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    高中数学解题思维与方法:二数学思维的反思性

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    高中数学解题思维与方法:二数学思维的反思性

    1、 1 二二 数学思维的反思性数学思维的反思性 一、概述一、概述 数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解,精细地检查思维过程,不盲从、 不轻信。 在解决问题时能不断地验证所拟定的假设, 获得独特的解决问题的方法,它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练,培养他们的创造性思维。 二、思维训练实例二、思维训练实例 (1) (1) 检查思路是否正确,注意发现其中的错误。检查思路是否正确,注意发现其中的错误。 例例 1 1 已知bxaxxf)(,若, 6)2(3, 0) 1 (3ff求)3(f的范围。 错误解法错误解法 由条件得 622303baba 2得 156 a

    2、2得 32338b +得 .343)3(310,34333310fba即 错误分析错误分析 采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数bxaxxf)(,其值是同时受ba和制约的。当a取最大(小)值时,b不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的。 正确解法正确解法 由题意有 22)2() 1 (bafbaf 2 解得:),2() 1 (232),1 ()2(231ffbffa ).1 (95)2(91633)3(ffbaf 把) 1 (f和)2(f的范围代入得 .337)3(316 f 在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识

    3、,才能反思性地看问题。 例例2 2 证明勾股定理:已知在ABC中,90C,求证.222bac 错误证法错误证法 在ABCRt中,,cos,sincbAcaA而1cossin22AA, 1)()(22cbca,即.222bac 错误分析错误分析 在现行的中学体系中,1cossin22AA这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论,作为推理的前提条件,叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的,而且不易发觉。因此,在学习中对所学的每个公式、法则、定理,既要熟悉它们的内容,又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误,正是思维具有反思

    4、性的体现。 (2) (2) 验算的训练验算的训练 验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算,可以检查解题过程的正确性,增强思维的反思性。 例例3 3 已知数列 na的前n项和12 nnS,求.na 错误解法错误解法 .222) 12() 12(1111nnnnnnnnSSa 错误分析错误分析 显然,当1n时,1231111Sa,错误原因,没有注意公式1nnnSSa成立的条件是).(2Nnn因此在运用1nnnSSa时,必须检验1n时的情形。即:), 2() 1(1NnnSnSann 例例4 4 实数a为何值时,圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。 错误解法错误解法 将圆01

    5、2222aaxyx与抛物线 xy212联立,消去y, 3 得 ).0(01)212(22xaxax 因为有两个公共点,所以方程有两个相等正根,得. 01021202aa 解之,得.817a 错误分析错误分析 (如图 221;222)显然,当0a时,圆与抛物线有两个公共点。 要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根;或有两个相等正根。 当方程有一正根、一负根时,得. 0102a解之,得. 11a 因此, 当817a或11a时, 圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。 思考题:实数a为何值时,圆012222aaxyx与抛物线xy212, (1) 有一个公共点; (

    6、2) 有三个公共点; (3) 有四个公共点; (4) 没有公共点。 养成验算的习惯,可以有效地增强思维反思性。如:在解无理方程、无理不等式;对数方程、对数不等式时,由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化,这样就有可能产生增根或失根,因此必须进行检验,舍弃增根,找回失根。 (3) (3) 独立思考,敢于发表不同见解独立思考,敢于发表不同见解 受思维定势或别人提示的影响,解题时盲目附和,不能提出自己的看法,这不利x y O 图图221 x y O 图图222 4 于增强思维的反思性。因此,在解决问题时,应积极地独立思考,敢于对题目解法发表自己的见解,这样才能增强思维的反思性,从而培

    7、养创造性思维。 例例5 5 30 支足球队进行淘汰赛,决出一个冠军,问需要安排多少场比赛? 解解 因为每场要淘汰 1 个队,30 个队要淘汰 29 个队才能决出一个冠军。因此应安排 29 场比赛。 思思 路路 分分 析析 传统的思维方法是:30 支队比赛,每次出两支队,应有 15742129 场比赛。而上面这个解法没有盲目附和,考虑到每场比赛淘汰 1 个队,要淘汰 29 支队,那么必有 29 场比赛。 例例6 6 解方程.cos322xxx 考察方程两端相应的函数xyxycos, 2) 1(2,它们的图象无交点。 所以此方程无解。 例例 7 7 设、是方程0622kkxx的两个实根,则22)

    8、1() 1(的最小值是( ) 不存在)(;18)(; 8)(;449)(DCBA 思路分析思路分析 本例只有一个答案正确,设了 3 个陷阱,很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得:, 6,2kk .449)43(42)(22)(1212) 1() 1(222222k 有的学生一看到449,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根、, , 0)6(442kk. 32kk或 当3k时,22) 1() 1(的最小值是 8;当2k时,22) 1() 1(的最小值是 18; 这时就可以作出正确选择,只有(B)正确。


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