1、 专题专题 20 20 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1如图，在 中，点 D、E、F 分别为边 、 、 的中点，分别连结 、 、 、 ，点 O 是 与 的交点，下列结论中，正确的个数是（ ） 的周长是 周长的一半； 与 互相平分；如果 = 90 ，那么点 O 到四边形 四个顶点的距离相等；如果 = ，那么点 O 到四边形 四条边的距离相等 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A当 ABBC 时，四边形 ABCD 是菱形 B当ABC90 时，四边形 ABCD 是矩形 C当 ACBD 时，四边形 ABCD 是菱形 D当 AC
2、BD 时，四边形 ABCD 是正方形 3 （2022 八下 嘉定期中）已知多边形的每一个内角都等于 150 ，则这个多边形的边数是（ ） A9 B10 C11 D12 4 （2022 嘉定模拟）下列命题中，真命题的是（） A如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形是矩形 B如果一个四边形两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形 C如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形 D如果一个四边形两条对角线互相垂直平分，那么这个四边形是矩形 5 （2022 九下 普陀期中）多边形的外角和等于（ ） A360 B270 C180 D90 6 （2022 九下 普陀期中）顺次联结直角梯
3、形各边中点所得到的四边形可能是（ ） A菱形； B矩形； C梯形； D正方形 7 （2021 七上 黄浦期中）如图所示的图形面积为（ ） A （x1）212 B （x1）2x2 Cx（x1） D （x1）22x 8 （2021 九上 普陀月考）用一个 2 倍放大镜照菱形 ABCD，下面说法中，错误的是（ ） A放大后，边长是原来的 2 倍 B放大后，B 的大小是原来的 2 倍 C放大后，周长是原来的 2 倍 D放大后，面积是原来的 4 倍 9 （2021 九上 普陀月考）如图，在ABC 中，BC4，BC 边上的高 AD2，正方形 EFGH 的边 FG 在ABC 的边 BC 上，顶点 E、H 分
4、别在边 AB、AC 上，那么该正方形的边长为（ ） A43 B32 C85 D58 10 （2021 八下 浦东期末）下列命题中正确的是（ ） A对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形是正方形 C对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 二、填空题二、填空题 11 （2022 八下 徐汇期末）如图， 中， = = 5， = 4，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，那么四边形 DBCE 的周长为 12 （2022 八下 徐汇期末）如图，菱形 ABCD 中，如果 = 3， = 2，那么菱形 ABCD 的面
5、积为 13 （2022 八下 徐汇期末）如图，在梯形 ABCD 中， ， = 70， = 40， 交 BC于点 E如果 = 5cm， = 12cm，那么 CD 的长是 cm 14 （2022 八下 徐汇期末）定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”。已知在“等腰四边形”ABCD 中，AB=BC=AD，BAD=90 ，且 AC 为“界线”，则BCD 的度数为 15 （2022 八下 徐汇期末）如图，将矩形 ABCD 的边 BC 延长至点 E，使 = ，联结 AE 交对角线BD 于点 F，交边 CD 于点 G，如果
6、= 38，那么的大小为 16（2022 上海市）如图， 在ABC 中， A=30 ， B=90 ， D 为 AB 中点， E 在线段 AC 上，=， 则= 17（2022 闵行模拟）如图， 已知 中， = 90 ， 点M是 中点， 将 沿 所在的直线翻折，点 A 落在点 处， ，且交 于点 D， ： 的值为 . 18 （2022 浦东模拟）一个正 n 边形的一个内角等于它的中心角的 2 倍，则 n= 19 （2022 八下 嘉定期中）内角和是 1440 的多边形的边数是 20 （2022 徐汇模拟）如图，在 中，B70 ，BC6，以 AD 为直径的O 交 CD 于点 E，则劣弧 的长为 （结算
