1、 专题专题 16 16 平行线与相交线平行线与相交线 一、单选题一、单选题 1如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则1 的度数等于（ ） A65 B70 C75 D80 2如图，1 = 2， = 50，则的度数为（ ） A50 B40 C100 D130 3如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（ ） A线段的长度 B线段的长度 C线段的长度 D线段的长度 4如图，BD 是 的角平分线， ，交 AB 于点 E若 = 30， = 50，则的度数是（ ） A10 B20 C30 D50 5点 P 在AOB 的平分线上 （不与点 O 重合） ， PCOA 于点 C， D 是 OB 边上任意一点
2、， 连接 PD 若PC=3，则下列关于线段 PD 的说法一定正确的是（ ） APD=PO BPD3 C存在无数个点 D 使得 PD=PC DPD3 6（2022 门头沟模拟）如图， 点E在直线 上， 点F在直线 上， 过点E作 于E，如果 = 120 ，那么 的大小为（） A60 B50 C40 D30 7 （2022 平谷模拟）如图，直线 ABCD，点 F 是 CD 上一点，EFG90 ，EF 交 AB 于 M，若CFG35 ，则AME 的大小为（ ） A35 B55 C125 D130 8 （2022 顺义模拟）如图， 直线 ， 点 B 在直线 a 上， ， 若1=40 ， 则2 的度数为
3、 （ ） A40 B50 C80 D140 9 （2022 七下 海淀期末）如图，直线 ，平分，1 = 50，则2 的度数是（ ） A50 B55 C60 D65 10 （2022 昌平模拟）如图， 的直径 ，垂足为， = 30，连接并延长交 于点，连接，则的度数为（ ） A30 B45 C60 D75 二、填空题二、填空题 11 （2021 七上 延庆期末）如图所示，点 A，B，C，D 在同一条直线上在线段 PA，PB，PC，PD 中，最短的线段是 ，理由是 12（2021 七上 通州期末）如图， 从人行横道线上的点 P 处过马路， 下列线路中最短的是线路 ，理由是 13 （2021 八上
4、怀柔期末）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M(2，t-2)与点 N 关于过点(0，t)且垂直于 y轴的直线对称 （1）当 t =-3 时，点 N 的坐标为 ； （2）以 MN 为底边作等腰三角形 MNP 当 t =1 且直线 MP 经过原点 O 时，点 P 坐标为 ； 若MNP 上所有点到 x 轴的距离都不小于 a(a 是正实数)，则 t 的取值范围是 (用含 a 的代数式表示) 14 （2021 七上 昌平期末）如图，点 P 是直线 l 外一点，从点 P 向直线 l 引，几条线段，其中只有线段与直线 l 垂直这几条线段中， 的长度最短 15 （2021 七上 密云期末）AOB 的大小可由量
5、角器测得（如图所示） ，则AOB 的补角的大小为 度 16 （2021 七上 房山期末）如图，在公园绿化时，需要把管道 l 中的水引到 A，B 两处工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下： 画法：如图， 连接 AB； 过点 A 画线段 直线 l 于点 C，所以线段 AB 和线段 AC 即为所求 请回答：工人师傅的画图依据是 17 （2021 八上 石景山期末）如图，点 D 是的平分线 OC 上一点，过点 D 作 交射线 OA于点 E，则线段 DE 与 OE 的数量关系为：DE OE（填“”或“”或“”） 18 （2021 九上 燕山期末）下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序
6、需要进行调整， 正确的画图步骤是 19 （2021 九上 丰台期末）如图，四边形 ABCD 内接于 ，E 为直径 AB 延长线上一点，且 ，若 = 70，则的度数为 20 （2022 七下 通州期末）如图，点 B、C、E 在同一条直线上，请你写出一个能使 成立的条件： （只写一个即可，不添加任何字母或数字） 三、综合题三、综合题 21已知等腰直角ABC 中，BAC90 ，ABAC，以 A 为顶点作等腰直角ADE，其中 ADDE （1）如图 1，点 E 在 BA 的延长线上，连接 BD，若DBC30 ，若 AB6，求 BD 的值； （2）将等腰直角ADE 绕点 A 顺时针旋转至图 2，连接 BE
7、，CE，过点 D 作 DFCE 交 CE 的延长线于 F，交 BE 于 M，求证：BM12BE； （3）如图 3，等腰直角ADE 的边长和位置发生变化的过程中，DE 边始终经过 BC 的中点 G，连接 BE，N 为 BE 中点，连接 AN，当 AB6 且 AN 最长时，连接 NG 并延长交 AC 于点 K，请直接写出ANK 的面积 22 （2021 八上 门头沟期末）已知，如图，在ABC 中，C 90 ，AD 平分BAC 交 BC 于 D，过 D作 DEAC 交 AB 于 E （1）求证：AEDE； （2）如果 AC3， = 23，求 AE 的长 23 （2021 八上 延庆期末）尺规作图：
