1、第二十八章 锐角三角函数一、单选题1在ABC中，若锐角A、B满足，则对ABC的形状描述最确切的是（）A直角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形2如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A5米B米C米D米3在中，、的对边分别是a、b、c当已知和a时，求c，应选择的关系式是（）ABCD4下列三角函数的值是的是（）ABCD5在中，则为（）ABCD6如图，在ABC中，过点C作，垂足为点D，过D作交AC于点E，若，则的值为（）ABCD7已知为锐角，且，则的度数为（）A30B45C60D908以半径为1的圆的内接正三角形、正方
2、形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（）A不能构成三角形B这个三角形是等边三角形C这个三角形是直角三角形D这个三角形是等腰三角形9如图，在ABC中，点D是CB延长线上的一点，且，则tanDAC的值为（）AB2CD310（2022湖南岳阳九年级期末）如图，在RtABC中，C90，A30，c10，则下列不正确的是()AB60Ba5Cb5DtanB二、填空题11如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABO的顶点A、点B、点O均落在格点上，则OAB的正切值为 _12_13如图，已知为斜边上的高，且，那么等于_cm14如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝为，则迎水坡面的长度是_15如图，已知梯
3、形护坡坝AB的坡度为i=1:4，坡高BC=2m，则斜坡AB的长为_m三、解答题16计算(1)；(2)17（2022湖南岳阳九年级期末）计算：18计算：19计算与解方程：(1)计算：(2)解方程：20计算：21如图，抛物线y与x轴交于点A、B，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO3AO3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BCCD(1)求b、c的值；(2)求直线BD的直线解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上当ABD与BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标22如图，两城市相距，现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段），经测量，森林保
4、护中心在城市的北偏东30和北偏西45的方向上，已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？（参考数据：，）23如图，在RtABC中，AB10cm，如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，已知点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0t5）(1)求AC，BC的长；(2)当t为何值时，APQ的面积为ABC面积的；(3)当t为何值时，APQ与ABC相似24如图，零陵区某校初三某数学兴趣小组的同学欲测量回龙塔AD的高度，他们先在B处测得古塔顶端点D的仰角为45
5、，再沿着AB的方向后退28米至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30求该古塔AD的高度（精确到1m参考数据：）25如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东方向，然后他由B地向北偏东方向骑行了到达C地（1）求A地与电视塔P的距离；（2）求C地与电视塔P的距离26地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题，如图是龙泉某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，ABBD，BAD18，C在BD上，BC0.5m根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入小刚认
6、为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度小刚和小亮谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin180.31，cos180.95，tan180.325）27（2022湖南张家界九年级期末）如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45，在C、B之间选择一点D（C、D、B三点共线），测得旗杆顶部A的仰角为75，且CD8m（1）求点D到CA的距离；（2）求旗杆AB的高（注：结果保留根号）参考答案1C【解析】先根据非负数的性质得到A，B的正弦值，再根据特殊三角函数值判定A、B的度数，即可得到结论；解：，s
7、inA-=0，sinB-=0，sinA= ，sinB=，A=45，B=45，C=180-45-45=90，ABC为等腰直角三角形，故选：C本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值，熟记相关三角函数值是解题的关键2B【解析】作BEAC，解直角三角形即可解：作BEAC，垂足为E， BE平行于地面，ABE，BE5米，AB故选B本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形3A【解析】由在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别是a、b、c则sinA=，由此即可得到答案解：在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别是a、b、csinA=，c=，故选A本题
