1、 专题专题 13 13 反比例函数反比例函数 一、单选题一、单选题 1图， 在平面直角坐标系中， 点 A 的坐标是(5，0)， 点 B 是函数 =6( 0)图象上的一个动点，过点 B 作 轴交函数 = 2( 0)的图象于点 C， 点 D 在 x 轴上 （D 在 A 的左侧， 且 = ，连接，有如下四个结论：四边形可能是菱形；四边形可能是正方形；四边形的周长是定值；四边形的面积是定值所有正确结论的序号是（ ） A B C D 2某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随气球内气体的体积（单位：立方米）的变化而变化，随的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内
2、气体的气压 P 与气球内气体的体积的函数关系最可能是 （单位：立方米） 64 48 38.4 32 24 （单位：千帕） 1.5 2 2.5 3 4 A正比例函数 B一次函数 C二次函数 D反比例函数 3研究发现，近视镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的 400 度近视镜片的焦距为 0.25 米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为 0.4 米，则小明的近视镜度数可以调整为（ ） A300 度 B500 度 C250 度 D200 度 4点(1，1)，(2，2)在反比例函数 =1的图象上，下列推断正确的是（ ） A若1 2，则1 2 B若1 2
3、C若1+ 2= 0，则1+ 2= 0 D存在1= 2，使得1 2 5 （2021 九上 门头沟期末）如果(1，1)与(2，2)都在函数 =1的图象上，且1 2，那么的取值范围是（ ） A 1 B 1 C 1 D任意实数 6 （2021 九上 平谷期末）为了解不等式“1 1 B 1 C 1或0 1或1 0 7 （2021 九上 石景山期末）在平面直角坐标系 xOy 中，若函数 =( 0)的函数值 y 随着自变量 x的增大而增大，则函数 =( 0)的图象上，则1 2（填“”“=”或“ 0)的图象上， 若OA=OB， 则点B的坐标为 20 （2021 九上 门头沟期末）写出一个图象位于第一，三象限的
4、反比例函数的表达式 三、综合题三、综合题 21在平面直角坐标系中，函数 =2( 0)与直线1： =13 + ( 0)交于点，与直线2： = 交于点，直线1与直线2交于点， （1）当点的横坐标为 1 时，求此时的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记函数 =2( 0)的图像在点，之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为， 当 = 3时，结合函数图象，求区域内整点的个数； 若区域内恰有 1 个整点，直接写出的取值范围 22 （2022 海淀模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 = ( 1) + 6( 0)的图象与反比例函数 y=（m0）的图象的一个交点的横坐标为 1 （1）求这个反
5、比例函数的解析式； （2） 当 x3时， 对于 x的每一个值， 反比例函数y=的值大于一次函数 = ( 1) + 6( 0)的值，直接写出 k 的取值范围 23 （2022 东城模拟）在平面直角坐标系中，一次函数 = 2的图象与 x 轴交于点 A，与反比例函数 =( 0)的图象交于点(3，)，点 P 为反比例函数 =( 0)的图象上一点 （1）求 m，k 的值； （2）连接 OP，AP当= 2时，求点 P 的坐标 24 （2022 通州模拟）已知一次函数1= 2 + 的图象与反比例函数2=( 0)的图象交于 A，B两点 （1）当点 A 的坐标为(2，1)时 求 m，k 的值； 当 2时，1_2
6、（填“”“=”或“ 2，求 m 的取值范围 26如图，一次函数 = + 的图象交反比例函数 =的图象于(2， 4)，(， 1)两点. （1）求反比例函数与一次函数解析式. （2）连接，求的面积. （3）根据图象直接回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 27已知：一次函数 y1x2k 与反比例函数 y22（k0） （1）当 k1 时， 求出两个函数图象的交点坐标； 根据图象回答：x 取何值时，y1y2； （2）请说明：当 k 取任何不为 0 的值时，两个函数图象总有交点； （3）若两个函数图象有两个不同的交点 A、B，且 AB52，求 k 值 28 （2022 九下 北京市开学考）
