1、 苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市八年级苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市八年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分。分。 1下列实数是无理数的是（ ） A（1）0 B C5 D3.14 2下列交通指示标志中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3如图，ABAC，添加下列条件，仍不能判定ABEACD 的是（ ） ABC BBECD CAEBADC DAEAD 4已知等腰三角形的周长为 20，一边长为 5，则此等腰三角形的底边长是（ ） A5 B7.5 C5 或 10 D5 或 7.5 5
2、已知 M、N 是线段 AB 上的两点，AMMN2，NB1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则ABC 一定是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 6如图，长方形 ABCD 中，CD2，AD1，CD 在数轴上，点 D 表示数 1，以点 D 为圆心，对角线 DB长为半径画弧交数轴于点 E，则数轴上点 E 表示的数是（ ） A B C D 7如图，已知ABCABC，AABC，ABC70，则CBC的度数是（ ） A40 B35 C50 D20 8如图，三角形纸片 ABC 中，点 D 是 BC 边上一点
3、，连接 AD，把ABD 沿着直线 AD 翻折，得到AED，DE 交 AC 于点 G，连接 BE 交 AD 于点 F，若 DGEG，AF4，AB5，AEG 的面积为，则 BD的长是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.把答案直接填写在答题卡相应位置上把答案直接填写在答题卡相应位置上. 9用四舍五入法将 3.886 精确到 0.01，所得到的近似数为 10满足x的所有整数 x 的和是 11已知，则 xy 12如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且 A、B、C 三个正方形的边长分别为 2
4、、3、，则正方形 D 的面积为 13如图，在锐角ABC 中，DBC16，DE 和 DF 分别垂直平分 AB、AC，则A 的度数为 14“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远如图，若观测点的高度为 h，观测者视线能达到 的最远距离为 d，则 d，其中 R 是地球半径（通常取 6400km），小明站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度 h 为 20m，他观测远处一艘船刚露出海平面，则此时 d 的值为 15把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF若 AB2cm，BC4cm则重叠部分DEF 的面积为 cm2 16有两根木条，长分别为 3cm 和
5、4cm，现将这两根木条作两边，再截一根木条作第三边围成一个钝角三角形，则第三根木条长度的取值范围是 cm 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 11 小题，共小题，共 82 分。把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算分。把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用过程、推演步骤或文字说明。作图时用 2B 铅笔或黑色墨水签字笔铅笔或黑色墨水签字笔. 17计算： 18求下列各式中的 x： （1）； （2）（2x+1）29 19已知一个正数的平方根分别是 2a5 和 2a+1，另一个实数 b 的立方根是 2 求：（1）a，b 的值； （
6、2）a 与 b 和的平方根 20 如图， 在 88 的方格纸中， 每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形， 每个小正方形的顶点叫做格点 已知ABC 的三个顶点在格点上 （1）画出A1B1C1，使它与ABC 关于直线 a 对称； （2）画出CAD，使CAD 三边长分别为 2，（画出一个即可）； （3） 延长BC交直线 a 于E， 若BEF 是以 BE 为底边的等腰三角形， 那么这样的格点F 共有 个 21如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，ABDB，BE 平分ABC，交 AC 边于点 E，连接 DE （1）求证：ABEDBE； （2）若A110，C40，求AEB 的度数 22“三农”
7、问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措如图，公路上 A、B 两点相距 50km，C、D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，已知 DA30km，CB20km，现在要在公路 AB 上建一个土特产品市场 E，使得 C、D 两村庄到市场 E 的距离相等，则市场 E 应建在距 A 多少千米处？并判断此时DEC 的形状，请说明理由 23如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，A90，BCBD，CEBD，垂足为 E 求证：（1）ABDECB； （2）DBC2DCE 24如图，在AOB 的两边 OA、OB 上分别取点 M、N，连接 MN若 MP 平分AMN，NP 平
