1、专题08：数列一、单选题1（2022山东菏泽二模）已知数列中，且对任意的m，都有，则下列选项正确的是（）A的值随n的变化而变化BC若，则D为递增数列2（2022山东济南二模）已知数列，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为（）A47B48C57D58二、多选题3（2022山东潍坊二模）已知数列，有，则（）A若存在，则B若，则存在大于2的正整数n，使得C若，且，则D若，则关于的方程的所有实数根可构
2、成一个等差数列4（2022山东烟台市教育科学研究院二模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（）ABC D5（2022山东日照二模）已知数列满足，则下列说法正确的有（）ABC若，则D6（2022山东济宁二模）已知一组数据，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（）A中位数不变B平均数变小C方差变大D方差变小三、填空题7（2022山东聊城二模）已知数列，当时，则数列的前项的和为_8（2022山东
3、青岛二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n行共有个数，若，且该数阵中第5行第6列的数为42，则_.a1a2a3a4a5a6a79（2022山东泰安二模）已知数列是公差大于0的等差数列，且，成等比数列，则_10（2022山东济宁二模）已知数列满足：，且，其中.若，则使得成立的最小正整数m为_.11（2022山东德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，
4、记为第2次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为_，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为_(，)12（2022山东滨州二模）某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，的通项公式为_，编码99共出现_次1111111234561357911147101316159131721161116212
5、6四、解答题13（2022山东潍坊二模）已知正项数列的前n项和为，且，数列满足(1)求数列的前n项和，并证明，是等差数列；(2)设，求数列的前n项和14（2022山东聊城二模）已知数列的前项和为，且（）(1)求数列的通项公式：(2)若数列满足，求数列的前项和15（2022山东青岛二模）已知等比数列为递增数列，是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若项数为n的数列满足：（，2，3，n）我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于.记数列的前项和
6、为，若，求k.16（2022山东烟台市教育科学研究院二模）已知正项数列的前项和为，且、成等比数列，其中(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和17（2022山东菏泽二模）已知数列中，它的前n项和满足(1)证明：数列为等比数列；(2)求18（2022山东德州市教育科学研究院二模）已知数列的首项，且满足(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，求的前n项和19（2022山东临沂二模）已知数列的前n项和为，(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前n项和20（2022山东日照二模）已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.求的通项公式；从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照
7、原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.21（2022山东滨州二模）已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中，(1)求数列和的通项公式；(2)令，抽去数列的第3项、第6项、第9项、第3n项、余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前n项和22（2022山东济南二模）已知是递增的等差数列，分别为等比数列的前三项.(1)求数列和的通项公式；(2)删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.23（2022山东泰安二模）已知数列单调递增，其前n项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和为24（2022山东济宁二模）已知
