1、广东省广州市越秀区三校联考九年级上期中数学试卷广东省广州市越秀区三校联考九年级上期中数学试卷 一、选择题：共一、选择题：共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。分。 1下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 2方程 x29x+180 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A12 B15 C12 或 15 D不能确定 3如图，O 的半径为 5，AB 为弦，OCAB，垂足为 C，如果 OC3，那么弦 AB 的长为（ ） A4 B6 C8 D10 4如图，已知 A（2，1） ，现将 A 点绕原点 O 逆时针旋转 90得到 A1，则
2、A1的坐标是（ ） A （1，2） B （2，1） C （1，2） D （2，1） 5函数 yax2（a0）与 yax2（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 6如图，已知ABC 是O 的内接三角形，ABO40，则ACB 的大小为（ ） A40 B30 C45 D50 7若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0） ，且其对称轴为 x1，则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是（ ） Ax4 或 x2 B4x2 Cx4 或 x2 D4x2 8如图，在ABC 中，CAB70在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到ABC的位置，使得CCAB，则BAB（
3、） A30 B35 C40 D50 9直线 yx+a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2+2x+10 实数解的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 10已知二次函数的解析式为 yax2+bx+c（a，b，c 为常数） ，且 a2+ab+ac0，下列说法：b24ac0；ab+ac0；方程 ax2+bx+c0 有两个不同实数根 x1，x2，且（x11） （1x2）0；二次函数的图象与坐标轴一定有三个不同交点，其中正确个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。把答
4、案填在答卷的相应位置。 ）分。把答案填在答卷的相应位置。 ） 11点 A（3，8）关于原点对称的点的坐标是 12关于 x 的一元二次方程 x2+x+m240 有一根为 0，则 m 的值为 13已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是抛物线 y3（x+2）2+m12 上的点，则 y1，y2，y3的大小关系为 14如图，ABC 内接于O，ACB90，ACB 的角平分线交O 于 D若 AC4，BD3，则BC 的长为 15如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 互相垂直，且 AC+BD8，则四边形 ABCD 面积的最大值为 16如图，在 RtABC 中，C90，B40，点 D
5、在边 BC 上，BD2CD，把ABC 绕点 D 逆时针旋转 m（0m180）度后，如果点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上，则 m 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 9 小题，共小题，共 72 分。 ）分。 ） 17 （4 分）解方程：x26x+20（用配方法） 18 （4 分）如图，在正方形网格中，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A、B、C 的坐标分别为（2，4） 、（2，0） 、 （4，1） （1）画出ABC 绕着点 A 逆时针旋转 90得到AB1C1 （2）写出点 B1、C1的坐标 19 （6 分）已知线段 AD、BC 为O 的弦，且 BCAD，求证：ABCD 20
6、 （6 分） 九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1 寸，锯道 AB1 尺（1 尺10 寸） ，求该圆材的直径 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+6x+（2m+1）0 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为 x1，x2，且 2x1x2x1x28，求 m 的取值范围 22 （10 分）我市某超市销售一种文具，进价为 5 元/件，售价为 6
7、 元/件时，当天的销售量为 100 件在销售过程中发现：售价每上涨 1 元，当天的销售量就减少 10 件设当天销售单价统一为 x 元/件（x6） ，当天销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2）若当天销售利润恰好 240 元，求当天销售单价； （3） 若每件文具的利润不超过 80%， 要想当天获得利润最大， 每件文具售价为多少元？并求出最大利润 23 （10 分）如图，在ABC 中，BAC90，ABAC20cm，点 D 为ABC 内一点，AD12cm，连接 BD，将ABD 绕点 A 逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点
8、 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F （1）若点 B、D、E 三点共线，求FEC 的度数 （2）若BAD15，求 CF 的长 24 （12 分）如图，点 C 为ABD 的外接圆上的一动点（点 C 不在上，且不与点 B，D 重合） ，ACBABD45 （1）求证：BD 是该外接圆的直径； （2）连接 CD，求证：ACBC+CD； （3）若ABC 关于直线 AB 的对称图形为ABM，连接 DM，试探究 DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论 25 （12 分）已知函数 yx2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点（2，4） （1）求 b，c 满足的关系式； （2）设该