7、在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=（x0）的图象与直线 y=mx 交于点 A（2，2） （1）求 k，m 的值； （2）点 P 的横坐标为 n（n0） ，且在直线 y=mx 上，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交 y 轴于点 M，交函数 y=（x0）的图象于点 N n=1 时，用等式表示线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由； 若 PN3PM，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 29 （2022 九下 北京市开学考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（8，0） ，C（0，4） 点 D 是矩形OABC 对角线的交点已知反比例函数 =（k0）在第一象限的图象经过点 D，交
8、BC 于点 M，交AB 于点 N （1）求点 D 的坐标和 k 的值； （2）横纵坐标均为偶数的点称为偶点，比如 E（2，4） 反比例函数图象在点 M 到点 N 之间的部分 （包含 M，N 两点）与线段 BM，BN 围成的图形记为 G求图形 G（包含边界）内偶点的个数，并写出偶点的坐标 30 （2021 九上 门头沟期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x 的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为 A（1，n） （1）求反比例函数 y=的解析式； （2）若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA=OA，直接写出点 P 的坐标 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解
9、答】 ：BCy 轴， ， = ， 四边形 ABCD 是平行四边形， 设点 B 点坐标为(，6)，则 C 点坐标为(3，6)，结合 A 点坐标为(5，0)， BC= +3=43， = (5 )2+ (6)2， 当 a=5 时，BC=203，AB=65，此时 ABBC， 当 a=1 时，BC=43，AB=213，此时 ABBC， 随着 a 值的变化，显然存在 AB=BC 的情况，则平行四边形 ABCD 可能是菱形，故符合题意； 若平行四边形 ABCD 是正方形，则 ABAD，此时 A、B 的横坐标相等， a=5，此时 BC=203，AB=65，ABBC， 故平行四边形 ABCD 不可能是正方形，故
10、不符合题意； 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 的周长为：2(AB+BC)， 当 a=5 时，BC=203，AB=65， 周长为：2(AB+BC)=23615， 当 a=1 时，BC=43，AB=213， 周长为 2(AB+BC)=83+ 413， 显然此时上述二者的周长不相等，故不符合题意； 过点 C 作 CEx 轴于 E 点，过 B 点作 BFx 轴于 F 点，如图， 则有四边形 ABCD 的面积转化为四边形 BCEF 的面积， 四边形= 四边形= ， =43， = =6， 四边形= 四边形= =436= 8，故面积为定值， 故符合题意； 故答案为：D 【分析】利用反比例
11、函数图象上点坐标的特征和菱形、正方形的判定和性质逐项判断即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解：由表格数据可得 PV96，即 =96， 气球内气体的气压 P 与气球内气体的体积的函数关系最可能是反比例函数， 故答案为：D 【分析】根据所给出的数据和常识可直接判断。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：设近视镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）的反比例函数解析式为 = ， 小明佩戴的 400 度近视镜片的焦距为 0.25 米， = 400 0.25 = 100 ， 反比例函数解析式为 =100 ， 当 = 0.4 时， =1000.4= 250 ， 小明的近视镜度数可以调整为 250 度，
12、 故答案为：C 【分析】设近视镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）的反比例函数解析式为 = ，先求出函数解析式，再将 = 0.4代入计算即可。 4 【答案】C 【解析】【解答】解：反比例函数 =1的图象在一三象限，且在每个象限内，y 随 x 到增大而减小，那么： A、若1 2，不符合题意； B、若1 2，且（x1，y1） 、(x2，y2)分别在三、一象限内，则1 2，1 0， 得 1， 故答案为：A 【分析】根据1 2，1 0，再求出 1即可。 6 【答案】D 【解析】【解答】 解： 由函数图象可知， 不等式“1 ”的解集即为直线 = 的图像在反比例函数 =1的图像上方的自变量的取值范围，
