1、 专题专题 16 16 二次函数二次函数 一、单选题一、单选题 1下列函数中是二次函数的是（ ） A = 1 B =12 C = ( 2)2 2 D = ( 1) 2下列函数中，属于二次函数的是（ ） A = 2+ B = ( 1)2 2 C = 52 D =22 3在平面直角坐标系 xOy 中， 下列函数的图象过点（-1，1）的是（ ） A = 1 B = + 1 C =1 D = 2 4 （2021 九上 松江期末）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ） Ab0，c0 Bb0，c0 Cb0，c0 Db0，c0 5 （2021 九上 虹口期末）如图
2、所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而 AB 宽为 20 米，拱桥的最高点 O 到水面 AB 的距离为 4 米 如果此时水位上升 3 米就达到警戒水位 CD， 那么 CD 宽为 （ ） A45米 B10 米 C46米 D12 米 6 （2021 九上 宝山期末）把抛物线 = ( 1)2+ 3向左平移 2 个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ） A = ( 1)2+ 5 B = ( 1)2+ 1 C = ( + 1)2+ 3 D = ( 3)2+ 3 7 （2021 九上 静安期末）将抛物线 = 2 2向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（ ） A(1，
3、1) B(1，1) C （1，0） D （0，0） 8 （2022 浦东模拟）如果将抛物线向右平移 2 个单位后得到 = 2，那么原抛物线的表达式是（ ） A = 2+ 2 B = 2 2 C = ( + 2)2 D = ( 2)2 9 （2021 九上 崇明期末）若将抛物线 = 22向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A = 22+ 3 B = 22 3 C = 2( 3)2 D = 2( + 3)2 10 （2021 九上 奉贤期末）从图形运动的角度研究抛物线， 有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线 = 2+ 2绕着原点旋转 180 ，那么关于旋转后所得新抛物线与原
4、抛物线之间的关系，下列法正确的是（ ） A它们的开口方向相同 B它们的对称轴相同 C它们的变化情況相同 D它们的顶点坐标相同 二、填空题二、填空题 11 （2021 九上 宝山期末）如果抛物线 = 2+ 2 + 1的顶点在轴上，那么的值是 12 （2021 九上 嘉定期末）抛物线 = 2+ 2经过点(2，6)，那么 a= 13 （2021 九上 虹口期末）已知点(1，1)、(2，2)为函数 = 2( 1)2+ 3的图象上的两点，若1 2”、“=”或“”） 14 （2021 九上 虹口期末）已知二次函数 = ( 1)2+ + 2 1的图像经过原点，则 a 的值是 15 （2021 九上 静安期末
5、）如果抛物线 = 2+ + 4的顶点在轴上，那么常数 m 的值是 16 （2021 九上 黄浦期末）已知一条抛物线经过点(0，1)，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物战的表达式可以是 （写出一个即可） 17 （2021 九上 虹口期末）如果抛物线过点(2，3)，且与 y 轴的交点是(0，3)，那么抛物线的对称轴是直线 18 （2021 九上 金山期末）抛物线 = 2经过点(1， 2)，那么这个抛物线的开口向 19 （2021 九上 黄浦期末）如果抛物线 = 2+ 1的对称轴是轴，那么顶点坐标为 20 （2021 九上 嘉定期末）抛物线 = 2 2 + 1的对称轴是 三、综合题三、综合题 21
6、 （2021 九上 崇明期末）如图，抛物线 y=34x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 B(0，3)，点 M(m，0)为线段 OA 上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N （1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）如果以点 P、N、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，求 m 的值； （3）如果以 B、P、N 为顶点的三角形与ABO 相似，求点 M 的坐标 22 （2022 上海市）已知： =122+ + 经过点(2， 1)，(0， 3) （1）求函数解析式； （2）平移抛物线使得新顶点为(，)（m
