1、 专题专题 17 17 三角形三角形 一、单选题一、单选题 1如图，在 中， = 90， ，垂足为如果 = 6， = 3，则的长为（ ） A2 B32 C33 D332 2利用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（ ） A B C D 3将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（ ） ASSS BSAS CASA DAAS 4 （2021 八上 西城期末）如图是一个平分角的仪器，其中 = ， = 将点 A 放在一个角的顶点， AB 和 AD 沿着这个角的两边放下， 利用全等三角形的性质就能说明射线 AC 是这个角的平分线，这里判定ABC 和ADC 是全
2、等三角形的依据是（ ） ASSS BASA CSAS DAAS 5 （2021 八上 西城期末）已知三条线段的长分别是 4，4，m，若它们能构成三角形，则整数 m 的最大值是（ ） A10 B8 C7 D4 6（2021 八上 东城期末）如图， 在 中， AE 的垂直平分线 MN 交 BE 于点 C， 连接 AC 若 = ， = 5， = 6，则 的周长等于（ ） A11 B16 C17 D18 7 （2021 八上 平谷期末）如图，五根小木棒，其长度分别为 5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） A B C D 8如图， 四边形中， = ， = ， 我们把这
3、种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形” 下列关于筝形的结论正确的是（ ） A对角线 AC，BD 互相垂直平分 B对角线 BD 平分ABC，ADC C直线 AC，BD 是筝形的两条对称轴 D筝形的面积等于对角线 AC 与 BD 的乘积 9 （2021 八上 怀柔期末）已知：如图，在ABC 中，C=90 ，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，DEAB 于点 E若CAB=30 ，AB=6，则 DE+DB 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 10 （2021 九上 海淀期末）如图，A，B，C 是某社区的三栋楼，若在 AC 中点 D 处建一个 5G 基站，其覆盖半径为 300 m，则这三栋楼中在该
4、5G 基站覆盖范围内的是（ ） AA，B，C 都不在 B只有 B C只有 A，C DA，B，C 二、填空题二、填空题 11如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则1的度数为 . 12 （2021 八上 延庆期末）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数 2 的点 A，然后过点 A 作 ABOA，使 AB1；再以 O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点 P，那么点 P 表示的数是 13 （2022 八下 房山期中）若直线 = + 3与两坐标轴围成的三角形的面积为 6，则这条直线与轴的交点坐标为 14 （2021 八上 朝阳期
5、末）如图，ABC，A=70 ，点 D 在 BC 的延长线上，若ACD=130 ，则B= 15 （2021 八上 怀柔期末）三角形的两边长分别为 4 和 6，那么第三边的取值范围是 16 （2022 八下 海淀期中）两直角边分别为 6 和 8 的直角三角形，斜边上的中线的长是 17 （2022 八下 大兴期中）如图，在ABCD 中，AD10，AB7，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，则EC 的长为 18 （2021 八上 平谷期末）如图，CD90 ，ACAD，请写出一个正确的结论 19 （2021 八上 怀柔期末）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M(2，t-2)与点 N 关于过点(0，t)
6、且垂直于 y轴的直线对称 （1）当 t =-3 时，点 N 的坐标为 ； （2）以 MN 为底边作等腰三角形 MNP 当 t =1 且直线 MP 经过原点 O 时，点 P 坐标为 ； 若MNP 上所有点到 x 轴的距离都不小于 a(a 是正实数)，则 t 的取值范围是 (用含 a 的代数式表示) 20如图，在ABC 和DBC，BA=BD 中，请你添加一个条件使得ABC DBC，这个条件可以是 （写出一个即可） 三、综合题三、综合题 21 （2022 八下 大兴期中）如图，在四边形 ABCD 中，ADCD，BDAC 于点 O，点 E 是 DB 延长线上一点，OEOD，BFAE 于点 F （1）求
