1、2021-2022 学年北京市丰台区九年级学年北京市丰台区九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1下列是围绕 2022 年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 2如图，A，B，C 是O 上的点，如果BOC120，那么BAC 的度数是（ ） A30 B45 C60 D90 3抛物线 y（x4）2+1 的对称轴是（ ） Ax4 Bx1 Cx1 Dx4 4把一副普通扑克牌中 13 张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于 6 的概率为（ ） A
2、 B C D 5若关于 x 的一元二次方程（m1）x2+x+m210 有一个解为 x0，那么 m 的值是（ ） A1 B0 C1 D1 或1 6二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） Aa2b Bc0 Ca+b+c0 D4a2b+c0 7如图所示，边长为 1 的正方形网格中，O，A，B，C，D 是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ） A B2 C D22 8如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止若用 h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用 V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示 V 与 h 的函数
3、关系的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9如果点 A（3，2）与点 B 关于原点对称，那么点 B 的坐标是 10如图，把O 分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形 ABCDEF，如果O 的周长为 12，那么该正六边形的边长是 11如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为直径 AB 延长线上一点，且 ABDC，若A70，则CBE的度数为 12如图所示，ABC 绕点 P 顺时针旋转得到DEF，则旋转的角度是 13数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点 A，B，再作弦 A
4、B 的垂直平分线，垂足为 C，交于点 D，连接 CD，经测量 AB8cm，CD2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 cm 14已知抛物线 yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表： x 2 1 0 1 2 3 y 5 0 3 4 3 0 那么该抛物线的顶点坐标是 15小红利用计算机模拟“投针试验” ：在一个平面上画一组间距为 d0.73cm 的平行线，将一根长度为 l0.59cm 的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，如图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是 （结果保留小数点后两位） 16中国跳水队在第三
5、十二届夏季奥林匹克运动会上获得 7 金 5 银 12 枚奖牌的好成绩某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点 A 距离水面 10m，运动过程中的最高点 B 距池边 2.5m，入水点 C 距池边 4m，根据上述信息，可推断出点 B 距离水面 m 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，题，每小题每小题 5 分，第分，第 27，28 题，每小题题，每小题 5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17计算：（+1）+（）2+|
6、1| 18解方程：x22x30 19下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程 已知：点 A 在O 上 求作：直线 PA 和O 相切 作法：如图， 连接 AO； 以 A 为圆心，AO 长为半径作弧，与O 的一个交点为 B； 连接 BO； 以 B 为圆心，BO 长为半径作圆； 作B 的直径 OP； 作直线 PA 所以直线 PA 就是所求作的O 的切线 根据小亮设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明； 证明：在O 中，连接 BA， OAOB，AOAB， OBAB 点 A 在B 上 OP 是B 的直径， OAP90（ ） （
7、填推理的依据） OAAP 又点 A 在O 上， PA 是O 的切线（ ） （填推理的依据） 20已知关于 x 的一元二次方程 x23kx+2k20 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 k0，且该方程的两个实数根的差为 1，求 k 的值 21在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+mx+n 经过点 A（3，0） ，B（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线与 y 轴的交点为 C，求ABC 的面积 22小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏这个游戏的规则是： “剪刀”胜“布” ， “布”胜“石头” ，石头”胜“剪刀” ，手势相同不分胜负如果二人同时随机出手（分别出三种手势
8、中的一种手势）一次，那么小宇获胜的概率是多少？ 23 （6 分）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长 27m，宽 12m，矩形冰场的长与宽的比为 4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 24 （6 分）如图，AB 是O 的直径，PA，PC 是O 的切线，A，C 是切点，连接 AC，PO，交点为 D （1）求证：BACOPC； （2）延长 PO 交O 于点 E，连接 BE，CE若BEC30，PA8，求