7、0） 倘若= 3，且在 = 的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； 在原抛物线上，新抛物线与轴交于， = 120时，求点坐标 23 （2021 九上 静安期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 = 2+ 经过点 A（2，0）和点(1，)，顶点为点 D （1）求直线 AB 的表达式； （2）求 tanABD 的值； （3）设线段 BD 与轴交于点 P，如果点 C 在轴上，且 与 相似，求点 C 的坐标 24 （2021 九上 黄浦期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 3 4( 0)与轴交于(1，0)，两点与轴交于点 C， 点 M 是抛物线的顶点， 抛物线的对称轴与 BC 交于点 D
8、， 与轴交于点 E （1）求抛物线的对称轴及 B 点的坐标 （2）如果 =158，求抛物线 = 2 3 4( 0)的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点 F 是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方， = ，求点的坐标 25（2021 九上 青浦期末）如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 = 2+ + 与 x 轴交于点 A （-1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为点 D （1）求该抛物线的表达式及点 C 的坐标； （2）联结 BC、BD，求CBD 的正切值； （3）若点 P 为 x 轴上一点，当BDP 与ABC 相似时，求点 P 的坐标 26 （2021 九上
9、 宝山期末）已知在平面直角坐标系中，拋物线 = 2+ + ( 0)经过点(1，0)、(3，0)，(0，3)，顶点为点 （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）联结、，试判断 与 是否相似，并证明你的结论； （3）抛物线上是否存在点，使得 = 45如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由 27 （2021 九上 杨浦期末）已知在平面直角坐标系中，拋物线 = 122+ + 与轴交于点(1，0)和点，与轴交于点(0，2)，点是该抛物线在第一象限内一点，联结，与线段相交于点 （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标； （3）过点作 轴，垂足为
10、点，与线段交于点，如果 = ，求线段的长度 28 （2022 九下 普陀期中）在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知抛物线 y=x2 - bx+c 经过 A（-1.2） 、B（0，-1）两点 （1）求抛物线的表达式及顶点 P 的坐标； （2）将抛物线 y=x2 - bx+c 向左平移（3+1）个单位，设平移后的抛物线顶点为点 P 求BPP 的度数； 将线段 PB 绕点 B 按逆时针方向旋转 150 ， 点 P落在点 M 处， 点 N 是平移后的抛物线上的一点，当MNB 的面积为 1 时，求点 N 的坐标 29（2021九上 浦东期末）已知， 二次函数 = 2+ + 的图像与x轴交于点(1
11、，0)， 点(3，0)， 与y 轴交点 C （1）求二次函数解析式； （2）设点(，0)为 x 轴上一点，且 = ，求 t 的值； （3）若点 P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，联结 BC，过点 P 作 ，交 BC 于点 Q，求线段 PQ 的最大值及此时点 P 的坐标 30 （2021 九上 静安期末）我们将平面直角坐标系中的图形 D 和点 P 给出如下定义：如果将图形 D绕点 P 顺时针旋转 90 得到图形，那么图形称为图形 D 关于点 P 的“垂直图形”已知点 A 的坐标为(2，1)，点 B 的坐标为（0，1） ， 关于原点 O 的“垂直图形”记为 ，点 A、B 的对应点分别为点， （
