1、 专题专题 15 15 二次函数二次函数 一、单选题一、单选题 1 （2022 烟台）二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线 x12，且与 x轴的一个交点坐标为（2，0） 下列结论：abc0；ab；2a+c0；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c10 有两个相等的实数根其中正确结论的序号是（ ） A B C D 2 （2022 东昌府模拟）如图，已知抛物线 = 2+ + （a，b，c 为常数， 0）经过点(2，0)，且对称轴为直线 = 12，有下列结论： 0； 4 2 + 3 0； 无论 a， b， c 取何值， 抛物线一定经过(2，0)；42 4 + 0
2、其中正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 （2022 兖州模拟）在平面直角坐标系中，如果点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为和谐点例如点（1，1） ， （13，13） ， （2，2） ，都是和谐点若二次函数 yax2+4x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点（32，32） ，当 0 xm 时，函数 yax2+4x+c34（a0）的最小值为3，最大值为 1，m 的取值范围是（ ） Am4 Bm2 C2m4 D2m4 4 （2022 牡丹模拟）二次函数 = 2+ + ( 0)的图象如图所示，其对称轴为直线 = 1，与 x轴的交点为(1，0)、 (2，0)， 其中0
3、 2 0； 4 2 + 1；3 1 2；当 m 为任意实数时， 2+ ；3 + = 0其中，正确的结论有 （ ） A B C D 5 （2022 济南模拟）对于一个函数：当自变量 x 取 a 时，其函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点 若二次函数yx2+2x+c （c为常数） 有两个不相等且都小于1的不动点， 则c的取值范围是 （ ） Ac3 B3c2 C2c14 Dc14 6 （2022 青岛模拟）若一元二次方程2+ + 3 = 0有两个不相等的实数根，则二次函数 = 2+ + 3的图象与一次函数 = 2 + 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 7 （
4、2022 威海）如图，二次函数 yax2+bx（a0）的图像过点（2，0） ，下列结论错误的是（ ） Ab0 Ba+b0 Cx2 是关于 x 的方程 ax2+bx0（a0）的一个根 D点（x1，y1） ， （x2，y2）在二次函数的图象上，当 x1x22 时，y2y10 8 （2022 潍坊）抛物线 y=x2+x+c 与 x 轴只有一个公共点，则 c 的值为（ ） A14 B14 C4 D4 9 （2022 济南模拟）对于一个函数：当自变量 x 取 a 时，其函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点 若二次函数yx2+2x+c （c为常数） 有两个不相等且都小于1的不动点， 则c
5、的取值范围是 （ ） A 3 B3 2 C2 14 10 （2022 庆云模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点(1，)和点(3，)在抛物线 = 2+ ( 0)上已知点(1，1)，(2，2)，(4，3)在该抛物线上若 0，则1，2，3的大小为（ ） A1 2 3 B2 1 3 C3 1 2 D1 3 2 二、填空题二、填空题 11 （2022 东营模拟）如图，抛物线 =142 4与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连结 OQ则线段 OQ 的最小值是 12 （2022 威海模拟）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线
6、yax2+bx+c 与 x 轴分别相交于 A、B两点，与 y 轴相交于点 C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值： x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 则这条抛物线的解析式为 13 （2022 东明模拟）抛物线 = 2+ + 经过点(2，0)、(4，0)两点，则关于 x 的一元二次方程2+ + = 0的解是 14 （2022 高青模拟）已知点 A（2，4） ，B（0，1） ，点 M 在抛物线 y 14x2上运动，则 AMBM 的最小值为 15 （2022 济南模拟）一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是 cm 16 （2022 临淄模拟）对
