1、苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市九年级苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市九年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 24 分。 ） 1. 下列方程中，一元二次方程的是( ) A. 2 3 = ( + 4) B. 23= 0 C. + 1 = 0 D. 22 3 1 = 0 2. 用配方法解一元二次方程2 2 1 = 0的过程中，配方正确的是( ) A. ( + 1)2= 1 B. ( 1)2= 2 C. ( + 1)2= 2 D. ( 1)2= 4 3. 关于的方程2 2 + = 0的一个解为1= 1，则该方程的另一个解是( ) A. 2= 3 B. 2=
2、 1 C. 2= 2 D. 2= 3 4. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高(单位：)分别是：23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( ) A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 5. 已知 的直径为5，线段 = 3，那么点与 的位置关系是( ) A. 点在 外 B. 点在 上 C. 点在 内 D. 不能确定 6. 如图， 是 的直径， ， 是 上位于两侧的点， 若 = 35，则度数为( ) A. 45 B. 55 C. 60 D
3、. 70 7. 如图，是 的直径，半径 于点，平分，交于点，交于点，连接，给出以下四个结论： = 2； =32；= 2；22= 其中结论正确的序号是( ) A. B. C. D. 8. 如图，半圆的直径 = 10，弦 = 6，平分，则的长为( ) A. 35 B. 53 C. 45 D. 12 二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 9. 一元二次方程2 2 = 0的解是_ 10. 若关于的方程2+ 1 = 0有一个根是3，则 =_ 11. 若1，2是方程2 2022 = 0的两个实数根，则代数式12+ 2的值等于_ 12. 如图， 在4 4的正方形网格纸中， 每个小正方形的边长均
4、为1， 点， ，为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为_ 13. 已知，有一量角器如图摆放，中心在边上，为0刻度线，为180刻度线，角的另一边与量角器半圆交于，两点，点，对应的刻度分别为160，68，则 =_. 14. 如图， 等边 内接于 ， 若 = 6， 则图中阴影部分的面积为_.(结果保留) 15. 平面直角坐标系中， 以点(3,4)为圆心的 ， 若该圆上有且仅有两个点到轴的距离等于2， 则 的半径的取值范围是_ 16. 如图，在平面直角坐标系中，半径为4的 与轴交于点，与轴交于点， ， 连接， 已知轴上一点(8,0)， 点是 上一动点，连接， 点为的
5、中点， 连接， ， 则 面积的最小值为_ 三、解答题（本大题共 11 小题，共 82.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题8.0分) 解方程： (1)3( 1) = 2( 1)； (2)22 4 + 1 = 0 18. (本小题4.0分) 已知62 9 1 = 0，求(2 32)(2 +32) ( +92)的值 19. (本小题6.0分) 已知关于的方程2 2 +12 1 = 0 (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为1，2，且12+ 22= 9，求的值 20. (本小题5.0分) 如图，有一块破碎的圆形玻璃边缘残片，现需要
6、配制一块同样大小的圆形玻璃请用圆规和无刻度的直尺确定该玻璃残片所在圆的圆心，并补全该残缺的圆(保留作图痕迹，不写作法) 21. (本小题7.0分) 某射箭俱乐部准备从甲， 乙两位射箭运动员中选出一人参加俱乐部联赛 现两人在选拔赛中各射了10箭，甲，乙两人的比赛成绩如下(单位：环)： 甲：9，10，10，8，10，7，9，8，9，10； 乙：10，9，9，10，8，8，9，8，10，9 教练组根据两人的比赛成绩绘制了如下不完整的数据分析表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 10 乙 9 9 9 乙2 根据以上数据解答下列问题： (1)由上表填空： =_， =_，乙2=_； (2)根据本次选拔赛结
7、果， 请你从平均数和方差的角度分析， 应选择其中哪一位参加俱乐部联赛更好些？ 22. (本小题8.0分) 为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团 (1)若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为_； (2)若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生中恰好是1男1女的概率 23. (本小题7.0分) 阅读理解以下内容，解决问题： 例：解方
8、程：2+ | 2 = 0 解： 2= |2， 方程即为：|2+ | 2 = 0， 设| = ，原方程转化为：2+ 2 = 0 解得，1= 1，2= 2， 当1= 1时，即| = 1， 1= 1，2= 1； 当2= 2时，即| = 2，不成立 综上所述，原方程的解是1= 1，2= 1 以上解方程的过程中，将其中|作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”(“元”即未知数) (1)已知方程：2+12 2 2 1 = 0，若设 +1= ，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是_； (2)仿照上述方法，解方程：1 1+ 1 5 = 0 24
