1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 1313 讲讲 平行线与相交线平行线与相交线 一、单选题一、单选题 1如图，已知1=90 ，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ） A2 = 90 B3 = 90 C4 = 90 D5 = 90 2如图，已知 ABCD，点 E 在线段 AD 上(不与点 A，点 D 重合)，连接 CE若C=20，AEC=50，则A=( ) A10 B20 C30 D40 3（2022绍兴）如图， 把一块三角板 ABC 的直角顶点 B 放在直线 EF 上， C=30 ， ACEF， 则 1= （ ） A30 B45 C60 D75 4 （2022桐乡模拟）如图，在
2、平行四边形 中， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ， 作 于 ， 若 = 6 ， = 9 ， = 42 ， 则 的周长为 （ ） A8 B9 C10 D11 5 （2022江干模拟）如图， 直线 / ， 点 在直线 上， 点 ， 在直线 上， = ， 1 = 70 ， 于 ，那么 2 等于（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A20 B30 C32 D25 6 （2022丽水）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，AF 平分EAD 交 CD 于点 F，FGAD交 AE 于点 G，若 cosB 14 ，则 FG 的长是（ ） A3 B83 C2153 D52 7 （2
3、022宁波模拟）两个直角三角板如图摆放， 其中 = = 90， = 45， = 30 . 若 / 且 过点 ， 点 为 中点， 已知 = 20 ， 则 的长为( ) A15 B103 C510 D102 8 （2022杭州模拟）如图，直线 l1l2，其中 P 在 l1上，A，B，C，D 在 l2上，且 PBl2，则 l1与 l2间的距离是（ ） A线段 PA 的长度 B线段 PB 的长度 C线段 PC 的长度 D线段 PD 的长度 9（2022鹿城会考）如图， ABCD， 点 E 在线段 BC 上， CDCE， 若ABC30， 则D 的度数为 （ ） 学科网（北京）股份有限公司 A85 B75
4、 C65 D30 10 （2022西湖模拟）如图，把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行，则 1 = （ ） A75 B90 C100 D105 二、填空题二、填空题 11 （2022嘉兴）如图，在ABC 中，ABC90，A60，直尺的一边与 BC 重合，另一边分别交 AB，AC 于点 D，E点 B，C，D，E 处的读数分别为 15，12，0，1，则直尺宽 BD 的长为 12 （2022金东模拟）如图所示， ，点 在 上， ，垂足为 ，已知 = 34 ，则 的度数为 13 （2022宁波模拟）如图， ， 分别与 ， 交于点 ， .若 = 35 ， = 120
5、，则 = . 14 （2022舟山模拟）将一副含 30角和 45角的直角三角板按如图共顶点摆放， 若 ABCD， 则CAE . 学科网（北京）股份有限公司 15 （2022秀洲模拟）如图，在ABC 中，AD 为CAB 的平分线，DEAB，若 DE=3，CE=4，则 AB 的值 16 （2022椒江模拟）如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，CEBD 于点 E，连接 AE，已知tan=2，则tan = . 17 （2022玉环模拟）如图，直线 ，将一块含 30 角的直角三角板 按如图方式放置 ( = 30) ，其中一条直角边的两顶点 ， 分别落在直线 ， 上，若 1 = 30 ，则 2 = 度
6、 18 （2022仙居模拟）如图， 矩形纸条 中， = 12 ， 把该纸条依次沿着互相平行的两条直线 ， HI 对折得到“ 形图案. 已知 = 60 ， 要使点 ， 点 分别在 和 的延长线上(不与 ， 重合)， 则 = ； 的取值范围是 . 19（2022仙居模拟） 根据光学中平面镜光线反射原理， 入射光线， 反射光线与平面镜所夹的角相等。 学科网（北京）股份有限公司 如图， ， 是两面互相平行的平面镜， 一束光线 m 通过镜面 反射后的光线为 n， 再通过镜面 反射后的光线为 k，光线 m 与镜面 的夹角的度数为 x，光线 n 与光线 k 的夹角的度数为 y，则 x 与 y之间的数量关系是