7、结果保留 ） 三、综合题三、综合题 21 （2021 九上 崇明期末）已知：如图，正方形的边长为 1，在射线 AB 上取一点 E，联结 DE，将 ADE绕点 D 针旋转 90 ，E 点落在点 F 处，联结 EF，与对角线 BD 所在的直线交于点 M，与射线 DC 交于点 N求证： （1）当 =13时，求tan的值； （2）当点 E 在线段 AB 上，如果 = ， = ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）联结 AM，直线 AM 与直线 BC 交于点 G，当 =13时，求 AE 的值 22（2022 九下 虹口期中）已知： 如图， 梯形 ABCD 中， ADBC， DEAB，
8、与对角线交于点， ，且 FG=EF. （1）求证：四边形是菱形； （2）联结 AE，又知 ACED，求证：122= . 23 （2021 九上 宝山期末）如图，已知正方形 ABCD，将 AD 绕点 A 逆时针方向旋转(0 90)到AP 的位置，分别过点、作 ， ，垂足分别为点、 （1）求证： = ； （2）联结，如果=13，求的正切值； （3）联结，如果 =22，求的值 24 （2021 八上 浦东期末）如图， 中， = 23， = 43， = 6点 P 是射线 CB 上的一点（不与点 B 重合） ，EF 是线段 PB 的垂直平分线，交 PB 与点 F，交射线 AB 与点 E，联结 PE、AP
9、 （1）求的度数； （2）当点 P 在线段 CB 上时，设 = ， 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果 = 1，请直接写出 的面积 25 （2021 九上 静安期末）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 Q、R分别在边 AD、DC 上，BR 交线段 OC 于点 P， ，QP 交 BD 于点 E （1）求证： ； （2）当QED 等于 60 时，求的值 26 （2022 九下 普陀期中）已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 E，点 M 是 CD 中点，联结 EM 并延长，交DCB 的外角
10、DCN 的平分线于点 F （1）求证： ME = MF； （2）联结 DF，如果 AB2 = EB BD，求证：四边形 DECF 是正方形 27 （2022 九下 普陀期中）在等腰梯形 ABCD 中，DC/AB，AB= 6，tan = 22，过点 A 作 AHBC，垂足为点 H （1）当点 C 与点 H 重合时（如图） ，求线段 BC 的长； （2）当点 C 不与点 H 重合时，联结 AC，作ACH 的外接圆 O 当点 C 在 BH 的延长线上时（如图） ，设 CH=x，CD = y，求 y 与 x 的函数解析式，并写出定义域； 延长 CD 交圆 O 于点 G，如果ACH 与ACG 全等， 求
11、 CD 的长 28 （2021 九上 虹口期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 BC 到点 E，使 = ，联结 AE 交 DC 于点 F，设 = ， = （1）用向量 、 表示 ； （2）求作：向量 分别在 、 方向上的分向量 （不要求写作法，但要写明结论） 29（2021 九上 青浦期末）如图， 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 在边 AD 上， CE、 BD 相交于点 F， BF=3DF （1）求 AE：ED 的值； （2）如果 = ， = ，试用 、 表示向量 30（2022 青浦模拟）梯形中， ， 于点， = 10， tan =43， 1以为直径， 2以为直径，直线12与
12、1交于点，与 2交于点（如图） ，设 = （1）记两圆交点为、（在上方） ，当 = 6时，求的值； （2）当 2与线段1交于、时，设 = ，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）连接，线段与 2交于点，分别连接、2，若与2相似，求的值 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：点 D、E、F 分别为边 AB、BC、AC 的中点， DE=12AC，EF=12AB，DF=12BC， DEF 的周长=12AC+12AB+12BC=12（AB+BC+AC）=12ABC 的周长，故正确； 点 D、E、F 分别为边 AB、BC、AC 的中点， DEBC，EFAB， 四边形 ADEF
