1、 第第 3 章圆的基本性质解答题专练章圆的基本性质解答题专练 一解答题（共一解答题（共 23 小题）小题） 1如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 M，连接 CO，CB （1）若 AM2，BM8，求 CD 的长度； （2）若 CO 平分DCB，求证：CDCB 2如图，O 是ABD 的外接圆，AB 为直径，点 C 是弧 AD 的中点，连接 OC，BC 分别交 AD 于点 F，E （1）求证：ABD2C （2）若 AB10，BC8，求 BD 的长 3 （2021 春永嘉县校级期末）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，延长 CA交O 于点 E连接 ED 交
2、 AB 于点 F （1）求证：CDE 是等腰三角形 （2）当 CD：AC2：5时，求的值 4 （2022 秋瑞安市校级期中）如图，AB 为O 直径，CD 是弦，以 AC，CD 为边构造ACDE，点 E 在半径 OB 上 （1）已知D75求证：=4 （2）延长 CO 分别交 DE，O 于点 F，G求证：EBFG 5 （2021 秋温州期中）已知：如图，在O 中，ABDCDB 求证：ABCD 6 （2021 春鹿城区校级期中）如图，在 99 的方格纸中每个小方格的顶点称为格点请按要求画格点四边形 ABCD（端点在格点上） （1）请在图 1 中画ABCD，使点 P 是它的对称中心 （2）请在图 2
3、中画四边形 ABCD，使D90且 AP 平分BAD 7 （2021 秋鹿城区校级期中）如图，在O 中，弦 AC，BD 相交于点 E，连结 AD，已知 ACBD （1）求证：AD； （2）若 ACBD，O 的半径为 6，求的长 8 （2020 秋温州校级期末）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，交 BC 于点 D，交 AC 于点E （1）求证：= （2）若BAC50，求的度数 9 （2022 秋苍南县期中）如图，在ACD 中，DADC，点 B 是 AC 边上一点，以 AB 为直径的O 经过点 D，点 F 是直径 AB 上一点（不与 A、B 重合） ，延长 DF 交圆于点 E，连接
4、EB （1）求证：CE； （2）若= ， = 30， = 32，求 AD 的长 10 （2022 秋瑞安市期中）已知：如图，AB，DE 是O 的直径，C 是O 上一点，且 BECE 求证：= 11 （2021 秋平阳县期中）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上不同于 A，B 的两点，且 OC 平分ACD，延长 AC 与 DB 交于点 E，过点 C 作 CFOC 交 DE 于点 F （1）求证：AE （2）若 BF6，=45，求圆的半径 12 （2020 秋瑞安市期末）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上不同于 A，B 的两点，且 OC 平分ACD，延长 AC 与 DB 交于点 E，
5、过点 C 作 CFOC 交 DE 于点 F （1）求证：AE （2）若 BF5，=34，求O 的半径 13如图，EAD 是O 内接四边形 ABCD 的一个外角，且EAD75，DBDC （1）求BDC 的度数 （2）若O 的半径为 2，求的长 14 （2021 春永嘉县校级期末）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，过点 C 的切线与 AE 垂直，且交 AE 的延长线于点 D，连接 AC （1）求证：CECB； （2）若 AC25，CE= 5，求 AE 的长 15 （2022 秋瑞安市校级期中）如图，AB，CD 为O 直径，弦 DE，BF 分别交半径 AO，CO 于点 G，H，且FBAED
6、C （1）求证：DEBF （2）若= = ，且DOBEGO，求的度数 16 （2022 秋瑞安市期中）ABC 的顶点都在正方形网格格点上，如图所示 （1）将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90得到ABC（点 B 对应点 B） ，画出ABC （2）请找出过 B，C，C三点的圆的圆心，标明圆心 O 的位置 17 （2021 秋平阳县期中）如图，在 77 的方格纸中，ABC 的顶点均在格点上，请按要求画图 （1）在图 1 中找一格点 D，使四边形 ABCD 是中心对称图形，并补全该四边形 （2）在图 2 中，在 AC 上作点 E，使得 EBEC （仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角，保留作图痕迹
7、） 18 （2022 秋苍南县期中）如图所示，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，ABCD，连接 AD，BC，求证： （1）= ； （2）AECE 19 （2021 秋鹿城区校级期中）如图，AB 是O 的直径，OA43，弦 CDAB 于点 G，点 E 是上的一点，AE 与 CD 相交于点 F，且 ACCE （1）求证：ACFCAF （2）点 P 在上，连接 PC 交 AE 于 Q，当ACG30，且 DP3FQ 时，求 CP 的长 20 （2021 秋温州期中）如图，点 C 在弧 BD 上，其关于直线 BD 的对称点 C恰好落在直径 AB 上 （1）求证：ODBC （2）当 AB12，AD
