1、 专题专题 19 19 三角形三角形 一、单选题一、单选题 1下列判断错误的是（ ） A三角形的三条高的交点在三角形内 B三角形的三条中线交于三角形内一点 C直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D三角形的三条角平分线交于三角形内一点 2满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A三内角之比为 3：4：5 B三边长的平方之比为 1：2：3 C三边长之比为 7：24：25 D三内角之比为 1：2：3 3 （2021 九上 松江期末）如图，已知点 G 是ABC 的重心，那么：等于（ ） A1：2 B1：3 C2：3 D2：5 4在 中， = 23， = 30. 下列线段的长度不能使 的形状和
2、大小都确定的是（ ） A2 B4 C3 D23 5 （2021 九上 长宁期末）下列命题中， 说法正确的是（ ） A所有菱形都相似 B两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似 C三角形的重心到一个顶点的距离， 等于它到这个顶点对边距离的两倍 D斜边和直角边对应成比例， 两个直角三角形相似 6 （2021 八上 浦东期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（ ） A3，3，32 B4，8，43 C6，8，10 D5，5，53 7 （2021 八上 浦东期末）如图，在等腰中， = 90， = ，BD 平分，交 AC 于点D， ，若 = 10cm，则 的周长为（ ） A8cm B10
3、cm C12cm D14cm 8 （2021 八上 普陀期中）如图，在ABC 中，AB=AC，边 AC、AB 上的高 BD、CE 相交于点 O，那么图中全等的三角形有（ ） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 9 （2021 七下 普陀期末）如图，已知与相交于点 O， = ，从下列条件中补充一个条件，不一定能判定 的是（ ） A = B = C = D = 10 （2021 七下 金山期末）如图，已知ABC 和DEF 中，ABDE，BCEF，添加下列哪一个条件可以得到ABCDEF（ ） AAD BACBF CACDF DABDE 二、填空题二、填空题 11 （2022 八下 徐汇期末）如图
4、，将矩形 ABCD 的边 BC 延长至点 E，使 = ，联结 AE 交对角线BD 于点 F，交边 CD 于点 G，如果 = 38，那么的大小为 12 （2022 八下 徐汇期末）定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”。已知在“等腰四边形”ABCD 中，AB=BC=AD，BAD=90 ，且 AC 为“界线”，则BCD 的度数为 13 （2022 上海市）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为 2 的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆
5、的半径为 14 （2022 上海市）如图所示，小区内有个圆形花坛 O，点 C 在弦 AB 上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 （结果保留） 15（2022 上海市）如图， 在ABC 中， A=30 ， B=90 ， D 为 AB 中点， E 在线段 AC 上，=， 则= 16（2022 闵行模拟）如图， 已知 中， = 90 ， 点M是 中点， 将 沿 所在的直线翻折，点 A 落在点 处， ，且交 于点 D， ： 的值为 . 17 （2022 闵行模拟）如图，点 G 为等腰 的重心， = ，如果以 2 为半径的圆 分别与 、 相切，且 = 25 ，那么 的长为 . 18
6、 （2022 闵行模拟）如图， 已知点 G 是正六边形 对角线 上的一点， 满足 = 3 ，联结 ，如果 的面积为 1，那么 的面积等于 . 19（2022 长宁模拟）如图， O 的半径为 10cm， ABC 内接于O， 圆心 O 在ABC 内， 如果 AB=AC，BC=12cm，那么ABC 的面积为 cm2 20 （2022 宝山模拟）如图，在 ABC 中，C90 ，A30 ，BD 是ABC 的平分线，如果 = ，那么 （用 表示） 三、综合题三、综合题 21（2022八下 徐汇期末）在 中， = 90， = 30， = 10， 点D是AB上的动点， 交AC 于点 E， 分别交射线 BC、射
7、线 AC 于点 F、G，联结 EF （1）如图 1，如果点 G 恰好平分 EC，判断四边形 DEFC 的形状并证明； （2）如图 2，当点 F 在线段 BC 的延长线上时，设 AD 的长为 x，梯形 DBFE 的面积为 y，直接写出 y 关于 x 的函数关系及其定义域； （3）当 = 时，求的长 22 （2022 上海市）如图所示，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，点 E，F 在线段 BC 上，点 Q 在线段AB 上，且 CF=BE，AE =AQ AB 求证： （1）CAE=BAF； （2）CF FQ=AF BQ 23 （2022 闵行模拟）如图，梯形 中， / ， = 26 ， = 42