13、 是平行四边形， AE 与 DF 互相平分，故正确； 四边形 ADEF 是平行四边形，BAC=90 ， 四边形 ADEF 是矩形， OA=OD=OE=OF，故正确； AB=AC，DE=12AC，EF=12AB， DE=EF， 四边形 ADEF 是平行四边形， 四边形 ADEF 是菱形， AE、DF、EA、FD 分别平分DAF、ADE、DEF、EFA， 点 O 到四边形 ADEF 四条边的距离相等，故正确. 故答案为：D. 【分析】 根据三角形中位线定理得出 DE=12AC， EF=12AB， DF=12BC， 即可得出DEF 的周长=12ABC的周长， ； 根据三角形中位线定理得出 DEBC，
14、EFAB，得出四边形 ADEF 是平行四边形，即可得出 AE与 DF 互相平分； 证出四边形 ADEF 是矩形， 再根据矩形的性质得出 OA=OD=OE=OF， 即可得出点 O 到四边形 ADEF 四个顶点的距离相等； 证出四边形 ADEF 是菱形，根据菱形的性质得出 AE、DF、EA、FD 分别平分DAF、ADE、DEF、EFA，根据角平分线的性质即可得出点 O 到四边形 ADEF 四条边的距离相等. 2 【答案】D 【解析】【解答】解：A. 当 ABBC 时，平行四边形 ABCD 是菱形，不符合题意； B. 当ABC90 时，平行四边形 ABCD 是矩形，不符合题意； C. 当 ACBD
15、时，平行四边形 ABCD 是菱形，不符合题意； D. 当 ACBD 时，平行四边形 ABCD 是矩形，符合题意； 故答案为：D 【分析】利用菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，判断各选项即可。 3 【答案】D 【解析】【解答】解：多边形的每一个内角都等于 150 ， 多边形的每一个外角都等于 180 -150 =30 ， 边数 n=360 30 =12 故答案为：D 【分析】先求出正多边形的一个外角，再根据正多边形的边数=外角和 一个外角的度数可得答案。 4 【答案】C 【解析】【解答】解：A、如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形不一定是矩形，还有可能是等腰梯形，故不符合题意； B、
16、如果一个平行四边形两条对角线相互垂直，那么这个平行四边形是菱形，故不符合题意； C、如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形，符合题意，是真命题； D、如果一个四边形两条对角线相互垂直平分，那么这个四边形是菱形，故不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据矩形和菱形的判定方法逐项判断即可。 5 【答案】A 【解析】【解答】解：多边形的外角和等于 360 ， 故答案为：A 【分析】根据多边形外角的定义可知外角和为 360 6 【答案】B 【解析】【解答】解：如图， 四边形是直角梯形，分别为各边中点，则 ， ， =12， =12 四边形是平行四边形 四边形不能是菱形或正方形， 四边
17、形可能是矩形，如图 故答案为：B 【分析】根据题意画出图形，证明 EFGH 为平行四边形，根据邻边垂直不相等即可判断出是矩形。 7 【答案】A 【解析】【解答】解：如图， 由图可知：原图形的面积大正方形的面积小正方形的面积 （x1）212， 故答案为：A 【分析】根据原图形的面积大正方形的面积小正方形的面积进行计算即可. 8 【答案】B 【解析】【解答】解：放大前后的菱形相似， 放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的 4 倍，周长和边长均为原来的 2 倍，B 符合题意， 故答案为：B 【分析】由于放大前后的菱形相似，根据相似图形的性质解答即可. 9 【答案】A 【解析】【解答】解：设 AD
