1、比赛中的推理比赛中的推理 一、解答题一、解答题 1学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？ 2某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？ 3如图所示，一个长方形被分成 6 块区域，若给每一块区域都染色，并且要求相邻的区域颜色不同，请问至少需要多少种不同的颜色？ 4在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号。如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？ 5五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节
2、目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？ 6六（1）班有 A、B、C、D 四位同学站着合拍一张照片，A 同学只想站在最左边，其余三人可以站任意位置，一共有哪几种不同的站法？（用自己喜欢的方法来解决） 7甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢；如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。那么一共有多少种可能的情况？ 86 人同时被邀请参加一项活动。必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？ 9学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生。某次比赛后他们站成一排照相，请问： （1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？ （2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种
3、不同的站法？ 10从 6 名运动员中选出 4 人参加4 100接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种： （1）甲不能跑第一棒和第四棒； （2）甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒 参考答案参考答案 120 种 【分析】被选中的 3 门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题，从 6 个元素中选出 3 个即可。 【详解】由组合数公式知，366 5 4203 2 1C （种） 。 答：共有20种不同的选法。 【点睛】本题考查的是排列组合问题，首先要确定是否考虑顺序，是用排列还是组合求解。 2190 次 【解析】20 名同学，每个同学要和其余的 19 人握手，但握手是 2 个人，所以如果直接用 20 乘
4、19，会重复计算一次。 【详解】2020 12 20 19 2 190（次） 答：大家一共握了 190 次手。 【点睛】握手问题相当于是单循环比赛问题，n 个人互相都握了一次手，总共握手次数为nn 12。 3三种 【分析】由于 A、B、C 两两相邻，所以要使相邻的区域颜色不同，至少 A、B、C 的颜色不能相同但是，仅有 3 种颜色够不够呢？对于区域较少的情形可以逐一试验，如果区域较多时，可以考虑取有多相邻区域的区域来先染色 【详解】先考虑有最多相邻区域的 A，染第 1 种颜色；其次考虑与 A 相邻的 B、C、D、E 中，有最多相邻区域的 E，染第 2 种颜色；再考虑 B，它与 A、E 都相邻，
5、染第 3 种颜色由 C 和 E 不相邻，故 C 可用第 2种颜色，D 与 B 不相邻，D 可用第 3 种颜色，F 和 A 不相邻，F 可染第一种颜色这样，用第一种颜色染在 A 和 F 上，用第二种颜色染在 C 和 E 上，用第三种颜色染在 B 和 D 上即可满足题意要求 所以，满足条件的染色，至少需要三种颜色 46种 【分析】这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题。 【详解】由排列数公式： 333 2 16P （种） 答：有 6 种不同的信号。 【点睛】 这个问题也可以用乘法原理来做， 一般，乘法原理
6、中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化。 572 种 【分析】由题意可知，先算出这五位同学总共有多少中排列方式，再求出贝贝和妮妮相邻的排列方式的种数，用总排列方式的种数贝贝和妮妮相邻的种数贝贝和妮妮不相邻的种数。据此解答即可。 【详解】五位同学的排列方式共有 5 4 3 2 1120（种） 。 如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有 4 3 2 124（种） 。 因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有 24 248（种） ； 贝贝和妮妮不相邻的排列方式有 1204872（种） 。 【点睛】本题考查
7、排列、组合问题，把两个人看作一个整体是解题的关键。 66 种 【分析】由于 A 同学只想站在最左边，所以去掉 A 后排在第一的有 3 种排法；排在第二的有 2 种排法；排在第三的有 1 种排法；所以共有：3 2 16（种）不同的站法。 【详解】由于 A 同学只想站在最左边，所以去掉 A 后排在第一的有 3 种排法；排在第二的有 2 种排法；排在第三的有 1 种排法；所以共有：3 2 16（种）不同的站法。 答：一共有 6 种不同的站法。 【点睛】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法
8、，那么完成这件事共有 Nm1 m2 m3mn种不同的方法。 714 种 【分析】分析题意，除却连胜头两局结束比赛的情况，余下的是五局三胜制的球赛，据此将各种结束球赛的可能性一一列举出来，再利用加法求出一共有多少种可能性即可。 【详解】记甲赢为 1，甲输为 0，那么： 两局决定输赢的情况有 11，00，共 2 种； 三局决定输赢的情况不存在； 四局决定输赢的情况有 1011，1000，0111，0100，共 4 种； 五局决定输赢的情况有 10011， 10101， 10010， 10100， 01100，01010，01101，01011，共 8 种； 所以，共有 24814 种可能。 答：一
9、共有 14 种可能的情况。 【点睛】本题考查了可能性，会利用列举法将可能性一一列举，并做到不重不漏是解题的关键。 863 种 【分析】可以分为一人去、两人去、三人去、四人去、五人去、六人去六种情况，每一种情况都是组合问题，求出每一类的方法数，相加得到总数。 【详解】第一种情况有6种去法； 第二种情况有2665152 1C（种）去法； 第三种情况有366 5 4203 2 1C （种）去法； 第四种情况有46654315432 1C （种）去法； 第五种情况有566543265432 1C （种）去法； 第六种情况有1种去法。 根据加法原理，共有6 1520 156 163 （种）不同的去法。
10、答：共有 63 种不同的去法。 方法二： 每一个人都有去或者不去两种可能， 但要减掉所有人都不去这种情况， 于是总共有62163 （种）不同的去法。 【点睛】每一个人都有去或者不去两种可能，但要减掉所有人都不去这种情况，于是总共有621不同的去法。 9 （1）144种； （2）720种 【分析】 （1）要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里。因为有 3 名女生，考虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位。 （2）根据题意，采用捆绑法，将所有女生看成一个整体，则站法总数为： 【详解】 （1）站法总数为： 3434PP6 24144 （种） 答：一共有 144 不同的站法。
11、 （2）站法总数为： 5353PP120 6=720（种） 答：一共有 720 不同的站法。 【点睛】本题考查的是排列组合问题，对于必须相邻的情况，采用捆绑法，对于必须不相邻的情况，采用插空法。 10 （1）240 种； （2）252 种 【分析】 （1）先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有 5 种选择，第四棒有 4 种选择，剩下的四人中随意选择 2 个人跑第二、第三棒。 （2）先不考虑甲、乙的特殊要求，从 6 名队员中随意选择 4 人参赛，有 360 种选择。考虑若甲跑第一棒，其余 5 人随意选择 3 人参赛，对应 60 种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应 60 种选择，但是从
12、360 种中减去两个 60 种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的 4 人选择 2 人参赛的 种方案，所以，一共有 12 种不同参赛方案，应该加上。 【详解】 （1）先确定第一棒和第四棒，剩下的四人中随意选择 2 个人跑第二、第三棒，有4 3 12 种，由乘法原理，共有54 12240 种参赛方案。 （2）先不考虑甲、乙的特殊要求，有6 5 4 3360 种选择。 若甲跑第一棒，对应5 4 360 种选择； 考虑若乙跑第二棒，也对应5 4 360 种选择； 从 360 种中减去两个 60 种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的 4 人选择 2 人参赛的4 3 12 种方案； 所以，一共有36060212252种不同参赛方案。 【点睛】本题考查的是排列组合问题，对于有特殊要求的元素，需要优先考虑。
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