8、 ， cos =513 ， = .点 M 在射线 上， 以点 C 为圆心， 为半径的 交射线 于点 N， 联结 ，交射线 于点 G. （1）求线段 的长； （2）设线段 = ， = ，当点 N 在线段 上时，试求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）联结 ，当 = 2 时，求线段 的长. 24 （2022 闵行模拟）直角三角形中一个锐角 大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示.类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对.如图， 在 中， = ， 顶角 A 的正对记作 ，这时 =底边
9、腰= . 仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题： （1）60 值为（ ）. A12 ； B1； C32 ； D2. （2）对于 0 180 ， 的正对值 的取值范围是 . （3）如果 sin =817 ，其中 为锐角，试求 的值. 25 （2022 闵行模拟）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90 ，此时点 A 落在点 F 处，线段 EF 交 CD 于点 M过点 F 作 FGBC，交 BC 的延长线于点 G （1）求证：BE=FG； （2）如果 ABDM=ECAE，连接 AM、DE，求证：AM 垂直平分 DE 26 （2022 长
10、宁模拟）已知二次函数 yx2+6x5 的图象交 x 轴于 A、B 两点，点 A 在 B 左边，交 y轴于点 C （1） 将函数 yx2+6x5 的解析式化为 ya （x+m）2+k 的形式， 并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）点 D 在该抛物线上，它是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，求ABD 的面积 27 （2022 长宁模拟）已知：如图，AO 是O 的半径，AC 为O 的弦，点 F 为的中点，OF 交 AC 于点 E，AC=10，EF=3 （1）求 AO 的长； （2）过点 C 作 CDAO，交 AO 延长线于点 D，求 OD 的长 28 （2022 宝山模拟）如图，在
11、梯形中，=90 ， = = 5， = 2， （1）求的长； （2）若的平分线交于点 E，连结，求的正切值 29 （2022 浦东模拟）如图，已知 RtABC 中，ACB=90 ，BC=2，AC=3，以点 C 为圆心、CB 为半径的圆交 AB 于点 D，过点 A 作 AECD，交 BC 延长线于点 E. （1）求 CE 的长； （2）P 是 CE 延长线上一点，直线 AP、CD 交于点 Q. 如果ACQ CPQ，求 CP 的长； 如果以点 A 为圆心，AQ 为半径的圆与C 相切，求 CP 的长. 30 （2022 徐汇模拟）如图，ABC 中，ABBC13，AC10，ABC 的平分线与边 AC 交
12、于点 F，且与外角ACD 的平分线 CE 交于点 E （1）求 sin 的值； （2）求 EF 的长 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解A三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，符合题意； B三角形的三条中线交于三角形内一点，不符合题意； C直角三角形的三条高的交点在直角顶点，不符合题意； D三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，不符合题意 故答案为：A 【分析】根据三角形的角平分线、中线、高的定义判断即可 2 【答案】A 【解析】【解答】解：A、由三内角之比为 3：4：5 可设这个三角形的三个内角分别为3，4，5，根据三角形内角和可得
13、3 + 4 + 5 = 180，所以 = 15，所以这个三角形的最大角为 5 15 =75 ，故不是直角三角形，符合题意； B、 由三边长的平方之比为 1： 2： 3 可知该三角形满足勾股定理逆定理， 即 1+2=3， 所以是直角三角形，故不符合题意； C、由三边长之比为 7：24：25 可设这个三角形的三边长分别为7，24，25，则有(7)2+ (24)2=(25)2，所以是直角三角形，故不符合题意； D、由三内角之比为 1：2：3 可设这个三角形的三个内角分别为，2，3，根据三角形内角和可得 + 2 + 3 = 180，所以 = 30，所以这个三角形的最大角为 3 30 =90 ，是直角三