7、于任意实数 a，抛物线 = 2+ 2 + + 与 x 轴至少有一个公共点，则 b的取值范围是 17 （2022 泰安模拟）如图二次函数 = 2+ + ( 0)图象的一部分与 x 轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线 = 1，结合图象给出下列结论： + + = 0； 2 + 0；若关于 x 的一元二次方程2+ + = 5( 0)的一根是 3，则另一根是5；若点(4，1)，(2，2)，(3，3)均在二次函数图象上，则1 2 0； 0；8 + 0；9 + 3 + 0.正确结论的是 (填序号) 19 （2022 聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为 8 元，在销售过程中，每天的销售量
8、y（个）与销售价格 x（元/个）的关系如图所示，当10 20时，其图象是线段 AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本） 20 （2022 济南模拟）一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是 cm 三、综合题三、综合题 21 （2022 牡丹模拟）“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日如约而至某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售每个纪念品进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且不高于 52 元销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 个，销售单价每上涨 1
9、 元，每天销量减少 10 个现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元 （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利 2400 元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 22 （2022 东昌府模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 = + 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，且(0，4)， = 45，同时交反比例函数 =在第一象限的图象于点(，5)，反比例函数图象上的点 P 的纵坐标(0 5)， 轴交直线 AB 于点 Q，D 是 x 轴上任意一点，连接P
10、D，QD （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求PDQ 面积的最大值 23 （2022 莱芜模拟）抛物线 = 2+ + 3过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y 轴交于点 C对称轴与 x 轴交于点 D （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标： （2）如图，连接 CD、CB，在直线 BC 上方的抛物线上找点 P，使得 = ，求出 P 点的坐标： （3）点 M 为直线 BC 上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以 C，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 24 （2022 章丘模拟）如图 1，抛物线
11、 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） 、B（3，0） （1）求抛物线的函数表达式： （2）设抛物线的顶点为 D，与 y 轴相交与点 C，连接 AC、CD、BC、BD，请你判断ACO 与DBC 的数量关系，并说明理由； （3）如图 2，连接 AD，与 BC 相交于点 E，点 G 是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点 F，使得EFG=90 ，且 tanFEG=12如果存在，请求出点 F 的坐标；如果不存在，请说明理由 25 （2022 东昌府模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 = 2 + 10与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，点 C 的坐标是(8，4)连接 AC，BC （1）求过 O
