1、 专题专题 23 23 图形的相似图形的相似 一、单选题一、单选题 1如图，已知ABC 与BDE 都是等边三角形，点 D 在边 AC 上（不与点 A、C 重合） ，DE 与 AB 相交于点 F，那么与BFD 相似的三角形是（ ） ABFE； BBDC； CBDA； DAFD 2如图，在平面直角坐标系中，已知(2，1)，(0，2)，以为顶点，为一边作45角，角的另一边交轴于 C（C 在 B 上方） ，则 C 坐标为（ ） A(0，6) B(0，7) C(0，223) D(0，132) 3 （2021 九上 静安期末）已知点 D、E 分别在 的边 AB、AC 的反向延长线上，且 EDBC，如果 A
2、D：DB1：4，ED2，那么 BC 的长是（ ） A8 B10 C6 D4 4 （2021 九上 崇明期末）如果两个相似三角形的周长比为 1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ） A1：2 B1：4 C1：8 D1：16 5 （2021 九上 宝山期末）下列格点三角形中，与右侧已知格点 相似的是（ ） A B C D 6 （2021 九上 宝山期末）如果=23，且是和的比例中项，那么等于（ ） A34 B43 C32 D23 7（2021 九上 虹口期末）在 中， 点 E、 D、 F 分别在边 AB、 BC、 AC 上， 联结 DE、 DF， 如果 ， ，： = 3：2，那么：的值是（
3、） A32 B23 C25 D35 8 （2021 九上 黄浦期末）4 和 9 的比例中项是（ ） A6 B6 C169 D814 9 （2021 九上 青浦期末）下列图形，一定相似的是（ ） A两个直角三角形 B两个等腰三角形 C两个等边三角形 D两个菱形 10 （2021 九上 青浦期末）如图，已知 ABCDEF，它们依次交直线1、2于点 A、C、E 和点 B、D、F如果 AC：CE =2：3，BD=4，那么 BF 等于（ ） A6 B8 C10 D12 二、填空题二、填空题 11（2022 闵行模拟）如图， 已知 中， = 90 ， 点M是 中点， 将 沿 所在的直线翻折，点 A 落在点
4、 处， ，且交 于点 D， ： 的值为 . 12 （2022 闵行模拟）如图，点 G 为等腰 的重心， = ，如果以 2 为半径的圆 分别与 、 相切，且 = 25 ，那么 的长为 . 13（2022 宝山模拟）如图 1， 内有一点 P， 满足 = = ， 那么点 P 被称为 的“布洛卡点”如图 2，在 中， = ， = 90，点 P 是 的一个“布洛卡点”，那么 = 14 （2022 宝山模拟）如图，在 中， = 45， = 2，cos =35.的垂直平分线交于点 E， 那么：的值是 15（2022 长宁模拟）如图， 在 RtABC 中， ACB=90 ， CDAB， 垂足为点 D， 如果3
5、2， AD=8，那么 CD 的长是 16 （2022 长宁模拟）如图，在ABC 中，AE 是 BC 边上的中线，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 GFAB 交 BC 于点 F，那么 17 （2022 青浦模拟）如图，已知中，点是上一点， ，若 = ，tan =12，则= 18 （2022 青浦模拟）如图，已知中，、分别在边、上， = ，平分，交于，若四边形= 2，则= 19 （2022 青浦模拟）如图，已知平行四边形中，是上一点， = 2，联结交于，若向量 = ，向量 = ，则向量 = 20（2022 九下 普陀期中）如图， 线段 AD 与 BC 相交于点 G， AB/CD，=12 ，
6、设 = ， = ， 那么向量 用向量 ， 表示是 三、综合题三、综合题 21 （2022 上海市）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆 AB 的长 （1）如图 1 所示，将一个测角仪放置在距离灯杆 AB 底部 a 米的点 D 处，测角仪高为 b 米，从 C点测得 A 点的仰角为 ，求灯杆 AB 的高度 （用含 a，b，的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图 2 所示，现将一高度为 2 米的木杆 CG 放在灯杆 AB 前，测得其影长 CH 为 1 米，再将木杆沿着 BC 方向移动 1.8 米至DE 的位置，此时测得其影长 DF