8、数列满足，(1)设，证明：数列为等差数列；(2)求数列的前2n项和.参考答案1D【分析】令，得，故A不正确；再根据等差数列的通项公式和求和公式可判断BCD.【详解】因为对任意的m，都有，所以令，得，故A不正确；所以，所以，所以B不正确；若，则，故C不正确；，所以为递增数列，故D正确.故选：D.2C【分析】将数列的项分组，设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，由此列式，求得，结合，即可求得答案.【详解】将数列分组为（），（，），（，），（，），设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，则 ，此时数列共有项数为 ，即得，解得 由于 ，而，故 ，又,故符合条件的m,的最小值为11，则满足且的
9、n的最小值为 ，故选：C【点睛】本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律特点，分组，从而列出相应的等式或不等式关系，这是解题的关键所在.3ACD【分析】根据题意，证明得到时，且，再逐个选项进行计算和证明，逐个选项判断即可求解.【详解】因为，所以，即，所以，必有，得到；对于A，若存在，取，有，则，所以，必有，则有，同理，若，由可得故A正确；对于B，若，则，又因为，必有，得到，所以当时，因为，必有，故B错；对于C，若，且，则，则，又，所以，根据递推公式，可得，；利用累加法，整理得，又因为，必有，得到，所以，所以，所以，C正确；对于D，若，得到，所以，则关于的方程可以化为，化简得，设
10、，可得，化简得，所以，或(舍去)，得，写成数列形式，即所有实数根可构成一个等差数列，其通项公式为：，故D正确；故选：ACD4CD【分析】通过计算求出的值，运用归纳法得到之间的关系，最后根据等比数列的定义和前n项和公式进行求解判断即可.【详解】由题意得：，所以有，因此选项AB不正确；，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，因此有，因此选项C正确；，所以选项D正确，故选：CD【点睛】关键点睛：通过计算得到是解题的关键.5BCD【分析】直接计算出即可判断A选项；构造函数函数，由，得到，进而判断B选项；由得到，再结合累乘法得到，按照等比数列求和公式即可判断C选项；构造函数，由得到，结合累乘法求得，按照
11、等比数列求和公式即可判断D选项.【详解】，则，又，所以，A不正确.令函数，则，则在上单调递减，在上单调递增，即，又易得是递增数列，故，所以，B正确.易知是递增数列，所以，则，则，即，所以，即，所以，所以，而当时，则有，C正确.令函数，则，所以在上单调递减，所以当时，则，所以，所以，D正确.故选：BCD.【点睛】本题关键点在于B选项通过构造函数进行放缩得到，结合即可判断；C选项由放缩得到，D选项构造函数得到，再结合累乘法和求和公式进行判断.6AC【分析】由中位数的概念可判断A，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断B，由方差计算公式即可判断CD.【详解】对于选项A，原数据的中位数为，去掉后的中位
12、数为，即中位数没变，故选项A正确；对于选项B，原数据的平均数为，去掉后的平均数为即平均数不变，故选项B错误：对于选项C，则原数据的方差为，去掉后的方差为，故，即方差变大，故选项C正确，选项D错误.故选：AC.7【分析】分别取、时，满足的项数，计算得出，利用错位相减法可求得数列的前项的和.【详解】当时，共项，当时，共项，当时，共项，当时，共项，又因为，所以，数列的前项的和为，记，则，上述两个等式作差可得，所以，因此，数列的前项的和为.故答案为：.8【分析】利用等比数列前项和公式确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项公式.【详解】解：设公差为，因为该数阵第n行共有个数，则前
13、4行共有个数，所以第5行第6列数为，则，所以故答案为：920【分析】先利用解出公差，再通过等差数列计算即可.【详解】设公差为，则，即，化简得，解得或，又，故，则.故答案为：20.10121【分析】先求导，根据，得到，进而求得，得到，利用裂项相消法求解.【详解】解：因为，所以，因为，所以，即，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以，则，所以，则，因为，所以，解得，所以使得成立的最小正整数m为121故答案为：12111 ； .【分析】先根据题意把第次操作所去掉的长度和求出来，然后再求和即可得到前次操作所去掉的长度，再建立不等式即可求出的最小值.【详解】第一次操作去掉了区间长度的，剩下的区间：
14、，第二次去掉个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，第三次去掉个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：， .以此类推，第次将去掉个长度为的区间，即长度和为，则的前项和可表示为 由题意知，两边同时取对数，即，解得： 故答案为：；.12 6【分析】观察表中形成的数列，第二项比第一项大1，第三相比第二项大3，第四相比第三项大5，第五相比第四项大7，依此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为2的等差数列，用叠加法可求解第一空；观察可得第行的第个数为，令，则，解出满足条件的m，n即可求解第二个空.【详解】解：设主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，为，因为，将以上个式子相加，可得；由编码观