7、 . 20 （2022临海模拟）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等.如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线 m 通过镜面反射后的光线为 n，再通过镜面 反射后的光线为 k.光线 m 与镜面的夹角的度数为，光线 n 与光线 k 的夹角的度数为.则 x 与 y 之间的数量关系是 . 三、综合题三、综合题 21 （2022温州）如图， BD 是 ABC 的角平分线， DEBC ，交 AB 于点 E （1）求证： = （2）当 AB=AC 时，请判断 CD 与 ED 的大小关系，并说明理由 22 （2022萧山模拟）如图， 中， = 90 ，点 是边 的中点，以 为底
8、边在其右侧作等腰三角形 ，使 = ，连结 ，则： 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证： / ； （2）若 =14 ，求证： = 2 . 23 （2022瑞安模拟）如图，AE 平分BAC， ACCE. （1）求证：ABCD. （2）若C50，求AED 的度数. 24 （2022龙游会考）如图，在中，过点 A 作 于点 E， 于点 F，且 = . （1）求证：是菱形. （2）若 = 60， = 2，求平行四边形的面积. 25 （2022路桥模拟）如图，对折正方形纸片，使与重合，折痕为.将纸片展平，再进行折叠，使点 C 落在上的点 E 处，折痕交于点 F. （1）求证： = ； 学科网（北京）股
9、份有限公司 （2）若正方形纸片的边长为 3，求折痕的长. 26 （2022宁波模拟）如图 （1） 【基础巩固】 如图， 在四边形 中， /， = ， 求证： ； （2） 【尝试应用】 如图， 在平行四边形 中， 点 在 上， 与 互补， = 2， = 4 ， 求 的长； （3） 【拓展提高】 如图， 在菱形 中， 为其内部一点， 与 互补， 点 在 上， / ， 且 = 2 ， = 3， = 1 ， 求 的长. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：两条铁轨平行， 1=4=90， 故答案为：C. 【分析】利用两直线平行，同位角相等，可知添加的条件为4=90. 2 【答案
10、】C 【解析】【解答】解：过点 E 作 EGCD， ABCD， ABCDEG， 学科网（北京）股份有限公司 C=CEG=20，A=AEG， AEG=AEC-CEG=50-20=30， A=30. 故答案为：C. 【分析】 过点E作EGCD， 利用在同一个平面内， 同平行于一条直线的两直线平行， 可证得ABCDEG，利用平行线的性质可推出C=CEG=20，A=AEG；然后利用AEG=AEC-CEG，代入计算求出A 的度数. 3 【答案】C 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，C=30， A=90-C=90-30=60； ACEF， 1=A=60. 故答案为：C. 【分析】利用直角三角形的两锐
11、角互余，可求出A 的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出1 的度数. 4 【答案】A 【解析】【解答】解： 四边形 ABCD 为平行四边形， / ， / ， = ， = ， 为 的角平分线， = ， = ， = ， = ， ， ， 都是等腰三角形， 又 = 6 ， = 9 ， = = 6 ， = = 9 ， = = 3 . ， = 42 ， 由勾股定理可得： = 2 2= 2 ， = 4 ， / ， . =12 ， 学科网（北京）股份有限公司 = 2 ， 的周长 = + + = 8 . 故答案为：A. 【分析】 根据平行四边形的性质可得 ABCD， ADBC， 由平行线的性质可得BAE=
12、AFD， DAF=AEB，根据角平分线的概念可得BAE=EAD，推出ABE、ADF、CEF 都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得 AB=BE=6，AD=DF=9，则 CE=CF=3，然后利用勾股定理求出 AG，证明ABEFCE，根据相似三角形的性质可得 EF，据此不难求出EFC 的周长. 5 【答案】A 【解析】【解答】解： / ， = 1 = 70 ， = ， = = 70 ， 于 ， = 90 ， 2 = 90 = 90 70 = 20 . 故答案为：A. 【分析】根据平行线的性质可得ACB=1=70，根据等腰三角形的性质可得BAC=ACB=70，然后根据2=90-DAC 进行计算.
