1、第二十五章概率初步第二十五章概率初步 一、单选题一、单选题 1下列事件为必然事件的是（ ） A打开电视，正在播放新闻 B买一张电影票，座位号是奇数号 C任意画一个三角形，其内角和是 180 D掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 2以下事件中，必然发生的是（ ） A通常情况下，水加热到 100沸腾 B昨天考试小明得满分 C打开电视机，正在播放体育节目 D掷一次骰子，向上一面是 5 点 3下列说法正确的是（ ） A“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件 B若某篮球运动员投篮投中的概率为 0.5，则他投 10 次一定可投中 5 次 C投掷一枚硬币正面朝上是随机事件 D明天太阳从东方升起是随机事件 4
2、以下事件为必然事件的是（ ） A掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是 0 B半径为 2 的圆的周长是4 C二次函数的图象必过原点 D多边形的内角和是360 5掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于 2 且小于 5 的概率是（ ） A16 B12 C13 D34 6用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为 0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币 10 次，下列说法正确的是（ ） A每两次必有 1 次正面向上 B可能有 5 次正面向上 C必有 5 次正面向上 D不可能有 10 次正面向上 7在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放
3、回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到白球的概率是（ ） A12 B34 C1 D14 8以下说法合理的是（ ） A小明做了 3 次掷图钉的实验，发现 2 次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23 2 B某彩票的中奖概率是 5%，那么买 100 张彩票一定有 5 张中奖 C某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12 D小明做了 3 次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2 次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是12 9在一个不透明的盒子中装有 a 个除颜色外完全相同的球，这 a 个球中只有 4 个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1 个
4、球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 20%左右，则 a 的值大约为( ) A16 B20 C24 D28 二、填空题二、填空题 10在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入 3 个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同） ，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85 左右，则袋中红球约有_个 11随着信息化时代的到来，微信支付、支付宝支付、QQ 红包支付、银行卡支付等各种便捷支付已经成为我们生活中的一部分，某学校某宿舍的 5 名同学，有 3 人使用微信支付，2 人使
5、用支付宝支付，问从这5 人中随机抽出两人，使用同一种支付方式的概率是_ 12从 2021 年起，湖南普通高校招生考试实行“3+1+2”模式：“3”是指语文，数学，外语 3 科为必选科目，“1”是指在物理，历史 2 科中任选 1 科，“2”是指在化学，生物，思想政治，地理 4 科中任选 2 科若小玲在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是_ 13“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469 等） 任取一个两位数，是“上升数”的概率是_ 14 （2022 湖南株洲 九年级期末）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”、“2”，除数字
6、外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是_ 三、解答题三、解答题 15小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为 14 的四个球（除编号外都相同） ，从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字若两次数字之和大于 5，则小颖胜，否则小丽胜这个游戏对双方公平吗？请说明理由 16父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同 （1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率； （2）若给爸爸再增加一
7、个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大？请说明理由 17如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形) （1）求事件“转动一次，得到的数恰好是1”发生的概率； （2）写出此情境下一个不可能发生的事件； （3）用树状图或列表法，求事件“转动两次，第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等”发生的概率 18甲、乙两名同学玩抽纸牌比大小的游戏，规则是：“甲将同一副牌中正面分别标有数字 1，3，6 的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次
8、只抽一张，记下数字；乙将同一副牌中正面分别标有数字 2，3，4 的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；若甲同学抽得的数字比乙同学抽得的数字大，甲获胜，反之乙获胜，若数字相同，视为平局” （1）请用画树状图或列表的方法计算出平局的概率； （2）说明这个规则对甲、乙双方是否公平 19在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片 2 张，黄色卡片 1 张，现从中任意抽出一张是红色卡片的概率为12 (1)试求箱子里蓝色卡片的张数； (2)第一次随机抽取一张卡片（不放回） ，第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽
9、到的都是红色卡片的概率 20小利参加某网店的“翻牌抽奖”活动，4 张牌分别对应价值 5，10，20，50（单位：元）的 4 件奖品 (1)如果随机翻 1 张牌，那么抽中 50 元奖品的概率为 (2)如果随机翻 2 张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，请用列表或画树状图的方法求出小强所获奖品总值不低于 30 元的概率为多少？ 4 参考答案参考答案 1C 【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件 解：A、打开电视，正在播放新闻，是随机事件，故 A 错误； B、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，故 B 错误； C、任意画一个三角形，其内角和是 180 ，是必然事件，
10、故 C 正确； D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故 D 错误； 故选：C 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 2A 【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可 A、通常情况下，水加热到 100沸腾是必然发生的，正确； B、昨天考试小明得满分是随机事件，错误； C、打开电视机，正在播放体育节目是随机事件，错误； D、掷一次骰子，向上一面是 5 点是随机事件，错误； 故选 A 本题考查
11、的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 3C 【解析】根据随机事件、必然事件的概念和事件发生的可能性大小进行判断即可 A：“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件， 说法错误； B：已知某篮球运动员投篮投中的概率为 0.5，则他投 10 次一定可投中 5 次，说法错误； C：投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，说法正确； D：明天太阳从东方升起是必然事件，说法错误； 故选：C 本题主要考查必然事件、随机事件概念，解题的关键是区分必然事件和随机事件 4B
12、 【解析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 5 A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是 0，是不可能事件，不符合题意， B. 半径为 2 的圆的周长是4，是必然事件，符合题意 C. 二次函数的图象必过原点，是随机事件，不符合题意 D. 多边形的内角和是360，当多边形为四边形时成立，是随机事件，不符合题意 故选 B 本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的
13、关键 5C 【解析】根据骰子各面上的数字得到向上一面的点数可能是 3 或 4，利用概率公式计算即可 解：一枚质地均匀的骰子共有六个面，点数分别为 1,2,3,4,5,6， 点数大于 2 且小于 5 的有 3 或 4， 向上一面的点数大于 2 且小于 5 的概率是26=13， 故选：C 此题考查了求简单事件的概率，正确掌握概率的计算公式是解题的关键 6B 【解析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可 解：抛掷硬币“正面朝上”的概率为 0.5， 那么掷一枚质地均匀的硬币 10 次，可能有 5 次正面向上， 故选：B 本题主要考查了概率的意义和应用，解题
14、的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现 7D 【解析】根据题意，列出表格，可得 4 种等可能结果，其中两次都摸到白球的有 1 种，再根据概率公式计算，即可求解 解：根据题意，列出表格，如下： 黑 白 黑 黑黑 白黑 白 黑白 白白 一共得到 4 种等可能结果，其中两次都摸到白球的有 1 种， 两次都摸到白球的概率是14 故选：D 本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键 6 8D 【解析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题 解：小明做了 3 次掷图钉的实验，发现 2 次钉尖朝上，由此他说
15、钉尖朝上的概率是23是错误的，3 次试验不能总结出概率，故选项 A错误， 某彩票的中奖概率是 5%，那么买 100 张彩票可能有 5 张中奖，但不一定有 5 张中奖，故选项 B 错误， 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项 C错误， 小明做了 3 次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2 次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是12，故选项 D正确， 故选 D 本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确 9B 【解析】在同样
16、条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解 根据题意知4a=20%， 解得 a=20， 经检验：a=20 是原分式方程的解， 故选 B 本题考查利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率关键是根据红球的频率得到相应的等量关系 1017 【解析】根据口袋中有 3 个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可 解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85 左右，口袋中有 3 个黑球， 假设有 x 个红球， 3xx0.85， 解得：x17， 经检验 x17 是分式方程的解， 口袋中有红球约有 17 个 故答案
17、为：17 此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键 7 1125 解：画树状图为： （用 W表示使用微信支付，Z表示使用支付宝支付） 共有 20 种等可能的结果，其中使用同一种支付方式的结果数为 8， 所以使用同一种支付方式的概率为82025 故答案为：25 本题考查用列表法或树状图法求概率，解答关键是根据题意正确画出树状图或正确列表，从而解答问题 1213 【解析】在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，可得选择生物的概率 解：在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的