7、 为 3 米，求灯杆 AB 的高度 22 （2022 上海市）如图所示，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，点 E，F 在线段 BC 上，点 Q 在线段AB 上，且 CF=BE，AE =AQ AB 求证： （1）CAE=BAF； （2）CF FQ=AF BQ 23 （2022 闵行模拟）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2+ + 4 与 x 轴相交于点 (1，0) ， (3，0) ，与 y 轴交于点 C.将抛物线的对称轴沿 x 轴的正方向平移，平移后交 x 轴于点D，交线段 于点 E，交抛物线于点 F，过点 F 作直线 的垂线，垂足为点 G. （1）求抛物线的表达式； （2） 以点G为
8、圆心， 为半径画 ； 以点E为圆心， 为半径画 .当 与 内切时. 试证明 与 的数量关系； 求点 F 的坐标. 24 （2022 闵行模拟）如图，梯形 中， / ， = 26 ， = 42 ， cos =513 ， = .点 M 在射线 上， 以点 C 为圆心， 为半径的 交射线 于点 N， 联结 ，交射线 于点 G. （1）求线段 的长； （2）设线段 = ， = ，当点 N 在线段 上时，试求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）联结 ，当 = 2 时，求线段 的长. 25 （2022 闵行模拟）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，将线段 AE
9、绕点 E 顺时针旋转 90 ，此时点 A 落在点 F 处，线段 EF 交 CD 于点 M过点 F 作 FGBC，交 BC 的延长线于点 G （1）求证：BE=FG； （2）如果 ABDM=ECAE，连接 AM、DE，求证：AM 垂直平分 DE 26 （2022 宝山模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 =132+ 1与 x 轴交于点 A 和点 B(点 A在 x 轴的正半轴上)，与 y 轴交于点 C，已知 =13 （1）求顶点 P 和点 B 的坐标； （2）将抛物线向右平移 2 个单位，得到的新抛物线与 y 轴交于点 M，求点 M 的坐标和 的面积； （3）如果点 N 在原抛物线的对称轴上，当 与
10、相似时，求点 N 的坐标 27 （2022 宝山模拟）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、DB 交于点 E，点 F 在 BC 的延长线上，连结 EF、DF，且DEF=ADC （1）求证：=； （2）如果2= 2 ，求证：平行四边形 ABCD 是矩形 28 （2022 宝山模拟）如图，在半径为 3 的圆 O 中，、都是圆 O 的半径，且 = 90，点 C是劣弧 上的一个动点(点 C 不与点 A、B 重合)，延长交射线于点 D （1）当点 C 为线段中点时，求的大小； （2）如果设 = ， = ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当 =185时，点 E 在线段上，且
11、= 1，点 F 是射线上一点，射线与射线交于点 G，如果以点 A、G、F 为顶点的三角形与 相似，求的值 29 （2022 长宁模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2bx+c 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B的右侧） ，且与 y 轴交于点 C，已知点 A（3，0） ，O 为坐标原点， （1）当 B 的坐标为（5，0）时，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，以 A 为圆心，OA 长为半径画A，以 C 为圆心，AB 长为半径画C，通 过计算说明A 和C 的位置关系； （3）如果BAC 与AOC 相似，求抛物线顶点 P 的坐标 30 （2022 浦东模拟）如图，在四边形 AB
12、CD 中，AD/BC，E 在 BC 的延长线，连接 AE 分别交 BD、CD 于点 G、F，且= （1）求证：AB/CD； （2）若2= ，BG=GE，求证：四边形 ABCD 是菱形 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解： ABC 与BDE 都是等边三角形， = = 60， = ， ， 故答案为：C 【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。 2 【答案】B 【解析】【解答】解：过点 A 作 ADy 轴于点 D，过点 B 作 BEAC 于点 E，如图所示： (2，1)，(0，2)， AD=2， = (2 0)2+ (1 2)2= 5，BD=1， = 45， =22 =1