14、角形，故不符合题意； 故答案为：A 【分析】利用三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项判断即可。 3 【答案】B 【解析】【解答】解：连接 AG 延长交 BC 于点 D， G 是ABC 的重心， D 是 BC 的中点， SABDSACD，SBDGSCDG， AG2GD， 2SBGDSABG，2SCGDSACG， 3SBCGSABC， SBCG：SABC1：3， 故答案为：B 【分析】先求出 D 是 BC 的中点，再求出 3SBCGSABC，最后计算求解即可。 4 【答案】A 【解析】【解答】解：如图（1） ，过点 B 作 BDAC 于点 D 则 = sin30 =12 23 = 3 故当 BC=
15、3，即点 D 与点 C 重合时，ABC 的形状和大小唯一确定，即 C 选项不符合题意； 当 BC=2 时，如图（2） ，则 BC1=BC2=2，此时ABC1与ABC2的形状和大小不相同，即选项 A 符合题意； 当 BC=23时，ABC 是等腰三角形，如图（3） ，此时ABC 的形状与大小确定，D 不符合题意； 当 BC=4 时，如图（4） ，ABC 是钝角三角形，形状与大小确定，B 不符合题意； 故答案为：A 【分析】利用三角形全等的判定以及含 30 度角的直角三角形的性质判断即可。 5 【答案】D 【解析】【解答】解：A. 所有菱形不一定相似，不符合题意； B. 两边对应成比例且夹角对应相等
16、的两个三角形相似，不符合题意； C. 三角形的重心到一个顶点的距离， 等于它到这个顶点对边中点距离的两倍，不符合题意； D. 斜边和直角边对应成比例， 两个直角三角形相似，符合题意； 故答案为：D 【分析】根据相似图形的判定、相似三角形的判定、三角形重心的性质分别进行判断即可. 6 【答案】D 【解析】【解答】解：A、3232（32）2，能构成直角三角形，故此选项不合题意； B、42（43）282，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、6282102，能构成直角三角形，故此选项不合题意； D、5252（53）2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意 故答案为：D 【分析】根据勾股定理的逆
17、定理逐项判断即可。 7 【答案】B 【解析】【解答】解：BD 是ABC 的平分线，DEBC，A=90 ， = ， 在 RtABD 和 RtEBD 中， = = ， ()， AB=BE， DEC 的周长=DE+CD+CE =AD+CD+CE， =AC+CE， =AB+CE， =BE+CE， =BC， BC=10cm， DEC 的周长是 10cm 故答案为：B 【分析】先利用“HL”证明 ，可得 AB=BE，再利用三角形的周长公式可得DEC 的周长=DE+CD+CE=BC，再结合 BC=10，即可得到答案。 8 【答案】C 【解析】【解答】解：ACEABD，EBCDCB，EOBDOC BD、CE
18、为高， ADB=AEC=90 ， 在AEC 和ADB 中， = = = ， ACEABD（AAS） ； AD=AE，EC=BD， AB-AE=AC-AD， 即 EB=DC， 在EBC 和DCB 中， = = = ， EBCDCB（SSS） ； 在EOB 和DOC 中， = = = ， EOBDOC（AAS） 故答案为：C 【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可。 9 【答案】C 【解析】【解答】A = = = ，则 () B = = = ，则 () C无法证明 D* = = = ， () 故答案为：C 【分析】三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，据此逐一判断即可. 10 【答案
19、】D 【解析】【解答】解：ABC 和DEF 中，ABDE，BCEF， 当AD 时，无法判定ABCDEF，A 不符合题意； 当ACBF 时，无法判定ABCDEF，B 不符合题意； 当 时，ACBF，无法判定ABCDEF，C 不符合题意； 当 时，BDEF 时，可根据 SAS 判定ABCDEF，D 符合题意； 故答案为：D 【分析】三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，据此逐一判断即可. 11 【答案】19或 19 度 【解析】【解答】解：如图所示：连接 AC，AC 与 BD 相交点 O， 矩形 ABCD， = ， = = = ， = 38， = = 38， = ， = ， = 1
20、9. 故答案为 19 【分析】连接 AC，AC 与 BD 相交点 O，矩形对角线相等且互相平分得出BCA=DBC，等量代换可得 AC=CE，再根据三角形的外角和求得E. 12 【答案】135 或 90 或 45 【解析】【解答】解：AC 是等腰四边形 ABCD 的界线， ACD 是等腰三角形 ABBCAD， 如图 1，当 ADAC 时， ABACBC，ACDADC ABC 是正三角形， BACBCA60 BAD90 ， CAD30 ， ACDADC18030275 ， BCD60 75 135 ； 如图 2，当 ADCD 时， ABADBCCD， BAD90 ， 四边形 ABCD 是正方形，
