1、 2022-2023 学年江苏省无锡市梁溪区九年级学年江苏省无锡市梁溪区九年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分。 ） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是( ) A. 2+12= 4 B. 2+ + = 0 C. ( 1)( + 3) = 4 D. 42 + 7 = 0 2. 用配方法解一元二次方程2 8 + 5 = 0，将其化成( + )2= 的形式，则变形正确的是( ) A. ( + 4)2= 11 B. ( 4)2= 21 C. ( 8)2= 11 D. ( 4)2= 11 3. 已知是方程2 2 2022 = 0的一个根，则22 4的值
2、为( ) A. 4044 B. 4044 C. 2022 D. 2022 4. 已知 的半径是一元二次方程2 5 6 = 0的一个根，圆心到直线的距离 = 5，则直线与 的位置关系是( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行 5. 下列说法正确的是( ) A. 经过三点可以作一个圆 B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 6. 如图， 线段与 相切于点， 线段与 相交于点， = 12， = 8， 则 半径长为( ) A. 10 B. 5 C. 6 D. 10 7. 如图， 是圆的直径， 弦平分， 过点的切线交于点，
3、= 25，则下列结论错误的是( ) A. B. / C. = D. = 50 8. 如图， 的半径为1， 是 的内接等边三角形，点、在圆上，四边形为矩形，这个矩形的面积是( ) A. 2 B. 3 C. 32 D. 32 9. 欧几里得的原本记载，形如2+ = 2的方程的图解法是：画 ，使 = 90， =2， = ，再在斜边上截取 =2，则该方程的一个正根是( ) A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 10. 如图，将边长为的正六边形123456在直线上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当1第一次滚动到图2位置时，顶点1所经过的路径的长为( ) A. 4+233 B. 8+4
4、33 C. 4+33 D. 4+236 二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 11. 关于的一元二次方程( 1)2+ 6 + 2+ 2 = 0有一个根是0，则的值是_ 12. 关于的一元二次方程2 2 + = 0有两不等实根，则的取值范围是_ 13. 某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是_ 14. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为，则可列方程为_ 15. 如图， 为 的内切圆， 点， 分别为边， 上的点， 且为 的切线，若 的周长为21，边的长为6，
5、 的周长为_ 16. 是 的外接圆，连接， = 28，则的度数为_， 17. 如图，在边长为2的正方形中，以点为圆心、的长为半径画弧，再以为直径画半圆若阴影部分的面积为1，阴影部分的面积为2，则2 1的值为_ 18. 如图， 的半径为4，定点在 上，动点，也在 上，且满足 = 30，为的中点，则点、在圆上运动的过程中，线段的最大值为_，此时 =_ 三、解答题（本大题共 9 小题，共 96.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. (本小题10.0分) 如图，是 的弦，是 外一点， ，交于点，交 于点，且 = (1)判断直线与 的位置关系，并说明理由； (2)若 = 30， =
6、1，求图中阴影部分的面积 20. (本小题10.0分) 解方程：(1)2 3 1 = 0； (2)( 5)2+ 2( 5) = 0 21. (本小题10.0分) 已知关于的一元二次方程2 ( + 3) + 2( + 1) = 0 (1)求证：不论为何值，方程总有实数根； (2)若该方程有两根为1，2，且12+ 22= 5，求的值 22. (本小题10.0分) 如图，在 中， = 90，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接 (1)若 = 20，求的度数； (2)若 = 3， = 4，求的长 23. (本小题10.0分) 如果一元二次方程2+ + = 0的两根1，2均为正数，其中1 2且
7、满足1 1 2 2，那么称这个方程有“友好根” (1)方程( 2)( 3) = 0_“友好根”(填：“有”或“没有”)； (2)已知关于的2 ( 1) + 2 = 0有“友好根”，求的取值范围 24. (本小题12.0分) “新冠“疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品某药店销售普通口罩和95口罩，今年8月份的进价如表： 普通口罩 95口罩 进价(元/包) 8 20 (1)计划95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包95口罩总售价相同，求普通口罩和95口罩每包售价 (2)按(1)中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包