12、1）请写出：点的坐标为 ；点的坐标为 ； （2）请求出经过点 A、B、的二次函数解析式； （3）请直接写出经过点 A、B、的抛物线的表达式为 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 = 1是一次函数，不是二次函数，故 A 不符合题意； B、 =12函数关系式不是整式，不是二次函数，故 B 不符合题意； C、 = ( 2)2 2= 2 4 + 4 2= 4 + 4， 是一次函数， 不是二次函数， 故 C 不符合题意； D、 = ( 1) = 2 是二次函数，故 D 符合题意； 故答案为：D 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。 2 【答案】C 【解析】【解答】解：
13、A、是二次根式的的形式，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、 = ( 1)2 2= 2 2 + 1 2= 2 + 1，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、 =22= 22，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。 3 【答案】D 【解析】【解答】解：当 x=-1 时， = 1 1 = 2 1， = 1图象不过点(1，1)，选项 A 不合题意； 当 x=-1 时， = (1) + 1 = 1 + 1 = 2 1， = + 1图象不过点(1，1)，选项 B 不合题意； 当 x=-1 时， =1=11= 1
14、 1， =1图象不过点(1，1)，选项 C 不合题意； 当 x=-1 时， = (1)2= 1， = 2图象过点(1，1)，选项 D 合题意； 故答案为：D 【分析】根据一次函数的图象以及反比例函数的图象判断即可。 4 【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线对称轴在 y 轴右侧， 20， b0， 抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方， c0 故答案为：D 【分析】根据二次函数 yax2+bx+c 的图象与性质对每个选项一一判断即可。 5 【答案】B 【解析】【解答】以 O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为 y 轴，过 O 点作 y 轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线
15、的解析式为 y=ax2， O 点到水面 AB 的距离为 4 米， A、B 点的纵坐标为-4， 水面 AB 宽为 20 米， A（-10，-4） ，B（10，-4） ， 将 A 代入 y=ax2， -4=100a， = 125， = 1252， 水位上升 3 米就达到警戒水位 CD， C 点的纵坐标为-1， 1 = 1252 x= 5， CD=10， 故答案为：B 【分析】先建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为 y=ax2，再求出解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：把抛物线 = ( 1)2+ 3向左平移 2 个单位长度，所得直线解析式为： = ( 1
16、+ 2)2+ 3，即 = ( + 1)2+ 3； 故答案为：C 【分析】利用抛物线解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。 7 【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线 = 2 2化成顶点式为 = ( 1)2 1，顶点坐标为（1，-1） ，将抛物线 = 2 2向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（0，0） ， 故答案为：D 【分析】先利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，再根据点坐标平移的性质求解即可。 8 【答案】C 【解析】【解答】解：将抛物线向右平移 2 个单位后得到 = 2， 抛物线 = 2向左移 2 个单位得原函数解析式 = ( + 2)2， 故