18、交 GH 于 M 四边形 EFGH 是正方形， HGBC， AGHABC， 又ADBC， EHHGMD， = ， 设 EHx，则 AM2x， 22=4 ， 解得：x 43 ， EH 43 故答案为：A 【分析】设 AD 交 GH 于 M证明AGHABC，可得=，设 EHx，则 AM2x，代入相应数据求出 x 值即可. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：A、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，原命题不符合题意； B、一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形可能是直角梯形，不一定是正方形，原命题不符合题意； C、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，原命题不符合题意； D、
19、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题符合题意； 故答案为：D 【分析】根据正方形的判定方法对每个选项一一判断求解即可。 11 【答案】11 【解析】【解答】解：D、E 分别是边 AB、AC 的中点，ABAC5， DE 是ABC 的中位线，DB12AB2.5，EC12AC2.5， DE12BC， BC4， DE2， 四边形 DBCE 的周长DB+BC+EC+DE2.5+4+2.5+211， 故答案为：11 【分析】根据三角形的中位线定理求得 DE2，四条边相加即可求得四边形 DBCE 的周长. 12 【答案】42 【解析】【解答】解：连接 AC 交 BD 于点 O， 四边形 ABCD
20、 是菱形， BD=2BO，BDAC， BD=2， BO=1， AB=3， = 2 2= 32 12= 22， = 2 = 42， 菱形 ABCD 的面积=12ACBD=12 2 42 = 42， 故答案为：42 【分析】利用菱形对角线互相垂直的性质，连接 AC，勾股定理求得 AO，然后求得 AC，菱形面积等 于对角线乘积的一半即可求得面积. 13 【答案】7 【解析】【解答】解：在四边形 ABCD 中，ADBC，DEAB， 四边形 ABED 是平行四边形， BEAD5cm， CEBCBE1257（cm） ， DECB70 ，C40 ， CDE180 DECC70 ， CDEDEC， CDE 是
21、等腰三角形， CDCE7cm 故答案为：7 【分析】两组对边分别平行证明 ABED 是平行四边形，利用平行四边形的性质可得对边相等可得 BEAD，再根据三角形内角和求得CDE，证明CDE 是等腰三角形，即可求得 CD. 14 【答案】135 或 90 或 45 【解析】【解答】解：AC 是等腰四边形 ABCD 的界线， ACD 是等腰三角形 ABBCAD， 如图 1，当 ADAC 时， ABACBC，ACDADC ABC 是正三角形， BACBCA60 BAD90 ， CAD30 ， ACDADC18030275 ， BCD60 75 135 ； 如图 2，当 ADCD 时， ABADBCCD
22、， BAD90 ， 四边形 ABCD 是正方形， BCD90 ； 如图 3，当 ACCD 时，过点 C 作 CEAD 于 E，过点 B 作 BFCE 于 F， ACCD，CEAD， AE12AD，ACEDCE， BADAEFBFE90 ， 四边形 ABFE 是矩形， BFAE， ABBCAD， BF12BC， BCF30 ， ABBC， ACBBAC， ABCE， BACACE， ACBACE12BCF15 ， BCD15 345 ， 综上：BCD 的度数为：135 或 90 或 45 ， 故答案为：135 或 90 或 45 【分析】根据 “等腰四边形” 的定义可知，分三种情况证明，第一种当
23、 ADAC 时，证明ABC 是正三角形，利用等边三角形的性质，求得BCD；第二种情况，当 ADCD 时，证明四边形 ABCD 是正方形，利用正方形的性质求得BCD；第三种情况，证明四边形 ABFE 是矩形，利用矩形的性质求得BCD. 15 【答案】19或 19 度 【解析】【解答】解：如图所示：连接 AC，AC 与 BD 相交点 O， 矩形 ABCD， = ， = = = ， = 38， = = 38， = ， = ， = 19. 故答案为 19 【分析】连接 AC，AC 与 BD 相交点 O，矩形对角线相等且互相平分得出BCA=DBC，等量代换可得 AC=CE，再根据三角形的外角和求得E.