7、证：四边形 AECD 是菱形； （2）若 AB 平分EAC，OB3，BE5，求 EF 和 AD 的长 22 （2022 八下 房山期中）如图 1，在正方形中，点为边上一点，连接点在边上运动 （1）当点和点重合时（如图 2） ，过点做的垂线，垂足为点，交直线于点请直接写出与的数量关系 ； （2）当点在边上运动时，过点做的垂线，垂足为点，交直线于点（如图 3 ） ， （1） 中的结论依旧成立吗？请证明； （3）如图 4 ，当点在边上运动时，为直线上一点，若 = ，请问是否始终能证明 ？请你说明理由 23 （2022 八下 大兴期中）已知四边形 ABCD 是正方形，点 E 为射线 AC 上一动点（点
8、 E 不与 A，C重合） ，连接 DE，过点 E 作 EFDE，交射线 BC 于点 F，过点 D，F 分别作 DE，EF 的垂线，两垂线交于点 G，连接 CG （1）如图，当点 E 在对角线 AC 上时，依题意补全图形，并证明：四边形 DEFG 是正方形； （2）在（1）的条件下，猜想：CE，CG 和 AC 的数量关系，并加以证明； （3）当点 E 在对角线 AC 的延长线上时，直接用等式表示 CE，CG 和 AC 的数量关系 24 （2022 八下 大兴期中）对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 AB 和图形 M，给出如下的定义：若图形M 是以 AB为对角线的平行四边形，则称图形 M 是线段
9、 AB 的“关联平行四边形”点 A（8，a） ，点B（2，b） ， （1）当 a8，b2 时，若四边形 AOBC 是线段 AB 的“关联平行四边形”，则点 C 的坐标是 ； （2）若四边形 AOBC 是线段 AB 的“关联平行四边形”，求对角线 OC 的最小值； （3）若线段 AB 的“关联平行四边形”AOBC 是正方形，直接写出点 C 的坐标 25 （2022 朝阳模拟）已知等腰直角ABC 中， BAC90 ， ABAC， 以 A 为顶点作等腰直角ADE，其中 ADDE （1）如图 1，点 E 在 BA 的延长线上，连接 BD，若DBC30 ，若 AB6，求 BD 的值； （2）将等腰直角A
10、DE 绕点 A 顺时针旋转至图 2，连接 BE，CE，过点 D 作 DFCE 交 CE 的延长线于 F，交 BE 于 M，求证：BM12BE； （3）如图 3，等腰直角ADE 的边长和位置发生变化的过程中，DE 边始终经过 BC 的中点 G，连 接 BE，N 为 BE 中点，连接 AN，当 AB6 且 AN 最长时，连接 NG 并延长交 AC 于点 K，请直接写出ANK 的面积 26 （2021 八上 大兴期末）如图， ，AC 和 AE，AB 和 AD 是对应边，点 E 在边 BC 上，AB 与 DE 交于点 F （1）求证： = ； （2）若 = 35，求的度数 27 （2022 九上 昌平
11、期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图 1，点 A 在直线上，且 = = = 90，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型 （1）应用： 如图 2， 中， = 90， = ，直线经过点 C，过 A 作 于点 D，过 B作 于点 E求证： （2） 如图 3， 在中， E 为边上的一点， F 为边上的一点 若 = ， = 10， = 6，求的值 28 （2021 九上 西城期末）如图 1，在 中， = 90， = ，点 D，E 分别在边，上， = ，连接，点 F 在线段上，连接交于点 H （1）比较与的大小，并证明； 若 ，求证： = 2； （2）
12、将图 1 中的 绕点 C 逆时针旋转(0 90)， 如图 2 若 F 是的中点， 判断 = 2是否仍然成立如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. 29 （2021 八上 延庆期末）如图， 网格中的每个小正方形的边长都是 1， 每个小正方形的顶点叫做格点，点 A，B，C 均落在格点上 （1）计算线段 AB 的长度 ； （2）判断ABC 的形状 ； （3）写出ABC 的面积 ； （4）画出ABC 关于直线 l 的轴对称图形A1B1C1 30 （2022 八下 大兴期中）如图，菱形 ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 AD 的中点，过点A 作对角线 AC 的垂线，与 OE 的