13、6 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点 A 作 AH 垂直 BC 于点 H，延长 FG 交 AB 于点 P， 由题意可知，AB=BC=4，E 是 BC 的中点， BE=2， cosB= 14 ， BH=1=12BE， H 是 BE 的中点， AB=AE=4， 又AF 是DAE 的角平分线，ADFG， 学科网（北京）股份有限公司 FAG=AFG， AG=FG， 又PFAD， APDF， PF=AD=4， 设 FG=x，则 AG=x，EG=PG=4-x， PFBC， AGP=AEB=B， cosB=cosAGP=12=22=14， 解得 x=83. 故答案为：B. 【分析】过点 A 作 A
14、H 垂直 BC 于点 H，延长 FG 交 AB 于点 P，cosB= 14 ，推出 H 是 BE 的中点，根据条件求出 AG=FG， EG=GP，设 FG=x，则 AG=x，EG=PG=4-x，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出AGP=B，根据 cosAGP=14建立方程，即可求出 FG 的长. 7 【答案】B 【解析】【解答】解：过 A 作 AMBC 于 M，过 D 作 DNEF 于 N，如图所示 RtABC 中，C=30，BC=20，得 AB=10 在 RtABM 中，sin60 =，得 AM=53 BCEF DM=53 DF=DE，E=45 EF=2EN=2DM=103 故答案为：
15、B. 【分析】易得ABC 为 30的直角三角形，DEF 为 45的直角三角形，BCEF，易得 BC 边上的高 学科网（北京）股份有限公司 和 EF 边上的高相等，先利用含 30角的直角三角形的性质求 AB，再利用三角函数求高，最后根据等腰直角三角形的性质即可得出答案. 8 【答案】B 【解析】【解答】解：PBl2， l1与 l2间的距离是线段 PB 的长度. 故答案为：B. 【分析】 从一条平行线上的任意一点，向另一条平行线作垂线， 垂线段的长度叫平行线间的距离，依此解答即可. 9 【答案】B 【解析】【解答】解：ABCD， CABC30， 又CDCE， DCED， C+D+CED180，即
16、30+2D180， D75. 故答案为：B. 【分析】根据平行线的性质可得CABC30，根据等腰三角形的性质可得DCED，然后结合内角和定理进行计算. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，过直角顶点添加直线 b三角尺的斜边， 1=45+60=105. 故答案为：D. 【分析】过直角顶点添加直线 b三角尺的斜边，利用平行线性质可得1=45+60，计算即可求得1 的度数. 11 【答案】233 【解析】【解答】解：DEBC，ABC=90，A=60， 学科网（北京）股份有限公司 ACB=AED=30，ADE=90， 又BC=3，DE=1， AB=13BC=3，AD=13DE=33， BD=A
17、B-AD=3-33=233. 故答案为：233. 【分析】由平行线性质及ABC=90，A=60得ACB=AED=30，ADE=90，再由含 30角所对直角边等于斜边一半推得 AB=13BC=3，AD=13DE=33，进而求出 BD 的长即可. 12 【答案】56 【解析】【解答】解：ABCD， ABE=BED=34， BEDF， EBF=90， ABF=90-34=56. 故答案为：56. 【分析】根据平行线的性质得出ABE=BED=34，根据垂线的性质得出EBF=90，即可得出ABF=90-34=56. 13 【答案】25 【解析】【解答】解：ABCD， ABE=EFC=120， A=180
18、-E-ABE=180-35-120=25. 故答案为：25. 【分析】根据平行线的性质求出ABE 的度数，再根据三角形内角和定理求A，即可解答. 14 【答案】30 【解析】【解答】解：C60，ABCD， BACC60， BAE90， CAEBAEBAC30， 故答案为：30. 【分析】由二直线平行，内错角相等可得BACC60，利用CAEBAEBAC 即可求解. 15 【答案】214 学科网（北京）股份有限公司 【解析】【解答】解：AD 为CAB 的平分线，DEAB， DAE=DAB，DAB=EDA， DAE=EDA， AE=DE， 又DE=3，CE=4， AC=3+4=7， DEAB， CE