12、，A，C 三点的抛物线的函数表达式，并判断ABC 的形状； （2）动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为 ts，当 t 为何值时，BPQ 的面积最大？ （3）当抛物线的对称轴上有一点 M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形时，求出点 M的坐标 26 （2022 烟台）如图，已知直线 y43x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 yax2+bx+c 经过 A，C 两点，且与 x
13、轴的另一个交点为 B，对称轴为直线 x1 （1）求抛物线的表达式； （2）D 是第二象限内抛物线上的动点，设点 D 的横坐标为 m，求四边形 ABCD 面积 S 的最大值及此时 D 点的坐标； （3）若点 P 在抛物线对称轴上，是否存在点 P，Q，使以点 A，C，P，Q 为顶点的四边形是以 AC为对角线的菱形？若存在，请求出 P，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由 27 （2022 高唐模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y332233x3与 x 轴交于 A、B两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D （1）求直线 BC 的解析式； （2）如
14、图 2，点 P 为直线 BC 上方抛物线上一点，连接 PB、PC当 的面积最大时，在线段 BC 上找一点 E(不与 B、C 重合)，使 +12BE 的值最小，求点 P 的坐标和 +12BE 的最小值； （3）如图 3，点 G 是线段 CB 的中点，将抛物线 y332233x3沿 x 轴正方向平移得到新抛物线，y经过点 D，的顶点为 F在抛物线的对称轴上，是否存在一点 Q，使得 为直角三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 28 （2022 青岛模拟）2022 年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件 30 元，物价部门规定其每
15、件的售价不低于进价且利润不高于进价的 90%，根据市场调查发现，日销售量（件）与销售单价（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共 850 元. （1）求日销售量（件）与销售单价（元）的函数关系式； （2）求该批玩具的日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元? 29 （2022 德城模拟）已知：抛物线1：1= 2+ 4 3与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在点 B 左侧，将1绕点 A 旋转 180得到2：2= 2+ + 交 x 轴与点 N （1）求2的解析式 （2）求证：无论 x 取何值恒1 2 （
16、3）当2+ 4 3 + 2+ + 时，求 m 和 n 的值 （4）直线 l：y=kx2 经过点 N，D 是抛物线 c2 上第二象限内的一点，设 D 的横坐标为 q，作直线AD 交抛物线 c1 于点 M，交直线 l 于点 E，若 DM2ED，求 q 值 30 （2022 市南区模拟）某电子公司前期投入 240 万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出这种市场热销的电子产品，已于当年投入生产并进行销售已知生产这种电子产品的成本为 8 元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量 y（万件）与销售价格 x（元/件）的关系如图所示设该电子公司销售这种电子产品的年利润为 S（万元） （注：若上一年盈利，则
17、盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本） （1）请求 y（万件）与销售价格 x（元/件）之间的出函数关系式； （2）求出第一年这种电子产品的年利润 S（万元）与销售价格 x（元/件）之间的出函数关系式，并求出第一年年利润的最大值（第一年年利润=总售价-总成本-研发费用） ； （3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润 S（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格 x 定在 12 元以上（x12） ，若年销售量与每件销售价格仍满足（1）的关系，当第二年的年利润不低于 44 万元时，求出第二年销售量的最大值 答案解析部分