13、02， = = 90， = ， ， =104， 设 BC=x，则 CD=x+1， =104( + 1)， 在 RtBEC 中，由勾股定理得：104( + 1)2+ (102)2= 2， 解得： = 5（负根舍去） ， = 6， = 7， 点(0，7)； 故答案为：B 【分析】过点 A 作 ADy 轴于点 D，过点 B 作 BEAC 于点 E，根据题意求出 AB、BE，证明 ，可得=104，设 BC=x，则 CD=x+1，则 =104( + 1)，根据勾股定理可得104( + 1)2+ (102)2= 2，解之求出 OC 即可。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：EDBC， ABC=ADE，A
14、CB=AED， ABCADE， BC：ED= AB：AD， AD：DB1：4， AB：AD=3：1，又 ED2， BC：2=3：1， BC=6， 故答案为：C 【分析】先证明ABCADE，再利用相似三角形的性质可得 BC：ED= AB：AD，再结合 AD：DB1：4，ED2，可求出 BC=6。 4 【答案】B 【解析】【解答】解：两个相似三角形的周长比为 1：4， 两个相似三角形的相似比为 1：4， 这两个三角形的对应中线的比为 1：4 故答案为：B 【分析】根据相似三角形的性质可得答案。 5 【答案】A 【解析】【解答】解： 的三边长分别为： = 12+ 12= 2， = 22+ 22= 2
15、2， = 32+ 12= 10， 2+ 2= 2， 为直角三角形，B，C 选项不符合题意，排除； A 选项中三边长度分别为：2，4，25， 22=422=2510=2， A 选项符合题意， D 选项中三边长度分别为：2，32，25， 2232222510， 故答案为：A 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。 6 【答案】D 【解析】【解答】解：=23，b 是 a 和 c 的比例中项， 即=， =23 故答案为：D 【分析】 】根据比例中项的性质可得=，再结合=23可得=23。 7 【答案】B 【解析】【解答】如图： DEAC，AE：EB=3：2， =32 =23 ， =23 故答案为
16、：B 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=32，再利用等量代换可得=23。 8 【答案】B 【解析】【解答】解：设 4 和 9 的比例中项为 x， 4： = ：9， = 6， 故答案为：B 【分析】设 4 和 9 的比例中项为 x，即可得到4： = ：9，再求出 x 的值即可。 9 【答案】C 【解析】【解答】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似； B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似； C.两个等边三角形，角都是 60 ，故相似； D.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似； 故答案为：C 【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一
17、一判断即可。 10 【答案】C 【解析】【解答】解：ABCDEF， ： = ：， AC：CE =2：3，BD=4， 2：3 = 4：， DF=6， BF=BD+DF=4+6=10， 故答案为：C 【分析】先求出： = ：，再求出2：3 = 4：，最后计算求解即可。 11 【答案】2 【解析】【解答】解：如图，连接 AB， ACB=90 ，点 M 是 AB 的中点， AM=CM=BM， AMAB， AMB=AMA=90， 由折叠的性质得：AM=AM，AMC=AMC=45， AM=BM， AB=2BM=2CM，ABM=MAB=45， ABM=AMC=45 ， CMAB， ADBMDC， =2=2.
18、 故答案为：2. 【分析】 连接AB， 根据直角三角形斜边定理得出AM=CM=BM， 再根据等腰三角形的性质得出AMB=AMA=90，由折叠的性质得出 AM=AM，AMC=AMC=45，从而得出 AB=2BM=2CM，再证出ADBMDC，即可得出=2=2. 12 【答案】35 【解析】【解答】解：如图，延长 CG 交 AB 于点 D，设 AC 切圆 G 的切点为 E，连接 GE， G 为ABC 的重心，AC=BC， CDAB，AD=BD，CG=23CD， CD=32CG=32 25=35， AC 切圆 G 的切点为 E， CEG=90 ，GE=2， CE=2 2=4， CEG=ADC=90 ，