9、AB 的长 25 （6 分）小朋在学习过程中遇到一个函数 y|x|（x3）2 下面是小朋对其探究的过程，请补充完整： （1）观察这个函数的解析式可知，x 的取值范围是全体实数，并且 y 有 值（填“最大”或“最小” ） ，这个值是 ； （2）进一步研究，当 x0 时，y 与 x 的几组对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 0 2 1 0 2 结合上表，画出当 x0 时，函数 y|x|（x3）2的图象； （3）结合（1） （2）的分析，解决问题： 若关于 x 的方程|x|（x3）2kx1 有一个实数根为 2，则该方程其它的实数根约为 （结果保留小数点后一位） 26 （6 分）在平面直角坐标系
10、 xOy 中，P（x1，y1） ，Q（x2，y2）是抛物线 yx22mx+m21 上任意两点 （1）求抛物线的顶点坐标（用含 m 的式子表示） ； （2）若 x1m2，x2m+2，比较 y1与 y2的大小，并说明理由； （3）若对于1x14，x24，都有 y1y2，直接写出 m 的取值范围 27 （7 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC90，D 是边 BC 上一点，作射线 AD，满足 0DAC45，在射线 AD 取一点 E，且 AEBC将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AF，连接BE，FE，连接 FC 并延长交 BE 于点 G （1）依题意补全图形； （2）求EGF 的度
11、数； （3）连接 GA，用等式表示线段 GA，GB，GC 之间的数量关系，并证明 28 （7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：若图形 M 和图形 N 有且只有一个公共点 P，则称点 P 是图形 M 和图形 N 的“关联点” 已知点 A（2，0） ，B（0，2） ，C（2，2） ，D（1，） （1）直线 l 经过点 A，B 的半径为 2，在点 A，C，D 中直线 l 和B 的“关联点”是 ； （2）G 为线段 OA 中点，Q 为线段 DG 上一点（不与点 D，G 重合） ，若Q 和OAD 有“关联点” ，求Q 半径 r 的取值范围； （3）T 的圆心为点 T（0，
12、t） （t0） ，半径为 t，直线 m 过点 A 且不与 x 轴重合若T 和直线 m 的“关联点”在直线 yx+b 上，请直接写出 b 的取值范围 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1下列是围绕 2022 年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D
13、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2如图，A，B，C 是O 上的点，如果BOC120，那么BAC 的度数是（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】根据圆周角定理即可解答 【解答】解：因为所对的圆心角是BOC，所对的圆周角是BAC， 所以：BACBOC12060， 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键 3抛物线 y（x4）2+1 的
14、对称轴是（ ） Ax4 Bx1 Cx1 Dx4 【分析】由抛物线的解析式，直接写出该抛物线的对称轴 【解答】解：抛物线 y（x4）2+1 该抛物线的对称轴为直线 x4， 故选：A 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是掌握抛物线解析式的顶点式 4把一副普通扑克牌中 13 张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于 6 的概率为（ ） A B C D 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数二者的比值就是其发生的概率的大小 【解答】解：共 13 种等可能的结果，小于 6 的有 5 种结果， 所以从中随机抽取一张，抽出的
15、牌上的数小于 6 的概率为， 故选：D 【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 5若关于 x 的一元二次方程（m1）x2+x+m210 有一个解为 x0，那么 m 的值是（ ） A1 B0 C1 D1 或1 【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x0 代入方程得到关于 m 的方程，解得 m1，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的 m 的值 【解答】解：把 x0 代入（m1）x2+x+m210 得 m210， 解得 m1， 而 m10， m1， m1 故选：A 【点评】本
16、题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根也考查了一元二次方程的定义 6二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） Aa2b Bc0 Ca+b+c0 D4a2b+c0 【分析】由抛物线的对称轴判断选项 A；结合函数图象判断选项 B；令 x1 判断选项 C；根据抛物线的对称性即可判断选项 D 【解答】解：A、对称轴是直线 x1， b2a，故选项 A 不符合题意； B、由函数图象知，抛物线交 y 的负半轴， c0，故选项 B
17、不符合题意； C、由图可知：当 x1 时，ya+b+c0，故选项 C 不符合题意； D、由图可知：对称轴是直线 x1，图象与 x 轴的一个交点为（4，0） ， 另一个交点为（2，0） ， 当 x2 时，y4a2b+c0，故选项 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征解题的关键理解函数图象与不等式之间的关系 7如图所示，边长为 1 的正方形网格中，O，A，B，C，D 是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ） A B2 C D22 【分析】根据图形得出AOC、OBC、OBD 都是等腰直角三角形，