13、不等式“1 1或1 0， 故答案为：D 【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。 7 【答案】B 【解析】【解答】解：反比例函数 =( 0)的函数值 y 随着自变量 x 的增大而增大， 所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，而 x0， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小， 25， 12 故答案为： 【分析】先求出在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，再比较大小即可。 12 【答案】32 【解析】【解答】解：点(2，)，(，3)都在反比例函数 =6的图象上 =623 =6，解得 = 3 = 2 =32 故答案为：32 【分析】利用待定系数法可分别求出 m、n 的值。
14、 13 【答案】0 【解析】【解答】解：反比例函数与正比例函数都是中心对称图形， x1x2， x1x20， 故答案为：0 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象交点坐标关于原点对称，再利用关于原点对称的点坐标的特征可得答案。 14 【答案】 【解析】【解答】解：k=30， y 随 x 的增大而减小， 12 故答案为： 【分析】利用反比例函数的性质求解即可。 15 【答案】4 【解析】【解答】解：将(2，)代入 = 中得， = 2 (2，2) 将(2，2)代入 =得， = 4 故答案为：4 【分析】先求出点 A 的坐标，再将点 A 的坐标代入 =求出 k 的值即可。 16 【答案】(-3，-4)
15、 【解析】【解答】A 点在双曲线和直线上， 将 A 点(3，4)代入到双曲线和直线的解析式中有：4 =34 = 3， = 12 =43， 即双曲线的解析式为 =12，直线的解析式为 =43， 联立 =12 =43，解得1= 31= 4，2= 32= 4， 则可知另一个交点 B 的坐标为(-3，-4)， 故答案为：(-3，-4) 【分析】根据反比例函数的图象上点坐标的特征及关于原点对称的点坐标的特征可得答案。 17 【答案】0 【解析】【解答】解：正比例函数和反比例函数均关于坐标原点 O 对称， 正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称， 1+ 2= 0 ， 故答案为：0. 【分析】根
16、据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，再根据关于原点对称的点坐标的特征可得1+ 2= 0。 18 【答案】（1，-2） 【解析】【解答】解：将(1，2)代入 = 得 = 2 解得 = 2 = 2 将(1，2)代入 =得 = 2 解得 = 2 = 2 联立直线与双曲线得 = 2 = 2 2 = 2 整理得2= 1 解得 = 1或 = 1 方程组的解为 = 1 = 2或 = 1 = 2 (1， 2) 故答案为：(1， 2) 【分析】用待定系数法求出直线和双曲线的解析式，求出交点，写出 B 点坐标 19 【答案】（2，1） 【解析】【解答】解：点 A(1，2)，B 在反比例函数 =( 0)的图
17、象上，OA=OB， 点 A，B 关于直线 y=x（y-x=0）的对称， 设点（1，2）关于直线 y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b） 由两点中点在直线 y=x 上及过两点的直线垂直直线 y=x（斜率之积为-1） 可以得到：1+2=2+2( 2)( 1) = 1， 解得：a=2，b=1， 点 B 的坐标为（2，1） 故答案为： （2，1） 【分析】先待定系数法求出反比例函数解析式，设点（1，2）关于直线 y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b）再根据 OA=OB，即可得出点 B 的坐标。 20 【答案】 =2 【解析】【解答】解：位于第一，三象限的反比例函数的表达式是 =2， 故答案为：
18、 =2 【分析】利用待定系数法求解反比例函数解析式即可。 21 【答案】（1）解：当 = 1时， =2= 2， (1，2)， 把(1，2)代入 =13 + 中，得2 =13+ ， =53； （2）解：当 = 3时，则直线1： =13 + 3，与直线2： = 3， 当 = 3时， =13 + 3 = 4， (3，4)， 作出图象如图 1 区域内的整点个数为 3； 0 23或2 73 【解析】【解答】 （2）如图 2，当直线1： =13 +过(2，3)点，区域内只有 1 个整点， 此时，3 =13 2 + ，则 =73， 当直线1： =13 + 过(0，2)点，区域内没有整点， 此时，2 = 0