19、GCE=ACD， CEGCDA， =， 4=2， AD=12CD=352， AB=2AD=35. 故答案为：35. 【分析】延长 CG 交 AB 于点 D，设 AC 切圆 G 的切点为 E，连接 GE，根据等腰三角形的性质和三角 形重心的性质得出 AD=BD， CD=32CG=35， 根据切线的性质得出CEG=90 ， 根据勾股定理求出 CE=4，再证出CEGCDA，得出=，得出 AD=352，从而得出 AB=2AD=35，即可得出答案. 13 【答案】12 【解析】【解答】解：DEDF，EDF90 ， EF2DE2DF，DEFDFE45 ， 点 P 是DEF 的一个“布洛卡点”， EDPPE
20、FDFP， PDFDFPPDFEDPEDF90 ， DEPPEF45 ，PFEPEFPFEDFPDFE45 ， DEPPFE， DEPEFP， =12 ， DP12PE，PF2PE， tanDFP=12 ， 故答案为：12 【分析】先证明DEPEFP，可得=12，求出 DP12PE，PF2PE，再利用正切的定义可得 tanDFP=12 。 14 【答案】7 【解析】【解答】解：过点 A 作 于 H，作的垂直平分线交于点 E、交于 F， 在 中， =， = 2， 则2=35， 解得： =65， 由勾股定理得： = 2 2=85， 在 中， = 45， 则 = =85， = + =145， 是的垂
21、直平分线， =75， = =15， ， ， /， = 7， 故答案为：7 【分析】过点 A 作 于 H，作的垂直平分线交于点 E、交于 F，根据余弦的定义求出CH，根据勾股定理求出 AH，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可。 15 【答案】163 【解析】【解答】解：ACB90 ， ACDBCD90 ， CDAB， AACD90 ， ABCD，又ADCCDB， ADCCDB， =， =， =32，即8=32， 解得，CD163， 故答案为：163 【分析】利用相似证出ADCCDB，得出=，=，代入数值求解即可。 16 【答案】13 【解析】【解答】解：点 G 是ABC 的重心， G
22、E：AG=1：2， GE：AE=1：3， GFAB， EGFEAB =13， 是边上的中线， = =13 故答案为13 【分析】由相似证出EGFEAB，得出=13，由中线的性质得出 = ，求解即可。 17 【答案】2 【解析】【解答】解： = ， = ， ， =， ， tan =12， = 2； 故答案为 2 【分析】证明 ，根据相似三角形的性质可得=，再根据tan =12，可得= 2。 18 【答案】33 【解析】【解答】解： = ， = ， ， 四边形= 2， = 3， = ()2= 3， =33， 平分， =33； 故答案为33 【分析】 证明 ， 根据四边形= 2， 可得= 3， 则=
23、 ()2= 3，=33，根据 平分，可得=33。 19 【答案】14 14 【解析】【解答】解： = ， = ， = ， 四边形 ABCD 是平行四边形， AD/BC，AD=BC， AEFCBF， =， = 2， BC=AD=3AE， =13， =14， =14 =14 14 ， 故答案为：14 14 【分析】利用三角形法则可求得，证明AEFCBF，根据相似三角形的性质可得=13，即可求出。 20 【答案】2 2 【解析】【解答】解： = ， = ， = = ， AB/CD，=12 ， = 2 = 2 2 ， 故答案为：2 2 【分析】 根据 AB/CD 可知 ， 由线段比例可知相似比为 1：
24、 2， 可知 CG=2GB， DG=2GA， 根据向量的表示方法以及长度即可表示出来 21 【答案】（1）解：如图 由题意得 BD=a，CD=b，ACE= B=D=CEB=90 四边形 CDBE 为矩形， 则 BE=CD=b，BD=CE=a， 在 RtACE 中，tan= ， 得 AE=CE=CEtan=a tan 而 AB=AE+BE， 故 AB= a tan+b 答：灯杆 AB 的高度为 atan+b 米 （2）解：由题意可得，ABGCED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于 ABED， ABFEDF， 此时= 即23=+1.8+3， ABGC ABHGCH， 此时=，
25、 21=+1 联立得 +4.8=23+1= 2， 解得： = 3.8 = 0.9 答：灯杆 AB 的高度为 3.8 米 【解析】【分析】 （1）利用锐角三角函数计算求解即可； （2）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。 22 【答案】（1）证明：AB=AC， B=C， CF=BE， CE=BF， 在ACE 和ABF 中， = = = ， ACEABF（SAS） ， CAE=BAF （2）证明：ACEABF， AEAF，CAE=BAF， AE =AQ AB，ACAB， =，即=， ACEAFQ， AEC=AQF， AEF=BQF， AEAF， AEF=AFE， BQF=AFE， B=C， C