8、分MNB （1）求证：OP 平分AOB； （2）若 MN8，且PMN 与OMN 的面积分别是 16 和 24，求线段 OM 与 ON 的长度之和 25小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出50653 的立方根？他进行了如下步骤： 首先进行了估算：因为 1031000，10031000000，所以是两位数； 其次观察了立方数：131，238，3327，4364，53125，63216，73343，83512，93729；猜想的个位数字是 7； 接着将 50653 往前移动 3 位小数点后约为 50， 因为 3327， 4364， 所以的十位数字应为 3，于是猜想，验证得：50653 的立方根
9、是 37； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1） ； （2）若，则 x ； 已知，且与互为相反数，求 x，y 的值 26我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图 1 的“弦图”（史称“赵爽弦图”） （1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为 a，较短的直角边为 b，斜边长为 c，结合图 1，试验证勾股定理； （2）如图 2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为 24，OC3，求该“
10、勾股风车”图案的面积； （3）如图 3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3，若 S1+2S2+S320，则 S2 27如图 1，在ABE 和ACD 中，AEAB，ADAC，且BAECAD，则可证明得到AECABD 【初步探究】（1）如图 2，ABC 为等边三角形，过 A 点作 AC 的垂线 l，点 P 为 l 上一动点（不与点 A重合），连接 CP，把线段 CP 绕点 C 逆时针方向旋转 60得到 CQ，连 QB请写出 AP 与 BQ 的数量关系并说明理由； 【深步探究】（2）如图
11、3，在（1）的条件下，连接 PB 并延长 PB 交直线 CQ 于点 D当点 P 运动到 PDCQ 时，若，求 PB 的长； 【拓展探究】（3）如图 4，在ABC 中，ACB45，以 AB 为直角边，A 为直角顶点向外作等腰直角ABD，连接 CD，若 AC1，BC3，则 CD 长为 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分。分。 1下列实数是无理数的是（ ） A（1）0 B C5 D3.14 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案 解：A（1）01，1 是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B是无理数，故本选项
12、符合题意； C5 是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D3.14 是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：B 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如 ，0.8080080008（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式 2下列交通指示标志中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称的概念得出结论即可 解：由题意知，ABC 选项都是轴对称图形，D 选项不是轴对称图形， 故选：D 【点评】本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的概念是解题的关键 3如图，ABAC，添加下列条件，仍不能判定ABEACD
13、的是（ ） ABC BBECD CAEBADC DAEAD 【分析】利用 ABAC，加上A 为公共角，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断 解：ABAC，BAECAD， 当添加BC 时，ABEACD（ASA）； 当添加 BECD 时，不能判断ABEACD； 当添加AEBADC 时，ABEACD（AAS）； 当添加 AEAD 时，ABEACD（SAS） 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的 5 种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件 4已知等腰三角形的周长为 20，一边长为 5，则此等腰三角形的底边长是（ ） A5 B7.5 C5
14、 或 10 D5 或 7.5 【分析】分两种情况：当腰长为 5 时，当底边长为 5 时，分别进行计算即可解答 解：分两种情况： 当腰长为 5 时，等腰三角形的底边长2052201010， 5+510， 不能组成三角形， 当底边长为 5 时，等腰三角形的腰长（205）7.5， 综上所述：此等腰三角形的底边长为 5， 故选：A 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键 5已知 M、N 是线段 AB 上的两点，AMMN2，NB1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则ABC 一定是（ ）