18、根据勾股定理求出 OC，再分别求出扇形 COE，扇形 OFE，扇形 EOD 和OBD 的面积即可 【解答】解：ACAO2，CAO90， AOCACO45， 同理BCOCOB45，OBBCBD2， 由勾股定理得：OC2， 阴影部分的面积 S（S扇形COES扇形FOB）+（S扇形EODSOBD） + +2 2， 故选：C 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键 8如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止若用 h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用 V（单位：cm3）表示注入容器内的
19、水量，则表示 V 与 h 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据 V 与 h 不成一次函数关系，故图象没有直线部分排除 CD 选项，再根据越往上体积越小排除 A 即可 【解答】解：由题知，随高度的增加上底面越来越小，故 V 与 h 函数图象不会出现直线，排除 CD 选项， 随着高度的增加 h 越大体积变化越缓慢，故排除 A 选项， 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的知识，根据 V 与 h 的变化规律排除不合适的选项是解题的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9如果点 A（3，2）与点 B 关于原点对称，那么点 B 的坐
20、标是 （3，2） 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点（横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数）可得答案 【解答】解：点 A（3，2）与点 B 关于原点对称， 点 B 的坐标为（3，2） ， 故答案为： （3，2） 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数 10如图，把O 分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形 ABCDEF，如果O 的周长为 12，那么该正六边形的边长是 6 【分析】连接 OB、OC，得到OCB 是等边三角形，根据圆周长求得弧长，然后利用扇形弧长公式求得圆的半径即可求得正六边形的边长，难度不大
21、【解答】解：连接 OB、OC， 把O 分成相等的六段弧，O 的周长为 12， 2， 设 OBOCr， BOC60， 2， r6， BCOBOC6， 故答案为：6 【点评】考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是了解OBC 是等边三角形，难度不大 11如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为直径 AB 延长线上一点，且 ABDC，若A70，则CBE的度数为 110 【分析】首先利用平行线的性质求得D 的度数，然后利用圆内接四边形的性质求得答案即可 【解答】解：ABDC，A70， D180A18070110， 四边形 ABCD 内接于O， CBED110， 故答案为：110 【点评】此题主要考查了圆
22、内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理 12如图所示，ABC 绕点 P 顺时针旋转得到DEF，则旋转的角度是 90 【分析】由勾股定理的逆定理可求CPF90，即可求解 【解答】解：如图，连接 PC，PF，CF， PC，PF，FC， PC2+PF25+510FC2， CPF90， 旋转角为 90， 故答案为：90 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键 13数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点 A，B，再作弦 AB 的垂直平分线，垂足为 C，交于点 D，连接 CD，经
23、测量 AB8cm，CD2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 5 cm 【分析】 设这个齿轮内圈圆的圆心为 O， 半径为 Rcm， 连接 OA、 OC， 由垂径定理得 O、 C、 D 三点共线，则 OC（R2）cm，然后在 RtAOC 中，由勾股定理得出方程，解方程即可 【解答】解：设这个齿轮内圈圆的圆心为 O，半径为 Rcm，连接 OA、OC， 则 O、C、D 三点共线，OC（R2）cm， CD 是 AB 的垂直平分线，AB8cm， ACAB4（cm） ， 在 RtAOC 中，由勾股定理得：42+（R2）2R2， 解得：R5， 即这个齿轮内圈圆的半径为 5cm， 故答案为：5 【点评】本题考查了
24、垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键 14已知抛物线 yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表： x 2 1 0 1 2 3 y 5 0 3 4 3 0 那么该抛物线的顶点坐标是 （1，4） 【分析】根据抛物线的对称性求解 【解答】解：抛物线经过点（0，3） ， （2，3） ， 抛物线对称轴为直线 x1， 抛物线顶点坐标为（1，4） 故答案为： （1，4） 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，由抛物线的对称性求解 15小红利用计算机模拟“投针试验” ：在一个平面上画一组间距为 d0.73cm