8、5 时，求 BC 的长 21 （2020 秋温州期末）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的半圆 O 分别交 BC，AC 于点 D，E，连接 DE，OD （1）求证：= （2）当，的度数之比为 4：5 时，求四边形 ABDE 四个内角的度数 22如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，G 是上一点，AG，DC 的延长线交于点 F （1）求证：FGCAGD （2）当 DG 平分AGC，ADG45，AF= 6，求弦 DC 的长 23 （2021 秋温州期中）如图，C、D 两点在以 AB 为直径的半圆上，AD 平分BAC，连接 OD 交 BC 于点E （1）求证：ODAC （2）
9、若 AB10，BC8，连结 BD，求 BD 的长 参考答案解析参考答案解析 一解答题（共一解答题（共 23 小题）小题） 1如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 M，连接 CO，CB （1）若 AM2，BM8，求 CD 的长度； （2）若 CO 平分DCB，求证：CDCB 【解答】解： （1）AB 是O 的直径，弦 CDAB， CMDM， AM2，BM8， AB10， OAOC5， 在 RtOCM 中，OM2+CM2OC2， CM= 52 32=4， CD8； （2）过点 O 作 ONBC，垂足为 N， CO 平分DCB， OMON， CBCD 2如图，O 是ABD 的外接圆，AB 为
10、直径，点 C 是弧 AD 的中点，连接 OC，BC 分别交 AD 于点 F，E （1）求证：ABD2C （2）若 AB10，BC8，求 BD 的长 【解答】 （1）证明：C 是的中点， = ， ABCCBD，点 F 是 AD 的中点， OBOC， ABCC， ABCCBDC， ABDABC+CBD2C； （2）解：连接 AC， AB 为O 的直径， ACB90， AC= 2 2=6， C 是的中点， OCAD， OA2OF2AF2AC2CF2， 52OF262（5OF）2， OF1.4， 又O 是 AB 的中点，F 是 AD 的中点， OF 是ABD 的中位线， BD2OF2.8 3 （202
11、1 春永嘉县校级期末）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，延长 CA交O 于点 E连接 ED 交 AB 于点 F （1）求证：CDE 是等腰三角形 （2）当 CD：AC2：5时，求的值 【解答】解： （1）证明：ABAC， ABCC， = ， AEDABC， CAED， CDE 是等腰三角形； （2）如图，连接 AD，过点 D 作 DHAE 于点 H， 设 CD2x，AC= 5x， AB 是直径， ADC90， AD= 2 2=x， SADC=12ADDC=12ACDH， DH=255x， DECD， CHEH= 2 2=455x， AE2CHAC=855
12、5 =355x =3555=35 4 （2022 秋瑞安市校级期中）如图，AB 为O 直径，CD 是弦，以 AC，CD 为边构造ACDE，点 E 在半径 OB 上 （1）已知D75求证：=4 （2）延长 CO 分别交 DE，O 于点 F，G求证：EBFG 【解答】证明： （1）如图，连接 OD， 四边形 ACDE 是平行四边形，CDE75， ACDE75，ABCD， OAOC， ACOA75， AOC180757530， DCOAOC30， OCOD， CDODCO30， COD1803030120， COD4AOC， =4； （2）如图，延长 CO 分别交 DE，O 于点 F，G， ABCD
13、， OEFCDE75， EOFAOC30， OFE180307575， OEFOFE， OEOF， OBOG， OBOEOGOF， 即 EBFG 5 （2021 秋温州期中）已知：如图，在O 中，ABDCDB 求证：ABCD 【解答】证明：ABDCDB， = ， + = + ， = ， ABCD 6 （2021 春鹿城区校级期中）如图，在 99 的方格纸中每个小方格的顶点称为格点请按要求画格点四边形 ABCD（端点在格点上） （1）请在图 1 中画ABCD，使点 P 是它的对称中心 （2）请在图 2 中画四边形 ABCD，使D90且 AP 平分BAD 【解答】解： （1）如图，ABCD 即为所
14、求； （2）如图，四边形 ABCD 即为所求 7 （2021 秋鹿城区校级期中）如图，在O 中，弦 AC，BD 相交于点 E，连结 AD，已知 ACBD （1）求证：AD； （2）若 ACBD，O 的半径为 6，求的长 【解答】 （1）证明：ACBD， = ， = ，即= ， AD； （2）连接 OC、OD， ACBD，AD， A45， 由圆周角定理得：COD2A90， 的长=906180=3 8 （2020 秋温州校级期末）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，交 BC 于点 D，交 AC 于点E （1）求证：= （2）若BAC50，求的度数 【解答】 （1）证明：连接 AD，如