15、 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【分析】 依据作图即可得到 ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，进而得到 AC2+BC2AB2，即可得出ABC 是直角三角形 解：如图所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，且ACB90， 故选：B 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形 6如图，长方形 ABCD 中，CD2，AD1，CD 在数轴上，点 D 表示数 1，以点 D 为圆心，对角线 DB长为半径画弧交数轴于点 E，则数轴上点 E
16、表示的数是（ ） A B C D 【分析】首先根据勾股定理计算出 BD 的长，进而得到 DE 的长，再根据 D 点表示 1，可得点 E 表示的实数 解：CD2，AD1， BD， D 点表示 1， 点 E 表示的实数是 1， 故选：B 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 7如图，已知ABCABC，AABC，ABC70，则CBC的度数是（ ） A40 B35 C50 D20 【分析】根据平行线的性质得到BAAABC70，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质 计算即可 解：AABC， BAAABC70， AB
17、CABC， BABA，ABCABC70， BAABAA70， ABA40， ABC30， CBC40， 故选：A 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键 8如图，三角形纸片 ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，把ABD 沿着直线 AD 翻折，得到AED，DE 交 AC 于点 G，连接 BE 交 AD 于点 F，若 DGEG，AF4，AB5，AEG 的面积为，则 BD的长是（ ） A B C D 【分析】 先由ABD沿着直线AD翻折，得到AED，证明AD垂直平分BE，再由AFBBFD90，AF4，AB5，根据勾股定理求得 EFBF
18、3，再由 DGEG，得 SADGSAEG，则 SADE，即可列面积等式3AD，求得 D5，则 DF1，再根据勾股定理求得 BD，于是得到问题的答案 解：ABD 沿着直线 AD 翻折，得到AED， AD 垂直平分 BE， AFBBFD90，AF4，AB5， EFBF3， DGEG，SAEG， SADGSAEG， SADESAEG+SADG+， 3AD， AD5， DFADAF1， BD， BD 的长是， 故选：B 【点评】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求理 EFBF3，再列面积等式求得 AD5 是解题的关键 二、填空题：本大题共二、填
19、空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.把答案直接填写在答题卡相应位置上把答案直接填写在答题卡相应位置上. 9用四舍五入法将 3.886 精确到 0.01，所得到的近似数为 3.89 【分析】把千分位上的数字 6 进行四舍五入即可 解：3.8863.89（精确到 0.01） 故答案为 3.89 【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是 0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 10满足x的所有整数 x 的和是 2 【分析】估算或的大小，
20、进而确定满足x的所有整数，再求和即可 解：2， 满足x的所有整数有：1、0、1、2，其和为：2 故答案为：2 【点评】本题考查无理数估算，理解算术平方根的意义是正确解答的关键 11已知，则 xy 2 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负数的性质列方程求出 x、y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解 解：，而（xy+3）0， ， 解得， xy2 故答案为：2 【点评】本题考查了非负数的性质解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 12如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且 A、B、C 三个正方形的边长分别为 2、3、，则正方形 D
21、的面积为 23 【分析】设正方形 D 的面积为 x，根据图形得出方程 4+9x10，求出即可 解：设正方形 D 的面积为 x， 正方形 A、B、C 的边长分别为 2、3、， 正方形的面积分别为 4、9、10， 根据图形得：4+9x10， 解得：x23， 故答案为：23 【点评】 本题考查了勾股定理的应用， 解此题的关键是能根据题意得出方程， 题目比较典型， 难度适中 13 如图， 在锐角ABC 中， DBC16， DE 和 DF 分别垂直平分 AB、 AC， 则A 的度数为 74 【分析】由圆周角定理，即可求解 解：连接 DC， DE 和 DF 分别垂直平分 AB、AC， 点 D 是ABC 的
22、外心，DBCD， ABDC，DBCDCB， DBC16， BDC148， A14874 故答案为：74 【点评】本题考查圆周角定理，关键是明白点 D 是ABC 外接圆的圆心 14“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远如图，若观测点的高度为 h，观测者视线能达到的最远距离为 d，则 d，其中 R 是地球半径（通常取 6400km），小明站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度 h 为 20m，他观测远处一艘船刚露出海平面，则此时 d 的值为 16km 【分析】根据 d，将 R6400km，h0.02km 代入计算即可 解：由题意 h20m0.02km，R6400km， 则 d 0.280