8、该药店秉承让利于民的原则， 对普通口罩进行降价销售， 但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价 (3)疫情期间，该药店进货2万包95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了包(6000 7000)该款口罩， 剩余的95口罩向市民销售 若这2万包口罩的利润率等于10%， 则95口罩每包售价是_元(直接写出答案，售价为整数元) 25. (本小题10.0分) (1)在图中，已知 1，点在 1上，过点作 1的切线1； (2)在图中，已知 2，点在 2外，过点作 2的切线2 (用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法) 26. (本小题12.0分) 如图，在矩形中， = 4， = 6.点为边上的
9、一个动点(不与、重合)， 是 的外接圆 (1)若 = 2， 交于点、，求的长度 (2)若的长度为， 与的位置关系随着的值变化而变化， 试探索 与的位置关系及对应的的取值范围 27. (本小题12.0分) 在平面直角坐标系中，对于 与 ，给出如下定义：若 与 有且只有两个公共点，其中一个公共点为点，另一个公共点在边上(不与点，重合)，则称 为 的“点关联三角形” (1)如图， 的半径为1，点(0,2). 为 的“点关联三角形” 在1(1,0)，2(22,22)这两个点中，点可以与点_重合； 点的横坐标的最小值为_； (2) 的半径为1，点(1,0)， 点是轴负半轴上的一个动点， 点在轴下方， 是
10、等边三角形，且 为 的“点关联三角形”.设点的横坐标为，求的取值范围； (3) 的半径为，直线 = 与 在第一象限的交点为，点(4,0).若平面直角坐标系中存在点，使得 是等腰直角三角形，且 为 的“点关联三角形”，直接写出的取值范围 答案解析答案解析 1.【答案】 【解析】解：.方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B.当 = 0时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C.方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D.方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选： 根据一元二次方程的定义逐个判断即可 本题考查了一元二次方程的定义，能熟
11、记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程 2.【答案】 【解析】解：方程2 8 + 5 = 0， 移项得：2 8 = 5， 配方得：2 8 + 16 = 11，即( 4)2= 11 故选： 方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 3.【答案】 【解析】解：由题意得： 把 = 代入方程2 2 2022 = 0中， 则2 2 2022 = 0， 2 2 = 2022， 22 4 = 4044， 故选： 直接把 = 代入方程中，进行计算即可解答
12、本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键 4.【答案】 【解析】解： 2 5 6 = 0， 1= 1，2= 6， 的半径为一元二次方程2 5 6 = 0的根， = 6， = ， 故选项 C 符合题意 故选： 根据切线的性质得到 ， 证明/， 由此判断、 选项； 过点作 于， 构造直角 ， 利用圆周角定理判断选项；利用三角形外角性质求得的度数，从而判断选项 本题主要考查了切线的性质和圆周角定理如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满 足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直 8.【答案】 【解析】解：连结、，如图， 四边形为矩形
13、， = 90， 为 的直径， = 2， 为等边三角形， = 60， = 2 = 120， 而 = ， = 30， 在 中， =12 = 1， = 3 = 3， 矩形的面积= = 3 故选： 连接、 ， 根据矩形的性质得 = 90， 再根据圆周角定理得为 的直径， 则 = 2； 由为等边三角形得 = 60，于是利用圆周角定理得到 = 2 = 120，易得 = 30，在 中，根据含30的直角三角形三边的关系得到 =12 = 1， = 3 = 3， 然后根据矩形的面积公式求解 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质 9.【答
14、案】 【解析】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 表示出的长，利用勾股定理求出即可 【解答】 解：欧几里得的原本记载，形如2+ = 2的方程的图解法是： 画 ，使 = 90， =2， = ，再在斜边上截取 =2， 设 = ，根据勾股定理得：( +2)2= 2+ (2)2， 整理得：2+ = 2， 则该方程的一个正根是的长， 故选 B 10.【答案】 【解析】解：连15，14，13，作6 15，如图， 六边形123456为正六边形， 14= 2，165= 120， 16= 30， 6 =12，1 =32， 15= 13= 3， 当1第一