25、 的平行线，将一根长度为 l0.59cm 的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，如图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是 0.51 （结果保留小数点后两位） 【分析】根据频率和概率的关系判断即可 【解答】解：在大量重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出针与直线相交的概率是 0.514， 故答案为：0.51 【点评】本题主要考查频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键 16中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得 7 金 5 银 12 枚奖牌的好成绩某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分
26、，如图所示，该运动员起点 A 距离水面 10m，运动过程中的最高点 B 距池边 2.5m，入水点 C 距池边 4m，根据上述信息，可推断出点 B 距离水面 11.25 m 【分析】首先建立直角坐标系，根据所给点的坐标求出解析式，可得点 B 的纵坐标 【解答】解：如图，以水面所在的直线为 x 轴，以跳台支柱所在的直线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意得：A（3，10） ，C（5，0） ，对称轴为直线 x3.5， 设解析式为 ya（x3.5）2+k， 所以， 解得 a5，k11.25， 所以 y5（x3.5）2+11.25， 所以 B（3.5，11.25） ，点 B 距离水面 11.25m 故答案
27、为：11.25 【点评】本题考查二次函数的应用，根据题意得出二次函数的解析式是解题关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 23-26 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 27，28 题，每小题题，每小题 5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17计算：（+1）+（）2+|1| 【分析】直接化简二次根式，再利用绝对值的性质以及二次根式加减运算法则计算得出答案 【解答】解：原式（2+1）+1 +1 2 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题
28、关键 18解方程：x22x30 【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答 【解答】解：原方程可以变形为（x3） （x+1）0 x30 或 x+10 x13，x21 【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数 19下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程 已知：点 A 在O 上 求作：直线 PA 和O 相切 作法：如图， 连接 AO； 以 A 为圆心，AO 长为半径作弧，与O 的一个交点为 B； 连接 BO； 以 B 为圆心，BO 长为半径作圆； 作B 的直径 OP； 作直线 PA 所以直线 PA 就是所求作
29、的O 的切线 根据小亮设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明； 证明：在O 中，连接 BA， OAOB，AOAB， OBAB 点 A 在B 上 OP 是B 的直径， OAP90（ 直径所对的圆周角是直角 ） （填推理的依据） OAAP 又点 A 在O 上， PA 是O 的切线（ 经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 ） （填推理的依据） 【分析】 （1）根据要求作出图形即可； （2）根据切线的判定定理证明即可 【解答】解： （1）如图，直线 PA 即为所求； （2）在O 中，连接 BA， OAOB，AOAB， OBAB 点 A 在
30、B 上 OP 是B 的直径， OAP90（直径所对的圆周角是直角） ， OAAP 又点 A 在O 上， PA 是O 的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线） 故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 【点评】 本题考查作图复杂作图， 圆的切线的判定等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 20已知关于 x 的一元二次方程 x23kx+2k20 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 k0，且该方程的两个实数根的差为 1，求 k 的值 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出（3k）2412k29k28k2k2，
31、结合偶次方的非负性可得出0，进而可证出：无论 k 为何实数，方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出 x1+x23k，x1x22k2，结合（x1x2）21，即可得出关于 k 的方程，解之即可得出结论 【解答】 （1）证明：（3k）2412k29k28k2k2， k20， 0， 无论 k 为何实数，方程总有两个实数根； （2）解：设 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x23kx+2k20 的两个实数根， x1+x23k，x1x22k2， （x1x2）21， x12+x222x1x2（x1+x2）24x1x21，即（3k）242k21， k21， 解得：k11，k21， k0， k
32、 的值为 1 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是： （1）牢记“当0 时，一元二次方程有两个实数根” ； （2）利用根与系数的关系结合（x1x2）21，找出关于 k 的方程 21在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+mx+n 经过点 A（3，0） ，B（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线与 y 轴的交点为 C，求ABC 的面积 【分析】 （1）把点 A（3，0） ，B（1，0）代入函数关系式，列出二元一次方程组即可解答； （2）以 AB 为底，以 OC 为高求ABC 的面积，进行计算即可 【解答】解： （1）把点 A（3，0） ，B（1，0）代