26、AFBFQ， =，即 CF FQ=AF BQ 【解析】【分析】 （1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可； （2）利用全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质证明求解即可。 23 【答案】（1）解： 抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴交于点 A（-1，0）和点 B（3，0） ， + 4 = 09 + 3 +4 = 0， = 43 =83， 抛物线的解析式为 y=-43x2+83x+4； （2）解：BE=EF， 理由如下： G 的半径为 GB，G 与E 内切， 切点为 B， E 的半径为 EF， BE=EF； 设点 F 的坐标为（m，-43m2+83m+4） ， BD=OB-OD=3-
27、m，DF=-43m2+83m+4， DFCO， BDEBOC， =， 3=4， DE=43BD， BE=2+ 2=53BD， EF=BE=53BD， DF=DE+FE=3BD， -43m2+83m+4=3（3-m） ， 4m2-17m+15=0， （4m-5） （m-3）=0， m=54或 m=3（不符合题意，舍去） ， m=54， -43m2+83m+4=214， F（54，214）. 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据两圆相内切的性质得出切点为 B，从而得出 BE 为E 的半径，即可得出 BE=EF； 设点 F 的坐标为（m，-43m2+83m+4）
28、 ，得出 BD=OB-OD=3-m，DF=-43m2+83m+4，证出 BDEBOC，得出=，从而得出 DE=43BD，EF=BE=53BD，DF=DE+FE=3BD，从而得出-43m2+83m+4=3（3-m） ，得出 m=54，-43m2+83m+4=214，即可得出点 F 的坐标. 24 【答案】（1）解：如图，过点 A 作 AEBC 于点 E，作 AFCD 于点 F， cosB=513， BE=513AB=513 26=10， AE=262 102=24，CE=BC-BE=32， ADBC， DAC=ACE， AD=CD， DAC=ACD， ACD=ACE， AF=AE=24， AEC
29、=AFC=90 ，AC=AC， RtAFCRtAEC， CF=CE=32， FD=FC-CD=32-AD， AD2=AF2+FD2， AD2=242+（32-AD）2， AD=25； （2）解： 如图， AEC=90 ， AC=2+ 2=40， =y， AG=yCG， CG+yCG=40， CG=401+， ACD=ACE，CM=CN=x， CGMN，MG=NG， ACE=MCG，AEC=MGC=90 ， ACEMCG， =， 40=32401+， y=50， 点 N 在线段 CD 上，CD=AD=25， 0 x25； （3）解：如图，当点 M 在线段 BC 上时， ACEMCG， =， 40
30、=32， CG=45CM， MGC=90 ， MG=35CM， MN=2MG=65CM， CM=CN， NMC=CNM， NMC=2DMN，CNM=DMN+MDN， DMN=MDN， DN=MN=65CM， CN+DN=CD， CM+65CM=25， CM=12511， 如图，当点 M 在 CB 的延长线上， 过点 P 作 PQCM 于点 Q， NMC=2DMN=DMN+DMC， DMN=DMC， CGMN， PQ=PG， PM=PM， RtPMQRtPMG， MQ=MG=35CM， CQ=CM-MQ=25CM， PCQ=MCG，PQC=CGM=90 ， CQPCGM， =， =2545， P
31、C=12CM， AP=AC-PC=40-12CM， ADBC， ADPCMP， =， 25=401212， CM=55， CM=55 或12511. 【解析】【分析】 （1） 过点 A 作 AEBC 于点 E， 作 AFCD 于点 F， 先求出 BE=10， AE=24， CE=32，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出ACD=ACE，从而得出 AF=AE=24，再证出 RtAFCRtAEC，得出 CF=CE=32，FD=32-AD，根据勾股定理得出 AD2=AF2+FD2，从而得出 AD2=242+（32-AD）2，即可得出 AD=25； （2）先求出 AC=40，再根据=y，得出 CG