19、：CA=ED：AB，即 4：7=3：AB， AB=214. 【分析】 由角平分线定义和平行线性质可推出DAE=EDA， 从而得 AE=DE， 再由 DE=3， CE=4 可得 AC=7，再由平行线分线段成比例，即 CE：CA=ED：AB，代入数据即可求得 AB 的长. 16 【答案】23 【解析】【解答】解：过点 A 作 AFBD 于 F，设 BF=a， RtABF 中，tanABF=2，则 AF=2a，AB=2+ 2=5， RtABD 中，tanABD=2，则 AD=25，BD=2+2=5a， ABCD 是矩形， AB=CD，ABCD， ABF=CDE， 又AFB=CED=90， ABFCD
20、E（AAS） ， BF=DE=a， EF=BD-BF-DE=3a， RtAFE 中，tanAEF=23. 故答案为：23； 【分析】过点 A 作 AFBD 于 F，设 BF=a，根据三角函数的概念可得 AF，AD，利用勾股定理可得 AB、BD， 根据矩形以及平行线的性质可得ABF=CDE， 证明ABFCDE， 得到BF=DE=a， 则EF=BD-BF-DE=3a， 学科网（北京）股份有限公司 然后根据三角函数的概念进行计算. 17 【答案】30 【解析】【解答】解：ab， 2+CAB+ACB1=180， 又1=30，CAB=30，ACB=90， 2+30+9030=180， 2=30. 故答案
21、为：30. 【分析】由二直线平行，同旁内角互补得2+CAB+ACB1=180，易知1、CAB 与ACB 的度数，再代入数据计算即可求得2 的度数. 18 【答案】125；0 1235 【解析】【解答】解：如图， ABCD， BEF=DFE=60， 由折叠的性质得HEK=BEF=60， AEH=60， EHK=60，AHE=30， EHK 是等边三角形，HE=2AE， HK=HE=2AE， AE+EH+HK=AB=12， 5AE=12， AE=125， AH=2 2=1235， AD 的取值范围为 0AD1235. 故答案为：125；0AD1235. 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质得出HE
22、K=BEF=EHK=60，得出AHE=30，EHK 是等 学科网（北京）股份有限公司 边三角形，从而得出 HK=HE=2AE，再根据 AE+EH+HK=AB=12，求出 AE 的长，再根据勾股定理求出 AH 的长，即可得出答案. 19 【答案】2x + y =180 【解析】【解答】解：光线 m 与镜面的夹角的度数为 x， 光线 n 与镜面的夹角的度数为 x， ，是两面互相平行的平面镜， 光线 n 与镜面的夹角的度数为 x， 光线 k 与镜面的夹角的度数为 x， x+y+x=180， 2x+y=180. 故答案为：2x+y=180. 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线的性质得出光线 n 与
23、镜面的夹角的度数为 x，光线 k 与镜面的夹角的度数为 x，根据平角定义得出 x+y+x=180，即可得出 2x+y=180. 20 【答案】2x+y=180 【解析】【解答】解：入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， 反射后的光线 n 与镜面夹角度数为， ，是两面互相平行的平面镜， 反射后的光线 n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， 反射后的光线 k 与镜面的夹角度数也为， + + = 180 ， 2 + = 180 . 故答案为：2x+y=180. 【分析】 根据反射角=入射角结合平行线的性质可得反射后的光线 n 与镜面 夹角度数为 x， 反射后的光线
24、k 与镜面 的夹角度数为 x，然后根据平角的概念进行解答. 21 【答案】（1）证明： 是 的角平分线， = ， = ， = （2）解： = 理由如下： = ， 学科网（北京）股份有限公司 = ， = ， = ， = ， = ， = ，即 = 由（1）得 = ， = ， = 【解析】【分析】 （1）利用角平分线的定义可证得CBD=EBD，利用平行线的性质去证明EBD=EDB. （2）利用等边对等角可证得C=ABC，利用平行线的性质可得到ADE=C，AED=ABC，从而可推出ADE=AED；利用等角对等边可知 AE=AD，由此可证得 DC=BE；再利用等角对等边可推出 BE=ED，即可证得结论.