33、入 yx2+mx+n 中得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：yx2+2x3； （2）如图： 把 x0，代入 yx2+2x3 中得：y3， C（0，3） ， OC3， A（3，0） ，B（1，0） ， AB1（3）4， ABC 的面积ABOC 43 6， 答：ABC 的面积为 6 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键 22小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏这个游戏的规则是： “剪刀”胜“布” ， “布”胜“石头” ，石头”胜“剪刀” ，手势相同不分胜负如果二人同时随机出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那
34、么小宇获胜的概率是多少？ 【分析】列表可知，共有 9 种等可能的结果，小宇获胜的结果有 3 种，再由概率公式求解即可 【解答】解：列表如下： 共有 9 种等可能的结果，小宇获胜的结果有 3 种， 小宇获胜的概率为 【点评】本题考查了列表法求概率；通过列表法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 23 （6 分）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长 27m，宽 12m，矩形冰场的长与宽的比为 4：3，
35、如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 【分析】设预留的上、下通道的宽度是 x 米，则矩形冰场的宽为（122x）米，长为（122x）米，根据两个矩形冰场的面积之和是原空地面积的，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出预留的上、下通道的宽度，再将其代入272（122x）3 中即可求出预留的左、中、右通道的宽度 【解答】解：设预留的上、下通道的宽度是 x 米，则矩形冰场的宽为（122x）米，长为（122x）米， 依题意得：2（122x）（122x）2712，
36、整理得： （122x）281 解得：x1，x2 当 x时，122x12290，符合题意； 当 x时，122x12290，不符合题意，舍去 x， 左、中、右通道的宽度为272（122x）3272（122）31 答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为 1 米 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 24 （6 分）如图，AB 是O 的直径，PA，PC 是O 的切线，A，C 是切点，连接 AC，PO，交点为 D （1）求证：BACOPC； （2）延长 PO 交O 于点 E，连接 BE，CE若BEC30，PA8，求 AB 的长 【分析】 （
37、1）由切线长定理得出OPCAPO，PAPC，OAPA，根据直角三角形的性质可得出结论； （2）由直角三角形的性质求出 AD4，解直角三角形可求出答案 【解答】 （1）证明：PA，PC 是O 的切线， OPCAPO，PAPC，OAPA， PDAC，BAC+DAP90， DAP+DPA90， BACDPA， BACOPC； （2）解：如图， BEC30， BAC30， DAP90BAC60， PA8，ADP90， ADAP4， 在 RtAOD 中，cosOAD， ， AO， AB 【点评】本题考查了切线性质，解直角三角形，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键 25 （6 分
38、）小朋在学习过程中遇到一个函数 y|x|（x3）2 下面是小朋对其探究的过程，请补充完整： （1）观察这个函数的解析式可知，x 的取值范围是全体实数，并且 y 有 最小 值（填“最大”或“最小” ） ，这个值是 0 ； （2）进一步研究，当 x0 时，y 与 x 的几组对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 0 2 1 0 2 结合上表，画出当 x0 时，函数 y|x|（x3）2的图象； （3）结合（1） （2）的分析，解决问题： 若关于 x 的方程|x|（x3）2kx1 有一个实数根为 2，则该方程其它的实数根约为 4.2 （结果保留小数点后一位） 【分析】 （1）根据绝对值和偶次方的非负
39、性可得结论； （2）描点，连线可得； （3）先把 x2 代入方程，求出 k 的值，再根据图象解方程即可 【解答】解： （1）|x|0， （x3）20， y|x|（x3）20 y|x|（x3）2有最小值，且最小值为 0； 故答案为：最小值；0 （2）在坐标系中线先描点，再划线，如下图所示： （3）把 x2 代入|x|（x3）2kx1 中，有|2|（23）22k1，解得 k1， 在图中画出函数 yx1，如下图所示： 从图象可看，其他的实数根约为 4.2 故答案为：4.2 【点评】本题考查函数的综合应用，涉及数形结合思想等知识 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，P（x1，y1） ，Q（x
40、2，y2）是抛物线 yx22mx+m21 上任意两点 （1）求抛物线的顶点坐标（用含 m 的式子表示） ； （2）若 x1m2，x2m+2，比较 y1与 y2的大小，并说明理由； （3）若对于1x14，x24，都有 y1y2，直接写出 m 的取值范围 【分析】 （1）将二次函数解析式化为顶点式求解 （2）分别将 x1m2，x2m+2 代入解析式求解 （3）求出点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m4，y2） ，根据抛物线开口向上及 y1y2求解 【解答】解： （1）yx22mx+m21（xm）21， 抛物线顶点坐标为（m，1） （2）将 xm2 代入 y（xm）21 得 y2213， 将 xm