9、函数图象的顶点坐标是（m，n） ，当 b 的值变化时，求 n 关于 m 的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当5x1 时，函数的最大值与最小值之差为 16，求 b 的值 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：共一、选择题：共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。分。 1下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念和各图特点作答 【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转
10、180 度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形这个旋转点，就叫做中心对称点 2方程 x29x+180 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A12 B15 C12 或 15 D不能确定 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到 x 的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长 【解答】解：方程变形得： （x3） （x6）0， 解得：当 x3 或 x6，
11、 当 3 为腰，6 为底时，三角形三边为 3，3，6，不能构成三角形，舍去； 当 3 为底，6 为腰时，三角形三边为 6，6，3，周长为 6+6+315， 故选：B 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键 3如图，O 的半径为 5，AB 为弦，OCAB，垂足为 C，如果 OC3，那么弦 AB 的长为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】先连接 OA，根据勾股定理求出 AC 的长，由垂径定理可知，AB2AC，进而可得出结论 【解答】解：连接 OA， OA5，OC3，OCAB， AC4， OCAB， AB2AC248 故选：C 【点评】本题考查的是垂径
12、定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 4如图，已知 A（2，1） ，现将 A 点绕原点 O 逆时针旋转 90得到 A1，则 A1的坐标是（ ） A （1，2） B （2，1） C （1，2） D （2，1） 【分析】将 A 点绕原点 O 逆时针旋转 90得到 A1，相当于将 RtOBA 点绕原点 O 逆时针旋转 90得到 RtOB1A1，如图，然后根据旋转的性质得 OB1OB2，A1B1AB1，从而得到点 A1的坐标 【解答】解：将 A 点绕原点 O 逆时针旋转 90得到 A1， 即将 RtOBA 点绕原点 O 逆时针旋转 90得到 RtOB1A1，如图， 所以
13、 OB1OB2，A1B1AB1， 所以点 A1的坐标是（1，2） 故选：A 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180 5函数 yax2（a0）与 yax2（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【分析】 由题意分情况进行分析： 当 a0 时， 抛物线开口向上， 直线与 y 轴的负半轴相交， 经过第一、三、四象限，当 a0 时，抛物线开口向下，直线与 y 轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择 A 【解答】解：在 yax2， b2， 一次函数
14、图象与 y 轴的负半轴相交， 当 a0 时， 二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限， 当 a0 时， 二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限， 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系 6如图，已知ABC 是O 的内接三角形，ABO40，则ACB 的大小为（ ） A40 B30 C45 D50 【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出AOB 的度数，再利用圆周角与圆心角的关系，求出ACB 的度数 【解答】解：AOB 中，OAOB，ABO40； AOB1802ABO100；
15、 ACBAOB10050 故选：D 【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 7若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0） ，且其对称轴为 x1，则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是（ ） Ax4 或 x2 B4x2 Cx4 或 x2 D4x2 【分析】由抛物线与 x 轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值 y0 成立的 x 的取值范围即可 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0） ，且其对称轴为 x
16、1， 二次函数的图象与 x 轴另一个交点为（4，0） ， a0， 抛物线开口向下， 则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是4x2 故选：D 【点评】此题考查了二次函数与不等式（组） ，求出抛物线与 x 轴另一个交点坐标是解本题的关键 8如图，在ABC 中，CAB70在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到ABC的位置，使得CCAB，则BAB（ ） A30 B35 C40 D50 【分析】旋转中心为点 A，B 与 B，C 与 C分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角BABCAC，ACAC，再利用平行线的性质得CCACAB，把问题转化到等腰ACC中，根据内角和定理求CAC 【解答】解：CCA