21、BCD90 ； 如图 3，当 ACCD 时，过点 C 作 CEAD 于 E，过点 B 作 BFCE 于 F， ACCD，CEAD， AE12AD，ACEDCE， BADAEFBFE90 ， 四边形 ABFE 是矩形， BFAE， ABBCAD， BF12BC， BCF30 ， ABBC， ACBBAC， ABCE， BACACE， ACBACE12BCF15 ， BCD15 345 ， 综上：BCD 的度数为：135 或 90 或 45 ， 故答案为：135 或 90 或 45 【分析】根据 “等腰四边形” 的定义可知，分三种情况证明，第一种当 ADAC 时，证明ABC 是正三角形，利用等边三
22、角形的性质，求得BCD；第二种情况，当 ADCD 时，证明四边形 ABCD 是正 方形，利用正方形的性质求得BCD；第三种情况，证明四边形 ABFE 是矩形，利用矩形的性质求得BCD. 13 【答案】2 2或2 + 2 【解析】【解答】解：如图，当等弦圆 O 最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点 C，连接 CO交 AB 于 F，连接 OE，DK， = = ， = 90， = = 90，过圆心 O， ， = ， = 90， = 2， = = 2， = = =12 = 1， 设 的半径为， = 2+ 2= 2 = ， = 1 ， = ， ， = =22， 2= (1 )2+ (22)2， 整理
23、得：2 4 + 2 = 0， 解得：1= 2 +2，2= 2 2， ， = 2 + 2不符合题意，舍去， 当等弦圆最大时，这个圆的半径为2 2. 故答案为：2 2 【分析】先求出 = =22，再利用勾股定理计算求解即可。 14 【答案】400 【解析】【解答】解：过点 O 作 ODAB 于 D，连接 OB，如图， AC=11，BC=21， AB=AC+BC=32， ODAB 于 D， AD=BD=12AB=16， CD=AD-AC=5， 在 RtOCD 中，由勾股定理，得 OD=2 2=132 52=12， 在 RtOBD 中，由勾股定理，得 OB=2+ 2=162+ 122=20， 这个花坛
24、的面积=202=400， 故答案为：400 【分析】先求出 CD=5，再利用勾股定理计算求解即可。 15 【答案】12或14 【解析】【解答】解：D 为 AB 中点， =12，即 =12， 取 AC 中点 E1，连接 DE1，则 DE1是ABC 的中位线，此时 DE1BC，1=12， 1=12， 在 AC 上取一点 E2，使得 DE1DE2，则2=12， A=30 ，B=90 ， C=60 ，BC12， DE1BC， DE1E2=60 ， DE1E2是等边三角形， DE1DE2E1E212， E1E214， 1=12， 2=14，即2=14， 综上，的值为：12或14， 故答案为：12或14
25、【分析】先求出 =12，再求出DE1E2是等边三角形，最后计算求解即可。 16 【答案】2 【解析】【解答】解：如图，连接 AB， ACB=90 ，点 M 是 AB 的中点， AM=CM=BM， AMAB， AMB=AMA=90， 由折叠的性质得：AM=AM，AMC=AMC=45， AM=BM， AB=2BM=2CM，ABM=MAB=45， ABM=AMC=45 ， CMAB， ADBMDC， =2=2. 故答案为：2. 【分析】 连接AB， 根据直角三角形斜边定理得出AM=CM=BM， 再根据等腰三角形的性质得出AMB=AMA=90，由折叠的性质得出 AM=AM，AMC=AMC=45，从而得
26、出 AB=2BM=2CM，再证出ADBMDC，即可得出=2=2. 17 【答案】35 【解析】【解答】解：如图，延长 CG 交 AB 于点 D，设 AC 切圆 G 的切点为 E，连接 GE， G 为ABC 的重心，AC=BC， CDAB，AD=BD，CG=23CD， CD=32CG=32 25=35， AC 切圆 G 的切点为 E， CEG=90 ，GE=2， CE=2 2=4， CEG=ADC=90 ，GCE=ACD， CEGCDA， =， 4=2， AD=12CD=352， AB=2AD=35. 故答案为：35. 【分析】延长 CG 交 AB 于点 D，设 AC 切圆 G 的切点为 E，连
27、接 GE，根据等腰三角形的性质和三角形重心的性质得出 AD=BD， CD=32CG=35， 根据切线的性质得出CEG=90 ， 根据勾股定理求出 CE=4，再证出CEGCDA，得出=，得出 AD=352，从而得出 AB=2AD=35，即可得出答案. 18 【答案】4 【解析】【解答】解：六边形 ABCDEF 是正六边形， AB=BC=AF=EF，BAF=ABC=AFE=120 ， ABF=AFB=30 ， GFE=GBC=90 ， EFG 的面积=1， 12EF FG=1， EF FG=2， BG=3FG， BF=4FG， FBC 的面积=12BC BF=12EF 4FG=2EF FG=4.