24、16 【答案】12或14 【解析】【解答】解：D 为 AB 中点， =12，即 =12， 取 AC 中点 E1，连接 DE1，则 DE1是ABC 的中位线，此时 DE1BC，1=12， 1=12， 在 AC 上取一点 E2，使得 DE1DE2，则2=12， A=30 ，B=90 ， C=60 ，BC12， DE1BC， DE1E2=60 ， DE1E2是等边三角形， DE1DE2E1E212， E1E214， 1=12， 2=14，即2=14， 综上，的值为：12或14， 故答案为：12或14 【分析】先求出 =12，再求出DE1E2是等边三角形，最后计算求解即可。 17 【答案】2 【解析】
25、【解答】解：如图，连接 AB， ACB=90 ，点 M 是 AB 的中点， AM=CM=BM， AMAB， AMB=AMA=90， 由折叠的性质得：AM=AM，AMC=AMC=45， AM=BM， AB=2BM=2CM，ABM=MAB=45， ABM=AMC=45 ， CMAB， ADBMDC， =2=2. 故答案为：2. 【分析】 连接AB， 根据直角三角形斜边定理得出AM=CM=BM， 再根据等腰三角形的性质得出AMB=AMA=90，由折叠的性质得出 AM=AM，AMC=AMC=45，从而得出 AB=2BM=2CM，再证出ADBMDC，即可得出=2=2. 18 【答案】6 【解析】【解答】
26、解：正 n 边形的一个内角和=（n2）180， 正 n 边形的一个内角=180（2） 正 n 边形的中心角=360， 180（2）=3602， 解得：n=6 故答案为 6 【分析】 根据多边形的内角和公式和正多边形的性质可得180（2）=3602， 再求出 n 的值即可。 19 【答案】10 【解析】【解答】多边形内角和公式为： （n-2） 180 ， （n-2） 180 =1440 ， 解得：n=10， 故答案为 10 【分析】利用多边形的内角和公式可得（n-2） 180 =1440 ，再求出 n 的值即可。 20 【答案】73 【解析】【解答】解：连接 OE，如图所示： 四边形 ABCD
27、是平行四边形， ADBC6，DB70 ， ODOE 12 =12 6 = 3 ， OEDD70 ， DOE40 ， = 180 = 140 ， 的长 140360 2 3 =73 ， 故答案为： 73 【分析】先求出AOE 的度数，再求出 OD 的长，最后利用弧长公式计算即可。 21 【答案】（1）解：过点 E 作 EHBD 与 H， 正方形的边长为 1， =13， EB=1- = 1 13=23， BD 为正方形对角线， BD 平分ABC， ABD=45 ， EHBD， BEH=180 -EBH-EHB=180 -45 -90 =45 ， EH=BH， EH=BH=BEsin45=2322=
28、23，AB=BDcos45 ， = 1 22= 2， DH=DB-BH=223=223， tan =23223=12； （2）解：如上图，AE=x， BE=1-x， 将ADE 绕点 D 针旋转 90 ，得到DCF， CF=AE=x，ED=FD=2+ 2=1 + 2， BF=BC+CF=1+x， 在 RtEBF 中 EF=2+ 2=(1 )2+(1 + )2=2 + 22， EDF=90 ，ED=FD， DEF 为等腰直角三角形， DFE=DEF=45 ， EBM=MFD=45 ， EMB=DMF， BEMFDM， =，即11+2=， DEM=FBM=45 ，EMD=BMF， EMDBMF， =
29、，即1+21+=2+22， 11+21+21+=2+22， 11+=2+22， 1+1+1+=2+22+即21+=2+22， =12(1 + )2 + 22，0 x1 （3）解：当点 G 在 BC 上， =13， 四边形 ABCD 为正方形， ADBG， DAM=BGM，ADM=GBM， BGMDAM， =131=13， 由（2）知BEMFDM， =， DB=2+ 2=2， =13， + = 2， =24， 24=11+2， =12(1 + )2 + 22， 2412(1+)2+22=11+2即1 2=12， 解1=22，2= 22舍去； 当点 G 在 CB 延长线上， =13，过 M 作 M