17、B，CAB70， CCACAB70， 又C、C为对应点，点 A 为旋转中心， ACAC，即ACC为等腰三角形， BABCAC1802CCA40 故选：C 【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角同时考查了平行线的性质 9直线 yx+a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2+2x+10 实数解的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 【分析】利用一次函数的性质得到 a0，再判断224a0，从而得到方程根的情况 【解答】解：直线 yx+a 不经过第二象限， a0， 当 a0 时，关于 x 的方程 ax2+2x+
18、10 是一元一次方程，解为 x， 当 a0 时，关于 x 的方程 ax2+2x+10 是一元二次方程， 224a0， 方程有两个不相等的实数根 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根也考查了一次函数的性质 10已知二次函数的解析式为 yax2+bx+c（a，b，c 为常数） ，且 a2+ab+ac0，下列说法：b24ac0；ab+ac0；方程 ax2+bx+c0 有两个不同实数根 x1，x2，且（x11） （1x2）0；二次函数的图
19、象与坐标轴一定有三个不同交点，其中正确个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据题意把 a 的符号分成两种情况，再由 a2+ab+ac0 判断出 a+b+c 的符号，即可得出当 x1时，y 的符号，从而得出 b+c 的符号，再得出方程 ax2+bx+c0 有一个根大于 1，一个根小于 1，即可得出（x11） （x21）0；b24ac0；抛物线坐标轴有 3 个交点或 2 个交点 【解答】解：当 a0 时， a2+ab+aca（a+b+c）0， a+b+c0， 抛物线与 x 轴有交点， b24ac0，故正确； a0， b+c0， ab+ac0，故正确； 当 a0 时， a2+ab+aca（
20、a+b+c）0， a+b+c0， 抛物线与 x 轴有交点， b+c0， b24ac0，故正确； a0，b+c0， ab+ac0，故正确， a+b+c0 或 a+b+c0， 方程 ax2+bx+c0 有两个不同根 x1、x2，且 x11，x21， （x11） （x21）0， 即（x11） （1x2）0，故正确； 二次函数的图象与坐标轴可能有三个不同交点，也可能有两个交点，故错误； 正确 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。把答案填在答卷的相
21、应位置。 ）分。把答案填在答卷的相应位置。 ） 11点 A（3，8）关于原点对称的点的坐标是 （3，8） 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点 O 的对称点是 P（x，y） ，进而得出答案 【解答】解：点 A（3，8）关于原点对称的点的坐标是（3，8） 故答案为： （3，8） 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的符号关系是解题关键 12关于 x 的一元二次方程 x2+x+m240 有一根为 0，则 m 的值为 2 【分析】 根据一元二次方程的解的定义， 把 x0 代入 x2+x+m240 得到关于 m 的一次方程
22、m240，然后解一次方程即可 【解答】解：把 x0 代入 x2+x+m240 得 m240， 解得 m2 故答案为：2 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 13已知（3，y1） ， （2，y2） ， （1，y3）是抛物线 y3（x+2）2+m12 上的点，则 y1，y2，y3的大小关系为 y3y1y2 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可 【解答】解：抛物线 y3（x+2）2+m12 的开口向上，对称轴是直线 x2， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大， （3，y1）关于对称轴直线 x2 的对称点是（
23、1，y1） ， 211， y3y1y2， 故答案为：y3y1y2 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键 14如图，ABC 内接于O，ACB90，ACB 的角平分线交O 于 D若 AC4，BD3，则BC 的长为 2 【分析】连接 AD，根据圆周角定理得到ADB90，ADBD，根据勾股定理求出 AB，再根据勾股定理计算即可 【解答】解：连接 AD， ACB90， AB 为O 的直径， ADB90， CD 是ACB 的角平分线， ， ADBD3， AB6， 在 RtACB 中，BC2， 故答案为：2 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心
24、，掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键 15如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 互相垂直，且 AC+BD8，则四边形 ABCD 面积的最大值为 8 【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出 SACBD，再利用配方法求出二次函数最值 【解答】解：设 ACx，四边形 ABCD 面积为 S，则 BD8x， 则：SACBDx（8x）（x4）2+8， 当 x4 时，S最大8； 所以，四边形 ABCD 的面积最大值为 8， 故答案为：8 【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键 16如图，在 RtABC 中，C90，B4