9、. (本小题7.0分) 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分，两边足够长)，用40米长的篱笆围成一个矩形花园(篱笆只围，两边)，设 = 米 (1)若花园的面积为300米2，求的值； (2)若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积能否为400米2？若能，求出的值；若不能，请说明理由 25. (本小题8.0分) 如图， 中， = ， 以为直径作 ， 分别交， 于点， ， 过点作 ， 交 于点，垂足为，连接 (1)若 = 58，求的度数； (2)若 = 26， = 8
10、，求弦的长 26. (本小题10.0分) 如图，在 中， = 90，平分，交于点，以上一点为圆心的 经过点，分别交，于点， (1)求证：是 的切线； (2)若 = 6， = 10，求 的半径； (3)试探究线段，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论 27. (本小题12.0分) 已知矩形中， = 23， = 6，点是上一动点， 的半径为(为定值)，当 经过点时，此时 恰与对角线相切于点，如图1所示 (1)求 的半径； (2)若 从点出发(圆心与点重合)，沿方向向点平移，速度为每秒1个单位长度，同时，动点，分别从点，点出发，其中点沿着方向向点运动，速度为每秒1个单位长度，点沿着射线方向运动，速
11、度为每秒2个单位长度，连接，如图2所示当 平移至点(圆心与点重合)时停止运动，点，也随之停止运动设运动时间为(秒) 在整个运动过程中，是否存在某一时刻，与 相切？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； 在运动过程中， 当直线与 相交时， 直线被 截得的线段长度记为， 且满足2 4，则运动时间的取值范围是_ 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：.2 3 = ( + 4)整理可得4 + 3 = 0，是一元一次方程，故本选项不合题意； B.该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意； C. + 1 = 0是二元二次方程，故本选项不符合题意； D.22 3 1 = 0是一元二次方程
12、，故本选项符合题意 故选： 根据一元二次方程的定义逐个判断即可 本题考查了一元二次方程的定义， 能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键， 注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程 2.【答案】 【解析】解：2 2 1 = 0， 2 2 = 1， 2 2 + 1 = 1 + 1， ( 1)2= 2， 故选： 利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答 本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键 3.【答案】 【解析】解：利用根与系数的关系，可得： 1+ 2= = 2= 2， 的方程2 2 + = 0的一个解为1= 1， 2=
13、 2 1= 2 (1) = 3， 故选： 利用根与系数的关系即可求解 本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系 4.【答案】 【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是23，共出现3次，因此众数是23， 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，因此中位数是24， 即：众数是23，中位数是24， 故选： 根据众数、中位数的定义进行解答即可 本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的前提 5.【答案】 【解析】解： 的直径为5， 的半径为2.5， 而圆心的距离为3， 点在 外 故选： 根据题意得 的半径为2.5，则点到圆心的距离大于圆的半径，则根据点与
14、圆的位置关系可判断点在 外 本题考查了点与圆的位置关系：设 的半径为，点到圆心的距离 = ，则有点在圆外 ；点在圆上 = ；点在圆内 6.【答案】 【解析】解：如图，连接， 是 的直径， = 90， = 35 = ， = 90 35 = 55， 故选： 由是 的直径，可得 = 90，再根据“同弧所得的圆周角相等”可得 = 35 = ，再根据三角形内角和定理进行计算即可 本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”以及“同弧所得的圆周角相等”是正确解答的关键 7.【答案】 【解析】解：设 的半径为，则 = = = = ， = ，2= 2， 平分， = ， = ， = ， ， ， = = 9
15、0， 2= 2+ 2= 2+ 2= 22， = 2， = ()2=22=222= 2， = 2， 故正确； ， =2= 2， = 2 32， 故错误； = ， = ， = = 2， 故正确； = =12 =12， =12， = ， = ， ， =， 2= ， 22= 2， 2 = ， 22= ， 故正确， 故选： 设 的半径为，则 = = = = ，2= 2，先证明 ，再根据勾股定理求得2= 22，则 = 2，所以= ()2= 2，得= 2，可判断正确； 由 ，得=2= 2，则 = 2 32，可判断错误； 由 = ，得= ，则= = 2，可判断正确； 由 = ， = ，证明 ，得=，所以2=
16、，即可证明22= ，可判断正确，于是得到问题的答案 此题重点考查圆的有关概念和性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明 及 是解题的关键 8.【答案】 【解析】解：连接，作 于， 于， = = 90， =12， 平分， = ， = ， = ， = = 2， 在 和 中， = = = ， ()， = ， = 6， =12 = 3， = 10， = = 5， = 8， 在 中， = 2 2= 52 32= 4， 在 中， = 2+ 2= 42+ 82= 45 故选： 连接， ， 作 于， 于， 运用圆周角定理， 可证得 = ， 即证 ，所以 = = 3，根据勾股定理，得 =