28、故答案为：4. 【分析】根据正六边形的性质得出 AB=BC=AF=EF，BAF=ABC=AFE=120 ，根据等腰三角形的性质得出ABF=AFB=30 ， 从而得出GFE=GBC=90 ， 再根据三角形的面积公式得出 EF FG=2，从而得出FBC 的面积=12BC BF=2EF FG=4，即可得出答案. 19 【答案】108 【解析】【解答】解：如图，过点 A 作 于点 M，连接 OC， AB=AC 且 BC=12 cm BM=CM=12BC=6 cm 圆的半径等于 10 cm = = 10 cm = 2 2= 8 cm = 18 cm =12 = 108 cm2 故答案为 108 【分析】
29、过点 A 作 于点 M，连接 OC，根据勾股定理得出 OM 的值，进而得出 AM，再利用三角形面积公式求解即可。 20 【答案】13 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，C90 ，A30 ， ABC60 ， BD 平分ABC， ABDCBD30 ， AABD， ADBD，DB2DC， AD2DC， CD13AC， 13 ， 故答案为13 【分析】先证明 AD2DC，推出 CD13AC，即可得出结论。 21 【答案】（1）解：四边形 DEFC 是平行四边形，理由如下： 点 G 恰好平分 EC， CGEG， DEBC， CFGEDG， 在CFG 和EDG 中， = = = ， CFGEDG（A
30、AS） ， FGDG， 四边形 DEFC 是平行四边形； （2）解：ACB90 ，DEBC， AEDACB90 ， A30 ， BC12AB12 105，DE12AD12x，BDABAD10 x， 在 RtABC 中，由勾股定理得：AC2 2=102 52= 53， 在 RtADE 中，由勾股定理得：AE2 2=2 (12)2=32， CEACAE53 32， DFAB， BDF90 ， B90 A90 30 60 ， BFD90 B90 60 30 ， BF2BD2 （10 x）202x， yS梯形DBFE12（DE+BF）CE12 （12x+202x） （53 32）338x23534+5
31、03， 当点 F 与 C 重合时，如图 3 所示： CDAB，则ADC90 ， A30 ， CD12AC532， 在 RtADC 中，由勾股定理得：AD2 2=(53)2 (532)2=152， AD 的长度 x 的变化范围为 0 x152， y338x23534+503（0 x152） ； （3）解：当点 F 在线段 BC 的延长线上时，EFDB，梯形 DBFE 为等腰梯形，如图 4， BFEB， ACB90 ，A30 ， B90 A60 ， BFEB60 ， DFAB， BDF90 ， BFD90 B30 ， DFEBFEBFD60 30 30 ， DEBC， EDFBFD30 ， EDF
32、DFE30 ， DEEF， DEDB， 由（2）可知，当 ADx 时，DE12x， BD10 x， 12x10 x， 解得：x203， AD 的长为203； 当点 F 在线段 BC 上的点 时，如图 5 所示： 结合图 4， EFDBE， FCFDBC， DBE， ， 四边形 BDEF 为平行四边形， BFDE12x， DFAB， BDF90 ， BFD90 B30 ， BD12BF1212x14x， 14x10 x， 解得：x8， AD 的长为 8； 综上所述，AD 的长为203或 8 【解析】【分析】 (1)、 已知 点 G 恰好平分 EC，可得 CGEG，证明CFGEDG 中，得到 FG
33、DG ，四边形对角线互相平分是平行四边形证得 DEFC 是平行四边形 . (2)、 先把 BC、DE、BD 表示出来，根据勾股定理求得 AC，AE，表示出 CE；根据梯形的面积公式把y 表示出来， 当点 F 与 C 重合时 ， 30 对的直角边是斜边的一半可得 CD12AC ， 在 在 RtADC 中，由勾股定理求得 AD ，表示出 AD 的取值范围. (3) 当点 F 在线段 BC 的延长线上时，EFDB，梯形 DBFE 为等腰梯形 ，根据直角三角形和平行的性质证得 DEDB ，再由 由（2）可知，当 ADx 时，DE12x， 求得 AD； 当点 F 在线段BC 上的点 时， 两组对边平行证