19、+ ，则 = 2， 当2 73时，区域内只有 1 个整点， 当整点为(1，1)时， 1且 = 1时，13 + 1，即13+ 1， 解得 0， 0 23， 故答案为：0 23或2 0)求出 k 的值即可； （2）根据题意作出函数图象便可直接观察得到答案； 找出临界点作出直线，进行比较便可得到 k 的取值范围。 22 【答案】（1）解：把 x=1 代入一次函数解析式中得 = (1 1) + 6 = 6 一次函数图象和反比例函数图象的交点是(1，6) 把(1，6)代入反比例函数解析式中得6 =1 m=6 反比例函数的解析式为 =6 （2）解： 2 【解析】【解答】解：(2)当 x3 时，对于 x 的
20、每一个值，反比例函数 y=的值大于一次函数 = ( 1) + 6( 0)的值， 当 x3 时，反比例函数 y=6的最小值大于一次函数 = ( 1) + 6( 0)的最大值 把 x=-3 代入反比例函数解析式中得 =63= 2，把 x=-3 代入一次函数 = ( 1) + 6中得 = (3 1) + 6 = 4 + 6 当 x3 时， 反比例函数 =6的取值范围是大于-2， 且小于 0， 一次函数 = ( 1) + 6( 0)的取值范围是大于4 + 6 2 4 + 6 2 【分析】 （1）根据一次函数图象上点坐标的特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出 m，得出反比例函数的解析式； （2）解方
21、程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得出答案。 23 【答案】（1）解：将(3，)代入 = 2得， = 3 2， 解得 = 1， (3，1)， 将(3，1)代入 =得，1 =3， 解得 = 3， =3， 的值为 1，的值为 3 （2）解：设(，3)，则到轴的距离为|3|， 将 = 0代入 = 2，解得 = 2， (2，0)， = 2， =12 =12 2 |3| = 2， 解得 =32或 = 32， 点坐标为(32，2)或(32， 2) 【解析】【分析】 （1）由于点 B 在一次函数图象上，可求出点 B 坐标，则反比例系数可求； （2）设出点 P 坐标，利用三
22、角形面积公式计算即可，由于点 P 的位置不固定，结果应该有两个。 24 【答案】（1）解： 一次函数1= 2 + 的图象与反比例函数2=( 0)的图象交于 A 将点 A 的坐标为(2，1)分别代入1= 2 + 、2=( 0)得 1 = 2 2 + 解得 = 3 1 =2 解得 = 2 m，k 的值分别为-3，2 （2）解：设(，) ， 点 A，B 关于原点对称 (， ) 将一次函数1= 2 + 的图象沿 y 轴向下平移 4 个单位长度，可得新的解析式为 = 2 + 4 将 A、B 坐标代入，可得 = 2 + 4 = 2 + 4 解得 = 4 【解析】【解答】解：(1) m，k 的值分别为-3，
23、2 在第一象限内，1 随 x 的增大而增大，2 随 x 的增大而减小 一次函数1= 2 + 的图象与反比例函数2=( 0)的图象交于 A 即当 = 2 时，1= 2 当 2时，1 2 故答案为：； 【分析】 （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； 利用一次函数的性质求解即可； （2）根据正比例函数的中心对称性即可求出 m 的值。 25 【答案】（1）解：二次函数 = 2 2( 0)的图象经过点(1，3) 3 = + 2，解得：a=1， 该二次函数的解析式为 = 2 2， = 2 2 = ( 1)2 1， 图象顶点的坐标为（1，-1） ； （2）解：一次函数 = 2 + 的图象经过点 A， 3
24、 = 2 + ，解得：b=5， 一次函数的解析式为 = 2 + 5， 点(，1)在一次函数 = 2 + 的图象上，点( + 4，2)在二次函数 = 2 2的图象上 1= 2 + 5，2= ( + 4)2 2( + 4)， 1 2， 2 + 5 ( + 4)2 2( + 4)，即2+ 4 + 3 0， 解得：3 1 【解析】【分析】 （1）代入 A 点坐标求出二次函数解析式 （2）代入 A 点求一次函数解析式，分别写出 y1y2 关于 m 的解析式，列不等式求 m 26 【答案】（1）解：把 A（2，-4）的坐标代入 =得：m=-8， 反比例函数的解析式是 = 8； 把 B（a，-1）的坐标代入
25、 = 8得：-1=8， 解得：a=8， B 点坐标为（8，-1） ， 把 A（2，-4） 、B（8，-1）的坐标代入 y=kx+b，得：2 + = 48 + = 1， 解得： =12 = 5 ， 一次函数解析式为 =12 5； （2）解：设直线 AB 交 x 轴于 C =12 5， 当 y=0 时，x=10， OC=10， AOB 的面积=AOC 的面积-三角形 BOC 的面积 =12 10 4 12 10 1 = 15； （3）解：由图象知，当 0 x2 或 x8 时，一次函数的值大于反比例函数的值 【解析】【分析】 （1）将点 A 的坐标代入 =求出 m 的值，再将点 B 代入 = 8求出