17、答案为：C 【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。 9 【答案】A 【解析】【解答】由“上加下减”的原则可知，将二次函数 y2x2向上平移 3 个单位可得到函数 y2x23， 故答案为：A 【分析】根据抛物线平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。 10 【答案】B 【解析】【解答】解：抛物线 = 2+ 2的开口向上，对称轴为 y 轴，顶点坐标为(0，2)，将此抛物线绕原点旋转 180 后所得新抛物线的开口向下，对称轴仍为 y 轴，顶点坐标为(0，2)，所以在四个选项中，只有 B 选项符合题意 故答案为：B 【分析】根据旋转的性质得出对称轴仍为 y 轴及顶点坐标，再判断
18、即可。 11 【答案】2 【解析】【解答】解： = 2+ 2 + 1 = ( + 1)2+ 2， 二次函数顶点坐标为(1， 2) 顶点在 x 轴上， 2 = 0， m=2 故答案为：2 【分析】 先利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式可得二次函数的顶点坐标(1， 2)， 再根据顶点在 x 轴上，可得 2 = 0，再求出 m 的值即可。 12 【答案】1 【解析】【解答】抛物线 = 2+ 2经过点(2，6)， 6=4a+2， 解得 a=1， 故答案为：1 【分析】先求出 6=4a+2，再解方程即可。 13 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线 = 2( 1)2+ 3的对称轴为直线 =
19、 1 ， 且开口向下， 在对称轴的左侧 随 的增大而增大， 1 2 0 1， 1 2 故答案为： 【分析】根据题意得出抛物线的对称轴，且开口向下，得出在对称轴的左侧 随 的增大而增大，再根据1 2 0 1，即可得出答案。 14 【答案】1 【解析】【解答】解：二次函数 = ( 1)2+ + 2 1的图像经过原点(0，0) 1 02 1 = 0 = 1 故答案是：1 【分析】将点（0，0）代入二次函数解析式 = ( 1)2+ + 2 1求出 a 的值即可。 15 【答案】 4 【解析】【解答】 = 2+ + 4 = ( +2)2+ 4 24， 二次函数顶点坐标为(2，4 24) 顶点在 x 轴上
20、， 4 24= 0， = 4 故答案为： 4 【分析】根据二次函数解析式，得出顶点坐标，再根据顶点在 x 轴上，即可得出 m 的值。 16 【答案】y=-x2+1 【解析】【解答】解：在对称轴右侧部分是下降， 设抛物线的解析式可以为 y=-x2+b， 经过点（0，1） ， 解析式可以是 y=-x2+1， 故答案为：y=-x2+1 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再将点代入即可得出答案。 17 【答案】x=-1 【解析】【解答】解：当 x=-2 和 x=0 时，y 的值都是 3 该抛物线的对称轴是直线 =2+02= 1 故答案为： = 1 【分析】根据点(2，3)和点(0，3)的 y
21、值相等，即可得到两点关于对称轴对称，再利用对称轴的公式求解即可。 18 【答案】下 【解析】【解答】解：抛物线 = 2经过点(1， 2)， = 2 ， 2 0 ， 这个抛物线的开口向下 故答案为：下 【分析】利用待定系数法求二次函数解析式，即可得出开口方向。 19 【答案】（0，-1） 【解析】【解答】 = 2+ 1中 a=-1，b=b 故 = 2= 2(1)= 0 解得 = 0 故抛物线为 = 2 1 将 = 0代入 = 2 1有 = 02 1 = 1 故顶点坐标为（0，-1） 故答案为： （0，-1） 【分析】根据抛物线的对称轴为 y 轴可得 = 2= 2(1)= 0，求出 b=0，即可得
22、到抛物线的顶点坐标。 20 【答案】直线 = 1 【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是直线 x=22(1)= 1， 故答案为：直线 = 1 【分析】根据 抛物线 = 2 2 + 1 求对称轴即可。 21 【答案】（1）解：抛物线 y=34x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 B(0，3)， 34 42+ 4 + = 0 = 3， 解得： =94 = 3， 抛物线的解析式为 y=34x2+94x+3， y=34x2+94x+3=34(x-32)2+7516， 此抛物线的对称轴为 x=32， 顶点坐标为(32，7516) （2）解：设直线 AB 的解析式为 y=px+q