23、16（km） 故答案为：16km 【点评】此题主要考查了二次根式的应用，利用算术平方根求出值，将数据直接代入计算是解题关键 15把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF若 AB2cm，BC4cm则重叠部分DEF 的面积为 cm2 【分析】 由矩形的性质得 ADBC4cm， CDAB2cm， A90， 再由折叠的性质得 MDAB2cm，MA90，EMAE，设 AExcm，则 MExcm，DE（4x）cm，然后在 RtMDE 中，由勾股定理得出方程，解方程，进而得出 DE 的长，即可解决问题 解：四边形 ABCD 是矩形，AB2cm，BC4cm， A
24、DBC4cm，CDAB2cm，A90， 由折叠的性质得：MDAB2cm，MA90，EMAE， 设 AExcm，则 MExcm，DE（4x）cm， 在 RtMDE 中，由勾股定理得：ME2+MD2ED2， 即 x2+22（4x）2， 解得：x， AE（cm）， DEADAE4（cm）， DEF 的面积DECD2（cm2）， 故答案为： 【点评】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键 16有两根木条，长分别为 3cm 和 4cm，现将这两根木条作两边，再截一根木条作第三边围成一个钝角三角形，则第三根木条
25、长度的取值范围是 5x7 或 1x cm 【分析】已知三角形的两边长分别为 3cm 和 4cm，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围注意本题做一个钝角三角形的要求 解：设第三根木条长度为 xcm 5（cm），（cm），且 3+47（cm），431（cm）， 再截一根木条做一个钝角三角形，第三根木条 x 长度的取值范围 5x7 或 1x 故答案为：5x7 或 1x 【点评】 本题考查了三角形三边关系， 本题需要理解的由勾股定理， 根据已知的两条边求第三边的范围 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 11 小题，共小题，共 82 分。把解答过程写在答题卡相
26、应位置上，解答时应写出必要的计算分。把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用过程、推演步骤或文字说明。作图时用 2B 铅笔或黑色墨水签字笔铅笔或黑色墨水签字笔. 17计算： 【分析】首先计算负整数指数幂、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可 解： 42+（3） 1 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行 18求下列各式中的 x： （1）； （2）（2x+1）29
27、 【分析】（1）根据立方根的定义得出 x12，然后求解即可得出答案； （2）根据平方根的定义得出 2x+13 或 2x+13，然后求解即可得出答案 解：（1）（x1）34， （x1）38， x12， x1； （2）（2x+1）29， 2x+13， 2x+13 或 2x+13， x11，x22 【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提 19已知一个正数的平方根分别是 2a5 和 2a+1，另一个实数 b 的立方根是 2 求：（1）a，b 的值； （2）a 与 b 和的平方根 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列出算式，求出 a 的值，再根据另一个实数 b
28、 的立方根是 2，求出 b 即可； （2）先求出 a+b 的值，再根据平方根的定义即可得出答案 解：（1）一个正数的平方根分别是 2a5 和 2a+1，另一个实数 b 的立方根是 2， 2a5+2a+10，b8， 解得：a1 则 a 的值是 1，b 的值是 8； （2）根据题意得： a+b1+89， 则 a 与 b 和的平方根是3 【点评】此题考查了平方根和立方根，关键是能准确理解并运用平方根和立方根的概念 20 如图， 在 88 的方格纸中， 每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形， 每个小正方形的顶点叫做格点 已知ABC 的三个顶点在格点上 （1）画出A1B1C1，使它与ABC 关于直线
29、 a 对称； （2）画出CAD，使CAD 三边长分别为 2，（画出一个即可）； （3） 延长 BC 交直线 a 于 E， 若BEF 是以 BE 为底边的等腰三角形， 那么这样的格点 F 共有 3 个 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可； （3）满足条件的点在线段 BE 的垂直平分线上，作出点 F 即可 解：（1）如图，A1B1C1即为所求； （2）如图，ACD 即为所求； （3）满足条件的点 F 有 3 个 故答案为：3 【点评】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型
30、 21如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，ABDB，BE 平分ABC，交 AC 边于点 E，连接 DE （1）求证：ABEDBE； （2）若A110，C40，求AEB 的度数 【分析】（1）根据 BE 平分ABC，可以得到ABEDBE，然后根据题目中的条件即可证明ABE和DBE 全等，从而可以得到结论成立； （2）根据三角形内角和定理可求出ABC 的度数，再根据三角形的外角定义即可求出AEB 的度数 【解答】（1）证明：BE 平分ABC， ABEDBE， 在ABE 和DBE 中， ， ABEDBE（SAS）； （2）解：A110，C40， ABC180AC30， BE 平分ABC，