13、延长线交于点 F，连接 FD （1）求证：四边形 AODF 是矩形； （2）若 AD10，ABC60 ，求 OF 和 OA 的长 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解： = 90， = 6， = 3， 根据勾股定理 = 2 2= 62 32= 33， ， SABC=12 =12 ，即12 33 3 =12 6 ， 解得： =332 故答案为：D 【分析】先利用勾股定理求出 AB 的值，再利用三角形的面积公式计算求解即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解：A、B、C 均不是高线 故答案为：D 【分析】利用作高的方法对每个选项一一判断即可。 3 【答案】A 【解析】【解
14、答】解：三根木条即为三角形的三边长， 即为利用确定三角形， 故答案为：A 【分析】根据三角形的稳定性及 SSS 的方法求解即可。 4 【答案】A 【解析】【解答】在ADC 和ABC 中 = = = 所以ADCABC（SSS） 故答案为：A 【分析】根据 SSS 证明三角形全等即可。 5 【答案】C 【解析】【解答】解：条线段的长分别是 4，4，m，若它们能构成三角形，则 4 4 4 + 4，即0 8 又为整数，则整数 m 的最大值是 7 故答案为：C 【分析】根据三角形的三边关系即可得出答案。 6 【答案】B 【解析】【解答】解： 垂直平分 AE， = 5 = = 5， = ， = 5， =
15、6， 的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16， 故答案为：B 【分析】根据垂直平分线的性质可得 AC=CE=5，再利用三角形的周长公式列出算式 AB+AC+BC 计算即可。 7 【答案】C 【解析】【解答】A、对于ABD，由于52+ 92= 106 122，则此三角形不是直角三角形，同理ADC也不是直角三角形，故不合题意； B、对于ABC，由于52+ 132= 194 122，则此三角形不是直角三角形，同理ADC 也不是直角三角形，故不合题意； C、对于ABC，由于52+ 122= 169 = 132，则此三角形是直角三角形，同理BDC 也是直角三角形，故符合题意； D、对于ABC，由于5
16、2+ 122= 169 152，则此三角形不是直角三角形，同理BDC 也不是直角三角形，故不合题意 故答案为：C 【分析】利用直角三角形的判定方法判断即可。 8 【答案】B 【解析】【解答】解： 四边形中， = ， = ， 是的垂直平分线， 而不一定是的垂直平分线，故 A 不符合题意； = ， = ， = ， ， = ， = ， 对角线 BD 平分ABC，ADC，故 B 符合题意； ， 直线 BD 是筝形的两条对称轴，故 C 不符合题意； 如图，记对角线的交点为， 筝形= + =12 +12 =12 ， 筝形的面积等于对角线 AC 与 BD 的乘积的一半，故 D 不符合题意； 故答案为：B 【
17、分析】由线段垂直平分线的判定可判断 A 选项；通过证明 ，得出 =， = ， 可判断 B 选项；根据轴对称性质可判断 C 选项；利用三角形的面积可判断D 选项。 9 【答案】B 【解析】【解答】解：C=90 ，AD 平分CAB， DEAB， DE=CD， DE+BD=CD+BD=BC， 又CAB=30 ，AB=6， =12 = 3， 故答案为：B 【分析】先求出 DE=CD，再根据CAB=30 ，AB=6，求解即可。 10 【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示：连接 BD， = 300， = 400， = 500， 2= 2+ 2， 为直角三角形， D 为 AC 中点， = = = 250
18、， 覆盖半径为 300 ， A、B、C 三个点都被覆盖， 故答案为：D 【分析】连接 BD，先证出为直角三角形，根据 D 为 AC 中点，得出 = = = 250，即可得出答案。 11 【答案】70 【解析】【解答】解：如图，由三角形的内角和定理得：2 = 180 50 60 = 70， 图中的两个三角形是全等三角形，在它们中，边长为和的两边的夹角分别为2和1， 1 = 2 = 70， 故答案为：70 【分析】根据全等三角形的性质求解即可。 12 【答案】5 【解析】【解答】解：在 RtOAB 中，OA=2，AB=1， OB=2+ 2=22+ 12=5， 以点 O 为圆心，OB 为半径与正半轴