30、LBC，交直线 BC 于 L， GBAD， DAM=BGM，ADM=GBM， BGMDAM， =131=13， =13， =12， LBM=CBD=45 ，MLBC， MLB 为等腰直角三角形， MLCD， LMB=CDB，L=DCB， MLBDCB， =12，CD=1， ML=12 MLBE， L=FBE，LMF=BEF， LMFBEF， =， BE=AE-AB=x-1，LF=LB+BC+CF=12+ 1 + =32+ ，BF=BC+CF=1+x， 121=32+1+， 整理得：22= 4， 解得3=2，4= 2舍去， AE 的值为22或2 【解析】【分析】 （1）过点 E 作 EHBD 与
31、 H，再利用解直角三角形求出 EH、AB 的长，然后利用线段的和差求出 DH，最后利用正切的定义求解即可； （2）先证明BEMFDM，再利用相似三角形的性质可得=，即11+2=，再化简即可得到答案； （3）分两种情况， 当点 G 在 BC 上，当点 G 在 CB 延长线上， =13，过 M 作 MLBC，交直线BC 于 L， 再分别利用相似三角形的性质求解即可。 22 【答案】（1）解：，四边形是平行四边形 ，= 同理 = 得： = ， = 四边形是菱形 （2）解：连接，与交于点 四边形是菱形， =12， 得 = 90 同理 = 90 又是公共角， = 122= 【解析】【分析】 （1）利用平
32、行证明三角形相似，再得到线段相似比，得到四条边的关系最后证出菱形 （2）证明三角形相似，根据相似线段比以及菱形的性质证出关系式 23 【答案】（1）证明：如图所示，作 CGCE，交 FD 延长线于 G 点， CEBP，DFBP，CGCE， EFG=FEC=ECG=BEC=90 ， 四边形 FECG 为矩形，G=90 ， 四边形 ABCD 为正方形， BCD=90 ，BC=DC， BCD=BCE+ECD，ECG=ECD+DCG， BCE+ECD =ECD+DCG， 即：BCE=DCG， 在BCE 和DCG 中， = = = BCEDCG(AAS)， CE=CG， 四边形 FECG 为正方形， C
33、E=EF （2）解：如图所示，连接 CF， 由（1）知，CE=EF，CEEF，则CEF 为等腰直角三角形， 由旋转的性质得：PAD=n ，AP=AD， PAB=90 +n ，APD=12（180 -PAD）=90 -12n ， AP=AB， APB=12（180 -PAB）=45 -12n ， FPD=APD-APB=45 ， DFAB， DFP=90 ， DFP 也为等腰直角三角形，PF=DF， DFPCEF， =13， =13， 设 PF= DF=x，则 FE=CE=3x， 由（1）知四边形 CEFG 为正方形， FG=FE=3x， DG=FG-DF=2x， BCEDCG， BE=DG=2
34、x， 在 RtBEC 中，tan =23=23， ABP+EBC=90 ，EBC+BCE=90 ， ABP=BCE， tan = tan =23 （3）解：0 90， 如图所示，连接 AF 和对角线 AC， 由（2）可知，EFC=45 ，EFD=90 ， CFD=45 ， AC 为正方形 ABCD 的对角线， CAD=45 ，AC=2AB， CAD=CFD， 点 A、C、D、F 四点共圆， AFC=ADC=90 ， AF=22AB， AF=12AC， 则在 RtAFC 中，sin =12， ACF 为锐角， ACF=30 ，FAC=90 -30 =60 ， CAD=45 ， FAD=60 -4
35、5 =15 ， AP=AD，AF=AF，PF=DF， AFPAFD， FAD=FAP=15 ， PAD=30 ， n=30 【解析】【分析】 （1） 作 CGCE，交 FD 延长线于 G 点， 得出 四边形 FECG 为矩形，G=90 ， 证出 BCEDCG(AAS)， 得出 CE=CG，四边形 FECG 为正方形，即可得出结论； （2） 连接 CF， 由 （1） 知， CE=EF， CEEF， 则CEF 为等腰直角三角形， 由旋转的性质得： PAD=n ， AP=AD， 得出 DFP也为等腰直角三角形， PF=DF， 证出 DFPCEF，=13， 设PF= DF=x，则 FE=CE=3x，由
36、（1）知四边形 CEFG 为正方形，根据BCEDCG，得出 BE=DG=2x，利用正切定理计算即可； （3） 连接 AF 和对角线 AC，由（2）可知，EFC=45 ，EFD=90 ，根据 AC 为正方形 ABCD 的对角线， 得出CAD=45 ， AC=2AB， 得出 点A、 C、 D、 F四点共圆， 则在RtAFC中， sin =12，再证出AFPAFD，得出FAD=FAP=15 ， 从而得出答案。 24 【答案】（1）解： 中， = 23， = 43， = 6， 2+ 2= 48，2= 48 2+ 2= 2， = 90 中， = 23， = 43， =12 取 BC 的中点 H，连接 A