25、0，点 D 在边 BC 上，BD2CD，把ABC 绕点 D 逆时针旋转 m（0m180）度后，如果点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上，则 m 100或 120 【分析】 当点 B 落在 AB 边上时， 根据 DBDB1， 即可解决问题， 当点 B 落在 AC 上时， 在 RtDCB2中，根据C90，DB2DB2CD 可以判定CB2D30，由此即可解决问题 【解答】解：当点 B 落在 AB 边上时， DBDB1， BDB1B40， mBDB1180240100， 当点 B 落在 AC 上时， 在 RtDCB2中， C90，DB2DB2CD， CB2D30， mC+CB2D120， 综上所述
26、，m 的值为 100或 120 故答案为：100或 120 【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的定义、直角三角形 30 度角的判定等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 9 小题，共小题，共 72 分。 ）分。 ） 17 （4 分）解方程：x26x+20（用配方法） 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【解答】解：x26x+20 移项，得 x26x2， 即 x26x+92+9， （x3）27， 解得 x3， 即
27、 x3 x13+，x23 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 18 （4 分）如图，在正方形网格中，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A、B、C 的坐标分别为（2，4） 、（2，0） 、 （4，1） （1）画出ABC 绕着点 A 逆时针旋转 90得到AB1C1 （2）写出点 B1、C1的坐标 【分析】 （1）将点 B、C 分别绕点 A 逆时针旋转 90得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据以上作图即可得出答案 【解答】解： （1）如图所示，AB1C1即为所求 （2
28、）由图知，B1（2，4） 、C1（1，2） 【点评】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点 19 （6 分）已知线段 AD、BC 为O 的弦，且 BCAD，求证：ABCD 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由 BCAD 得到，则，从而得到 ABCD 【解答】证明：BCAD， ， 即+， ， ABCD 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 20 （6 分） 九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代数学的两
29、大源泉在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1 寸，锯道 AB1 尺（1 尺10 寸） ，求该圆材的直径 【分析】设O 的半径为 r 寸在 RtACO 中，AC5，OCr1，OAr，则有 r252+（r1）2，解方程即可 【解答】解：设圆心为 O，过 O 作 OCAB 于 C，交O 于 D，连接 OA，如图所示： ACAB105， 设O 的半径为 r 寸， 在 RtACO 中，OCr1，OAr， 则有 r252+（r1）2， 解得 r13， O 的直径为 26 寸 【点评】本题
30、考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型 21 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+6x+（2m+1）0 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为 x1，x2，且 2x1x2x1x28，求 m 的取值范围 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出 x1+x26、x1x22m+1，由 2x1x2x1x28 结合（1）结论可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围 【解答】解： （1）方程
31、有实数根， 364（2m+1）368m4328m0， 解得：m4 故 m 的取值范围是 m4； （2）x1，x2是方程 x2+6x+（2m+1）0 的两个实数根， x1+x26，x1x22m+1， 2x1x2x1x28， 2（2m+1）+68， 解得 m0， 由（1）可得 m4， m 的取值范围是 0m4 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是： （1）牢记“当0 时，方程有两个实数根” ； （2）根据根与系数的关系结合 2x1x2x1x28 及 m4，求出 m 的取值范围 22 （10 分）我市某超市销售一种文具，进价为 5 元/件，售价为 6 元/件时，当天的销售量为
32、 100 件在销售过程中发现：售价每上涨 1 元，当天的销售量就减少 10 件设当天销售单价统一为 x 元/件（x6） ，当天销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2）若当天销售利润恰好 240 元，求当天销售单价； （3） 若每件文具的利润不超过 80%， 要想当天获得利润最大， 每件文具售价为多少元？并求出最大利润 【分析】 （1） 根据当天的销售利润等于每件的利润乘以销售量， 直接写出 y 与 x 之间的函数关系式即可； （2）当 y240 时，得关于 x 的一元二次方程，解方程即可； （3）由题意可知，利润不超过 80%即为利润率（
33、售价进价）进价，即可求得售价的范围再结合二次函数的性质，即可求 【解答】解： （1）由题意得： y（x5）10010（x6） 10 x2+21x800， 答：y 与 x 之间的函数关系式为 y10 x2+210 x800； （2）当 y240 时，即10 x2+210 x800240， 解得 x18，x213， 答：要使当天的销售利润为 240 元，当天的售价为 8 元或 13 元； （3）每件文具利润不超过 80%， 80%， 解得：x9， 文具的销售单价为 6x9， 由（1）得 y10 x2+210 x80010（x10.5）2+302.5， 100， 当 x10.5 时，y 随着 x 的