18、答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：由图可知：a0，c0，20， b0， abc0，故不符合题意 由题意可知：212， ba，故符合题意 将（2，0）代入 yax2+bx+c， 4a2b+c0， ab， 2a+c0，故符合题意 由图象可知：二次函数 yax2+bx+c 的最小值小于 0， 令 y1 代入 yax2+bx+c， ax2+bx+c1 有两个不相同的解，故不符合题意 故答案为：D 【分析】 根据对称轴、 开口方向与 y 的交点位置即可判断 a、 b、 c 与 0 的大小关系， 再由对称轴可知 a=b，将（2，0）代入 yax2+bx+c，可得 4a2b+c0，再由二次函
19、数最小值小于 0，从而判断 ax2+bx+c1 有两个不相同的解，即可得出答案。 2 【答案】B 【解析】【解答】图像开口朝下，故0，根据对称轴 = 12可知 0 0 故不符合题意； = 2= 12得 = + 0 4 2 + 3 0 故不符合题意； 根据抛物线的对称性，得到 = 2与 = 1时的函数值相等 当 = 1时 = 0，即 + + = 0 = 2 + = 0即2= 1 = 2+ + 经过(2，0)，即经过(1，0) 故符合题意； 当 = 12时， =14 12 + ， 当 = 时， = 2+ + 0 函数有最大值14 12 + 2+ + 14 12 + 化简得42+ 4 + 0， 故符
20、合题意 综上所述：符合题意 故答案为：B 【分析】由图像开口朝下得0，根据对称轴 = 12可知 0， 可得 0， a+b0， 据此判断； 将点(2，0)代入抛物线解析式中可得4 2 + =0，结合 c0 可得4 2 + 3 0，据此判断；根据抛物线的对称性及对称轴 = 2= 12，可得 = 2与 = 1时的函数值相等及 a+b=0，从而得当 = 1时 y= + + = 0 ，求出2 + = 0即2= 1 ， 由于抛物线过 （1， 0） ， 即得 = 2+ + 经过(2，0)， 据此判断； 由于 x=12时， 函数有最大值 y=14 12 + ，从而得出当 = 时， = 2+ + 14 12 +
21、 ，整理化简即可判断. 3 【答案】C 【解析】【解答】解：将点(32，32)代入 = 2+ 4 + 得：94 + 4 32+ =32，即9 + 4 = 18， 二次函数 = 2+ 4 + ( 0)的图象上有且只有一个和谐点(32，32)， 二次函数 = 2+ 4 + ( 0)与 = 有且只有一个交点， 关于的一元二次方程2+ 4 + = 只有一个实数根， 此方程根的判别式 = 9 4 = 0，即4 = 9， 联立9 + 4 = 184 = 9，解得 = 1 = 94， 则函数 = 2+ 4 + 34为 = 2+ 4 3 = ( 2)2+ 1， 当 = 3时，2+ 4 3 = 3，解得 = 0
22、或 = 4， 画出二次函数 = 2+ 4 3的图象如下： 则当 2时，随的增大而减小；当 = 2时，取得最大值，最大值为 1， 当0 时，函数 = 2+ 4 3的最小值为3，最大值为 1， 2 4， 故答案为：C 【分析】将点(32，32)代入 yax2+4x+c 中，可得9 + 4 = 18，由于 = 2+ 4 + ( 0)的图象上有且只有一个和谐点(32，32)，可得二次函数 = 2+ 4 + ( 0)与 = 有且只有一个交点，即得关于的一元二次方程2+ 4 + = 只有一个实数根， 从而得出 = 9 4 = 0， 联立可得 a=-1，c=94，可得函数 = 2+ 4 + 34为 = 2+
23、 4 3 = ( 2)2+ 1，画出函数图象，根据函数图象及最小值为3，最大值为 1，可确定 m 的范围. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线与 y 轴有 2 个交点， b24ac0，符合题意 抛物线对称轴为直线 x1，x0 时，y1， x2 时，y4a2bc1， 不符合题意 抛物线对称轴为直线 x1，0 x21， 3x12，符合题意 抛物线对称轴为直线 x1，抛物线开口向上， x1 时，yabc 为最小值， abcam2bmc， abam2bm，符合题意 2 1， b2a， x1 时，yabc3ac0， 不符合题意 正确的结论有：， 故答案为：A 【分析】利用二次函数的图象与系数的关