15、察可得，第行是首项为1，公差为的等差数列，则第行的第个数为，令，则，所以，或，或，或，或，或，所以99共出现6次故答案为：；6.13(1)，证明见解析；(2)【分析】(1)利用求出数列的通项公式，从而求出，从而求出.证明即可证明，是等差数列；(2)根据通项公式的特征，分n为奇数和偶数讨论其前n项和(1)，当时，或(舍)，当时，：，是以2为首项，2为公差的等差数列，数列是首项为2，公比为2的等比数列，成等差数列；(2)，当n为偶数时，当n为奇数时，综上可知14(1)；(2).【分析】（1）利用与的关系可得，进而即得；（2）利用分组求和法即得.(1)当时，当时，又，数列为首项为1，公比为3的等比数
16、列，；(2)由及，可得，.15(1)(2)或【分析】（1）设数列的公比为q，根据等差中项的性质，结合等比数列的基本量列式求解即可；（2）先确定，进而根据等差数列的通项公式得出，再根据等差数列前项和的公式结合求解即可（1）设数列的公比为q，由题意知：，所以，解得或（舍），所以.（2）由题知：，是以8为末项，2为公差的等差数列，所以，解得，所以，所以所以，即，解得或.16(1)(2)【分析】（1）由已知可得，令可求得的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求得的通项公式；（2）求出，可求得，利用分组求和法结合裂项相消法可求得.（1）解：对任意
17、的，由题意可得.当时，则，解得，当时，由可得，上述两个等式作差得，即，因为，所以，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，则.（2）解：，则，因此，.17(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知等式构造一个等式,两式相减，得，再变为即可得解；（2）利用分组求和法和等比数列的求和公式可求出结果.（1）由，得，由，得，得，又当时，由得，所以对任意的，都有，故是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知，所以，代入，得，所以18(1)证明见解析； (2)【分析】（1）对于两边取倒数，可推得，结合等比数列的通项公式，求得答案；（2）由（1）求得的表达式，利用错位相减法，即可求得答案.（1）由题意得
18、，所以，即是等比数列，则的首项为，公比为3，所以，所以（2）由（1）得：，所以，得,所以.19(1).(2).【分析】（1）根据题中给出得递推关系式，以及，即可求解数列的通项公式；（2）将数列的通项公式带入数列，进行化简，利用错位相减法进行求解.（1）由得，.又，整理得.数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列的通项公式为：.（2）由（1）得，.，即，两式相减，得，.20；是数列中的项，理由见解析.【分析】设等差数列的公差为，由题意可知与的等差中项为，利用等差数列的定义列出式子求出公差为，进而列出的通项公式；写出，将代入验证即可.【详解】解：设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得与的等差中
19、项为，所以，又因为，即.所以，因为公差为正数,所以.则，则.的通项公式.结合可知，.令，即，符合题意，即.所以是数列中的项.【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题.21(1)，；(2)【分析】（1）由题意，列出关于公差与公比的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案；（2）由（1）可得，然后分和进行讨论，利用分组求和法及等比数列的前n项和公式即可求解.（1）解：由题意，整理得，解得或，因为公比，所以，则，所以，；（2）解：由（1）可得，当时，当时，综上，.22(1)，(2)【分析】（1）根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等
20、比数列的首项和公比，即得答案;（2）删去数列中的第项（其中 ）后，求和时讨论n的奇偶性，并且分组求和，即可求得答案.(1)设数列的公差为，数列的公比为q，由已知得，解得， ，所以；所以，所以.(2)由题意可知新数列为：，则当n为偶数时，则当n为奇数时,，综上： .23(1)；(2)【分析】（1）先利用退位相减法得到，再结合等差数列的定义及通项求解即可；（2）先得到，再利用错位相减法求出，即可求解.（1）因为，所以当时，所以当时，整理得，因为数列单调递增，且，所以当时，所以当时，即所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列所以（2），所以设，则，所以所以所以24(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由已知得，根据递推关系可得，结合等差数列的定义即可证结论.（2）由题设可得，应用错位相减法求，即可得结果.（1）由题意，当时，所以，则是以1为公差，为首项的等差数列.（2）由题设，由（1）知：，则.其中，即，所以，两式相减得，所以，综上，.
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