25、 22 【答案】（1）证明： = 90 ，点 是边 的中点， = =12 ， = ， = ， = ， / ； （2）证明：过点 作 ，垂足为 ，设 与 交于点 ， = 90 ，点 是边 的中点， = =12 ， / ， = = 90 ， = ， 是 的垂直平分线， = ， 学科网（北京）股份有限公司 = ， = ， = ， ， =12 ， = ， =14 ， =14 ， 在 中， =12=14 ， = 2 ， = 2 . 【解析】【分析】 （1）根据直角三角形斜边上中线的性质可得 AD=BD=12BC，根据等腰三角形的性质可得B=DAB，由已知条件知ADE=B，则ADE=BAD，然后根据平行线
26、的判定定理进行证明； （2）过点 E 作 EFCD，垂足为 F，设 DE 与 AC 交于点 G， 根据平行线的性质可得BAC=DGC=90，B=EDC， 根据垂直平分线的性质可得 EA=EC， 根据等腰三角形的性质可得 EA=ED， 则 DE=EC， EDC=C，CF=12CD，B=C，根据三角函数的概念可得 CE=2CD，据此证明. 23 【答案】（1）证明：AE 平分BAC， CAE=BAE， ACCE， CAE=AEC， BAE=AEC， ABCD； （2）解：C50，CAE=AEC， CAE+AEC+C2AEC +50=180， AEC=65， AED=180-AEC=180-65=1
27、15. 【解析】【分析】 （1） 根据角平分线的概念可得CAE=BAE， 根据等腰三角形的性质可得CAE=AEC，推出BAE=AEC，然后根据平行线的判定定理进行证明； （2）根据内角和定理可得CAE+AEC+C2AEC +50=180，求出AEC 的度数，然后根据邻补角的性质进行计算. 学科网（北京）股份有限公司 24 【答案】（1）证明：AEBC，AFDC， AEB=AFD=90 四边形 ABCD 是平行四边形， B=D AE=AF， ABEADF（AAS） ， AB=AD 四边形 ABCD 是菱形. （2）解：四边形 ABCD 是菱形， ADBC ， AEB=EAD=90， EAF60，
28、 DAF=30， 在 RtAFD 中，DF=2， AD=4， AF=2 2=42 22= 23 ， AD=CD=4， 菱形 ABCD 面积= = 23 4 = 83 【解析】【分析】 （1）根据垂直的概念可得AEB=AFD=90，根据平行四边形的性质可得B=D，由已知条件知 AE=AF，证明ABEADF，得到 AB=AD，然后根据菱形的判定定理进行证明； （2） 根据菱形以及平行线的性质可得AEB=EAD=90，则DAF=30，根据含 30角的直角三角形的性质可得 AD=2DF=4，利用勾股定理求出 AF，然后根据 S菱形 ABCD=AFCD 进行计算. 25 【答案】（1）证明：如图， 由题
29、意可知， ， 1 = 3. 学科网（北京）股份有限公司 由折叠可知，1 = 2， = ， 2 = 3. = . = ； （2）解：由题意可知， =12 =12， ， 在 中，sin4 =12， 4 = 30. = 60. 由折叠可知，5 =12 = 30， 在 中，cos5 =32. BC=3， =23 = 23. 【解析】【分析】 （1）对图形进行点标注，由题意可知 MNCD，根据平行线的性质可得1=3，由折叠的性质可得1=2，PC=PE，则2=3，推出 FE=EP，据此证明； （2）由题意可知 BN=12BC=12BE，MNBC，求出 sinA 的度数，可得A=30，则EBN=60，根据折
30、叠的性质可得5=12EBN=30，然后根据三角函数的概念进行计算. 26 【答案】（1）证明：AD/ BC， ACB=CAD，又 ACD=B， ABCDCA. （2）解：四边形 ABCD 为平行四边形， AD/BC，AB/ DC， DAE=AEB，C+B=180， 又AED+C=180， AED=B， ABEDEA = BE=2，EC=4， AD=BC=6， 2= = 12， 学科网（北京）股份有限公司 = 23 （3）解：如图，延长 FE 交 AB 于点 G， EF/AD， DFE=C， AG/ DF， 四边形 AGFD 为平行四边形， AG=DF，AD=GF，由(2)可知AGEDEA， =
31、 = 2 2= =22 即 = 2 ， = = 2 = 32 = = 32 1 = 2 = 2 = 6 2 【解析】【分析】 （1）利用两直线平行内错角相等，即可得ACB=CAD，根据两组对应角相等，两三角形相似，即可证明两三角形相似； （2）由平行四边形邻角互补得C 与B 互补，根据同角的补角相等得AED=B，利用二直线平行，内错角相等得DAE=AEB 根据两组对应角相等，两三角形相似，即可证明两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，即可解决问题； （3）延长 FE 交 AB 于点 G，可得类似（2）中的图形，利用线段的和差 AG=DF=CD-FC=AD-FC=2EF-1，以及对应边成比例，即可解决问题
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