32、=401+，根据等腰三角形的得出 CGMN， MG=NG，再证出ACEMCG，得出=，从而得出40=32401+，即可得出 y=50， 再根据点 N 在线段 CD 上，即可得出 x 的取值范围为 0 x25； （3）分两种情况讨论：当点 M 在线段 BC 上时，当点 M 在 CB 的延长线上，分别利用相似三角形的判定与性质求出 CM 的长，即可得出答案. 25 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，FGBC， ADC=BCD=B=EGF=90 ， BAE+AEB=90 ， 由旋转的性质得：AE=EF，AEF=90 ， FEG+AEB=90 ， BAE=FEG， ABEEGF， BE=F
33、G； （2）证明：如图， BCD=B=90 ，BAE=FEG， ABEECM， =， ABEM=ECAE， ABDM=ECAE， EM=DM， 点 M 在 DE 的垂直平分线上， MED=MDE， AEF=ADC=90 ， AED=ADE， AE=AD， 点 A 在 DE 的垂直平分线上， AM 垂直平分 DE 【解析】【分析】 （1）证出ABEEGF，即可得出 BE=FG； （2）证出 EM=DM，得出点 M 在 DE 的垂直平分线上，再证出 AE=AD，得出点 A 在 DE 的垂直平分线上，即可得出 AM 垂直平分 DE 26 【答案】（1）解：根据题意可画出函数图象，如图 1， 令 =
34、0可得 = 1， (0， 1)，即 = 1 在 中， =13， =13， = 3， (3，0) 将点 A 的坐标代入抛物线解析式可得，13 32+ 3 1 = 0， 解得 = 23 抛物线的解析式为： =13223 1 =13( 1)243 顶点(1， 43)， 令 = 0，即13( 1)243= 0， = 3或 = 1， (1，0) （2）解：如图 2， 将（1）中抛物线向右平移 2 个单位，得到的新抛物线 =13( 3)243 令 = 0，则 =53 (0，53). 连接并延长交 y 轴于点 D，设直线 AP 的解析式为 y1x1 ，把点 A 和点 P 的坐标代入得 43=k1+b10=3
35、k1+b1 ， k1=23b1=2 直线 AP 的解析式为：y=23x2， 当 x0 时， y2， D(0，2)， SAPM=12(xAxP)MD=12(31)(53+2)=113 （3）解：在ABC 中，A(3，0)，B(1，0)，C(0，1)，tanCAB=13， AB=4，AC=32+12=10， 如图 3，过点 M 作 MQ 垂直于原抛物线的对称轴于点 Q， MQ=1，PQ=53+43=3， tanMPQ=MQPQ=13，PM=10 MPQ=CAB， 若PMN 与ABC 相似，则 PM：PN=AB：AC 或 PM：PN=AC：AB， 设 N(1，t)， 则 PN=t+43， 10：(t
36、+43)=4：10 或 10：(t+43)=10：4， 解得 t=76 或 t=83 N(1，76)或(1，83). 【解析】【分析】 （1）根据题意可画出函数图象，由 =13，得出=13，令 = 0，即13( 1)243= 0，得出点 C 的坐标，得出 OC 的长，由此得出点 A 的坐标，将点 A 的坐标代入抛物线解析式可得，1332+ 3 1 = 0，得出 b 的值，得出点 P 的坐标，令 = 0，即13( 1)243= 0，由此得出点 B 的坐标； （2）根据抛物线的平移可求出新抛物线，令 x=0，可得出点 M 的坐标，利用三角形面积公式可求出 的面积； （3）过点 M 作垂直于原抛物线
37、的对称轴于点 Q，若 与 相似，则： = ：或： = ：，设(1，)， 则 = +43，求出 t 的值即可。 27 【答案】（1）证明： 平行四边形 ABCD， AD/BC，AB/DC， BAD+ADC=180 ， 又BEF+DEF=180 ， BAD+ADC=BEF+DEF， DEF=ADC， BAD=BEF， AB/DC， EBF=ADB， ADBEBF， ； （2）证明：ADBEBF， ， 在平行四边形 ABCD 中，BE=ED= ， ， ， 又， ，DBF 是等腰三角形， ， FEBD，即DEF=90 ， ADC=DEF=90 ， 平行四边形 ABCD 是矩形. 【解析】【分析】 （1
38、）由已知条件和平行四边形的性质易证ADBEBF，再由相似三角形的性质证 明即可； （2）在平行四边形 ABCD 中，BE=ED=12BD，得出 FEBD，即DEF=90 ，即可得出结论。 28 【答案】（1）解：如图1，连接， 点 C 为线段中点， = 90， = = ， = ， = = ， 是等边三角形， = 60， = 90 = 90 60 = 30； （2）解：如图2，连接，过点 O 作 于点 H， = ， ， = ， =12 =12， = 2 2=9 142=1236 2， + = + = 90， = ， = = 90， ， =， = ，ODy3， 1212362=3+3， =3362