8、已知：如图 1，直线 MN 和直线 MN 外一点 P 求作：直线 PQ，使直线 PQMN 小智的作图思路如下： 如何得到两条直线平行？ 小智想到，自己学习线与角的时候，有 4 个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行” 如何得到两个角相等？ 小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和 1 个概念，可以得到两个角相等小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角” 画出示意图： 根据示意图，确定作图顺序 （1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形 1（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： 证明：AB 平分
9、PAN， PABNAB PA PQ， PABPQA （ ） NAB PQA PQMN （ ） （3） 参考小智的作图思路和流程， 另外设计一种作法， 利用直尺和圆规在图 2 中完成 （温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明） 24如图，已知 中， = 60， （1）求作，使得 = 30且点在上：要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 = 42， = 45，求的长度 25 （2021 九上 朝阳期末）对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M 和点 P 给出如下定义：Q 为图形 M 上任意一点，若 P，Q 两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的 2 倍
10、，则称点 P 为图形 M 的“二分点” 已知点 N（3，0） ，A（1，0） ，(0，3)，(3， 1) （1）在点 A，B，C 中，线段 ON 的“二分点”是 ； 点 D（a，0） ，若点 C 为线段 OD 的“二分点”，求 a 的取值范围； （2）以点 O 为圆心，r 为半径画圆，若线段 AN 上存在 的“二分点”，直接写出 r 的取值范围 26 （2022 海淀模拟）如图， 是 的外接圆，AB 是 的直径，点 D 为的中点， 的切线 DE 交 OC 延长线于点 E （1）求证：； （2）连接 BD 交 AC 于点 P，若 = 8，cos =45，求 DE 和 BP 的长 27 （2021
11、 七上 燕山期末）如图，已知MON60 ，点 A 在射线 OM 上，点 B 在射线 ON 下方请选择合适的画图工具按要求画图并回答问题 （要求：不写画法，保留画图痕迹） （1）过点 A 作直线 l，使直线 l 只与MON 的一边相交； （2）在射线 ON 上取一点 C，使得 OCOA，连接 AC，度量OAC 的大小为 ； （精确到度） （3）在射线 ON 上作一点 P，使得 APBP 最小，作图的依据是 28 （2021 八上 丰台期末）下面是小东设计的尺规作图过程 已知：如图，在 Rt 中， = 90 求作：点，使得点在边上，且到和的距离相等 作法：如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交
12、，于点，； 分别以点，为圆心，大于12为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点 所以点即为所求 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：过点作 于点，连接， 在 和 中， = ， = ， = ， （SSS） = . =90 ， . ， = （ ） 29 （2022 七下 丰台期末）阅读下列材料： 如图 1， ， ， 分别是， 上的点， 点在， 之间， 连接， 用等式表示，与的数量关系 小刚通过观察，实验，提出猜想： = + 接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是： 过点作 ， 由 ， 可得 ， 根据平行线的性质， 可得1