34、得平行四边形，根据直角三角形的性质求得 BD；列出等式，求得AD. 22 【答案】（1）证明：AB=AC， B=C， CF=BE， CE=BF， 在ACE 和ABF 中， = = = ， ACEABF（SAS） ， CAE=BAF （2）证明：ACEABF， AEAF，CAE=BAF， AE =AQ AB，ACAB， =，即=， ACEAFQ， AEC=AQF， AEF=BQF， AEAF， AEF=AFE， BQF=AFE， B=C， CAFBFQ， =，即 CF FQ=AF BQ 【解析】【分析】 （1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可； （2）利用全等三角形的性质和相似三角形的判定
35、与性质证明求解即可。 23 【答案】（1）解：如图，过点 A 作 AEBC 于点 E，作 AFCD 于点 F， cosB=513， BE=513AB=513 26=10， AE=262 102=24，CE=BC-BE=32， ADBC， DAC=ACE， AD=CD， DAC=ACD， ACD=ACE， AF=AE=24， AEC=AFC=90 ，AC=AC， RtAFCRtAEC， CF=CE=32， FD=FC-CD=32-AD， AD2=AF2+FD2， AD2=242+（32-AD）2， AD=25； （2）解： 如图， AEC=90 ， AC=2+ 2=40， =y， AG=yCG，
36、 CG+yCG=40， CG=401+， ACD=ACE，CM=CN=x， CGMN，MG=NG， ACE=MCG，AEC=MGC=90 ， ACEMCG， =， 40=32401+， y=50， 点 N 在线段 CD 上，CD=AD=25， 0 x25； （3）解：如图，当点 M 在线段 BC 上时， ACEMCG， =， 40=32， CG=45CM， MGC=90 ， MG=35CM， MN=2MG=65CM， CM=CN， NMC=CNM， NMC=2DMN，CNM=DMN+MDN， DMN=MDN， DN=MN=65CM， CN+DN=CD， CM+65CM=25， CM=12511
37、， 如图，当点 M 在 CB 的延长线上， 过点 P 作 PQCM 于点 Q， NMC=2DMN=DMN+DMC， DMN=DMC， CGMN， PQ=PG， PM=PM， RtPMQRtPMG， MQ=MG=35CM， CQ=CM-MQ=25CM， PCQ=MCG，PQC=CGM=90 ， CQPCGM， =， =2545， PC=12CM， AP=AC-PC=40-12CM， ADBC， ADPCMP， =， 25=401212， CM=55， CM=55 或12511. 【解析】【分析】 （1） 过点 A 作 AEBC 于点 E， 作 AFCD 于点 F， 先求出 BE=10， AE=2
38、4， CE=32，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出ACD=ACE，从而得出 AF=AE=24，再证出 RtAFCRtAEC，得出 CF=CE=32，FD=32-AD，根据勾股定理得出 AD2=AF2+FD2，从而得出 AD2=242+（32-AD）2，即可得出 AD=25； （2）先求出 AC=40，再根据=y，得出 CG=401+，根据等腰三角形的得出 CGMN， MG=NG，再证出ACEMCG，得出=，从而得出40=32401+，即可得出 y=50， 再根据点 N 在线段 CD 上，即可得出 x 的取值范围为 0 x25； （3）分两种情况讨论：当点 M 在线段 BC 上时，当点