39、3， 点 C 是劣弧上的一个动点(点 C 不与点 A、B 重合)， 0 ， = 2+ 2= 32+ 32= 32， 0 32， y 关于 x 的函数解析式为 =33623，定义域为0 32； （3）解：如图 3， 当 =185时，由(2)可知， =336(185)23185185= 1， = 1， = 3， = 2， = 3， = 4， ， = ， = ， = ， = ， ， =， 4=13， =43， = = 3 43=53， ， = ()2= (533)2=2581 【解析】【分析】 （1）利用直角三角形的性质得出 = = ，进而证明 是等边三角形，得出 = 60，即可得出答案； （2）
40、连接， ， 过点O作 于点H， 由等腰三角形的性质以及勾股定理得出 =12 =12， = 2 2=9 142=1236 2，再证明 ，得出=，即可得出 =33623，因为点 C 是劣弧上的一个动点(点 C 不与点 A、B 重合)，得出0 ，即可求出定义域； （3）当 =185时，由(2)可知， =336(185)23185185= 1，进而得出 = 2， = 3， = 4，由 ， 证明 ， 得出=， 得出 =43， 得出 = = 3 43=53，得出 = = 3 43=53，由相似三角形的性质得出= ()2= (533)2=2581. 29 【答案】（1）解：A（3，0） ，B 的坐标为（5，
41、0） ，代入 yx2+2bx+c 9 +6 + = 025 10 + = 0 解得 = 1 = 15 抛物线的解析式为： = 2 2 + 15 （2）解：由 = 2 2 + 15，令 = 0，解得 = 15，即(0，15) (3，0)，(5，0) = 3， = 8， = 152 32= 66 的半径为3， 的半径为 8 3 + 8 = 11 66 A 和C 的位置关系；相离 （3）解： = 2+ 2 + (0，)，对称轴为 = 22= (3，0)在抛物线上，则9 + 6 + = 0 = 9 6 令 = 0，即2+ 2 + = 0 解得1= + 2，2= 2 点 A 在点 B 的右侧 + + 2
42、= 3 = 2 2= 2|3 | = 3， = 32+ 2， = BAC 与AOC 相似，而 是直角三角形， 又 ，在 x 轴上，C 在 y 轴上，且 B 在 x 轴负半轴， 当且仅当 = 90时，BAC 与AOC 相似 当 时，= 2|3|9+2=9+23 9 + 2= 6|3 | = 9 6 9 + (9 6)2= 6|3 | 则9 + (9 6)2= 6(3 )或9 + (9 6)2= 6( 3) 解得1=43，2=32或无解 当 时，= 2|3|9+2=9+2 9 + 2= 2|3 | = 9 6 9 + (9 6)2= 2(9 6)|3 | 则9 + (9 6)2= 2(9 6)(3
43、 )或9 + (9 6)2= 2(9 6)( 3) 以上两个方程都无解 综上所述，1=43，2=32 当 =43时， = 9 6 = 9 8 = 1 抛物线解析式为 = 2+83 + 1 = ( 43)2+259，此时顶点坐标为(43，259) 当 =32时， = 0，不合题意，舍去 综上所述，顶点 P 坐标为(43，259) 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法即可得出抛物线的解析式； （2）由 = 2 2 + 15，得出点 C 的坐标，从而得出 = 3， = 8，再利用勾股定理得出 AC的值，根据圆半径之和小雨圆心距即得出 和 的半径，即可得解； （3）利用待定系数法得出 x 的值，因为
44、点 A 在点 B 的右侧，BAC 与AOC 相似，而 是直角三角形，在 x 轴上，C 在 y 轴上，且 B 在 x 轴负半轴，即可得出当且仅当 = 90时，BAC与AOC 相似，当 时，当 时，分别得出 b 的值，即可得解。 30 【答案】（1）证明：ADBC， =， =， =， ABCD； （2）证明：ADBC，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD， BC2=GD BD， AD2=GD BD，即=， 又ADG=BDA， ADGBDA， DAG=ABD， ABCD， ABD=BDC， ADBC， DAG=E， BG=GE ， DBC=E， BDC=DBC， BC=CD ， 四边形 ABCD 是平行四边形， 平行四边形 ABCD 是菱形. 【解析】【分析】 （1）证明=，即可得出结论； （2）利用相似三角形的性质证明 BC=CD ，即可得出结论
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