13、= ， 2 = ， 从而证得 = + 请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题 已知 ，分别是，上的点，点在，之间，连接， （1）如图 2，若 = 45， = 80，则的度数为 ； （2）如图 3，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； （3）如图 4，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系 30 （2021 九上 平谷期末）如图，MAN=45 ，B 是射线 AN 上一点，过 B 作 BCAM 于点 C，点 D是 BC 上一点，作射线 AD，过 B 作 BEAD 于点 E，连接 CE （1）依题意补全图形； （2）求证：CAE=DBE； （3）用等式表示线段 CE、BE
14、、AE 的数量关系，并证明 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：如图， ABCD， BAC+ACD180 ， ACD40 ， BAC140 ， 12， 112BAC70 ， 故答案为：B 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质解决问题即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】2=DFA，1=2， 1=DFA， ABCD， B+D=180 ， D=50 ， B=130 ， 故答案为：D 【分析】先证明 ABCD，再根据平行线的性质求出B。 3 【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示： 过点 P 作 PHAB 于点 H，PH 的长就是该运动员的跳远成绩， 故答案为：D 【分
15、析】根据所给的图片，求出运动员跳远成绩即可。 4 【答案】B 【解析】【解答】解： （1）A30 ，BDC50 ，BDCAABD， ABDBDCA503020 ， BD 是ABC 的角平分线， DBCABD20 ， DEBC， EDB=DBC20 ， 故答案为：B 【分析】先利用三角形的外角的性质求出ABDBDCA，再根据角平分线的性质可得DBCABD20 ，最后利用平行线的性质可得EDB=DBC20 。 5 【答案】D 【解析】【解答】解：点 P 在AOB 的平分线上，PCOA 于点 C，PC=3， 点 P 到 OB 的距离为 3， 点 D 是 OB 边上的任意一点，根据垂线段最短， PD3
16、 故答案为：D 【分析】根据角平分线的性质可得：角平分线上的点到角两边的距离相等，再利用垂线段最短的性质 可得答案为 3. 6 【答案】D 【解析】【解答】解：GEB=120 ， GEA=180 -GEB=60 ， GEEF， GEF=90 ， AEF=30 ， ABCD， EFD=AEF=30 故答案为：D 【分析】先利用邻补角的性质求出AEG=60 ，再求出AEF=30 ，再根据平行线的性质可得EFD=AEF=30 。 7 【答案】B 【解析】【解答】解：EFG=90 ，CFG=35 ， CFE=EFG-CFG=55 ， ABCD， AME=CFE=55 ， 故答案为：B 【分析】先求出C
17、FE 的度数，再利用平行线的性质可得AME=CFE=55 。 8 【答案】B 【解析】【解答】解：如图可得：1 + 3 + 90 = 180 ， 3 = 50 ， ， 2 = 3 = 50 （两直线平行同位角相等） 故答案为：B 【分析】因为两线平行，同位角相等，可知2=3，而1 与3 互余，即可得到答案 9 【答案】A 【解析】【解答】解： ，1 = 50， = 1 = 50， 平分， 2 = = 50， 故答案为：A 【分析】 先利用平行线的性质可得 = 1 = 50， 再利用角平分线的定义可得2 = = 50。 10 【答案】C 【解析】【解答】解：OA=OC， OCA=A=30 ， B
18、OC=OCA+A=60 ， CF 是O 的直径， CDF=90 ，即 FDCD， 又ABCD， ABDF， CFD=BOC =60 故答案为：C 【分析】先求出BOC=OCA+A=60 ，再利用平行线的性质可得CFD=BOC =60 。 11 【答案】PC；垂线段最短 【解析】【解答】解： ，PA，PB，PD 都不垂直于 AD， 由垂线段最短可得，最短的线段是 PC， 理由是：垂线段最短 故答案为：PC；垂线段最短 【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。 12 【答案】PC；垂线段最短 【解析】【解答】解：点到直线的距离，垂线段最短， 从人行横道线上的点 P 处过马路，线路最短的是 PC， 故
19、答案为：PC 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，求解即可。 13 【答案】（1）(2，-1) （2）(-2，1)；ta+2 或 t-a-2 【解析】【解答】 （1）过点(0，t)且垂直于 y 轴的直线解析式为 y=t 点 M(2，t-2)与点 N 关于过点(0，t)且垂直于 y 轴的直线对称 可以设 N 点坐标为（2，n） ，且 MN 中点在 y=t 上 +22= ，记得 = + 2 点 N 坐标为(2， + 2) 当 t =-3 时，点 N 的坐标为(2， 1) （2）以 MN 为底边作等腰三角形 MNP，且点 M(2，t-2)与点 N 直线 y=t 对称 点 P 在直线 y=t 上，