19、交点 P 表示的数为5 故答案为：5 【分析】先利用勾股定理求出 OB 的长，再在数轴上表示出点 P 的数即可。 13 【答案】(4，0)或(4，0)或(4，0)或(4，0) 【解析】【解答】解：直线 = + 3与 y 轴的交点坐标为（0，3） ， 设直线 = + 3与 x 轴交点的坐标为（m，0） ， 由题意可得：12| 3 = 6， 解得 = 4或 = 4， 即直线 = + 3与 x 轴交点的坐标为(4，0)或(4，0)， 故答案为：(4，0)或(4，0) 【分析】先求出直线 = + 3与 y 轴的交点坐标为（0，3） ，可设设直线 = + 3与 x 轴交点的坐标为（m，0） ，可得12|
20、 3 = 6，据此求出 m 值即可. 14 【答案】60 【解析】【解答】由三角形的外角性质得，B=ACD-A=130 -70 =60 故答案为 60 【分析】根据三角形外角的性质可得B=ACD-A，再计算即可。 15 【答案】2a10 【解析】【解答】解：三角形的两边长分别为 4 和 6，第三边的长为 a， 根据三角形的三边关系，得：6-4a6+4，即：2a10 故答案为：2a10 【分析】利用三角形的三边关系先求出 6-4a6+4，再求解即可。 16 【答案】5 【解析】【解答】解：直角三角形两条直角边分别是 6、8， 斜边长为62+ 82=36 + 64 =100 = 10， 斜边上的中
21、线长为12 10 = 5 故答案为：5 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案。 17 【答案】3 【解析】【解答】解：AE 平分BAD 交 BC 边于点 E， BAE=EAD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD=BC=10， DAE=AEB， BAE=AEB， AB=BE=7， EC=BC-BE=10-7=3， 故答案为：3 【分析】由角平分线的定义可得BAE=EAD，由平行四边形的性质可得 ADBC，AD=BC=10，利用平行线的性质可得DAE=AEB，从而得出BAE=AEB，利用等角对等边可得 AB=BE=7，根据EC=BC-BE 即
22、可求解. 18 【答案】BCBD 【解析】【解答】解：在 RtACB 和 RtADB 中， = = ， ACBADB（HL） ， BCBD， 故答案为：BCBD（答案不唯一） 【分析】利用 HL 求出ACBADB，再求解即可。 19 【答案】（1）(2，-1) （2）(-2，1)；ta+2 或 t-a-2 【解析】【解答】 （1）过点(0，t)且垂直于 y 轴的直线解析式为 y=t 点 M(2，t-2)与点 N 关于过点(0，t)且垂直于 y 轴的直线对称 可以设 N 点坐标为（2，n） ，且 MN 中点在 y=t 上 +22= ，记得 = + 2 点 N 坐标为(2， + 2) 当 t =-
23、3 时，点 N 的坐标为(2， 1) （2）以 MN 为底边作等腰三角形 MNP，且点 M(2，t-2)与点 N 直线 y=t 对称 点 P 在直线 y=t 上，且 P 是直线 OM 与 y=1 的交点 当 t =1 时 M(2，-1)，N(2，3) OM 直线解析式为 = 12 当 y=1 时1 = 12， = 2 P 点坐标为(-2，1) 由题意得，点 M 坐标为(2，t-2)，点 N 坐标为(2， + 2)，点 P 坐标为(，) 2 + 2，MNP 上所有点到 x 轴的距离都不小于 a 只需要| 2| 或者| + 2| 当 M、N、P 都在 x 轴上方时，0 2 + 2，此时 2 ，解得
24、 ta+2 当MNP 上与 x 轴有交点时，此时MNP 上所有点到 x 轴的距离可以为 0，不符合要求； 当 M、N、P 都在 x 轴下方时， 2 + 2 0，此时| + 2| ，解得 t-a-2 综上 ta+2 或 t-a-2 【分析】 （1）先求出+22= ，再求出点 N 坐标为(2， + 2)，最后求解即可； （2）先求出 OM 直线解析式为 = 12，再求点的坐标即可； 先求出| 2| 或| + 2| ，再分类讨论计算求解即可。 20 【答案】 = （答案不唯一） 【解析】【解答】添加 CA=CD，则由边边边的判定定理即可得ABC DBC 故答案为：CA=CD（答案不唯一） 【分析】根