8、主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解4A【解析】根据特殊角的三角函数值解答A、，符合题意；B、，不符合题意；C、，不符合题意；D、，不符合题意；故选A本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键5C【解析】作出图形，可得sinA=，继而可求得A的度数解：如图，在中，由图可得：sinA=， 则A=60故选C本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据题意做出图形，利用特殊角的三角函数值求解6A【解析】利用等腰三角形的三线合一性质证出AD=BD=AB，再利用平行线分线段成比例证出AE=AC，然后再利用平行线的性质证出EDC=DCB，最后在RtB
9、DC中即可解答解：AC=BC，CDAB，AD=BD=AB，DEBC，=，AC=2AE=20，AC=BC=20，DEBC，EDC=DCB，在RtBDC中，sinDCB=，sinEDC=，故选：A本题考查等腰三角形的性质，正弦的定义，平行线的性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键7B【解析】由为锐角，且，直接根据特殊角的三角函数值进行解答，即可得出结论解：为锐角，且，又，故选：B本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记8C【解析】分别计算
10、出正三角形、正方形、正六边形的边心距,后根据勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，三角形构成的条件，判断即可如图，正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为1的圆，边心距分别为OC，OE，OG，OA=1，AOC=60，AOE=45，AOG=30，OC=OAcos60=，OE= OAcos45=，OG= OAcos30=，这个三角形是直角三角形，故选C本题考查了正多边形与圆，特殊角的三角函数，勾股定理的逆定理，熟练掌握正多边形的计算是解题的关键9A【解析】通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值解：在中，故选：A本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念
11、解直角三角形问题是解决本题的关键10D【解析】在RtABC中，解直角三角形，先求B，再求a, tanB=.在RtABC中，因为C90，A30，c10，所以，B90-A90-30=60,a=c=5,b=cosAc=5, tanB= .所以，选项A,B,C正确，选项D错误.故选D本题考核知识点：解直角三角形. 解题关键点：熟记直角三角形性质.11#0.5【解析】过O作OCAB于C，则OC=2，AC=4，由由锐角三角函数定义即可得出答案解：过O作OCAB于C，如图所示：则OC=2，AC=4，tanOAB=，故答案为：本题考查了解直角三角形，熟练掌握tanOAB=是解题的关键12#0.5【解析】根据特
12、殊角的三角函数值计算解：原式=，=，=故答案为：本题考查特殊角三角函数值的计算，解决本题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值13【解析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据计算求解即可解：ADBC，在中，由勾股定理得，CAB=90，；故答案为：本题考查了解直角三角形余弦，勾股定理等知识熟练掌握余弦的求解是解题的关键14#80米【解析】根据题意可得，把，代入即可算出的长，再利用勾股定理算出的长即可解：堤坝横断面迎水坡的坡比是， ， ，故答案为：本题考查了解直角三角形的应用坡度问题，解题的关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l之比15解：梯形护坡坝AB的坡度为i=1：4，坡高BC=2m，AC=8
13、m，根据勾股定理，得AB=m故答案为：16(1)1(2)y13，y28【解析】（1）代入特殊角的三角函数值，进行二次根式的混合运算即可；（2）整理后，用因式分解法求解即可（1）解：3131（2）解：，整理得，y25y240，因式分解得，（y3）（y8）0，解得y13，y28此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、一元二次方程的解法、二次根式的混合运算等知识，熟记特殊角的三角函数值和一元二次方程的解法是解题的关键17【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂和开算术平方根，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可解：原式本题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运
14、算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行特别注意：任何非零数的零次幂都等于1、一个非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数184【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案解：=此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键19(1)(2)，【解析】（1）先计算零指数幂，乘方，绝对值，正切值，然后进行加减运算即可；（2）先因式分解，然后求解即可(1)解：；(2)解：或解得：，方程的解为，