20、且 P 是直线 OM 与 y=1 的交点 当 t =1 时 M(2，-1)，N(2，3) OM 直线解析式为 = 12 当 y=1 时1 = 12， = 2 P 点坐标为(-2，1) 由题意得，点 M 坐标为(2，t-2)，点 N 坐标为(2， + 2)，点 P 坐标为(，) 2 + 2，MNP 上所有点到 x 轴的距离都不小于 a 只需要| 2| 或者| + 2| 当 M、N、P 都在 x 轴上方时，0 2 + 2，此时 2 ，解得 ta+2 当MNP 上与 x 轴有交点时，此时MNP 上所有点到 x 轴的距离可以为 0，不符合要求； 当 M、N、P 都在 x 轴下方时， 2 + 2 0，此
21、时| + 2| ，解得 t-a-2 综上 ta+2 或 t-a-2 【分析】 （1）先求出+22= ，再求出点 N 坐标为(2， + 2)，最后求解即可； （2）先求出 OM 直线解析式为 = 12，再求点的坐标即可； 先求出| 2| 或| + 2| ，再分类讨论计算求解即可。 14 【答案】PC 【解析】【解答】解：直线外一点 P 与直线 l 上各点连接的所有线段中，最短的是 PC，依据是垂线段最短， 故答案为：PC 【分析】根据垂线段最短，作答即可。 15 【答案】140 【解析】【解答】解：由题意，可得AOB40 ， 则AOB 的补角的大小为：180AOB140 故答案为：140 【分析
22、】根据量角器可得AOB40 ，再利用补角的定义可得 180AOB140 。 16 【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短 【解析】【解答】解：由于两点之间距离最短，故连接 AB， 由于垂线段最短可知，过点 A 作 AC直线 l 于点 C，此时 AC 最短， 故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短 【分析】根据题意作图，再根据两点之间，线段最短和垂线段最短求解即可。 17 【答案】 【解析】【解答】解：EDOB， EDO=DOB， D 是AOB 平分线 OC 上一点， EOD=DOB， EOD=EDO， DE=OE， 故答案为：= 【分析】先求出EDO=DOB，再求出EOD=EDO，最后求解即
23、可。 18 【答案】 【解析】【解答】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图， 第二步：画出圆的一条直径，即画图； 第三边： 根据切线的判定可知， 圆的一条切线与切点所在的直径垂直， 确定切点的位置从而画出切线，即先图再图， 故答案为： 【分析】根据切线的性质，再利用尺规作图即可得出答案。 19 【答案】110 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 内接于 ， + = 180， = 70， = 110， ， = = 110； 故答案为：110 【分析】首先利用平行线的性质求得 = 110，在利用圆内接四边形的性质求得答案即可。 20 【答案】1 = 或2 +
24、 = 180或 + = 180 【解析】【解答】解：当1 = 或2 + = 180或 + = 180时， ， 故答案为：1 = 或2 + = 180或 + = 180 【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。 21 【答案】（1）解：如图 1，过点 B 作 BTDA 交 DA 延长线于 T， ABC、ADE 都是等腰直角三角形， EAD=ABC=45 ， DTBC， BAT=ABC=45 ，ADB=DBC=30 ， T=90 ，AB=6， BT=AT=32， BD=2BT=62； （2）证明：如图 2，延长 ED 到 R，使 DR=DE，连接 AR、BR，延长 RB 交 CF 的延长线于 J
25、， ADE=90 ， ADER， DR=DE， AD 垂直平分 RE， AR=AE， AD=DR=DE， RAE=BAC=90 ， RAB=EAC， AR=AE，AB=AC， RABEAC（SAS） ， ABR=ACE， ABR+ABJ=180 ， ACJ+ABJ=180 ， J+BAC=180 ， BAC=90 ， J=90 ， DFCF， DFC=J=90 ， DFRJ， =， DE=DR， EM=BM， BM= 12BE； （3）解：=92+27510 【解析】【解答】解： （3）取 AB 的中点 Q，连接 QN、QG，取 QG 的中点 P，连接 PA、PN、CE， AB=AC，BAC=
