1、2021 年北京市通州区二校联考高三上期中数学试卷年北京市通州区二校联考高三上期中数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 1.已知集合，04Bxx，则AB I （A）1 0 ， （B）0 3， （C）3 4， （D）14 ， 2.在复平面内，复数11i对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.下列函数中，y的最小值是 2 的是 （A）1yxx （B）lnyxx （C） 1xyex （D） 1cos0cos2yxxx 4.某单位有男职工 56 人，女职工 42 人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，
2、如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为 16 人，则女职工抽取的人数为 （A）12 （B）20 （C）24 （D）28 5.在5(2)x的展开式中，4x的系数为 （A）5 （B）5 （C）10 （D）10 6.已知函数 tanf xx，则4f等于 （A）12 （B）22 （C）1 （D）2 7.设等差数列 na的前n项和为nS，若39S ，663S ，则789aaa等于 （A）63 （B）71 （C）99 （D）117 8.若函数 f x的定义域是区间, a b，则“ 0f a f b ”是“函数 f x在区间, a b内存在零点”的 | 13Axx （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分
3、条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 9.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 （A）408 种 （B）240 种 （C）192 种 （D）120 种 10.已知函数 f x的定义域为R， 54f，3f x是偶函数，12,3,x x，有 12120f xf xxx，则 （A） 04f （B） 14f （C） 24f （D
4、） 30f 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11. 函数( )ln1f xxx的定义域是_ 12. 关于x的不等式2420 xx的解集是_ 13.已知23xya，且111xy，则a _ 14.已知函数 sincos2xf xx，则函数 f x的值域是_ 15.设首项是 1 的数列 na的前n项和为nS， 且111 ,2,21 ,21 ,NNnnnankkaankk，则3a _； 若2021mS ，则正整数m的最大值是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题 13 分） 如图，在ABC中，点在边上，且60
5、ADC （）求； （）求线段的长 17.（本小题 14 分） 已知函数22( )2 3sin cossincosf xxxxx ()求函数 fx的最小正周期； ()求函数 fx的单调区间 18.（本小题 14 分） 已知函数 32f xaxbx在1x 时取得极大值 3 ()求a,b的值； ()求函数 f x的极小值 =12AB=3 6AC=5 6BCDBCcosCADDCBA19 （本小题14分） 设等差数列 na的前n项和是nS， nb是各项均为正数的等比数列，且111ab，523ab在3314ab，1 581ab ，424SS这三个条件中任选一个，解下列问题： ()分别求出数列 na和 n
6、b的通项公式； ()若313 log 3nnncab，求数列 nc的前n项和nT 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分 20 （本小题 15 分） 某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响） ，已知该蔬菜每售出 1 吨获利 500 元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损 100 元现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往 100 个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X(单位:吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量，T(单位:元) 表示下个销售周期两个市场的销售
7、总利润 ()求变量X概率分布列； () 当19n 时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于 8900 元的概率； () 以销售利润的期望作为决策的依据，判断19n 与18n 应选用哪一个 21 （本小题15分） 设函数 21xf xeax，0a ()当1a 时，求曲线 yfx在点 0,0f处的切线方程； ()若函数 fx在区间31,24单调，求实数a的取值范围； ()若函数 fx有极小值，求证： fx的极小值小于 参考答案参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A C D C D A B 二、填空题 110, 1267xx 136 1411
8、 ， 155，16 三、解答题 16 （本小题 13 分） 解： （）根据余弦定理：222cos2ACBCABCAC BC222(3 6)(5 6)12132 3 6 5 6；6 分 （）因为0C，所以sin0C ， 2212 2sin1 cos1 ( )33CC 根据正弦定理得：sinsinADACCADC， sinsinACCADADC813 分 17 （本小题 14 分） 解：()因为 222 3sin cossincosxxxxxf 3sin2cos2xx2 分 312sin2cos22xx4 分 2sin 26x，6 分 所以 f x的最小正周期22T8 分 ()令222262kxk