23、， 把 A（4，0） ，B（0，3）代入得4 + = 0 = 3， 解得： = 34 = 3， 直线 AB 的解析式为 y=34 + 3， M（m，0） ，MNx 轴， N（m，34m2+94m+3） ，P（m，34 + 3） ， NP=34m2+3m，OB=3， NPOB，且以点 P、N、B、O 为顶点的四边形为平行四边形， NP= OB，即34m2+3m=3， 整理得：m2-4m+4=0， 解得：m=2 （3）解：A（4，0） ，B（0，3） ，P（m，34 + 3） ， AB=42+ 32=5，BP=2+ (34 + 3 3)2=54， 而 NP=34m2+3m， PNOB， BPN=A
24、BO， 当=时，BPNOBA， 即543=342+35， 整理得 9m2-11m=0，解得 m1=0（舍去） ，m2=119， 此时 M 点的坐标为（119，0） ； 当=时，BPNABO， 即545=342+33， 整理得 2m2-5m=0，解得 m1=0（舍去） ，m2=3， 此时 M 点的坐标为（3，0） ； 综上所述，点 M 的坐标为（119，0）或（3，0） 【解析】【分析】 （1）把点 A 和点 B 的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式化为顶点式即可； （2）分析可得，OB/PN，若点 P、N、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，则有 BO=PN，表达出点
25、P 和点 N 的坐标，求出 PN 的长，建立等式求解即可； （3）根据题意画出图形，可得到AMP=90 ，且APM=BPN，若点 B、P、N 为顶点的三角形与三角形 APM 相似，只需ABN=90 或BNP=90 ，画出图形求解即可。 22 【答案】（1）解：把(2， 1)，(0， 3)代入 =122+ + ，得 1 = 2 2 + 3 = ，解得： = 0 = 3， 函数解析式为： =122 3； （2）解： =122 3， 顶点坐标为（0，-3） ，即点 B 是原抛物线的顶点， 平移抛物线使得新顶点为(，)（m0） 抛物线向右平移了 m 个单位， =12 3 = 3， m=2， 平移抛物线
26、对称轴为直线 x=2，开口向上， 在 = 的右侧，两抛物线都上升， 又原抛物线对称轴为 y 轴，开口向上， k2， 把 P（m，n）代入 =122 3，得 n=122 3， P（m， 122 3） 根据题意，得新抛物线解析式为：y=12（x-m）2+n=12x2-mx+m2-3， Q（0，m2-3） ， B（0，-3） ， BQ=m2，BP2=2+ (122 3 + 3)2= 2+144， PQ2=2+ (122 3) (2 3)2= 2+144， BP=PQ， 如图，过点 P 作 PCy 轴于 C，则 PC=|m|， BP=PQ，PCBQ， BC=12BQ=12m2，BPC=12BPQ=12
27、 120 =60 ， tanBPC= tan 60 =122|=3， 解得：m= 23， n=122 3=3， 故 P 的坐标为（23，3）或（-23，3） 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出 =12 3 = 3， 再求出 m=2，最后计算求解即可； 先求出 BP=PQ， 再利用锐角三角函数计算求解即可。 23 【答案】（1）解：抛物线 = 2+ 经过点 A（2，0） ， 22+ 2 = 0 ，解得： = 2 ， 抛物线解析式为 = 2 2， 当 = 1 时， = 3 ， 点 B 的坐标为(1，3) ， 设直线 AB 的解析式为 = + ( 0) ， 把 A
28、（2，0） ，(1，3)，代入得： 2 + = 0 + = 3 ，解得： = 1 = 2 ， 直线 AB 的解析式为 = + 2； （2）解：如图，连接 BD，AD， = 2 2 = ( 1)2 1， 点 D 的坐标为(1， 1) ， A（2，0） ，(1，3)， 2= (1 2)2+ 32= 18，2= (2 1)2+ (1)2= 2，2= (1 1)2+ (1 3)2= 20 ， 2+ 2= 2 ， ABD 为直角三角形， tan =218=13 （3）解：设直线 BD 的解析式为 = 1 + 1(1 0) ， 把点(1， 1)，(1，3)代入得： 1+ 1= 11+ 1= 3 ，解得：1