26、90 ，点 G 为 BC 的中点， AGC=AGB=90 ，AEG=ACG=45 ，AG=BG=CG， A、G、E、C 四点共圆， AEC=AGC=90 ， BN=NE，BG=GC，BQ=AQ， NGCE，QNAE， QNG=AEC=90 ， GA=GB，AQ=QB，AGB=90 ， GQ=QA=QB=3，AQG=90 ， PQ=PG= 32， NP= 12QG=32，AP=2+ 2=352， ANPA+PN， 当 A、P、N 三点共线时，AN 最大，最大值为32+352，过点 G 作 GMAC 于 M， PN=PG， PNG=PGN， BG=GC，BQ=AQ， GQAC， PGN=AKN，
27、PNC=AKN，即ANK=AKN， AK=AN=32+352， AGC=90 ，AG=GC，GMAC， GM=12AC=3， =12 (32+352) 3 =94+954， PQ=PG， SAPG=SAQP=12 AQ PQ=12 332=94， =32+352352=55+ 1， = (55+ 1) 94=9520+94， = + =92+27510 【分析】（1） 过点 B 作 BTDA 交 DA 延长线于 T， 证明 BAT=ABC=45 ， ADB=DBC=30 ， 求出 BT，可得 BD=2BT； （2） 延长 ED 到 R，使 DR=DE，连接 AR、BR，延长 RB 交 CF 的
28、延长线于 J， 证明RABEAC（SAS） ，再证明 DFRJ， 根据平行线分线段成比例定理可得=， 可证 BM= 12BE； （3）取 AB 的中点 Q，连接 QN、QG，取 QG 的中点 P，连接 PA、PN、CE，先证明 A、G、E、C 四点共圆，再证明当 A、P、N 三点共线时，AN 最大，最大值为32+352，过点 G 作 GMAC 于 M，再求出和，即可求出。 22 【答案】（1）证明：DEAC， CADADE AD 平分BAC， CADEAD EAD ADE AEDE （2）解：过点 D 作 DFAB 于 F C 90 ，AC3， = 23， 在 RtACD 中，由勾股定理得 2
29、+ 2= 2 = 3 AD 平分BAC， DFDC3 又AD AD，C AFD 90 ， RtDAC RtDAF AFAC3 RtDEF 中，由勾股定理得 2+ 2= 2 设 AEx，则 DEx， = 3 ， (3 )2+ (3)2= 2， x2 AE2 【解析】【分析】 （1）先求出 CADADE，再求出CADEAD，最后证明即可； （2）利用勾股定理求出 = 3，再求出 RtDAC RtDAF ，最后计算求解即可。 23 【答案】（1）解：如图 1，PQ 即为所求； （2）解：证明：AB 平分PAN， PABNAB PA PQ， PABPQA （等边对等角） NAB PQA PQMN （内
30、错角相等，两直线平行） 故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行； （3）解：如图 2，PQ 为所求 【解析】【分析】 （1）根据要求作出图形即可； （2）利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质解决问题即可； （3）根据要求作图即可。 24 【答案】（1）解：如图，即为所求（过点作 ） （2）解：如图，由（1）得 = = 90， = 45， = 45， 在 中， = = sin45 = 42 22= 4， 在 中， = 30， = tan30 = 4 33=433， = + = 4 +433=12+433 【解析】【分析】 （1）过点作 于 P 即可； （2）解直角三角形求出 AP、PC
31、即可。 25 【答案】（1）解：B 和 C 若0 3时，如图所示： 点 C 到 OD 的最小值为 =(3 )2+ 12，最大值为 = 2， 点 C 为线段 OD 的“二分点”， 2(3 )2+ 1 = 2， 解得： = 3； 若3 23时，如图所示： 点 C 到 OD 的最小值为 1，最大值为 =( 3)2+ 12， 点 C 为线段 OD 的“二分点”， 2 =( 3)2+ 1， 解得： = 23（舍） ； 若 0时，如图所示： 点 C 到 OD 的最小值为 = 2，最大值为 =(3 )2+ 12， 点 C 为线段 OD 的“二分点”， 4 =(3 )2+ 1， 解得：1=315或2=3 +1
32、5（舍） ， 综上所得：a 的取值范围为3 23或 = 3 15； （2）13 1或3 9 【解析】【解答】解： （1） 点 A 在 ON 上，故最小值为 0，不符合题意， 点 B 到 ON 的最小值为 = 3，最大值为 =32+ (3)2= 23， 点 B 是线段 ON 的“二分点”， 点 C 到 ON 的最小值为 1，最大值为 =(3)2+ 12= 2， 点 C 是线段 ON 的“二分点”， 故答案为：B 和 C； （2） 如图所示，设线段 AN 上存在 的“二分点”为(，0)(1 3)， 当0 1时，最小值为： ，最大值为： + ， 2( ) = + ，即 =13， 1 3， 13 1