24、系判断出 a、b、c 的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。 5 【答案】C 【解析】【解答】解：设二次函数 yx2+2x+c 有两个不相等的不动点为 x1，x2， x1，x2是方程 x2+2x+c=x 的两个根， x2+x+c=0， =1-4c0， c14， 两个不动点均小于 1， 如图，画出二次函数的图象， 当 x=1 时，y= x2+2x+c=2+c0， c-2， -2c14. 故答案为：C. 【分析】根据不动点的定义得出 x1，x2是方程 x2+2x+c=x 的两个根，根据根的判别式得出 c14，再根据两个不动点均小于 1，得出当 x=1 时，y0，得出 c-2，即可得出 c 的取
25、值范围. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：一元二次方程2+ + 3 = 0有两个不相等的实数根， 二次函数 = 2+ + 3的图象与 x 轴有两个交点，故 C 不符合题意； A、由二次函数 = 2+ + 3的图象得 a0，b0，b0，与一次函数 = 2 + 的 a、b 的取值不相符， 故不符合题意； D、由二次函数 = 2+ + 3的图象得 a 0， 故 B 不符合题意， 0，故 A 不符合题意； 由题可知二次函数对称轴为 = 2= 1， = 2， + = 2 = 0，故 B 不符合题意； 根据图像可知 = 2是关于的方程2+ + = 0( 0)的一个根，故不符合题意， 若点(1，1)，(
26、2，2)在二次函数的图象上， 当1 2 2时，1 2 0)， 抛物线开口向上且经过原点， 0 时，y 随 x 增大而增大， 0mn，不满足题意， 当 b 0 时，抛物线对称轴在 y 轴左侧，x0 时，y 随 x 增大而增大， nm 0，不满足题意， b0，抛物线对称轴在 y 轴右侧， 当 x=1 时，m 0， 即抛物线和 x 轴的 2 个交点，一个为（0，0） ，另外一个在 1 和 3 之间， 抛物线对称轴在直线 =32，与直线 =12之间， 即12 232， 点(2，2)与对称轴距离12 2 (2) 32， 点(1，1)与对称轴距离32 2 (1) 52， 点(4，3)与对称轴距离52 4
27、(2) 72， 2 10，可知开口向上，根据（0，0） 、mn 0，故结论符合题意； 抛物线开口向上、对称轴在轴右侧、抛物线与轴交于负半轴， 0， 0， 0，故结论符合题意； 对称轴为直线 = 1， 2= 1，即 = 2， 由图象可知：当 = 2时， = 4 2 + 0， 4 2 (2) + 0， 8 + 0，故结论符合题意； 对称轴为直线 = 1，过点(1，0)， 抛物线过点(3，0)， 当 = 3时，过点，故结论不符合题意； 故答案为 【分析】 根据抛物线与 x 轴有两个交点，可知2 4 0； 根据抛物线开口向上、对称轴在轴右侧、抛物线与 y 轴交于负半轴，可知 0 ； 根据图像可知当 x
28、=-2 时，y0 结合对称轴为 x=1 即可判断结论； 根据对称轴和抛物线经过点(1，0)可判断抛物线过点 (3，0)， 可得 9 + 3 + = 0.可判断结论。 19 【答案】121 【解析】【解答】解：当10 20时，设 = + ，把（10，20） ， （20，10）代入可得： 10 + = 2020 + = 10， 解得 = 1 = 30， 每天的销售量 y（个）与销售价格 x（元/个）的函数解析式为 = + 30， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为 w 元， = ( 8) = ( 8)( + 30) = 2+ 38 240 = ( 19)2+ 121， 10， 当 = 19
29、时，w 有最大值为 121， 故答案为：121 【分析】先结合函数图象利用待定系数法求出一次函数解析式 = + 30，再设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为 w 元，根据题意列出函数解析式 = ( 8) = ( 19)2+ 121，再利用二次函数的性质求解即可。 20 【答案】23 【解析】【解答】如图建立直角坐标系 则点 A 的坐标为（-2，8） ，点 B 的坐标为（2，8） ， 设抛物线的解析式为 y=ax2， 代入点 A 的坐标得 8=4a， 解得：a=2， 所以抛物线的解析式为 y=2x2， 令 y=6 得：6=2x2， 解得：x=3， 所以 CD=3-（-3）=23（cm） 故
30、答案为：23 【分析】如图建立直角坐标系，设抛物线的解析式为 y=ax2，将点的坐标代入 y=ax2，求出 a 的值，再将 y=6 代入 y=2x2，求出 x 的值，再利用两点之间的距离公式可得 CD=3-（-3）=23。 21 【答案】（1）解：根据题意得： = 300 10( 44) = 10 + 740，(44 52)； （2）解：根据题意可得：( 40)(10 + 740) = 2400， 整理得：2 114 + 3200 = 0 ， 解得：1= 50，2= 64（不符合题意，舍去） ， 答：每个纪念品的销售单价为 50 元时，商家每天获得 2400 元 （3）解：由题意，得 = (