15、本题考查了零指数幂，乘方，绝对值，正切值，解一元二次方程解题的关键在于正确的计算20【解析】将特殊角的三角函数值代入运算即可解：原式本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值21(1)(2)y=(3)Q1（，0）、Q2（，0）、Q3（，0）、Q4（，0）【解析】（1）根据BO3AO3，求出A、B两点的坐标，将其分别代入抛物线解析式建立关于b、c的二元一次方程求解，即可解答；（2）过点D作DEx轴交于点E，根据平行线分线段成比例的性质求出OE长，从而求出D点的坐标，然后利用待定系数法求直线BD的直线解析式；（3）根据题意先求出 ，抛物线的对称轴为直线x=
16、1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n0，Q（x，0）且x3，然后分四种情况讨论，即当时，当时，当时，当时，分别根据相似三角形的对应角相等，结合正切的定义列式求解即可解：（1）由题意得A（-1,0），B（3,0），代入抛物线解析式得：，解得；（2）过点D作DEx轴交于点E，OCDE，BC=CD，OB=3，OE=，点D的横坐标为xD=-点D是射线BC与抛物线的交点把xD=-代入抛物线解析式得yD=+1D(-,+1)设直线BD解析式为，将B（3，0）、D(-,+1)代入得：，解得，直线BD的直线解析式为y=；（3）由题意得，则，如图，过A作AFBD于F，由（2）知，由题意得抛物线的对称轴为直
17、线，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n0，Q（x，0）且x3，当时，即=，解得-n=，即，解得x=；当时，即=1，解得-n=2，即=，解得x=；当时，即=，解得-n=，即=，解得x=；当时，即=1，解得-n=2，即=，解得x=；综上所述，Q1（，0）、Q2（，0）、Q3（，0）、Q4（，0）本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，锐角三角函数定义，解题的关键是能综合运用所学知识和分类讨论的思想22不会穿越保护区，理由见解析【解析】如图所示，过点作，是垂足，只需要求出PC的长度即可得到答案解：如图所示，过点作，是垂足，则ACP=BCP=90，由题意得PA
18、C=60，PBC=45，计划修的这条路不会穿越保护区本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键23(1)AC8cm，BC6cm(2)1s或4s(3)或【解析】（1）利用三角函数和勾股定理求解即可；（2）利用条件表示出APQ的面积和ABC面积，令APQ的面积为ABC面积的，列出方程求解即可；（3）分情况讨论当时当时，分别利用相似三角形的性质列出方程求解即可（1）解：RtABC中，AB10cm，AC8cm，AC8cm，BC6cm；（2）解：作PEAC于E，如图，由题意得，BP2tcm，AQtcm，则AP（102t）cm，即，解得，APQ的面积，ABC面积，由题意
19、得，解得，则当t为1s或4s时，APQ的面积为ABC面积的；（3）解：当时，即，解得，当时，即，解得，故当t为或时，APQ与ABC相似本题主要考查了勾股定理、三角函数、相似三角形的性质和一元一次方程和一元二次方程的应用等，牢固掌握以上知识点并灵活应用是做出本题的关键24古塔AD的高度约为38米【解析】根据题意的直角三角形，利用锐角三角函数构造关系式，进而可求出答案根据题意可知BAD90，ABD45，ACD30，BC28m在RtABD中，由ABDADB45得ABAD在RtACD中，由tanACDACAD又ACABBCADAD28AD答：古塔AD的高度约为38米本题考查的是解直角三角形的应用-仰角
20、俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键25（1）AP=；（2）6【解析】（1）由题意知：A=45，NBC=15，NBP=75，过点B作BEAP于点E，求出AE=BE=3；（2）先利用三角函数求出BP=6，继而根据方位角求得CBP=60，结合BC=6，即可证得BCP是等边三角形，从而求得答案（1）由题意知：A=45，NBC=15，NBP=75，过点B作BEAP于点E，如图，在RtABE中，ABE=90-45=45，AE=BE，AE=BE=3，在RtBEP中，EBP=180-ABE-NBP=60，PE=，AP=AE+PE=；（2）BE=3，BEP=90，EBP=60，BP
21、=，又CBP=NBP-NBC=75-15=60，BC=6，BCP是等边三角形，CP=BP=6此题考查锐角三角函数的实际应用，方位角的运用，等边三角形的判定及性质，根据题意明确各角度及线段，正确计算即可解决问题26小亮说的对，CE为2.6m【解析】先根据CEAE,判断出CE为高,再根据解直角三角形的知识解答解：在ABD中,ABD90,BAD18,BA10m,tanBAD，BD10tan18,CDBDBC10tan180.52.7（m）,在ABD中,CDE90BAD72,CEED,sinCDE,CEsinCDECDsin722.72.6（m）,2.6m2.7m,且CEAE,小亮说的对答：小亮说的对
22、,CE为2.6m本题主要考查了解直角三角形的应用,主要是正弦、正切概念及运算,解决本题的关键把实际问题转化为数学问题.27（1）；（2）【解析】（1）作DEAC于点E，根据sinC=即可得DE；（2）由C=45可得CE，由tanEAD=可得AE，即可得AC的长，再在RtABC中，根据sinC=即可得AB的长（1）如图，作DEAC于点E，在RtCDE中，sinC=，DE=答：点D到CA的距离为；（2）在RtCDE中，C=45，CDE为等腰直角三角形，CE=DE=，ADB=75，C=45，EAD=ADBC=30，在RtADE中，tanEAD=，AE=，AC=AE+CE=，在RtABC中，sinC=，AB=答：旗杆AB的高为（）m考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题23
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