33、13 1； 当1 3， 时，最小值为： ，最大值为： + ， 2( ) = + ，即 = 3， 1 3， 3 9， 1 3， 不存在； 当1 时，最小值为： ，最大值为： + ， 2( ) = + ，即 =13， 13 1， 1 3时，最小值为： ，最大值为： + ， 2( ) = + ，即 = 3， 3 9， 3， 3 9， 综上所述，r 的取值范围为13 1或3 9 【分析】 （1）根据图示即可得出答案；若0 23时，若 0时，分三种情况讨论即可； （2）当0 1时，当1 3， 时，当1 时，当 3时，由此即可得出 r的取值范围。 26 【答案】（1）证明：连接 OD， 点 D 是的中点，
34、 ODAC， DE 是O 切线， DEOD， DEAC （2）解：设 OD 与 AC 交点为 F，连接 AD，则CAD=CBD， DEAC， E=OCA， OA=OC， OAC=OCA， OAC=E， AB 是O 的直径， ACB=90 ， ACB=EDO=90 ， ABCEOD， =， cos =45，AC=8， AB=10， = 2 2= 6，OD=5， 56=8 =203， =12 = 3， DF=OD-OF=5-3=2， =12 = 4， = 2+ 2= 25， cos =425=25， cos =6=25， = 35 【解析】【分析】 （1）连接 OD，因为 OD 和 AC、DE 均
35、垂直，根据平行的判定可证明 （2）连接 AD，构造直角三角形。证明三角形相似 ABCEOD ，根据 cosA 和勾股定理可知AF=CF=4，OA=5，OF=3，BC=6，利用相似线段比例关系式求出 DE，在直角三角形ADF 中，用勾股定理求 AD 和 cosCAD，因为CAD=CBD，利用余弦值就可以求出 BP 27 【答案】（1）解：过点 A 作直线 l 如图所示： （2）60 （3）两点之间，线段最短 【解析】【解答】 （2）解：利用直尺先测量出 OA 长度，然后以点 O 为左端点，在射线 ON 上找出点 C，连接 AC，如图所示； 经过测量： = 60， 故答案为：60； （3）解：连接
36、 AB，与射线 ON 交于点 P，即为所求， 依据两点之间线段最短确定， 故答案为：两点之间线段最短 【分析】 （1）过点 A 作直线 l/ON 即可； （2）根据要求做出图形即可； （3）连接 AB，与射线 ON 交于点 P，即为所求。 28 【答案】（1）解：补全的图形如下： （2）解：过点作 于点，连接， 在 和 中， = ， = ， = ， （SSS） PAM=PAN =90 ， . ， = （角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 故答案为：，角的平分线上的点到角的两边的距离相等 【解析】【分析】 （1）根据作图过程即可补全图形； （2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证
37、明。 29 【答案】（1）解 145 （2）解：由（1）同理可得： = + ， = + ， 与的平分线交于点， = 2， = 2， = 2 + 2 = 2( + ) = 2， （3）解：由（1）同理可得： = + ， = + ， 与的平分线交于点， = 2， = 2， 2 = 2 + 2 = + ， 2 + = + + + = 360. 【解析】【解答】 （1）解：如图，过点作 ， 1 = ， ， ， 2 = ， = 1 + 2 = + = 45， = 80， = 80 45 = 35， = 180 35 = 145. 【分析】 （1）由已知结论EPF=AEP+CFP，可求出答案； （2） 由
38、已知结论得到EPF=AEP+CFP， EQF=AEQ+CFQ， 又因为 EQ， FQ 分别平分AEP，CFP，可得AEP=2AEQ，CFP=2CFQ，所以EPF=2EQF； （3）由已知结论和四边形内角和得到EPF 与EQF 的数量关系。 30 【答案】（1）解：依据题意补全图形； （2）证明：BCAM ACB=90 CAD+CDA=90 BEAD AEB=90 EBD+EDB=90 CDA=EDB CAD=CBE （3）解：结论： = 2 + 证明：过点 C 作 CMCE MAN=45 ，BCAM AC=BC ACB=ECM=90 ACBMCD=ECMMCD 即ACM=ECB 又CAD=CBE ACMBCE CE=CM，AM=BE 即CME 为等腰直角三角形 = 2 = + = 2 + 【解析】【分析】 （1）根据题意补全图形； （2）根据等腰直角三角形的性质得出AEB=90 ，再根据CDA=EDB，即可得出结论； （3）过点 C 作 CMCE再根据MAN=45 ，BCAM，得出 AC=BC， 再根据ACB=ECM=90 ，得出ACM=ECB，再证出 CME 为等腰直角三角形，即可得出结论
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