15、次滚动到图2位置时，顶点1所经过的路径分别是以6，5，4，3，2为圆心， 以，3，2，3，为半径，圆心角都为60的五条弧， 顶点1所经过的路径的长=60180+603180+602180+603180+60180， =4+233 故选： 连15，14，13，作6 15，利用正六边形的性质分别计算出14= 2，15= 13= 3，而当1第一次滚动到图2位置时，顶点1所经过的路径分别是以6，5，4，3，2为圆心，以，3，2，3，为半径，圆心角都为60的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可 本题考查了弧长公式： =180；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质 11.【答案】2 【解析】解：方程( 1
16、)2+ 6 + 2+ 2 = 0为一元二次方程， 1 0， 1 将 = 0代入( 1)2+ 6 + 2+ 2 = 0，得：2+ 2 = 0， 解得：1= 2，2= 1(不合题意，舍去) 故答案为：2 根据一元二次方程的定义可得出 1 0，进而可得出 1，将 = 0代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合 1即可得出结论 本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入 = 0求出的值是解题的关键 12.【答案】 0， 解得： 1 故答案为： 0，然后解不等式即可 本题考查了一元二次方程2+ + = 0( 0)的根的判别式 = 2 4：当 0，方程有两个不相等的实数根；当
17、 = 0，方程有两个相等的实数根；当 0， =242=3132， 解得1=3+132，2=3132； (2)( 5)2+ 2( 5) = 0， ( 5)( 5 + 2) = 0， ( 5)(3 5) = 0， 5 = 0或3 5 = 0， 解得1= 5，2=53 【解析】(1)利用求根公式求解即可； (2)利用提公因式法因式分解求解即可 本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式以及提公因式法因式分解是解答本题的关键 21.【答案】(1)证明： = 1， = ( + 3)， = 2( + 1)， = 2 4 = ( + 3)2 4 1 2( + 1) = 2 2 + 1 = ( 1)
18、2， ( 1)2 0，即 0， 不论为何值，方程总有实数根 (2)解： 1，2是关于的一元二次方程2 ( + 3) + 2( + 1) = 0的两个实数根， 1+ 2= + 3，1 2= 2( + 1)， 12+ 22= 5，即(1+ 2)2 21 2= 5， ( + 3)2 2 2( + 1) = 5， 整理得：2+ 2 = 0， 解得：1= 0，2= 2， 的值为0或2 【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式 = 2 4，可得出 = ( 1)2 0，进而可证出论为何值，方程总有实数根； (2)利用根与系数的关系可得出1+ 2= + 3，1 2= 2( + 1)，结合12+ 22= 5，
19、可得出关于的一元二次方程，结合即可求出的值 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当 0时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系及12+ 22= 5，找出关于的一元二次方程 22.【答案】解：(1)如图，连接 = 90， = 20， = 70 = ， = = 70， = 180 70 70 = 40， = 90 40 = 50 又 = ， = =12(180 50) = 65 (2)如图，过点作 ，垂足为 = 90， = 3， = 4， = 5 又12 =12 ， =1234125=125， = 32 (125)2=95 = ， ， = 2 =185 【解析
20、】(1)连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可 (2)如图，过点作 ，垂足为.利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得结论 本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 23.【答案】(1)没有； (2)2 ( 1) + 2 = 0 由已知= ( 1)2 4 1 ( 2) = ( 3)2 0， =(1)(3)22， 当 3时，1= 2，2= 1， 当 2且满足1 1 2 2， 若1= 2，2= 1，则1 2 1 2， 解得4 5； 若1= 1，2= 2，则1 1 + 2 20 2 1，无解 综上，的取值范围是4 0，2
21、0，但1 2 2且满足1 1 2 0， =(1)(3)22， 当 3时，1= 2，2= 1， 当 2且满足1 1 2 2， 若1= 2，2= 1，则1 2 1 2， 解得4 5； 若1= 1，2= 2，则1 1 + 2 20 2 1，无解 综上，的取值范围是4 5 (1)先解方程得到1= 3，2= 2，则不满足1 1 2 0，利用求根公式解得1= 2，2= 1或1= 2，2= 1，然后讨论：若1= 2，2= 1，则得到4 0，方程有两个不相等的实数根； 当= 0， 方程有两个相等的实数根； 当 0， 方程没有实数根 也考查了解一元一次不等式组 24.【答案】解：(1)设普通口罩每包的售价为元，
22、95口罩每包的售价为元， 依题意，得： = 167 = 3， 解得： = 12 = 28 答：普通口罩每包的售价为12元，95口罩每包的售价为28元 (2)设普通口罩每包的售价降低元， 则此时普通口罩每包的售价为(12 )元， 日均销售量为(120 + 20)包， 依题意，得：(12 8)(120 + 20) = 320， 整理，得：2+ 2 8 = 0， 解得：1= 2，2= 4(不合题意，舍去)， 12 = 10 答：此时普通口罩每包的售价为10元 (3)32 【解析】解：(1)(2)见答案； (3)设95口罩每包售价是元， 依题意，得：(20000 ) 20 20000 = 20 200