29、= 21= 1 ， 直线 BD 的解析式为 = 2 + 1 ， 当 = 0 时， =12 ， 点 P 的坐标为(12，0) ， 当ABPABC 时，ABC=APB， 如图，过点 B 作 BQx 轴于点 Q，则 BQ=3，OQ=1， ABPABC， ABD=BCQ， 由（2）知tan =13， tan =13， =13 ， CQ=9， OC=OQ+CQ=10， 点 C 的坐标为(10，0) ； 当ABPABC 时，APB=ACB，此时点 C 与点 P 重合， 点 C 的坐标为(12，0)， 综上所述，点 C 的坐标为(10，0)或(12，0) 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法即可求出一次函
30、数解析式； （2）利用勾股定理判定 ABD 为直角三角形， 即可求解； （3） 求出点 P 的坐标， 当ABPABC 时， ABC=APB， 由 （2） 知tan =13， OC=OQ+CQ=10，当ABPABC 时，APB=ACB，此时点 C 与点 P 重合， 得出从而得出点 C 的坐标即可。 24 【答案】（1）解：二次函数 y=ax23ax4a， 对称轴是 = 2= 32=32= 1.5 ， A（1，0） ， 1+1.5=2.5， 1.5+2.5=4， B（4，0） ； （2）解：二次函数 y=ax23ax4a，C 在 y 轴上， C 的横坐标是 0，纵坐标是4a， y 轴平行于对称轴，
31、 = ， 4=2.54， = 52 ， MD=158， M 的纵坐标是52+158 M 的横坐标是对称轴 x， = (32)2 3 32 4， 52+158=(32)2 3 32 4， 解这个方程组得： = 12 ， y=ax23ax4a=12 x2-3 （12）x-4 （12）=122+32 + 2； （3）解：假设 F 点在如图所示的位置上，连接 AC、CF、BF，CF 与 AB 相交于点 G， 由（2）可知：AO=1，CO=2，BO=4， =12，=24=12 ， =， AOC=COB=90 ， AOCCOB， BCO=CAO， CFB=BCO， CAO=CFB， AGC=FGB， AG
32、CFGB， = ，22=22 设 EF=x， BF2=BE2+EF2=(52)2+ 2=254+ 2 ，AC2=22+12=5，CO2=22=4， 22=22=5254+2=42 ， 解这个方程组得：x1=5，x2=-5， 点 F 在线段 BC 的下方， x1=5（舍去） ， F（32，-5） 【解析】【分析】 （1）先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求出点 B 的坐标； （2）先求出点 M 和点 D 坐标，由 MD=158可列式，求出 a 的值，即可求解； （3）通过证明AOCCOB，可得CAO=BCO，可证点 A、C、B 和 F 四点共圆，即可求解。 25 【答案】（1）解：将 A（
33、-1，0） 、B（3，0）代入 = 2+ + ，得 1 + = 0，9 + 3 + = 0.解得： = 2， = 3. 所以， = 2 2 3 当 x=0 时， = 3点 C 的坐标为（0，-3） （2）解：连接 CD，过点 D 作 DEy 轴于点 E， = 2 2 3 = ( 1)2 4， 点 D 的坐标为（1，-4） B（3，0） 、C（0，-3） 、D（1，-4） ，E（0，-4） ， OB=OC=3，CE=DE=1， BC=32，DC=2，BD=25 2+ 2= 18 + 2 = 20 = 2 BCD=90 tanCBD=232=13 （3）解：tanACO=13， ACO=CBD O
34、C=OB， OCB=OBC=45 ACO+OCB=CBD+OBC 即：ACB=DBO 当BDP 与ABC 相似时，点 P 在点 B 左侧 （i）当=时， 1032=25 BP=6 P（-3，0） （ii）当=时， 1032=25 BP=103 P（-13，0） 综上，点 P 的坐标为（-3，0）或（-13，0） 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出 = 2 2 3，再求点的坐标即可； （2）先求出 OB=OC=3，CE=DE=1， 再求解即可； （3）先求出 ACB=DBO，再分类讨论，利用相似三角形的性质计算求解即可。 26 【答案】（1）解：抛物线经过点(1，0)，(3，0)，(0，