31、ABEDBEABC15， AEBEBC+C15+4055 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答 22“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措如图，公路上 A、B 两点相距 50km，C、D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，已知 DA30km，CB20km，现在要在公路 AB 上建一个土特产品市场 E，使得 C、D 两村庄到市场 E 的距离相等，则市场 E 应建在距 A 多少千米处？并判断此时DEC 的形状，请说明理由 【分析】可以设 AEx，则 BE50 x，在直角A
32、DE 中根据勾股定理可以求得 DE，在直角BCE 中根据勾股定理可以求得 CE，根据 CEDE 可以求得 x 的值，即可求得 AE 的值 解：DEC 是等腰直角三角形， 理由：设 AEx，则 BE50 x， 在直角ADE 中，DE2302+x2， 在直角CBE 中，CE2202+（50 x）2， 解得 x20km， 即 AE20km 答：市场 E 应建在离 A 点 20km 的位置， AE20kmCB，AD30kmBE502030（km），AB90， ADEBEC（SAS）， DECE，AEDBCE， BCE+BEC90， AED+BEC90， DEC90， DEC 是等腰直角三角形 【点评】
33、本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据 DE2302+x2和 CE2202+（50 x）2求 x 的值是解题的关键 23如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，A90，BCBD，CEBD，垂足为 E 求证：（1）ABDECB； （2）DBC2DCE 【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BCBD，因为 ADBC，还能推出ADBEBC，从而能证明：ABDECB （2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得答案 【解答】证明：（1）ADBC， ADBEBC CEBD，A90， ACEB， 在ABD 和ECB 中， ACEB，ADBC， ADBDBC， ABDBCE， 又BCB
34、D ABDECB（AAS）； （2）BCBD， EDC（180DBC）， 又CEBD， CED90， DCE90EDC90（180DBC）， DBC2DCE 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行 24如图，在AOB 的两边 OA、OB 上分别取点 M、N，连接 MN若 MP 平分AMN，NP 平分MNB （1）求证：OP 平分AOB； （2）若 MN8，且PMN 与OMN 的面积分别是 16 和 24，求线段 OM 与 ON 的长度之和 【分析】（1）过点 P 作 PCOA，垂足为 C，过点 P 作 PDMN，垂足为 D，过点 P
35、 作 PEOB，垂足为 E，先利用角平分线的性质定理可得 PCPDPE，再利用角平分线性质定理的逆定理，即可解答； （2）根据PMN 的面积是 16，可求出 PD4，从而可得 PDPCPE4，然后再利用四边形 MONP的面积PMN 的面积+OMN 的面积POM 的面积+PON 的面积，进行计算即可解答 【解答】 （1）证明：过点 P 作 PCOA，垂足为 C，过点 P 作 PDMN，垂足为 D，过点 P 作 PEOB，垂足为 E， MP 平分AMN，PCOA，PDMN， PCPD， NP 平分MNB，PDMN，PEOB， PDPE， PCPE， OP 平分AOB； （2）PMN 的面积是 16
36、，MN8， MNPD16， 8PD16， PD4， PDPCPE4， OMN 的面积是 24， 四边形 MONP 的面积PMN 的面积+OMN 的面积16+2440， POM 的面积+PON 的面积40， OMPC+ONPE40， OM4+ON440， OM+ON20， 线段 OM 与 ON 的长度之和为 20 【点评】 本题考查了角平分线的性质， 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 25小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出50653 的立方根？他进行了如下步骤： 首先进行了估算：因为 1031000，10031000000，所以是两位数； 其次观察了立方数：131
37、，238，3327，4364，53125，63216，73343，83512，93729；猜想的个位数字是 7； 接着将 50653 往前移动 3 位小数点后约为 50， 因为 3327， 4364， 所以的十位数字应为 3，于是猜想，验证得：50653 的立方根是 37； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1） 49 ； （2）若，则 x 3 ； 已知，且与互为相反数，求 x，y 的值 【分析】（1）根据题中的猜想得出的个位数与十位数，再取其相反数即可； （2）根据两
38、数相加等于 0 列出关于 x 的方程，求出 x 的值；由+2x 求出 x 的值，再根据相反数的定义列出关于 y 的方程，求出 y 的值即可 解：（1）1031000，10031000000， 是两位数 131，238，3327，4364，53125，63216，73343，83512，93729；的个位数字是 9 将 117649 往前移动 3 位小数点后约为 117，因为 3327，4364，53125，所以的十位数字应为 4， 117649 的立方根是 49， 两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数， 49 故答案为：49； （2）+0， 12x5，解得 x3 +2x， x2，