37、H，如图所示： =12 = ， =12， = = ， AHC 是等边三角形， = 60， = 30 （2）解：过 A 作 ，垂足为点 D 中， = 90， = 30， =12 = 3同理： = 2 = 2 中，2+ 2= 2， = 3， = 2 = 23 =12 =32，=12 = 33， = = 3332， 所求函数解析式为 = 32+ 33， 点 P 在线段 CB 上，且不与点 B 重合， 0 23 43， 定义域为：0 2 （3）解：= 43 【解析】【解答】解： （3）当 = 1时，当点 P 在线段 CB 上时，由（2）可知：= 23， 当点 P 在线段 CB 延长线上时，过 A 作
38、，垂足为点 M如图所示： = 1， = = 30， = 90， =12 = 3， = 2 = 2， = 2 2= 3， = 23， = + =12 +12 = 43 【分析】 （1）先利用勾股定理逆定理可得 = 90，再结合 =12可得 =12 = ， =12，即可得到AHC 是等边三角形， 再求解即可； （2） 先求出=12 =32， =12 = 33， 再利用= =3332即可得到函数的解析式为 = 32+ 33； （3）分两种情况，再利用三角形的面积及割补法求解即可。 25 【答案】（1）证明：在正方形 ABCD 中， CAD=BDC=45 ，BDAC， BOC=90 ， OBP+OPB
39、=90 ， ， BPQ=90 ， OPE+OPB=90 ， OBP=OPE， （2）解：设 OE=a， 在正方形 ABCD 中，POE=90 ，OA=OB=OD， QED 等于 60 ， BEP=60 ， 在 中， =cos60= 2 ， = tan60 = 3， ，BEP=60 ， PBE=30 ， = 2 = 4， = tan60 = 23 ， OA=OB=BE-OE=3a， BD=2OB=6a， = + = 3 + 3 = (3 + 3) ， ， =(3+3)6=3+36 【解析】【分析】 （1）利用正方形的旋转的出 CAD=BDC=45 ，BDAC， 根据 ， 利用同角的余角相等得出
40、OBP=OPE， 即可得解； （2）由（1）得出 ， 从而得出 =设 OE=a，在 中， 表示出 =cos60= 2 ， = tan60 = 3， 从而求出 OB，再进行计算即可。 26 【答案】（1）解：四边形是菱形 = = 对角线 AC、BD 交于点 E，点 M 是 CD 中点， = ， = = = ， = = 是 的外角， = = 2 是DCN 的角平分线， = =12 = = 又 = = = = = = = = （2）解： AB2 = EB BD， = 又 = = 四边形是菱形 = = 90 四边形是正方形 = 由（1）可知 = = = = 四边形是矩形 = 四边形是正方形 【解析】【
41、分析】 （1）根据菱形的性质，可得 CB=CD，根据已知条件以及中位线的性质可得 EM=MD，根据三角形的外角以及角平分线的性质可得MCF=MFC，进而可得 ME=MC，即可证明 ME=MF （2） 根据已知恒等式可证明三角形相似， 进而可得DAB=AEB=90 ， 则四边形 ABCD 是正方形，根据正方形的性质可得 ED=EC，由（1）可得四边形 DECF 是矩形，根据邻边相等，即可证明为正方形 27 【答案】（1）解： ，AB= 6，tan = 22，点 C 与点 H 重合时， = tan = 设 = ，则 = 22 = 2+ 2= 82+ 2= 3 = 6 = 2 = 2 （2）解：如图
42、，过点，分别作的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形， = = ， = = = 90， = ， = = 中，tan = 22 =， 设 = ，则 = 22， =2+ (22)2= 3 = + = 2 + =13(2 + ) = = 2 = 6 2 13(2 + ) = 23 +143 即y = 23x +143 0 23 +143 0 7 0 7 = 23 +143(0 7) 如图， ，共线， = 90，ACH 与ACG 全等 = 90， ACHACG = = = = ，/ = tan = 22 设 = ， = 22， = 3 =13 = = 2 + =13(2 + ) = = = 13(2 +