31、40)(10 + 740)， = 102+ 1140 29600， = 10( 57)2+ 2890， = 100， 抛物线开口向下，对称轴为直线 = 57， 当 57时，w 随 x 的增大而增大 44 52， 当 = 52时，w 有最大值， 此时， = 10 (52 57)2+ 2890 = 2640， 答：销售单价定为 52 元时，该超市每天的利润最大，最大利润是 2640 元 【解析】【分析】 （1）根据题意列出一次函数的解析式 = 300 10( 44) = 10 + 740即可； （2）利用“总利润=每件的利润 数量”可得方程( 40)(10 + 740) = 2400，再求出 x
32、的值即可； （3）根据题意列出函数解析式 = ( 40)(10 + 740)，再利用二次函数的性质求解即可。 22 【答案】（1）解：(0，4)， = 45， A（4，0） ， 把 A（4，0） ，(0，4)代入一次函数 = + ， 得：0 = 4 +4 = 解得： = 1 = 4， 一次函数的关系式为： = + 4； 把(，5)代入 = + 4， 得：5 = + 4， 解得： = 1， (1，5)， 把(1，5)代入反比例函数 =， 得 = 5， 反比例函数的表达式为： =5 （2）解：反比例函数图象上的点 P 的纵坐标(0 5)， P（5，） ， 轴交直线 AB 于点 Q， Q（ 4，）
33、=5 + 4， =12 =12 (5 + 4) = 122+ 2 +52= 12( 2)2+92 0 5， 当 = 2时，取最大值，最大值为92， PDQ 面积的最大值为92 【解析】【分析】 （1）先求出 A（-4，0） ，利用待定系数法求出一次函数的关系式为 = + 4，把 C（a，5）代入解析式中求出 a 值即得点 C 坐标，再将点 C 坐标代入 =中求出 m 值即可； （2）由点 P 在反比例函数图象上，可得 P（5，） ，由于 PQx 轴可得 Q（ 4，） 从而求出 =5 + 4 ，继而得出=12 = 122+ 2 +52 ，根据二次函数的性质即可求解. 23 【答案】（1）解：抛物
34、线 = 2+ + 3过点 A(-1，0)，B(3，0)， + 3 = 09 + 3 +3 = 0， 解得 = 1 = 2， 抛物线的解析式为 = 2+ 2 + 3， 对称轴为直线 = 2= 22(1)= 1， 对称轴与 x 轴的交点 D 坐标为（1，0） （2）解：过点 B 作 BEOB 交 CP 于 E， 当 x=0 时，y=3， C（0，3） 又 B（3，0） ， BO=CO=3， 又BOC=90 ， CBO=45 ， CBE=45 ， CBO=CBE， 又DCB=ECB，CB=CB， BCDBCE， BD=BE， 又 B（3，0） ，D（1，0） ， BE=BD=2， 点 E 坐标为（3
35、，2） ， 设直线 CE 解析式为 y=mx+n， 则3 + = 2 = 3， 解得 = 13 = 3， 直线 CE 解析式为 = 13 + 2， 联立方程组 = 2+ 2 + 3 = 13 + 3， 解得 =73 =209， 点 P 坐标为（73，209） ； （3）解：以 CD 为边时，则 MC=CD B（3，0） ，C（0，3） ， 直线 BC 解析式为 = + 3， 设 M（0，0+ 3） (0 0)2+ (0+ 3 3)2= (0 1)2+ (3 0)2， 解得0= 5， M（5，3 5）或（5，5+ 3） ； 以 CD 为对角线时，则 MNCD， = 1， C（0，3） ，D（1，
36、0） 直线 CD 解析式为 = 3 + 3，CD 中点坐标为（12，32） ， =13， 又直线 MN 经过 CD 中点， 直线 MN 解析式为 =13 +43， 联立方程组 = + 3 =13 +43， 解得 =54 =74， M（54，74） 综上所述，当 M 坐标为（5，3 5）或（5，5 + 3）或（54，74）时，以 C，D，M，N 为顶点的四边形是菱形 【解析】【分析】 （1）根据待定系数法求出抛物线解析式，再求对称轴即得点 D 坐标； （2） 过点 B 作 BEOB 交 CP 于 E， 先求出点 E 坐标，再求出 直线 CE 解析式，然后联立抛物线解析式为方程组，解之即得点 P
37、坐标； （3）分两种情况： 以 CD 为边时，则 MC=CD，以 CD 为对角线时，则 MNCD，据此分别求解即可. 24 【答案】（1）解：将点(1，0)(3，0)代入 = 2+ + 得： 1 + = 09 + 3 + = 0， 解得： = 2 = 3， 所以抛物线解析式为 = 2+ 2 + 3； （2）解： = 2+ 2 + 3 = ( 1)2+ 4， (1，4)， 令 = 0，则 = 3， (0，3)， = 1， = 3， tan =13， (1，0)，(3，0)，(1，4)， = 32， = 2， = 25， 2= 2+ 2， 是直角三角形， = 90， tan =232=13， =
