1、 专题专题 2 2 代数式代数式 一、单选题一、单选题 1一组数据：2，1，3，x，7，9，满足“从第三个数起，若前两个数依次为 a、b，则紧随其后的数就是2 ”， 例如这组数中的第三个数“3”是由“2 2 1”得到， 那么该组数据中的 x 为 （ ） A1 B2 C1 D2 2定义一种新运算：ab=a（ab） ，例如，43=4（43）=4，若 x2=3，则 x 的值是（ ） Ax=3 Bx=1 Cx1=3，x2=1 Dx1=3，x2=1 3 （2022 七下 台江期末）如图， 一个粒子从原点出发， 每分钟移动一次， 依次运动到(0，1) (1，0) (1，1) (1，2) (2，1) (3，
2、0) ，则 2022 分钟时粒子所在点的横坐标为（ ） A886 B903 C946 D990 4 （2022 七下 思明期末）如图，在平面直角坐标系上有个点 (1，0) ，点 P 第 1 次向上跳动 1 个单位至点 1(1，1) ，紧接着第 2 次向左跳动 2 个单位至点 2(1，1) ，第 3 次向上跳动 1 个单位，第 4次向右跳动 3 个单位， 第 5 次又向上跳动 1 个单位， 第 6 次向左跳动 4 个单位， 依此规律跳动下去，则点 P 第 2017 次跳动至 2017 的坐标是（ ） A （504，1008） B （504，1009） C （505，1008） D （505，10
3、09） 5 （2022 八下 泉州期末）定义新运算： = ( 0)( ).若函数 yminx1，2+ 2 + 3 ，则该函数的最大值为 . 三、综合题三、综合题 21 （2022 七下 将乐期中）规定两数，b 之间的一种新运算，如果= ，那么 = .例如：因为52= 25，所以525 = 2，因为50= 1，所以51 = 0. （1）根据上述规定，填空； 28 = ；2116= . （2）在运算时，按以上规定：设45 = ，46 = ，请你说明下面这个等式成立：45 + 46 =430. 22 （2022 七下 台江期末）对于平面直角坐标系中的任意一点(，)，给出如下定义； = 2 ， = +
4、 ，将点(，)与(，)称为点 P 的一对“关联点”.例如： (2，3)的一对“关联点”是点(1，5)与(5，1). （1）点(4，3)的一对“关联点”是点 与 . （2）点(，8)的一对“关联点”重合，求 x 的值. （3）点 B 一个“关联点”的坐标是(1，7)，求点 B 的坐标. 23 （2022 七上 永春期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形 仔细观察，找出规律，解答下列各题： （1）第 4 个图中共有 根火柴，第 6 个图中共有 根火柴； （2）第 n 个图形中共有 根火柴（用含 n 的式子表示） （3）若() = 2 1（如(2) = 2 (2) 1，(3) = 2 3 1） ，求(1
5、)+(2)+(2021)2021的值 （4）请判断上组图形中前 2022 个图形火柴总数是 2022 的倍数吗，并说明理由？ 24 （2022 九下 厦门月考）定义：一个自然数能分解成 ，其中 A，B 均为两位数，A 的十位数字比 B 的十位数字大 1，且 A，B 的个位数字之和为 10，则称这个自然数为“分解数”，例如：4819 = 79 61，7 比 6 大 1，1 + 9 = 10，4819 是“分解数”；又如：1496 = 44 34，4 比 3大 1，4 + 4 10，1496 不是“分解数”. （1）判断 231 是否是“分解数”，并说明理由； （2）自然数 = 为“分解数”，若
6、A 的十位数字与 B 的个位数字的和为 P，A 的个位数字与 B的十位数字的和 F，令 =，当 G 为整数时，则称 M 为“整分解数”.若 B 的十位数字能被 4 整除，求满足条件的“整分解数”. 25 （2022 八下 湖里期末）定义：一次函数 = + 与 = + （a，b 为常数且 0）叫做一对交换函数 （1）一次函数 = 3 + 4的交换函数是 ； （2）若 2，一次函数 = 2 + 与它的交换函数的图象交于点 P 求点 P 的横坐标； 两个函数图象与 y 轴的交点分别为点 A 和点 B，求 的面积（用含 b 的代数式表示） 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：
7、根据题意得 = 2 1 3 = 1 故答案为：A. 【分析】根据题意可得：1 2-3=x，求解可得 x 的值. 2 【答案】D 【解析】【解答】x2=3， x（x2）=3， 整理得 x22x3=0， （x3） （x+1）=0， x3=0 或 x+1=0， 所以 x1=3，x2=1 故答案为：D 【分析】 由定义新运算 ab=a（ab） 将 x2=3 转化为 x（x2）=3，再解方程即可. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到 （0，1）（1，0）（1，1）（1，2）（2，1）（3，0）L， 发现： 当 x=0 时，有两个点，共 2 个点， 当 x=