15、图 1 所示： AB 是O 的直径， ADB90， ADBC， ABAC， BADCAD， = （2）解：连接 OE，如图 2 所示： AB 是O 的直径， OA 是半径， OAOE， OEABAC50， AOE180505080， 的度数为 80 9 （2022 秋苍南县期中）如图，在ACD 中，DADC，点 B 是 AC 边上一点，以 AB 为直径的O 经过点 D，点 F 是直径 AB 上一点（不与 A、B 重合） ，延长 DF 交圆于点 E，连接 EB （1）求证：CE； （2）若= ， = 30， = 32，求 AD 的长 【解答】 （1）证明：DADC， AC， AE， CE （2）
16、解：作 FHAD 于 H，连接 OE， = ， OEAB， AOE90， ADF=12AOE45， FHAD， FHD90， DF32， HFHD3， AC30，FH3，AHF90， AH= 3FH33， ADAH+DH33 +3 10 （2022 秋瑞安市期中）已知：如图，AB，DE 是O 的直径，C 是O 上一点，且 BECE 求证：= 【解答】证明：圆心角BOE圆心角AOD， = ， BECE， = ， = 11 （2021 秋平阳县期中）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上不同于 A，B 的两点，且 OC 平分ACD，延长 AC 与 DB 交于点 E，过点 C 作 CFOC 交
17、DE 于点 F （1）求证：AE （2）若 BF6，=45，求圆的半径 【解答】 （1）证明：OAOC， AOCA， DA， DOCA， OC 平分ACD， OCAOCD， OCDD OCDE， EOCA， EA； （2）解：=45， 设 BD4x，OA5x， 由（1）得EACDE，OCDE BAE 和CDE 都为等腰三角形， CFOC， CFDE， EFDFBD+BF4x+6， BE4x+12， EA， ABBE，即 4x+1210 x， 解得 x2， 半径 OB5x10 12 （2020 秋瑞安市期末）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上不同于 A，B 的两点，且 OC 平分ACD，
18、延长 AC 与 DB 交于点 E，过点 C 作 CFOC 交 DE 于点 F （1）求证：AE （2）若 BF5，=34，求O 的半径 【解答】 （1）证明：由题意ACOAD OC 平分ACD， ACOOCD， OCDD OCDE， EACO， EA （2）解：=34， 设 BD3x，OB4x， 由（1）得EACDE，OCDE CFOC， CFDE， EFDF3x+5 BE3x+10， EA， ABBE，即 3x+108x， 解得 x2 半径 OB4x8 13如图，EAD 是O 内接四边形 ABCD 的一个外角，且EAD75，DBDC （1）求BDC 的度数 （2）若O 的半径为 2，求的长
19、【解答】解： （1）四边形 ABCD 是O 的内接四边形， DAB+C180， EAD+DAB180， CEAD， EAD75， C75， DBDC， DBCC75， BDC180CDBC30； （2）连接 OB、OC， BDC30， BOC2BDC60（圆周角定理） ， O 的半径为 2， 的长是602180=23 14 （2021 春永嘉县校级期末）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，过点 C 的切线与 AE 垂直，且交 AE 的延长线于点 D，连接 AC （1）求证：CECB； （2）若 AC25，CE= 5，求 AE 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC， CD 是O 的切线
20、， OCCD ADCD， OCAD， 13 又OAOC， 23， 12， CECB； （2）解：AB 为O 的直径， ACB90， AC25，CBCE= 5， = 2+ 2=(25)2+ (5)2= 5， ADCACB90，12， ADCACB， =， 即25=255=5， AD4，DC2， 在 RtDCE 中，DE= 2 2=(5)2 22= 1， AEADDE413 15 （2022 秋瑞安市校级期中）如图，AB，CD 为O 直径，弦 DE，BF 分别交半径 AO，CO 于点 G，H，且FBAEDC （1）求证：DEBF （2）若= = ，且DOBEGO，求的度数 【解答】 （1）证明：如
21、图，连接 AD，BD， AODBOC， = ， FBAEDC， = ， = ， 即= ， + = + ， 即= ， DEBF； （2）解：如图， OBOD， 12， DOB18021， EGOEDB+ABD3+1+23+21，DOBEGO， 180213+21， 318041， = = ， 32ADE， ADE=123， CD 为O 直径， + + =180， 2+ADE+390， 1+12（18041）+（18041）90， 51180， 136， DOB180362108， AOC108， 的度数为 108 16 （2022 秋瑞安市期中）ABC 的顶点都在正方形网格格点上，如图所示 （1
22、）将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90得到ABC（点 B 对应点 B） ，画出ABC （2）请找出过 B，C，C三点的圆的圆心，标明圆心 O 的位置 【解答】解： （1）如图，ABC即为所求 （2）如图，点 O 即为所求 17 （2021 秋平阳县期中）如图，在 77 的方格纸中，ABC 的顶点均在格点上，请按要求画图 （1）在图 1 中找一格点 D，使四边形 ABCD 是中心对称图形，并补全该四边形 （2）在图 2 中，在 AC 上作点 E，使得 EBEC （仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角，保留作图痕迹） 【解答】解： （1）如图，四边形 ABCD 即为所求 （2）如图，点 E 即