18、概率为13； 故答案为：13 考查了概率公式的知识，解题的关键是了解如何利用概率公式解答，难度较小 130.4#25 【解析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可 解：两位数一共有 99-10+1=90 个， 上升数为： 12，13，14，15，16，17，18，19， 23，24，25，26，27，28，29， 34，35，36，37，38，39， 45，46，47，48，49， 56，57，58，59， 67，68，69， 78，79， 89， 共 8+7+6+5+4+3+2+1=36（个） 概率为 36 90=0.4 8 故答案为：0.4 1412 【解析】首先根据题意列出表格，然
19、后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案 解：列表如下： 1 2 1 2 3 2 3 4 由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果， 所以两次记录的数字之和为3的概率为2142 故答案为：12 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 15不公平；理由见解析 【解析】根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于 5 和两次数字之和不大于 5 的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果不概率相等，则游戏不公平； 解：根据题意
20、，画树状图如下： P（两次数字之和大于 5）63168 ，P（两次数字之和不大于 5）105168= ， 3858， 游戏不公平； 本题考查了列树状图求概率，以及运用概率判断事情的公平性，解题的关键是数字之和大于 5 的概率是多少 16 （1）16； （2）会增大，理由见解析 9 【解析】 （1）首先分别用 A，B，C 表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2） 首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式
21、即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大 （1）分别用 A，B，C 表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆， 画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有 2 种情况， 爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为：21126； （2）会增大， 理由：分别用 A，B，C 表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得： 共有 20 种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有 6 种情况， 爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为：63120106； 给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前
22、两个汤圆都是花生的可能性会增大 考点：列表法与树状图法 17 （1）13； （2）事件“转动一次，得到的数恰好是2”或事件“转动两次，第一次与第二次得到的两数之和为3”； （3）见解析，59 【解析】 （1）转动一次，得到的数共有三种可能，即可得到答案； （2）根据题意，找概率为 0 的事件，即可得到答案； （3）根据题意画树状图即可得到答案； 解： （1）转动一次，得到的数共有三种可能，其中为1的有一种，(-1)13P所指的数为； 10 （2）答案不唯一，如：事件“转动一次，得到的数恰好是2”或事件“转动两次，第一次与第二次得到的两数之和为3”； （3）画树状图如下： 共有 9 种可能，其中
23、两次绝对值相等的有 5 种， ()59P所指两数的绝对值相等； 本题主要考查了列表法与树状图法，准确计算是解题的关键 18 （1）19； （2）公平. 【解析】 （1）先列表展示所有 9 种等可能的结果数，再找出数字相同的结果数，然后根据概率公式计算； （2）分别计算出甲和乙获胜的概率，然后比较概率大小后判断游戏的公平性 解： （1）列表如下： 甲/乙 2 3 4 1 （1，2）乙胜 （1，3）乙胜 （1，4）乙胜 3 （3，2）甲胜 （3，3）平局 （3，4）乙胜 6 （6，2）甲胜 （6，3）甲胜 （6，4）甲胜 由列表可知，可能出现的结果有 9 个，平局的结果有 1 个， 所以 P（平局
24、）=19 （2）甲获胜的概率=49，乙获胜的概率=49， 所以两方获胜的概率相等，游戏规则对双方是公平的 19(1)蓝色卡片有 1 张 (2)16 【解析】 （1）设箱子里蓝色卡片有 x 张，根据概率的定义和任意抽出一张是红色卡片的概率为12得到21212x ，然后解方程得到 x=1； （2）先画出树状图展示所有 12 种等可能的结果，其中两次抽到的都是红色卡片占 2 种，根据概率的概念 11 得到 P（两次抽到的都是红色卡片）=21126 （1）解：设蓝色卡片有 x 张，则21212x ， 解得1x 答：蓝色卡片有 1 张 （2）解画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，两次抽到的都是红
25、色卡片占 2 种， P（都是红色）21126 答：两次抽到都是红色的概率是16 本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数 n，再找出其中某一事件所出现的可能数 m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率=mn 20(1)14 (2)图见解析，23 【解析】 （1）根据概率公式计算可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，再从中确定所获奖品总值不低于 30 元的结果数，利用概率公式计算可得 （1）因为在价值为 5，10，20，50 元的 4 件奖品中，价值为 50 元的奖品只有 1 张，所以抽中 50 元奖品的概率为14，故答案为：14； （2）画树状图如下：由树状图可知共有 12 种等可能结果，其中所获奖品总值不低于 30 元的有 8 种，所以所获奖品总值不低于 30 元的概率为82123 此题考查了概率公式和树状图法求概率问题，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图
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