41、+2 代入 y（xm）21 得 y2213， y1y2 （3）抛物线对称轴为直线 xm， 点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m4，y2） ， 抛物线开口向上，y1y2， 2m4x14， 2m41， 解得 m 【点评】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系 27 （7 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC90，D 是边 BC 上一点，作射线 AD，满足 0DAC45，在射线 AD 取一点 E，且 AEBC将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AF，连接BE，FE，连接 FC 并延长交 BE 于点 G （1）依题意补全图形； （2）求EGF
42、的度数； （3）连接 GA，用等式表示线段 GA，GB，GC 之间的数量关系，并证明 【分析】 （1）依照题意画出图形； （2）由旋转的性质可得 AEAF，EAF90，由“SAS”可证BAECAF，可得AFCAEB，由余角的性质可求EGF90； （3）延长 GB 至 H，使 CGBH，由“SAS”可证ACGABH，可得 AGAH，CAGBAH，可证HAG 是等腰直角三角形，可得结论 【解答】解： （1）如图所示： （2）设 AE 与 GF 的交点为 O， 线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AF， AEAF，EAF90， EAFBAC90， BAECAF， 又ABAC， BAECA
43、F（SAS） ， AFCAEB， AFC+AOF90， AEB+EOG90， EGF90； （3）BG+CGAG，理由如下： 如图，延长 GB 至 H，使 CGBH，连接 AH， BACEGF90， ABG+ACG180， ABG+ABH180， ABHACG， 又ABAC，CGBH， ACGABH（SAS） ， AGAH，CAGBAH， CAG+BAG90， BAH+BAG90， GAH90， HAG 是等腰直角三角形， HGAG， BG+CGAG 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键 28 （
44、7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：若图形 M 和图形 N 有且只有一个公共点 P，则称点 P 是图形 M 和图形 N 的“关联点” 已知点 A（2，0） ，B（0，2） ，C（2，2） ，D（1，） （1）直线 l 经过点 A，B 的半径为 2，在点 A，C，D 中直线 l 和B 的“关联点”是 点 C ； （2）G 为线段 OA 中点，Q 为线段 DG 上一点（不与点 D，G 重合） ，若Q 和OAD 有“关联点” ，求Q 半径 r 的取值范围； （3）T 的圆心为点 T（0，t） （t0） ，半径为 t，直线 m 过点 A 且不与 x 轴重合若T 和直线
45、m 的“关联点”在直线 yx+b 上，请直接写出 b 的取值范围 【分析】 （1）利用“关联点”的定义进行判断即可； （2）由题意判定出AOD 为等边三角形，过点 O 作 OFAD 于点 F，交 DG 于点 E，依据“关联点”的定义判定出圆心 Q 的位置，利用 DEDQDG 或 0QGEG 即可得出结论； （3）由题意判定出T 和直线 m 的“关联点”G 的轨迹是以 OH4 为直径的半圆（O，H 除外） ，根据题意求得直线 yx+b 的两个临界值即可得出结论 【解答】解： （1）A（2，0） ，B（0，2） ，C（2，2） ， ACBC，BC2， 点 B 到 AC 的距离为 2 B 的半径为
46、2， AC 是B 的切线 直线 l 与B 有且只有一个公共点 C， 直线 AD 与B 相交，而过点 A 的直线有无数条， 在点 A，C，D 中直线 l 和B 的“关联点”是点 C 故答案为：点 C； （2）由题意画出图形如下，过点 O 作 OFAD 于点 F，交 DG 于点 E， G 为线段 OA 中点，A（2，0） ， G（1，0） OG1 D（1，） ， DG，DGOA DG 为 OA 的垂直平分线 DODA tanDOG， DOG60 AOD 为等边三角形 OFAD， DFAF， OF 是 AD 的垂直平分线 点 E 是AOD 的外心 EOEAED Q 为线段 DG 上一点（不与点 D，
47、G 重合） ，Q 和OAD 有“关联点” ， 点 Q 在线段 GE 上（Q 与 E，G 不重合） ，Q 半径 rQD 或Q 半径 rQG OF 平分DOA， FOADOA30 tanFOA， GE DEDGEG， 由题意：DEDQDG 或 0QGEG， r或 0r Q 半径 r 的取值范围为：r或 0r； （3）设直线 m 与T 相切于点 G，如图， 则点 G 为直线 m 与T 的“关联点” TOAO，TOt，T 的半径为 t， AO 是T 的切线 由切线长定理可得：AGAO2 T 和直线 m 的“关联点”G 的轨迹是：以点 A 为圆心，AO2 为半径的半圆（与 x 轴的交点 O，H除外） ，
48、 即点 G 的轨迹是以 OH4 为直径的半圆（O，H 除外） 由题意：H（4，0） T 和直线 m 的“关联点”在直线 yx+b 上， 当直线经过点 H 时，4+b0， 解得：b4 设直线 yx+b 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N， 则 M（b，0） ，N（0，b） OM|b|b|ON|b| OMON NMOMNO45 T 和直线 m 的“关联点”在直线 yx+b 上， 当直线 l：yx+b 与以 OH4 为直径的半圆相切时，b 取得最大值， 设切点为 G，此时 AGl 于点 G， NMO45， MAGGMA45 MGAG2 MA2 OMAMOA22 ONOM22， b 的取值范围为：4b22 【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，圆的切线的判定与性质，点的坐标与图形，等边三角形的判定与性质，点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，用点的坐标表示出相应线段的长度，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键
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