35、3)， 设抛物线解析式为： = ( + 1)( 3)， 将点 C 代入可得：3 = (0 + 1)(0 3)， 解得： = 1， = ( + 1)( 3) = 2+ 2 + 3 = ( 1)2+ 4， 顶点坐标为：(1，4) （2）解：如图所示： 为直角三角形且三边长分别为： = 1， = 3， = 2+ 2= 10， 的三边长分别为： = 2+ 2= 32+ 32= 32， = (1 0)2+ (4 3)2= 2， = (3 1)2+ 42= 22+ 42= 25， 2+ 2= 2， 为直角三角形， =2， （3）解：设存在点 P 使 = 45，作线段 AC 的中垂线交 AC 于点 E，交
36、AP 于点 F，连接 CF，如（2）中图： = 90，(12，32)， = 45， = 90， 为等腰直角三角形， = ， =12 =102， 2+ 2= 2，即2+ 2= (10)2 解得： = 5， 设(，)， = ( + 1)2+ 2， = 2+ (3 )2， ( + 1)2+ 2= 2+ (3 )2， 整理得： + 3 = 4， =( +12)2+ ( 32)2=102， 即( +12)2+ ( 32)2=52， 将代入整理得：2 3 + 2 = 0， 解得：1= 1，2= 2， 1= 1，2= 2， (1，1)或(2，2)（不符合题意舍去） ， (1，1)，(1，0)， 设直线 FA
37、 解析式为： = + ( 0)，将两个点代入可得： 1 = + 0 = + ， 解得： =12 =12， =12 +12， 联立两个函数得： =12 +12 = 2+ 2 + 3， 将代入得：12 +12= 2+ 2 + 3， 整理得：22 3 5 = 0， 解得：1= 1，2=52， 当 =52时， =74， (52，74) 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）先判断 为直角三角形，再利用勾股定理求解即可； （3） 设存在点P使 = 45， 作线段AC的中垂线交AC于点E， 交AP于点F， 连接CF， 得出 为等腰直角三角形， 设(，)， 得出CF、 AF的值， 整理得：
38、 + 3 = 4， 即( +12)2+ ( 32)2=52， 将代入整理得： 2 3 + 2 = 0， 设直线 FA 解析式为： = + ( 0)， 将两个点代入可得： 再联立方程， 将代入得：12 +12= 2+ 2 + 3， 得出 x 的值即可。 27 【答案】（1）解：将点(1，0)和点(0，2)代入 = 122+ + ， 12 + = 0 = 2， =32 = 2， = 122+32 + 2； （2）解： = 122+32 + 2， 对称轴为直线 =32， 令 = 0，则122+32 + 2 = 0， 解得 = 1或 = 4， (4，0)， 设直线的解析式为 = + ， 4 + = 0
39、 = 2， = 12 = 2， = 12 + 2， (32，54)， 设直线的解析式为 = + ， + = 032 + =54， =12 =12， =12 +12， 联立 =12 +12 = 122+32 + 2， = 3或 = 1（舍)， (3，2)； （3）解：设(， 122+32 + 2)，则(， 12 + 2)， = 122+ 2， 设直线的解析式为 = 1 + 1， 1+ 1= 01 + 1= 122+32 + 2， 1=421=42， =42 +42， 联立 = 12 + 2 =42 +42， =5， (5，205102)， 直线与轴交点(0，42)， = 2 42=2， = ，
40、= ， /轴， = ， = ， = ， = ， (2)2= (5)2+ (20510242)2， (4 )2+ 4 = (5 )2， =52， = 122+ 2 =158 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出 对称轴为直线 =32， 再利用待定系数法求函数解析式即可； （3）先求出 = 12 + 2 =42 +42， 再求出 CE=EF，最后求解即可。 28 【答案】（1）解：抛物线 y=x2 - bx+c 经过 A（-1.2） 、B（0，-1） 1 + + = 2 = 1 解得 = 2 = 1 = 2 2 1 = ( 1)2 2 (1， 2) （2）解：将抛