43、) = 23 +143 23 +143= 13(2 + ) 解得 = 4 = 23 4 +143= 2 【解析】【分析】 （1）根据题意解直角三角形即可 （2）过点 C、D 分别作 AB 的垂线，垂足为 E、F，则四边形 CDFE 为矩形，解直角三角形 CBE 表示出 BE，根据 y=CD 写出关于 x 的表达式，由于 CD0，写出定义域 根据等腰梯形的性质可得ADG=B，进而得 GD，写出 CD 的关系表达式并与的结论结合可得x，代入的解析式求解即可 28 【答案】（1）解：连接 AC， 在平行四边形 ABCD 中， ADCB，AD=CB， = ， 四边形 ACED 是平行四边形， DEAC
44、， = = + = + ； （2）解：过点 F 作 FMAB 交 AB 于 M，则向量 、 是向量 分别在 、 方向上的分向量 【解析】【分析】 （1）利用三角形法则解决问题即可； （2）利用平行四边形法则解决问题即可。 29 【答案】（1）解：四边形 ABCD 是平行四边形， AD/BC，AD=BC = BF=3DF， = 3 = 3 = 3，即 AE：ED=2 （2）解：AE：ED=2：1， =12 = ， =12 = ， =12 AD/BC， = BF=3DF， =34 =34 =34 =34(12 ) =38 34 【解析】【分析】 （1）先求出 = 再求出 = 3，最后计算求解即可；
45、 （2）先求出 =12 ，再求出 =34，最后求解即可。 30 【答案】（1）解：过点 A 作 AGBC，连接 O1E，O2E 由题意得12垂直平分 EF，12 又 12 ，EHO2=EHO1=90 ，EH=12EF=3 又 AGBC， AGC=AGB=90 ，DCG=90 12 AIO2=AIO1=90 ，DO2I=O1O2C=ADO2=90 四边形 ADCG 和四边形 ADO2I 是矩形 DC=AG，DA=CG= IO2，DO2=AI O2是 DC 的中点 I 是 AG 的中点 O1是 AB 的中点 O1I 是ABG 的中位线 O1I=12BG = 10，tan =43 AG=8，BG=6
46、 O1I=12BG=12 6=3 在 RtO1HE 和 RtO2HE 中 O1H=12 2=52 32=4 O2H=22 2=42 32=7 O1 O2= O1H + O2H=4+7 AD=IO2= O1 O2- O1I=4+7-3=1+7 （2）解：由（1）可知，O1 O2= AD+O1I=x+3 过点 O2作 O2GPQ 于点 G PG=12PQ=12y 在 RtO2PG 中 O2G=2 2=42 (12)2=16142 12 O2O1G=B 又tan =43 tanO2O1G=43 sinO2O1G=45 又 O1 O2= x+3 16142+3=45 2=-6425(x+3)2+64（
47、1x2） （3）解：MN=O2N+O1M-O1O2 MN=4+5-（3+x）=6-x 由2，得 2=2 由2=2，得 MN=GN=6-x GMN=MGN 又 O1A= O1M GMN=O1AM O1AM=MGN AM O1为公共角 AMO1GMN AMO12 12= AM=54（6-x） 12 12= 又tan =43 tan12= tan =43 过点 A 作 AHMN 又 O1A=5 O1H=3，AH=4 HM=O1M-O1H=5-3=2 在 RtAHM 中 AM=2+ 2=42+ 22=25 54（6-x）=25 解得 x=6-855 【解析】【分析】 （1）过点 A 作 AGBC，连接
48、 O1E，O2E ，可证12 ，则四边形 ADCG 和四边形 ADO2I 是矩形 ，根据矩形的性质可得 O1I=12BG ， 在 Rt O1HE 和 Rt O2HE 中 ，根据勾股定理可得 O1H=12 2， O2H=22 2， 则 O1 O2= O1H + O2H， 即可得 AD=IO2= O1 O2- O1I ； （ 3 ） 先 证 2， 由 2= 2， 得 MN=GN=6-x ， 再 证 AMO1GMN ， 则 AMO12，12= AM=54（6-x） ，根据 12 可得tan12= tan =43，过点 A 作 AHMN，在 Rt AHM中 ，根据勾股定理可得 54（6-x）=25 ，解之即可
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