38、； （3）解：存在点，使得 = 90，且tan =12，理由如下： = 2+ 2 + 3 = ( 1)2+ 4 抛物线的对称轴为直线 = 1， 设直线的解析式为 = + ，得， 3 + = 0 = 3， 解得： = 1 = 3， 设直线 AD 的解析式为 = 1 + 1，可得， 1+ 1= 01+ 1= 4， 解得：1= 21= 2， = 2 + 2， 联立方程组 = 2 + 2 = + 3， 解得： =13 =83， (13，83)， 设(1，)， 如图 1，当 G 点在对称轴的右侧，F 点在 E 点下方时， 过点 F 作 MNy 轴，过 E 点作 EMx 轴交 MN 于点 M，过点 G 作
39、 GNMN 交于 N 点， = 90， + = 90， + = 90， = ， ， =， tan =12， =12 =12， =12 =83 ， = 1 13=23 =4312， =13， (7312， +13)， +13= (7312)2+ 2(7312) + 3， 1= 22 +23（舍去） ，2= 22+23， (1， 22 +23)； 如图 2，当 G 点对称轴的左侧，F 点在 E 点下方时， 过 E 点作 EK 垂直对称轴交于点 K，过点 F 作 FHy 轴，过点 G 作 GHHF 交于 H， = 90， + = 90， + = 90， = ， ， =， tan =12， =12，
40、=12， =12， 83 ，1 1323， 4312，13， (12 13， 13)， 13= (12 13)2+ 2(12 13) + 3， 解得：1= 463+23或2=463+23（舍去） ， (1， 463+23)； 如图 3，当 F 点在 E 点上方时，此时 G 点在对称轴的右侧， 过点 F 作 轴，过点 E 作 EPPQ 交于点 P，过点 G 作 GQPQ 交于点 Q， = 90， + = 90， + = 90， = ， ， =， tan =12， 12， = 2， = 2， =23， = 83， =13， =12 43， (12 13， 13)， 13= (12 13)2+ 2(
41、12 13) + 3， 解得：1=2+4632=2463， 83 4， (1，2+463)， 综上可得：点的坐标为(1， 22 +23)或(1，23+463)或(1， 463+23) 【解析】【分析】 （1）待定系数法求方程解析式 （2）判定 为直角三角形，分别求出 tanACO、tanDBC，可得俩个角相等 （3）利用直线 AD、BC 解析式求出点 E 坐标，设 F（1，t） ，分三种情况讨论： G 点在对称轴右侧，F 点在 E 点下方时；G 点在对称轴左侧，F 点在 E 点下方时；当 F 点在 E 点上方时， 此时 G 点在对称轴的右侧 25 【答案】（1）解：直线 = 2 + 10与 x
42、 轴，y 轴相交于 A，B 两点， A(5，0)，B(0，10)， 抛物线 = 2+ + (a0)过 O，A，C 三点，且点 C 的坐标是(8，4)， 25 + 5 + = 064 + 8 + = 4 = 0， 解得 =16 = 56 = 0， 抛物线的解析式为 =16256 2= 52+ 102，2= (8 5)2+ (4 0)2= 52，2= (8 0)2+ (10 4)2= 102， 2= 2+ 2， ABC 是直角三角形 （2）解：设直线 BC 的解析式为 y=kx+10， 8k+10=4， 解得 k=34， 直线 BC 的解析式为 = 34 + 10， 设 Q（m，34 + 10）
43、，过点 Q 作 QRy 轴，垂足为 R，过点 C 作 CNy 轴，垂足为 N，则 QRCN， NC=8，BC=10，BQ=t， 8=10 QR=45即 m=45， PO=2t，OB=10， BP=10-2t， =12(10 2) 45 = 452+ 4， 当 t=2= 42(45)=52时，面积有最大值 （3）解：抛物线的解析式为 =16256 对称轴为直线 x=2= 56216=52， 当 AB=BM 时，过点 M 作 MDy 轴，垂足为 D， 则 DM=52，BM=AB=52+ 102= 55， BD=(55)2 (52)2=5192， 当点 M 在点 B 的上方时， OD=BD+OB=1
44、0+5192=20+5192， 1(52，20+5192)； 当点 M 在点 B 的下方时， OD=OB-BD=10-5192=205192， 2(52，205192)； 当 AB=AM 时，设对称轴与 x 轴的交点为 E， 则 AE=52，BM=AB=52+ 102= 55， ME=(55)2 (52)2=5192， 当点 M 在 x 轴的上方时， ME=5192， 3(52，5192)； 当点 M 在 x 轴的下方时， ME=5192， 4(52， 5192)； 当 MA=MB 时，M 恰好落在对称轴上，三角形不存在； 综上所述，存在这样的点 M，使得ABM 是等腰三角形，且点 M 的坐标