25、据三角形全等的判定方法求解即可。 21 【答案】（1）证明： ， = = 90， 在 和 中， = = ， （HL） ， AO=CO， 又OE=OD， 四边形 AECD 为菱形 （2）解：AB 平分 ， BF=BO=3， 在 中，由勾股定理可得， = 2 2= 52 32= 4， 在 和 中， = = ， （HL） ， AO=AF， 设 AO=AF=x，AE=4+x， 在 中，由勾股定理可得， 2= 2+ 2， 得( + 4)2= 82+ 2， 解得 = 6， AE=4+6=10， 即 AD=10， EF 和 AD 的长分别为 4 和 10 【解析】【分析】 （1）根据 HL 证明 RtOAD
26、RtCOD，可得 AO=CO， 结合 OE=OD，可证四边形AECD 为平行四边形，由 BDAC 即证四边形 AECD 为菱形； （2）由角平分线的性质可得 BF=BO=3，由勾股定理求出 EF=4，根据 HL 证明 RtABFRtABO，可得 AO=AF，设 AO=AF=x，可得 AE=4+x，在 RtAOE 中，由勾股定理可建立关于 x 方程并解之即可. 22 【答案】（1）相等 （2）解：成立，证明如下： 如图，过点作 于点， ， ， 又四边形是正方形， /， 四边形是平行四边形， = ， 正方形， = = 90， = ， + = 90， + = 90， = ， 在 与 中， = = =
27、 ， （） ， = ， = （3）不一定，理由如下： 如图，以点为圆心，以线段的长为半径作弧，与直线交于点及点 连接、，交于点，交于点，过点作 交于点， = ， = ， = = ， 四边形是正方形， /， = ， = = 90， 四边形是平行四边形， = ， = ， 在 与 中 = = ， （） ， = ， + = 90， + = 90， = 90， ， ， = 90， 90， 与不垂直，但= = ， 综上所述：若 = ，与不一定始终垂直 【解析】【解答】 （1）解：四边形是正方形， = = 90， = ， + = 90， ， + = 90， = ， 在 和 中 = = = （） = ， 点和
28、点重合， = = 故答案为：相等 【分析】 （1）MN=BE.根据 ASA 证明ABEBCN，可得 BE=CN=MN； （2）成立.理由：过点作 于点，可证四边形是平行四边形，可得 = ， 根据 ASA 证明ADFBAE，可得 BE=AF，即得结论； （3） 不一定， 理由： 如图， 以点为圆心， 以线段的长为半径作弧， 与直线交于点及点 ， 连接、 ， 交于点， 交于点， 过点作 交于点， 可得= = ，再证四边形是平行四边形，可得 AH=MN=BE，根据 HL 证明 ，可得 = ，从而求出 = 90， 即得 AHBE，由 MNBE，可得GOM=90 ，即得 90，继而得出与不垂直，但= =
29、 ，据此判断即可. 23 【答案】（1）解：过点 E 作 EMBC，垂足为 M，作 ENCD，垂足 N， 四边形 ABCD 为正方形， BCD90 ，且ECN45 EMC=ENC=BCD=90 ，NE=NC， 四边形 EMCN 是正方形， EM=EN， EFDE，DGDE，FGEF， 四边形 DEFG 为矩形， DEN+NEF=90 ，MEF+NEF=90 ， DEN=MEF， 又DNE=FME=90 ， 在DEN 和FEM 中， = = = ， DENFEM， ED=EF， 四边形 DEFG 是正方形； （2）CE+CG=AC， 证明：四边形 DEFG 是正方形， DE=DG，EDC+CDG
30、=90 ， 四边形 ABCD 是正方形， AD=DC，ADE+EDC=90 ， ADE=CDG， 在ADE 和CDG 中， = = = ， ADECDG， AE=CG， CE+CG=CE+AE=AC； （3）CG=AC+CE， 如图： 四边形 ABCD 为正方形，四边形 DEFG 为正方形， AD=CD，ADC=90 ，ED=GD，且GDE=90 ， ADE=ADC+CDE=GDE+CDE=GDC， 在ADE 和CDG 中， = = = ， ADECDG， AE=CG=AC+CE； 【解析】【分析】 （1） 过点 E 作 EMBC， 垂足为 M， 作 ENCD， 垂足 N， 先证四边形 DEF
31、G 为矩形，再证明DENFEM（ASA） ，可得 DE=EF，根据正方的判定定理即证； （2）CE+CG=AC，证明：根据 SAS 证明ADECDG，可得 AE=CG，从而得出 CE+CG=CE+AE =AC； （3） CG=AC+CE， 理由：根据 SAS 证明ADECDG，可得 AE=CG，继而得解. 24 【答案】（1） （10，6） （2）解：如图所示，连接 OC， 设点 C（x，y） ，A（8，a） ，B（2，b） ， 四边形 AOBC 是线段 AB 的“关联平行四边形”， AOBC，AO=BC， 得出：8 0 = 2 0 = ， 解得： = 10 = + ， C（10，a+b） ，