17、4，在直角三角形中，根据勾股定理，可求的长 本题考查了圆周角定理以及勾股定理，掌握圆周角定理并灵活运用是解题的关键，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 9.【答案】1= 0，2= 2 【解析】解：原方程变形为( 2) = 0， 1= 0，2= 2 故答案为1= 0，2= 2 利用因式分解法即可解 本题考查解一元二次方程因式分解法 10.【答案】83 【解析】解：把 = 3代入方程得9 + 3 1 = 0， 解得 = 83 故答案为：83 把 = 3代入方程得9 + 3 1 = 0，然后解关于的一次方程即可 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右
18、两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 11.【答案】2023 【解析】解： 1是方程2 2022 = 0的一个实数根， 12 1 2022 = 0， 整理得，12= 1+ 2022， 再把12= 1+ 2022代入12+ 2， 12+ 2= 1+ 2022 + 2， 1，2是方程2 2022 = 0的一个实数根， 1+ 2= 1， 12+ 2= 1+ 2+ 2022 = 1 + 2022 = 2023， 故答案为：2023 利用1是方程2 2022 = 0的一个实数根， = 1代入可得12 1 2022 = 0，整理得，12= 1+2022，再利用根与系数的关系即可求出代数式12+ 2的值
19、本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系以及把根代入方程，利用降次方法解答 12.【答案】22 【解析】解：设这个圆锥的底面半径为， = 22+ 22= 22， 所以2 =9022180， 解得 =22， 即这个圆锥的底面半径为22 故答案为：22 设这个圆锥的底面半径为，利用勾股定理计算出 = 22，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到2 =9022180，然后解关于的方程即可 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 13.【答案】24 【解析】解：如图，连接， 根据题意得， =
20、68， = 160， = = 92， = 180 = 20， = ， = =12 (180 92) = 44， = + ， = 24， 故答案为：24 连接， ， 根据圆周角定理得出 = 68， = 160， 进而得出 = = 92， = 180 = 20，根据等腰三角形的性质得出 = 44，根据三角形外角性质求解即可 此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键 14.【答案】4 33 【解析】解：连接、，过作 于， 则 = = 3， = 90， 三角形是等边三角形， = 60， = 30， = 90 30 = 60， =33 = 3， = 60 + 60 = 120， 由勾股定理得：
21、=32+ (3)2= 23， 阴影部分的面积 = 扇形 =120(23)236012 6 3 = 4 33， 故答案为：4 33 连接、，过作 于，根据垂径定理求出，根据等边三角形性质求出，根据勾股定理得到，分别求出扇形和三角形的面积，即可得出答案 本题考查了扇形面积公式，等边三角形的性质，三角形的外接圆，三角形面积，含30度角的直角三角形性质，正确地作出辅助线是解题的关键 15.【答案】2 6 【解析】解：如图，到轴的距离等于2的点在直线 = 2或直线 = 2上， 当 与直线 = 2相切时，设切点为点，则 = = 4 2 = 2， 此时 上只有一个点到轴的距离等于2； 当 与直线 = 2相切
22、时，设切点为点，则 = = 4 (2) = 6， 此时 上有三个点到轴的距离等于2， 由此可知，当 上有且仅有两个点到轴的距离等于2时，则直线 = 2与 相离，直线 = 2与 相交， 的半径的取值范围是2 6， 故答案为：2 0， 解得： 4， 的取值范围为 0，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围； (2)利用根与系数的关系，可得出1+ 2= 2，12=12 1，结合12+ 22= 9，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当 0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)牢记“两根之和等于，两根之积等于”.
23、 20.【答案】解：如图， 即为所求 【解析】在圆上任意取，三点，连接，作线段，的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作 即可 本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握确定圆心的方法吗，属于中考常考题型 21.【答案】9 9 0.6 【解析】解：(1) =110 (9 3 + 10 4 + 8 2 + 7) = 9， 甲的成绩从小到大排列为7，8，8，9，9，9，10，10，10，10， 中位数 =9+92= 9， 乙2=110 3 (8 9)2+ 4 (9 9)2+ 3 (10 9)2 = 0.6； 故答案为：9，9，0.6； (2)因为两人成绩的平
24、均水平(平均数)相同， 根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以应选择乙参加俱乐部联赛更好些 (1)根据求平均数、中位数和方差的方法求即可； (2)利用方差以及平均数的意义分析得出即可 此题主要考查了方差、中位数以及算术平均数求法等知识，正确记忆方差公式是解题关键 22.【答案】12 【解析】解：(1)从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为24=12， 故答案为：12； (2)画树状图如下： 由图可知，共有12种可能的结果，其中恰为1男1女的结果出现8次， 则选取的2名学生恰为1男1女的概率为812=23 (1)直接根据概率公式用男生人数除以总人数即可； (2)画树