39、x20，解得 x2； 与互为相反数， 3y12x1，即 3y13，解得 y 故答案为：3；x2，y 【点评】本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数是解题关键 26我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图 1 的“弦图”（史称“赵爽弦图”） （1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为 a，较短的直角边为 b，斜边长为 c，结合图 1，试验证勾股定理； （2）如图 2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为 24，OC3，求该“勾股风车”图案的面积； （3）如图 3，将八个
40、全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3，若 S1+2S2+S320，则 S2 5 【分析】（1）依据图 1 中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）可设 ACx，根据勾股定理列出方程可求 x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3） 设八个全等的直角三角形的面积均为 a，依据正方形 EFGH 内外四个直角三角形的面积之和相等，即可得到 2S2S1+S3，再根据 S1+2S2+S320，即可得出 S2的值 解：（1）由图 1 可得，大正方形的面积为 c2， 大正方
41、形的面积4ab+（ab）2， 4ab+（ab）2c2， 化简可得，a2+b2c2； （2）2446， 设 ACx，则 AB6x， 依题意得： （x+3）2+32（6x）2， 解得 x1， 该“勾股风车”图案的面积为：（3+1）34 434 24 答：该“勾股风车”图案的面积为 24； （3）设八个全等的直角三角形的面积均为 a，则 S2S14a，S2S3+4a， 两式相加，可得 2S2S1+S3， 又S1+2S2+S320， 4S220， S25， 故答案为：5 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理的证明以及正方形的性质，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方
42、法（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用 S1，S3表示出 S2，再利用 S1+2S2+S320 求出是解决问题的关键 27如图 1，在ABE 和ACD 中，AEAB，ADAC，且BAECAD，则可证明得到AECABD 【初步探究】（1）如图 2，ABC 为等边三角形，过 A 点作 AC 的垂线 l，点 P 为 l 上一动点（不与点 A重合），连接 CP，把线段 CP 绕点 C 逆时针方向旋转 60得到 CQ，连 QB请写出 AP 与 BQ 的数量关系并说明理由； 【深步探究】（2）如图 3，在（1）的条件下，连接 PB 并延长 PB 交直线 CQ 于点 D当点 P 运动到 PDCQ 时，若
43、，求 PB 的长； 【拓展探究】（3）如图 4，在ABC 中，ACB45，以 AB 为直角边，A 为直角顶点向外作等腰直角ABD，连接 CD，若 AC1，BC3，则 CD 长为 【分析】（1）由“SAS”证得ACPBCQ（SAS）可得 APBQ； （2）连接 PQ，BQ，由旋转可得，CPCQ，PCQ60，可得CPQ 是等边三角形，根据 PDCQ，可知 DP 是 CQ 的垂直平分线，BCBQ，证明ACPBCQ（SAS），得 APBQ，CBQCAP90，即得 ACBCBQAP，可得 CP2，在 RtCDP 中，CDCP1，PDCD，由CBQCAP90，BCBQ，可得CBD45BCQ，故 BDCD1
44、，从而 PBPDBD1； （3）在 AC 的上方作等腰直角ACE，使得CAE90，ACAE，连接 BE，由ACE 是等腰直角三角形，AC1，可得 CEAC，ACE45，又ACB45，知BCE90，BE，证明ABEADC（SAS），即得 BECD 解：（1）APBQ，理由如下： 在等边ABC 中，ACBC，ACB60， 由旋转可得，CPCQ，PCQ60， ACBPCQ， ACBPCBPCQPCB，即ACPBCQ， ACPBCQ（SAS）， APBQ； （2）连接 PQ，BQ，如图： 由旋转可得，CPCQ，PCQ60， CPQ 是等边三角形， PDCQ， CDDQ， DP 是 CQ 的垂直平分线，
45、 BCBQ， 在等边ABC 中，ACBC，ACB60， ACBPCQ， ACBPCBPCQPCB，即ACPBCQ， CPCQ， ACPBCQ（SAS）， APBQ，CBQCAP90， ACBCBQAP， CAP90， CP2， 在 RtCDP 中，CPD90PCQ30， CDCP1，PDCD， CBQCAP90，BCBQ， BCQ45， CDB90， CBD45BCQ， BDCD1， PBPDBD1； （3）在 AC 的上方作等腰直角ACE，使得CAE90，ACAE，连接 BE，如图： ACE 是等腰直角三角形，AC1， CEAC，ACE45， ACB45， BCE90， 在 RtBCE 中，BE， BADCAE90， BAD+DAECAE+DAE， 即BAEDAC， ABAD，AEAC， ABEADC（SAS）， BECD， CD， 故答案为： 【点评】本题主要考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题
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