32、 = 102+ ( + )2， 当 a+b=0 时， OC 最小为 10； （3）解：如图所示，当点 B 在 x 轴上方，点 A 在 x 轴下方时，过点 A 作 AHx 轴，过点 B 作 BGx 轴， AHO=BGO=90 ， 四边形 OACB 为正方形， OA=OB，AOB=90 ， AOH+BOG=90 ， AOH+OAH=90 ， OAH=BOG， AOHBOG， AH=OG=2，OH=BG=8， A（8，2） ，B（2，-8） ， 由（2）可得：C（10，-6） ； 如图所示，当点 B在 x 轴下方，点 A在 x 轴上方时， 同理可得：A（8，-2） ，B（2，8） ， 由（2）可得：
33、C（10，6） ； 综上可得：点 C 的坐标为（10，-6）或（10，6） 【解析】【解答】 （1）解：如图所示，设点 C（x，y） ， 四边形 AOBC 是线段 AB 的“关联平行四边形”， AOBC，AO=BC， 得出：8 0 = 28 0 = + 2， 解得： = 10 = 6， C（10，6） ； 故答案为： （10，6） ； 【分析】 （1）由 A、B 坐标，根据平行四边形的性质及平移的性质，可求出点 C 坐标； （2）如图所示，连接 OC， 先用含 ab 的式子表示出平行四边形对角线交点的坐标，利用勾股定理求出 OC，根据偶次幂的非负性即可求出 OC 最小值； （3） 分两种情况：
34、如图所示，当点 B 在 x 轴上方，点 A 在 x 轴下方时，过点 A 作 AHx 轴，过点B 作 BGx 轴，证明AOHBOG，可得 AH=OG=2，OH=BG=8，即得 A（8，2） ，B（2，-8） ，由（2）可得 C（10，-6） ；如图所示，当点 B在 x 轴下方，点 A在 x 轴上方时，同理可求出结论. 25 【答案】（1）解：如图 1，过点 B 作 BTDA 交 DA 延长线于 T， ABC、ADE 都是等腰直角三角形， EAD=ABC=45 ， DTBC， BAT=ABC=45 ，ADB=DBC=30 ， T=90 ，AB=6， BT=AT=32， BD=2BT=62； （2）
35、证明：如图 2，延长 ED 到 R，使 DR=DE，连接 AR、BR，延长 RB 交 CF 的延长线于 J， ADE=90 ， ADER， DR=DE， AD 垂直平分 RE， AR=AE， AD=DR=DE， RAE=BAC=90 ， RAB=EAC， AR=AE，AB=AC， RABEAC（SAS） ， ABR=ACE， ABR+ABJ=180 ， ACJ+ABJ=180 ， J+BAC=180 ， BAC=90 ， J=90 ， DFCF， DFC=J=90 ， DFRJ， =， DE=DR， EM=BM， BM= 12BE； （3）解：=92+27510 【解析】【解答】解： （3）取
36、 AB 的中点 Q，连接 QN、QG，取 QG 的中点 P，连接 PA、PN、CE， AB=AC，BAC=90 ，点 G 为 BC 的中点， AGC=AGB=90 ，AEG=ACG=45 ，AG=BG=CG， A、G、E、C 四点共圆， AEC=AGC=90 ， BN=NE，BG=GC，BQ=AQ， NGCE，QNAE， QNG=AEC=90 ， GA=GB，AQ=QB，AGB=90 ， GQ=QA=QB=3，AQG=90 ， PQ=PG= 32， NP= 12QG=32，AP=2+ 2=352， ANPA+PN， 当 A、P、N 三点共线时，AN 最大，最大值为32+352，过点 G 作 G
37、MAC 于 M， PN=PG， PNG=PGN， BG=GC，BQ=AQ， GQAC， PGN=AKN， PNC=AKN，即ANK=AKN， AK=AN=32+352， AGC=90 ，AG=GC，GMAC， GM=12AC=3， =12 (32+352) 3 =94+954， PQ=PG， SAPG=SAQP=12 AQ PQ=12 332=94， =32+352352=55+ 1， = (55+ 1) 94=9520+94， = + =92+27510 【分析】（1） 过点 B 作 BTDA 交 DA 延长线于 T， 证明 BAT=ABC=45 ， ADB=DBC=30 ， 求出 BT，可