25、状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的2人恰好是1男1女的结果有8种，再由概率公式求解即可 本题考查的是用树状图法求概率树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 23.【答案】2 2 3 = 0 【解析】解：(1)设 +1= ， 则2+12= ( +1)2 2 = 2 2， 2+12 2 2 1 = 0可化为：2 2 2 1 = 0， 即2 2 3 = 0， 故答案为：2 2 3 = 0； (2)设1+ 1 = ，则1= 2 1， 原方程可化为：2 1 5 = 0， 整理得2 6 = 0， ( 3)( + 2
26、) = 0， 3 = 0或 + 2 = 0， = 3或2， 当 = 3时，1+ 1 = 3， 解得 =18， 当 = 2时，1+ 1 = 2(无解)， 检验，当 =18时，左边= 8 3 5 = 0 =右边， =18是原方程的解， 故原方程的解为： =18 (1)根据完全平方公式由 +1= ，得2+12= 2 2，再变形原方程便可； (2)设1+ 1 = ，则1= 2 1，得2 6 = 0，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可 本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法 24.【答案】解：(1) = 米， = (40 )米， 由题意得：(40 ) = 300， 解得：1
27、= 10，2= 30， 即的值为10或30； (2)花园的面积不能为400米2，理由如下： 由题意得：(40 ) = 400， 解得：1= 2= 20， 当 = 20时，26 = 26 6 = 20， 即当 = 20米， = 20米 24米，这棵树没有被围在花园内， 将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积不能为400米2 【解析】(1)由矩形面积公式得出方程，解方程即可； (2)根据题意可得方程(40 ) = 400， 求出的值， 然后再根据处这棵树是否被围在花园内进行分析即可 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 25.【答案】
28、解：(1) ， = 90，= ， = ， = ， = ， = ， = 58， = 58， = 32， = = 32； (2)连接， = ， = 26， = 26， = = 13， = 8， = 5， ， = ， = 90， 在 中， = 2 2= 132 52= 12， = 2 = 24， 即弦的长为24 【解析】 (1)根据等腰三角形的性质可得 = 58， 进而求出 = 32， 根据垂径定理可得 = ，从而求出的度数； (2)连接，已知 = ，则 = 26，则 = = 13，已知 = 8，则 = 5，在 中利用勾股定理求出，即可求出 本题考查了垂径定理，掌握定理并灵活运用是解题的关键，垂径定
29、理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 26.【答案】(1)证明：连接，如图： 平分， = ， = ， = ， = ， /， = = 90， ， 是 的半径， 是 的切线； (2)解：连接，如图： = 6， = 10， = 90， = 62+ 102= 234， 是 直径， = 90， = ， 又 = ， ， =， 234=10234， 解得： =685， 的半径为 =12 =345； (3) + 2 = ，证明： 如图：连接并延长交的延长线于点，连接， 在 和 中 = = = = 90， ()， = ， = ， = ， = ， = = ， 为等腰三角形， 又 = 90， ， =
30、 ， + + = + 2 = ， + 2 = 【解析】(1)连接，根据角平分线分得的角相等和半径相等、等边对等角可以证明 = ，所以/，即证出 ，进而证明结论； (2)连接，先根据勾股定理计算的长，再根据直径所对的圆周角为90证明 ，最后根据相似三角形的性质计算出直径的长即可解答； (3)连接并延长交的延长线于点， 连接， 先根据证明 ， 得到 = ， = ，再根据圆周角相等可得所对弧相等和 = = ，由三线合一可得 = ，即可证明结论 本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识，熟记相关的定理及证明直线与 相切
31、是解题的关键 27.【答案】43 83 【解析】解：(1)如图1， 连接，则 = = ， 四边形是矩形， = 90， = = 23， tan =236=33， = 30， 是 的切线， ， = 2， 6 = 2， = 2； (2)如图2， 当点在点右侧时， 连接，连接， 四边形是矩形， /， = 90， = ， 四边形是平行四边形， 是矩形， = = 90， = = 23， 是 的切线， ， = 90， = 2 2=(23)2 22= 22， tan =， = = 6 3， 222=6323， =663， 如图3， 当点在点的左侧时， 同理可得， 222=3623， =6+63； 综上所述：
32、=663或6+63； 如图4， 当点在点右侧， = 2时， 作 于，连接， =12 = 1， = 2 2= 22 12= 3， = 2 2=(23)2 (3)2= 3， 由(2)知， =， 6323=33， =43， 当点在点左侧时， 同理可得， 3623=33， =83， 当43 83时，2 4 故答案为：43 83 (1)连接，先求得 = 30，在 中列出方程求得结果； (2)分为点在点的左右两侧两种情形： 当点点在点右侧时， 四边形是矩形， 可求得 = 22，根据tan =，列出方程，进而求得结果，同样方法求得点在点左侧的结果； 求出当 = 2的的值， 从而求得范围， 和的方法相同： 作 于， 连接， 依次 = 1， = 3， = 3，根据(2)列出=，求得的值，进一步得出结果 本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，矩形判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论
浙公网安备33030202001339号