23、为所求 18 （2022 秋苍南县期中）如图所示，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，ABCD，连接 AD，BC，求证： （1）= ； （2）AECE 【解答】证明： （1）ABCD， = ， + = + ， = （2）= ， ADBC， ADECBE，AEDCEB， ADECBE（AAS） ， AEEC 19 （2021 秋鹿城区校级期中）如图，AB 是O 的直径，OA43，弦 CDAB 于点 G，点 E 是上的一点，AE 与 CD 相交于点 F，且 ACCE （1）求证：ACFCAF （2）点 P 在上，连接 PC 交 AE 于 Q，当ACG30，且 DP3FQ 时，求 CP 的长
24、【解答】 （1）证明：AB 是直径，ABCD， = ， ACCE， = = ， ACFCAF； （2）解：连接 CO，OD ABCD， AGC90， ACG30， CAG903060， OCOA， ACO 是等边三角形， ACOA43， AG=12AC23CG= 3AG6， CAFACF， AFCF2FG， CF=23CG4， = ， AOCAOD60， COD120， P=12COD60， CFQFAC+FCA60， CFQP， FCQPCD， CFQCPD， =13， CP12 20 （2021 秋温州期中）如图，点 C 在弧 BD 上，其关于直线 BD 的对称点 C恰好落在直径 AB 上
25、 （1）求证：ODBC （2）当 AB12，AD5 时，求 BC 的长 【解答】 （1）证明：由翻折的性质可知，CBDABD， ODOB， ABDODB， ODBCBD， ODBC； （2）解：连接 DC，过点 D 作 DHAB 于 H AB 是直径， ADB90， BD= 2 2= 122 52= 119， SADB=12ADDB=12ABDH， DH=511912， ABDCBD， = ， ADCD， DCDC， DADC， AHHC= 2 2=52 (511912)2=2512， BCABAC1225122=476， BCBC=476 21 （2020 秋温州期末）如图，在ABC 中，A
26、BAC，以 AB 为直径的半圆 O 分别交 BC，AC 于点 D，E，连接 DE，OD （1）求证：= （2）当，的度数之比为 4：5 时，求四边形 ABDE 四个内角的度数 【解答】 （1）证明：如图，连接 AD， AB 是直径， ADB90， ABAC， BADCAD， = （2）+ = 180，与的度数之比为 4：5， = 180 49= 80，= 180 59= 100， = ， = =12= 50， = + = 130， BAE=12=50，B=12=65， AED+B180，BDE+A180， AED115，BDE130， BAE50，B65，BDE130，AED115 22如图，
27、AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，G 是上一点，AG，DC 的延长线交于点 F （1）求证：FGCAGD （2）当 DG 平分AGC，ADG45，AF= 6，求弦 DC 的长 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 AC， AB 是O 的直径，弦 CDAB， = ， ADAC， ADCACD， ADCG 在O 上， CGFADC， AGDACD， FGCAGD； （2）解：如图 2，连接 BG，AC， AB 是O 的直径，弦 CDAB， DECE， DG 平分AGC， AGDCGD， FGCAGD， AGDCGDFGC， AGD+CGD+FGC180， CGFAGD60， ADCACD
28、60， ADC 是等边三角形， ABCD， CAEDAE30， ADG45， CDGCAG604515， EAF30+1545， RtAEF 中，AEEF， AF= 6， AEEF= 3， RtADE 中，DAE30， DE1， DC2DE2 23 （2021 秋温州期中）如图，C、D 两点在以 AB 为直径的半圆上，AD 平分BAC，连接 OD 交 BC 于点E （1）求证：ODAC （2）若 AB10，BC8，连结 BD，求 BD 的长 【解答】 （1）证明：AD 平分BAC， CADDAB， OAOD， DABADO， CADADO， ODAC； （2）解：设 AD 交 BC 于 M， AB 是O 的直径， CADB90， ODAC， DEM90， 由勾股定理得：AC= 2 2= 102 82=6， AOBO，ODAC， CEBE=12 8 =4， AC6， OE=12AC3， OD=12AB=12105， DE532， ODAC， DEMACM， =， 62=4， 解得：EM1，则 BM4+15， 在 RtDEM 中，由勾股定理得：DM= 2+ 2= 22+ 12= 5， 在 RtMDB 中，由勾股定理得：BD= 2 2=52 (5)2=25
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