38、得 BD=2BT； （2） 延长 ED 到 R，使 DR=DE，连接 AR、BR，延长 RB 交 CF 的延长线于 J， 证明RABEAC（SAS） ，再证明 DFRJ， 根据平行线分线段成比例定理可得=， 可证 BM= 12BE； （3）取 AB 的中点 Q，连接 QN、QG，取 QG 的中点 P，连接 PA、PN、CE，先证明 A、G、E、C 四点共圆，再证明当 A、P、N 三点共线时，AN 最大，最大值为32+352，过点 G 作 GMAC 于 M，再求出和，即可求出。 26 【答案】（1）证明： ， BAC=DAE， 即CAE+BAE=BAD+BAE， = ； （2）解： = 35，
39、= ， CAE=35 ， ， C=AED， AEB=C+CAE，AEB=AED+BED， BED=CAE=35 【解析】【分析】 （1）先求出 BAC=DAE， 再证明求解即可； （2）先求出 CAE=35 ， 再求出 C=AED， 最后计算求解即可。 27 【答案】（1）证明： ， ， = = 90， + = 90， = 90， + = 90， = ， = ， 在 和 中， = = 90 = = ， ()； （2）解：如图，在的延长线上取点 M，使 = ，连接， = ， 四边形是平行四边形， = = 10， ， = = ， = + = + ， = ， = ， ， =610=35 【解析】【分
40、析】 （1）利用“AAS”证明 即可； （2）在的延长线上取点 M，使 = ，连接，先证明 ，再利用全等三角形的性质可得=610=35。 28 【答案】（1）证明：CAE=CBD，理由如下： 在CAE 和 CBD 中， = = = ， CAECBD（SAS） ， CAE=CBD； CFAE， AHC=ACB=90 ， CAH+ACH=ACH+BCF=90 ， CAH=BCF， DCF+BCF=90 ，CDB+CBD=90 ，CAE=CBD， BDC=FCD，CAE=CBD=BCF， CF=DF，CF=BF， BD=2CF， 又CAECBD， AE=2BD=2CF； （2）解：AE=2CF 仍然
41、成立，理由如下： 如图所示延长 DC 到 G 使得，DC=CG，连接 BG， 由旋转的性质可得，DCE=ACB=90 ， ACD+BCD=BCE+BCD，ECG=90 ， ACD=BCE， ACD+DCE=BCE+ECG，即ACE=BCG， 又CE=CD=CG，AC=BC， ACEBCG（SAS） ， AE=BG， F 是 BD 的中点，CD=CG， CF 是BDG 的中位线， BG=2CF， AE=2CF 【解析】【分析】 （1）利用 SAS 证出CAECBD，即可得出CAE=CBD；利用三角形全等得出CAECBD，即可得出结论； （2）AE=2CF 成立，延长 DC 到 G 使得，DC=C
42、G，连接 BG，由旋转的性质得DCE=ACB=90 ，利用 SAS 证出ACEBCG，得出 AE=BG，根据中点的性质得出 CF 是BDG 的中位线，由此得出结论。 29 【答案】（1）10 （2）直角三角形 （3）5 （4）解：图形如图所示： 【解析】【解答】解： （1） = 12+ 32= 10 （2） = 12+ 32= 10， = 22+ 42= 25 2+ 2= 20 = 2 ABC 的形状是一个直角三角形 （3）由（2）可知ABC 是直角三角形 =12 =1210 10 = 5 【分析】 （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可； （3）利用三角形的面积公式
43、计算即可； （4）根据轴对称的性质作出点 A、B、C 的对称点，再连接即可。 30 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 为菱形， ， ， ， = ， 点 E 是 AD 中点， AE=DE， 在 和 中， = = = ， （ASA） ， OE=EF， 四边形 AODF 为平行四边形， ， 四边形 AODF 为矩形 （2）解：由（1）可知四边形 AODF 为距形， AD=OF=10， = 60， = 30， =12 = 5， OF 和 OA 的长分别为 10 和 5 【解析】【分析】 （1） 由点 E 是 AD 中点， 可得 AE=DE， 根据 ASA 证明 AEFDEO， 可得 OE=EF，根据对角线互相平分可证四边形 AODF 为平行四边形， 由菱形的性质可知 ACBD， 即得AOD=90 ，根据矩形的判定定理即证； （2）由矩形的性质可得 AD=OF=10，由菱形的性质可得ABO=12ABC=30 ，AB=AD=10，从而得出OA=12AB=5.
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