34、增大而增大， 6x9， 当 x9 时，取得最大值，此时 y10（910.5）2+302.5280， 答：每件文具售价为 9 元时，最大利润为 280 元 【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键 23 （10 分）如图，在ABC 中，BAC90，ABAC20cm，点 D 为ABC 内一点，AD12cm，连接 BD，将ABD 绕点 A 逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F （1）若点 B、D、E 三点共线，求FEC 的度数 （2）若BAD1
35、5，求 CF 的长 【分析】 （1）利用 SAS 证明ABDACE，得AECBDA，由点 B、D、E 三点共线，得ADB180ADE18045135，即可解决问题； （2）过 A 作 AHDE 于 H，利用特殊角的三角函数即可得出答案 【解答】解： （1）如图，将ABD 绕点 A 逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合， DAEBAC90，ADAE， BADCAE， 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） ， AECBDA， 点 B、D、E 三点共线， ADB180ADE18045135， FECAECAED1354590； （2）过 A 作 AHDE 于 H， AH6（cm）
36、 ， BAD15， FAH90BADDAH30， cos30， AF4cm， CFACAF204（cm） 【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键 24 （12 分）如图，点 C 为ABD 的外接圆上的一动点（点 C 不在上，且不与点 B，D 重合） ，ACBABD45 （1）求证：BD 是该外接圆的直径； （2）连接 CD，求证：ACBC+CD； （3）若ABC 关于直线 AB 的对称图形为ABM，连接 DM，试探究 DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）
37、要证明 BD 是该外接圆的直径，只需要证明BAD 是直角即可，又因为ABD45，所以需要证明ADB45； （2）在 CD 延长线上截取 DEBC，连接 EA，只需要证明EAC 是等腰直角三角形即可得出结论； （3）过点 M 作 MFMB 于点 M，过点 A 作 AFMA 于点 A，MF 与 AF 交于点 F，证明AMF 是等腰三角形后，可得出 AMAF，MFAM，然后再证明ABFADM 可得出 BFDM，最后根据勾股定理即可得出 DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系 【解答】解： （1）， ACBADB45， ABD45， BAD90， BD 是ABD 外接圆的直径； （2）在 CD 的延
38、长线上截取 DEBC， 连接 EA， ABDADB， ABAD， ADE+ADC180， ABC+ADC180， ABCADE， 在ABC 与ADE 中， ， ABCADE（SAS） ， BACDAE， BAC+CADDAE+CAD， BADCAE90， ACDABD45， CAE 是等腰直角三角形， ACCE， ACCD+DECD+BC； （3）过点 M 作 MFMB 于点 M，过点 A 作 AFMA 于点 A，MF 与 AF 交于点 F，连接 BF， 由对称性可知：AMBACB45， FMA45， AMF 是等腰直角三角形， AMAF，MFAM， MAF+MABBAD+MAB， FABMA
39、D， 在ABF 与ADM 中， ， ABFADM（SAS） ， BFDM， 在 RtBMF 中， BM2+MF2BF2， BM2+2AM2DM2 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形 25 （12 分）已知函数 yx2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点（2，4） （1）求 b，c 满足的关系式； （2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n） ，当 b 的值变化时，求 n 关于 m 的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当5x1 时，函数的最大值与最小值之差为 1
40、6，求 b 的值 【分析】 （1）将点（2，4）代入 yx2+bx+c，c2b； （2）m，n，得 n2bm2； （3）当 b0 时，c0，函数不经过第三象限，则 c0；此时函数最大值与最小值之差为 25；当 b0时， c0， 0， 解得 0b8， 在此情况下分三种情况： 当21 时， 函数有最小值+2b，函数有最大值 253b；求得 b2 或 b18（舍） ；当52 时，函数有最小值+2b，函数有最大值 1+3b；求得 b6 或 b10（舍） ；当5 时，函数有最小值 253b，函数有最大值 1+3b，求得 b（舍） 【解答】解： （1）将点（2，4）代入 yx2+bx+c， 得2b+c0，
41、 c2b； （2）m，n， n， n2bm24mm2； （3）yx2+bx+2b（x+）2+2b， 对称轴为直线 x， 当 b0，c0，函数不经过第三象限，则 c0； 此时 yx2，当5x1 时，函数最小值是 0，最大值是 25， 最大值与最小值之差为 25； （舍去） 当 b0 时，c0，函数不经过第三象限，则0， 0b8， 当21 时，函数有最小值+2b，函数有最大值 253b； 函数的最大值与最小值之差为 16， 253b+2b16， b2 或 b18（舍） ； 当52 时，函数有最小值+2b，函数有最大值 1+3b； 函数的最大值与最小值之差为 16， 1+3b2b16， b6 或 b10（舍） ； 当5 时，函数有最小值 253b，函数有最大值 1+3b； 函数的最大值与最小值之差为 16， 1+3b25+3b16， b（舍） ； 综上所述 b2 或 b6 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键
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