45、分别为1(52，20+5192)或2(52，205192)或3(52，5192)或4(52， 5192) 【解析】【分析】 （1） 利用直线 = 2 + 10求出 A、B 坐标，再将 A、B、O 坐标代入抛物线解析式中，求出 a、b、c 的值即可求出抛物线解析式；根据两点间的距离公式分别求出 AB2、AC2、BC2，利用勾股定理逆定理进行判断即可； （2） 先求出直线 BC 的解析式为 = 34 + 10 ， 设 Q（m，34 + 10） ，过点 Q 作 QRy 轴，垂足为 R， 过点 C 作 CNy轴， 垂足为 N， 则 QRCN， 根据平行线分线段成比例可求出 QR=m=45 ， 由于 B
46、P=OB-PO=10-t， 利用三角形面积公式求出=12(10 2) 45 = 452+ 4， 根据二次函数的性质即可求解； （3） 分三种情况：当 AB=BM 时当 AB=AM 时当 MA=MB，据此分别求解即可. 26 【答案】（1）解：当 x0 时，y4， C （0，4） ， 当 y0 时，43x+40， x3， A （3，0） ， 对称轴为直线 x1， B（1，0） ， 设抛物线的表达式：ya（x1）（x+3） ， 43a， a43， 抛物线的表达式为：y43（x1）（x+3）43x283x+4； （2）解：如图 1， 作 DFAB 于 F，交 AC 于 E， D（m，43283m+4
47、） ，E（m，43m+4） ， DE43283m+4（43m+4）43m24m， SADC12 OA32（43m24m）2m26m， SABC12 12 4 36， S2m26m+62（m+32）2+334， 当 m32时，S最大334， 当 m32时，y43 (32 1) (32+ 3)5， D（32，5） ； （3）解：设 P（1，n） ， 以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是以 AC 为对角线的菱形， PAPC， 即：PA2PC2， （1+3）2+n21+（n4）2， n138， P（1，138） ， xP+xQxA+xC，yP+yQyA+yC xQ3（1）2，yQ4138198， Q（
48、2，198） 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法即可得解； （2）作 DFAB 于 F，交 AC 于 E，得出点 D、E 的坐标，推出 DE 的值，根据三角形面积公式求出的值，根据 SABC6，得出 S2m26m+62（m+32）2+334，当 m32时，S最大334，当 m32时，y5，由此得解； （3）设 P（1，n） ，由以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是以 AC 为对角线的菱形，得出 PA2PC2，得出 n 的值，从而得出 P 点坐标，根据 xP+xQxA+xC，yP+yQyA+yC，得出 xQ198，由此得解。 27 【答案】（1）解：当 x=0 时，y=332+233x+3=
49、3， 点 C 的坐标为（0，3） ； 当 y=0 时，有332+233x+3=0， 解得：1=1，2= 3， 点 B 的坐标为（3，0） ， 设直线 BC 的解析式为 = + ( 0)， 将 B（3，0） 、C（0，3）代入 = + ，得： 3 + = 0 =3，解得： = 33 =3， 直线 BC 的解析式为 y=33x+3； （2）解：如图 2 中，过点 P 作 轴于点 M，交直线 BC 于点 F，过点 E 作 轴于点 N， 设 P（a，332+233a+3） ，则 F（a，33a+3） ， PF=332+3a， SPBC=12 PF 3=322 +332a， 当 a=32时，SPBC最大
50、， P（32，534） ， 直线 BC 的解析式为 y=33x+3， = 30， 轴， EN=12BE， PE+12BE=PE+EN， 根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当 P，E，N 三点共线且垂直于 x 轴时，PE+12BE 值最小， PE+12BE=PE+EN=PN=534； （3）解：存在，Q（3，32） ， （3，235） 【解析】【解答】解： （3）D 是对称轴直线 x=1 与 x 轴的交点，G 是 BC 的中点， D（1，0） ，G（32，32） ， 直线 DG 解析式 y=3x3， 抛物线 y=332+233x+3=33( 1)2+433沿 x 轴正方向平移得到新抛物线， 经
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