23、00 10%， = 20000 440000 6000 7000， 6000 20000 440000 7000， 2207 44013 又 和均为正整数， = 32 故答案为：32 (1)设普通口罩每包的售价为元， 95口罩每包的售价为元， 根据“95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包95口罩总售价相同”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； (2)设普通口罩每包的售价降低元， 则此时普通口罩每包的售价为(12 )元， 日均销售量为(120 + 20)包，根据每天的利润=每包的利润日均销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出 结论； (3)设95
24、口罩每包售价是元，根据利润=销售收入进货成本，即可用含的代数式表示出值，结合的取值范围可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出结论 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出值 25.【答案】解：(1)如图，1为所作； (2)如图，2为所作 【解析】(1)过点作1的切线得到直线1； (2)连接2， 作2的垂直平分线得到中点， 然后以点为圆心， 为半径作圆交 2于、 ， 则直线、满足条件 本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作
25、图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了切线的判定 26.【答案】(1)解：过点作 于点，延长交于点，连接， 四边形是矩形， = = 90， 是 的直径 = = = 90， 四边形是矩形， ， = = = 4， = = ， 是 的中位线， =12 = 1， = 4 1 = 3， 在 中， = 2+ 2= 210， =12 = 10， 在 中， = 2 2= 1， = 2 = 2 (2)解：如图1中，当 与相切于点时，连接并反向延长交于点 由(1)易得 =12 =12，
26、 = = 4 12， = 3， 在 中，2+ 2= 2，即(12)2+ 32= (4 12)2， 解得 =74， 当0 74时， 与相离， 当 =74时， 与相切， 当74 4时， 与相交 【解析】 (1)过点作 于点， 延长交于点， 连接.在 中， 利用勾股定理求出， 再在 中求出即可解决问题 (2)如图1中，当 与相切于点时，连接并反向延长交于点.求出相切时，的值即可判断 本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 27.【答案】解：(1)如图1， 当点在轴右侧时，过点作 的切线，交 于，连接， 则 = 1，
27、 = 2， 则 = 3， 过点作 轴于， 则=12 =12 ， =312=32， 0 32， 当点在轴左侧时，由对称性得，32 0， 即32 32， 点1的横坐标为1， 而1 32， 点不能与点1重合， 点2的横坐标为22， 而2232， 点能与点2重合， 故答案为：2； 点的横坐标的最小值为32， 故答案为：32； (2)如图2， 为 的“点关联三角形”， 线段和除过点为不能 有交点， 当线段除点外不与 有交点， 当与 相切时， 轴，此时，点的横坐标为1， 当线段除点外不与 有交点， 即点在(1,0)处，记作点， = 1， (1,0)， = 1， = ， = 45， 为等边三角形， = ，
28、= 60， 在 中， = 2， = 2， 过点作 轴于， = 90， = 180 45 60 = 75， = 15， 在上取一点，连接，使 = ， = 30， 在 中，则 = 3， = 2， = + = (3 + 2)， 在 中，根据勾股定理得，2+ 2= 2， 2+ (3 + 2)2= (2)2， =232， = (3 + 2) 232=(23)(2+3)22=1+32， 的取值范围为1 4， 直线 = 与 在第一象限的交点为， (22,22)， 如图3， 当点在圆外时，当 = 90时，存在等腰 为 的“点关联三角形”， 如图4， 过点作轴的平行线，过点作 于，作 轴于， = = 90 =
29、， 四边形是矩形， = ， ()， = ， = ， 点在直线 = 上， 点到，轴的距离相等是， 在轴上，即点也在轴负半轴上， = =22， 当点在 上时， = +22， = 4 22， +22 = 4 22， = 4(2 1)， 当与 相切时，则 = 90， = 90， 点与点重合，此时 =22 = 22 4(2 1) 22， 即4(2 1) 4 【解析】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，圆的切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，找出分界点是解本题的关键 (1)当点在轴右侧时， 过点作 的切线， 交 于， 连接， 利用面积求出， 得出0 32， 当点在轴左侧时，由对称性得，32 4，当点在圆外时， 当 = 90时， 存在等腰 为 的“点关联三角形”， 过点作轴的平行线，过点作 于， 作 轴于， 判断出四边形是矩形， 得出 ， 进而判断出点也在轴负半轴上，利用点在圆上，求出的范围
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