41、物线 = 2 2 1向左平移（3+1）个单位，设平移后的抛物线顶点为点 P (3， 2) 连接，则 轴，设交点为，则(0， 2) (0， 1) = 3， = 1 在 中，tan =13=33 = = 30 过点作 轴于点，过点作 轴于点， 在 中， =3， = 1， = 30 = 2， = 60，则 = 120 将线段 PB 绕点 B 按逆时针方向旋转 150 ，点 P落在点 M 处， = 150 120 = 30 = 在 与 中 = = = 90 = = = 1， = = 3 (0， 1) (0，3 1) 将抛物线 = 2 2 1向左平移（3+1）个单位，平移后的抛物线顶点(3， 2) 平移
42、后的抛物线解析式为 = ( + 3)2 2 = 2+ 23 + 1 设(，2+ 23 + 1)，则(0，2+ 23 + 1) = |， = |2+ 23 + 2| (0，3 1) = |2+ 23 + 1 3 + 1| = |2+ 23 3 + 2| = + 梯形 =12 +12( + ) 12 =12 1 3 +12(1 + |) |2+ 23 3 + 2| 12 |2+ 23 + 2| | = 1 12 1 3 +12(1 + |) |2+ 23 3 + 2| 12 |2+ 23 + 2| | = 1 解得 = 0或 = 3 的坐标为(0，1)或(3， 2) 【解析】【分析】 （1）根据已
43、知条件用待定系数法即可求出解析式，然后求出 P 坐标 （2）连接 PP，则 PP垂直于 y 轴，设交点为 C，则 C（0，-2） ，根据平移求得 P 点坐标，进而可得角的度数； 根据题意画出图形， 过点M作MD垂直于y轴于点D， 过点N作NE垂直于y轴于点E， 根据 的面积建立方程，即可求得 N 点坐标 29 【答案】（1）解：把(1，0)，(3，0)代入 = 2+ + 中， 得0 = 1 + 0 = 9+ 3 + 解得： = 2， = 3， = 2+ 2 + 3 （2）解：在二次函数解析式为 = 2+ 2 + 3， 令 x=0，则 y=3 则点 C 坐标(0，3)，而(1，0)，(，0)，
44、= 2+ 2= 2+ 32， = | + 1| = ， | + 1| = 2+ 32， = 4； （3）解：设直线 BC 为：y=kx+b， 把(3，0)和 C(0，3)代入得：0 = 3 + 3 = ，解得： = 1 = 3， ： = +3， OC=OB=3， BCO=45 ， 过点 P 作 轴，交 BC 于点 H， PHQ=45 ， ， 是等腰直角三角形， PQ=PH sinPHQ=22， 设点(， 2+ 2 + 3)，则(， + 3)， = 2+ 3 = ( 32)2+94， 当且仅当 =32时，PH 的最大值是94， =22 =982， 当点(32，154)时，PQ 的最大值是982
45、【解析】【分析】 （1）将 A、B 的坐标代入得出 b、c 的值，即可得出二次函数解析式； （2） 在二次函数解析式为 = 2+ 2 + 3， 令 x=0， 则 y=3， 可得出点 C 坐标， 而(1，0)， (，0)， 利用勾股定理得出 CE 的值，AE 的值，因为 = ，即可得出结论； （3） 设直线BC为： y=kx+b， 把B和C代入得出k、 b的值， 得出： = + 3， 过点P作 轴， 交BC于点H， 得出 是等腰直角三角形， 设点(， 2+ 2 + 3)， 则(， + 3)， 当且仅当 =32时，PH 的最大值是94，从而得出结论。 30 【答案】（1） （1，2） ； （1，0
46、） （2）解：设过点 A、B、的二次函数解析式为： = 2+ + ，( 0)， 将点(2，1)，(0，1)，(1，0)分别代入 = 2+ + ，( 0)中得： 1 = (2)2 2 + 1 = 0 = + +， 解得： = 13， = 23， = 1， = 13223 + 1 （3） =132+23 + 1 【解析】【解答】(1)解：根据题意作下图： 根据旋转的性质得： = = 1， = = 0 (2) = 2， (1，2)，(1，0)， 故答案是： （1，2） ； （1，0） ； (3)解：设过点 A、B、的二次函数解析式为： = 2+ + ，( 0)， 将点(2，1)，(0，1)，(1，2)分别代入 = 2+ + ，( 0)中得： 1 = (2)2 2 + 1 = 2 = + +， 解得： =13， =23， = 1， =132+23 + 1； 故答案为： =132+23 + 1 【分析】 （1）由旋转得出 = = 1， = = 0 (2) = 2，进而七届； （2）通过待定系数法求解即可； （3）通过待定系数法求解即可
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