9、，Zk，9 分 得63kxk，Zk10 分 所以 f x的单调递增区间为,63kk，Zk；11 分 令3222262kxk，Zk，12 分 得536kxk，Zk13 分 所以 f x的单调递减区间为5,36kk，Zk14 分 18.（本小题 14 分） 解:（） fx的定义域为R1 分 因为 32f xaxbx，所以 232fxaxbx 3 分 又函数 32f xaxbx在1x 时取得极大值 3， 所以 10,13,ff即320,3.abab5 分 解得6,9 .ab 6 分 所以 323269fxaxbxxx . 经检验，当1x 时， 3269fxxx 取得极大值 3.7 分 （）由（）可知
10、 21818fxxx 8 分 令 0fx，得1810 x x，解得10 x ，21x 10 分 当x变化时，( )f x和( )fx变化情况如下表： x (,0) 0 (0,1) 1 (1,) ( )fx 0 0 ( )f x 0 3 所以当0 x 时， f x取得极小值014 分 19 （本小题 14 分） 解： （）设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为0q q 若选3314ab，则 由3352143abab，得21 214,1 43 .dqdq 4 分 解得2,3.dq或29,89.2dq 不合题意，舍去6 分 所以11121naandn ，即21nan, 1111 3nnn
11、bbq ，即13nnb8 分 若选1 581ab ,则 由521 5381aba b，得414381.dqq，4 分 解得2,3.dq或5,23.dq 不合题意,舍去.6 分 所以11121naandn ，即21nan, 1111 3nnnbbq ，即13nnb8 分 若选424SS,则 由524234abSS，得143 ,4 344 2.2dqdd4 分 解得2,3.dq6 分 所以11121naandn ，即21nan, 1111 3nnnbbq ，即13nnb8 分 ()由（）知，21nan,13nnb， 所以133113 log 3213 log3 3nnnncabn9 分 111 1
12、1222121nnn nnn.12 分 所以1111111111222312121nnTnnnnL14 分 20 （本小题 14 分） 解： （）设甲市场需求量为x的概率为 P x，乙市场需求量为y的概率为 P y，则由题意得 80.3P x ，90.4P x ，100.3P x ； 80.2P y ，90.5P y ，100.3P y 1 分 设两个市场总需求量为X的概率为P X,则由题意得 X所有可能的取值为 16，17，18，19，20，且2 分 168,8880.3 0.20.06P XP xyP xP y， 178,99,80.3 0.50.4 0.20.23P XP xyP xy，
13、 188,1010,89,9P XP xyP xyP xy 0.3 0.30.3 0.20.4 0.50.35， 199,1010,90.4 0.30.3 0.50.27P XP xyP xy， 2010,100.3 0.30.09P XP xy 所以X的分布列如下表7 分 X 16 17 18 19 20 P 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （）由题意得，当19X 时，500 199500T ， 当19X 时，500191006001900TXXX 所以9500,19,6001900,19.XTXX9 分 设A “销售利润不少于 8900 元”，则 当19X 时，500 1
14、995008900T ， 当19X 时,600100 198900TX，解得18X 由（）中X的分布列可知， 180.71P AP X11 分 （）由（）知，160.06P X ,170.23P X . 当17n 时,T的分布列为 X 16X 17X T 500 1617 16100 500 17 P 0.06 0.94 所以 500 1617 161000.06500 17 0.948464E T ；12 分 当18n 时，T的分布列为 所以 500 1618 161000.06500 1718 171000.23500 18 0.718790E T .14分 因为87908464,所以应选
15、18n .15 分 21 （本小题 15 分） 解： （） fx的定义域为R1 分 当1a 时， 21xf xex， 22121xxxfxexexex，2 分 所以 01f， 01f 3 分 所以曲线 yfx在点 0,0f处的切线方程为 000yffx， 即10 xy 4 分 () 221221xxxfxeaxeaxeaxax5 分 若 fx在区间31,24上单调递增，则 0fx在31,24恒成立 因为0 xe ，所以2210axax 在31,24恒成立6 分 X 16X 17X 18X T 500 1618 16100 500 1718 17100 500 18 P 0.06 0.23 0.
16、71 记 221g xaxax，则 因为0a ，2311,224axa 所以12110gaaa ， 所以01a；7 分 若 fx在区间31,24上单调递减，则 0fx在31,24恒成立 因为0 xe ，所以2210axax 在31,24恒成立 所以30,210,4gg 即9310,41110.162aaaa 解得167a 综上，若函数 fx在区间31,24单调，则实数a的取值范围是1601,7，；9 分 （）由()知 221xxfxeaxaxe g x 对于二次函数 g x，若2240aa ，则 因为0a ，所以 0g x 在R上恒成立， 而0 xe ，所以 0 xfxe g x恒成立 所以函数 fx在R上单调递增这与函数 fx有极小值矛盾10 分 所以2240aa ，即1a 此时方程2210axax 有两个不相等的实数根： 1111xa ，2111xa 由1a 可知，120 xx12 分 当x变化时，( )f x和( )fx变化情况如下表： x 1(,)x 1x 12( ,)x x 2x 2(,)x ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 由表可知，( )f x在2xx取得极小值，且在2(,)x单调递增，14 分 所以 201fxf，即 fx的极小值小于 115 分 注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分
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