个周期为；由；因为，所以；所以，所以；当，即时，在取得最小值为选择条件，则的一个周期为；由；因为，所以；所以当，即时，在取得最小值为【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题20【分析】（）求出单调递减区间满足的条件，进而求出单调递减区间；（）由题意求出的解析式，再由的范围及函数值的范围，求出的范围【解答】解：（）函数的单调递减区间满足的条件为：，解得：，所以的单调递减区间为，（）由题意可得：，由，时，可得，由的取值范围为，可得，所以，解得，所以的最大值为【点评】本题考查求函数的单调区间即三角函数的性质，属于中档题21【分析】（）求导，求出（3
13、），（3），利用点斜式即可求得切线方程；（）求导，分，三种情况讨论函数的单调性，再结合已知在区间上单调，即可求得的取值范围；（）先证明，再证明：的取值范围是，从而确定的取值范围【解答】解：（）当时，（3），（3），在点，（3）处的切线方程为，即（），若，则的解集为，即在，上单调递增；的解集为，即在上单调递减，若，则在上单调递增，在，上单调递减，若，为常函数，若函数在区间上具有单调性，当时，解得；当时，解得，综上，的取值范围是，（）先证明，由（）得：当时，在递增，在递减，在递增，不妨设，则，若，则，故，若，（2）（2），当且仅当时成立，综上，再证明：的取值范围是，假设存在常数，使得对任意，取，且，则（2），与矛盾，故的取值范围是，【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是一道综合题
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