39、M 在 CB 的延长线上，分别利用相似三角形的判定与性质求出 CM 的长，即可得出答案. 24 【答案】（1）B （2）0preA2 （3）解： 21717 【解析】【解答】解： （1）AB=AC，A=60 ， ABC 是等边三角形， AB=BC=AC， pre60 =1， 故答案为：B； （2）AB=AC， 0BC2AC， preA=， 0preA2， 故答案为：0preA2； （3）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，在 AB 上取点 D，使 AD=AC，连接 CD，过点 D 作 DHAC 于点 H， sinA=817， 设 BC=8k，AB=17k， AD=AC=2 2=15k，
40、sinA=817， DH=12017k， AH=22517k， CH=AC-AH=3017k， CD=2+ 2=301717， preA=30171715=21717. 【分析】 （1）先证出ABC 是等边三角形，得出 AB=BC=AC，再根据顶角的正对的定义即可得出pre60 =1； （2）根据三角形三边关系得出 0BC2AC，再根据顶角的正对的定义得出 preA=，即可得出 0preA2； （3）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，在 AB 上取点 D，使 AD=AC，连接 CD，过点 D 作 DHAC 于点 H，根据锐角三角函数的定义设 BC=8k，AB=17k，求出 AC=15k
41、，CD=301717，根据顶角的正对的定义即可得出 preA=21717. 25 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，FGBC， ADC=BCD=B=EGF=90 ， BAE+AEB=90 ， 由旋转的性质得：AE=EF，AEF=90 ， FEG+AEB=90 ， BAE=FEG， ABEEGF， BE=FG； （2）证明：如图， BCD=B=90 ，BAE=FEG， ABEECM， =， ABEM=ECAE， ABDM=ECAE， EM=DM， 点 M 在 DE 的垂直平分线上， MED=MDE， AEF=ADC=90 ， AED=ADE， AE=AD， 点 A 在 DE 的垂直平
42、分线上， AM 垂直平分 DE 【解析】【分析】 （1）证出ABEEGF，即可得出 BE=FG； （2）证出 EM=DM，得出点 M 在 DE 的垂直平分线上，再证出 AE=AD，得出点 A 在 DE 的垂直平分线上，即可得出 AM 垂直平分 DE 26 【答案】（1）解：yx2+6x5= ( 3)2+ 4， = 1 P， ACQ=P 又AECD， ACQ=CAE， CAE=P， ACE PCA， 2= ， 即32=54 ， =365 设 CP=t，则 = 54 ACB=90 ， = 9 + 2 AECD， =，即2+9=5454=545， =52+945 若两圆外切，那么 =52+945=
43、1，此时方程无实数解 若两圆内切，那么 =52+945= 5， 152 40 + 16 = 0 ， 解得： =2041015 又 54， =20+41015 【解析】【分析】 （1）设 CE=x，则 AE=BE=x+2，得出2+ 2= 2 ，代入数值计算即可； （2）由ACQ CPQ，QACP，得出ACQ=P，求证出ACE PCA，得出2= ，即可得出 CP 的值； 设 CP=t， 则 = 54 ， 得出 AQ 的值， 若两圆外切， 那么 =52+945= 1， 此时方程无实数解 若两圆内切，那么 =52+945= 5，即可得出 t 的值。 30 【答案】（1）解：AB=BC，BF 平分ABC， BFAC， = =12 = 5 ， AFB=CFB=90 ， = 2 2= 12 ， sin =1213 ； （2）解：如图所示，过点 E 作 EHBD 于 H， CE 平分ACD，BECF，CHEH， EF=EH， BF 平分ABF， ABF=CBF， sin = sin = sin =513 ， +12=513 ， =152 【解析】【分析】 （1）先求出 AF 的长，再利用勾股定理求出 BF 的长，最后利用正弦的定义求出sin =1213即可； （2） 过点E作EHBD于H， 先利用sin = sin = sin =513可得+12=513，再求出 =152
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