26、 a 的值，然后将点 A、B 的坐标代入 = + 求出 k、b 的值即可； （2）利用割补法列出算式AOB 的面积=AOC 的面积-三角形 BOC 的面积求解即可； （3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。 27 【答案】（1）解：k=1 时，y1=x3，y2=2， 由 = 3 =2 解得 = 1 = 2或 = 2 = 1， 两个函数图象的交点坐标为（1，2）或（2，1） ； 图象大致如图： 由图可得：当 x0 或 1x2 时，y1y2； （2）解：由 = 2 =2 解得 x2k=2， x2（k+2）x+2k=0， 关于 x 的一元二次方程的判别式 =（k+2）28k =k
27、24k+4 =（k2）2， （k2）20， 0，即 x2（k+2）x+2k=0 总有实数解， 两个函数图象总有交点； （3）解：由 = 2 =2 解得 x2k=2， x2（k+2）x+2k0， 解得 x=2 或 x=k， A（2，k） ，B（k，2） ， AB=52， （2k）2+（k+2）2=（52）2， 解得 k=3 或 k=7 【解析】【分析】 （1 将 k=1 代入求出一次函数和反比例函数的解析式， 将它们联立方程组求解即可，根据图像观察可知：当 x0 或 1x2 时，y1y2； （2） 由 = 2 =2得 x2k=2，则 x2（k+2）x+2k=0，根据一元二次方程的判别式 =（k2
28、）2，即可证明0，即 x2（k+2）x+2k=0 总有实数解，两个函数图象总有交点； （3） 由 = 2 =2 得 A（2，k） ，B（k，2） ，则 AB=52，可列方程（2k）2+（k+2）2=（52）2， 解之即可。 28 【答案】（1）解： y=（x0）的图象与直线 y=mx 交于点 A（2，2） ， k=2 2=4，2=2m， m=1， 即 k=4，m=1； （2）解：由（1）知，k=4，m=1， 双曲线的解析式为 y=4，直线 OA 的解析式为 y=x， n=1， P（1，1） ， PM/x 轴， M（0，1） ，N（4，1） ， PM=1，PM=41=3， PN=3PM； 0n1
29、 【解析】【解答】 （2） 由知，如图，双曲线的解析式为 y= 4，直线 OA 的解析式为 y=x， 根据点 P 的横坐标为 n， P（n，n） ， PM/x 轴， M（0，n） ，N（ 4，n） ， PN3PM， PM=n，PN= 4n， PN3PM， 4n3n， 0n1 【分析】 （1）利用待定系数法即可得解； （2）利用待定系数法即可得出直线 OA 的解析式为 y=x，推出点 P 的坐标，再根据 PM/x 轴，得出M、 N 的坐标， 推出 PM=1， PM=41=3， 从而得出答案； 由知， 如图， 双曲线的解析式为 y= 4， 直线OA 的解析式为 y=x， 根据点 P 的横坐标为 n
30、， 得出点 P 的坐标， 再根据 PM/x 轴， 得出 M、 N 的坐标，由 PN3PM，得出 PM=n，PN= 4n，由此得出 n 的范围。 29 【答案】（1）解：点 D 是矩形 OABC 的对角线交点， 点 D 是矩形 OABC 的对角线 AC 的中点， 又A（8，0） ，C（0，4） ， 点 D 的坐标为（4，2） 反比例函数 =的图象经过点 D， k2 48； （2）解：A（8，0） ，C（0，4） ， B（8，4） ， 由题意可得：点 M 的纵坐标为 4，点 N 的横坐标为 8 点 M、点 N 在反比例函数 =的图象上， 点 M 的坐标为（2，4） ，N（8，1） ， 点 D 的坐
31、标为（4，2） ， 在图形 G（包含边界）内偶点有（2，4） ， （4，2） ， （4，4） （6，2） ， （6，4） ， （8，2） ， （8，4）共 7个 【解析】【分析】 （1）先求得点 D 的坐标，再根据待定系数法即可得出答案； （2）根据反比例函数的解析式求得 M、N 的坐标，结合图形，即可得出图形 G 内的偶点。 30 【答案】（1）解：点 A（1，n）在一次函数 y=2x 的图象上 n=2 （1）=2 点 A 的坐标为（1，2） 点 A 在反比例函数的图象上 k=2 反比例函数的解析式是 y=2 （2）解： （-2，0）或（0，4） 【解析】【解答】解： （2）A（-1，2） ， OA=(1)2+ 22=5， 点 P 在坐标轴上， 当点 P 在 x 轴上时设 P（x，0） ， PA=OA， ( + 1)2+ (0 2)2=5， 解得 x=-2； 当点 P 在 y 轴上时，设 P（0，y） ， (0 + 1)2+ ( 2)2=5， 解得 y=4； 当点 P 在坐标原点，则 P（0，0）舍去 点 P 的坐标为（-2，0）或（0，4） 【分析】 （1）先求出点 A 的坐标，再将点 A 的坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值即可； （2）分两种情况，再利用两点之间的距离公式列出方程求解即可
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