8、1 时，有 3 个点，x=2 时，1 个点，共 4 个点； 当 x=3 时，有 4 个点，x=4，1 个点，x=5，1 个点，共 6 个点； 当 x=6 时，有 5 个点，x=7，1 个点，x=8，1 个点，x=9，1 个点，共 8 个点； 当 x=10 时，有 6 个点，x=11，1 个点，x=12，1 个点，x=13，1 个点，x=14，1 个点，共 10 个点； 当 =(1)2，有（n+1）个点，共 2n 个点； 2+4+6+8+10+2n2018， (2+2)2 2018且 n 为正整数， 得 n=44， n=44 时，2+4+6+8+10+88=1980， 且当 n=45 时，2+4
9、+6+8+10+90=2070， 198020222070， 当 n=44 时，x=12（44 45）=990， 198020221980+46， 2022 个粒子所在点的横坐标为 990 故答案为：D 【分析】 观察图形分别找出 x=0、 1、 2、 3、 4、 5时， 对应的点的个数可知： 当 x=(1)2时， 有 （n+1）个点，共 2n 个点；依次求和可得关于 n 的不等式：2+4+6+8+2n2018，解不等式并根据 n 为正整数可得n=44， 计算当n=44和n=45时的各点之和， 可知198020222070， 于是把n=44代入x=(1)2计算即为 2022 个粒子所在点的横坐
10、标. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的， 所以第 2017 次跳动后，纵坐标为 2016 2+1=1009； 其中 4 的倍数的跳动都在 y 轴的右侧，那么第 2017 次跳动得到的横坐标也在 y 轴右侧. P1横坐标为 1，P4横坐标为 2，P8横坐标为 3，依此类推可得到：P4n的横坐标为 n+1. 故点 P2016的横坐标为：2016 4+1=505， 4 与 4+1 的横坐标相同， 第 2017 跳动的横坐标为 505， P 第 2017 次跳动至点 2017 的坐标是(505，1009). 故答案为：D. 【分析】经过观察可得
11、：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第 2017 次跳动后，纵坐标为 2016 2+1=1009；其中 4 的倍数的跳动都在 y 轴的右侧，那么第 2017 次跳动得到的横坐标也在 y轴右侧，可知 P4n的横坐标为 n+1，从而求出2017 的横坐标即可. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得： = 5 = 5( 0)5( 0) ， 当 x0 时，反比例函数 y= 5 在第一象限， 当 x0 时，反比例函数 y=- 5 在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此 B 选项符合. 故答案为：B. 【分析】分 x0 与 x0 两种情况，根据新定义运算得出函数解析式，再根据
12、反比例函数的图象和性质进行判断即可. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：g（f（5，-2） ）=g（-5，2）=（2，-5）. 故答案为：A. 【分析】根据定义的新运算可得 f(5，-2)=(-5，2)，然后根据 g(a，b)=(b，a)进行解答. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点(1，1)，第 2 次接着运动到点(2，0)，第 3 次接着运动到点(3，2)， 第 4 次运动到点(4，0)，第 5 次接着运动到点(5，1)， 横坐标为运动次数，经过第 2023 次运动后，动点的横坐标是 2023， 纵坐标依次为 1
13、，0，2，0，每 4 次一轮， 2023 4 = 505 3， 经过第 2023 次运动后，动点的坐标是(2023，2)； 故答案为：D. 【分析】由题意可得：第 1 次从原点运动到点（1，1） ，第 2 次接着运动到点（2，0） ，第 3 次接着运动到点（3，2） ，第 4 次运动到点（4，0） ，第 5 次接着运动到点（5，1） ，推出横坐标为运动次数，纵坐标依次为 1，0，2，0，每 4 次一轮，据此解答. 8 【答案】C 【解析】【解答】解：易知形如 3 和 2 ( ， 为正整数)的正整数不可能相等. 考虑在从小到大排列的形如 3 ( 为正整数)的正整数 3， 6， 9， 27， 中，
14、 从小到大添加形如 2 ( 为正整数)的数. 由 2022 = 3 674 知，将形如 3 ( 为正整数)的正整数从小到大排列，2022 是第 674 个数. 由于 210= 1024 2022 ， 所以有 10 个形如 2 ( 为正整数)的数小于 2022，这 10 个数排在 2022 前面. 所以 = 674 + 10 = 684 . 故答案为：C. 【分析】由 2022=3 674 知，将形如 3m 的正整数从小到大排列，2022 是第 674 个数，根据 210=1024，211=2048 可得有 10 个形如 2n的数小于 2022，这 10 个数排在 2022 前面，据此解答. 9
15、 【答案】B 【解析】【解答】解：A、当 x=3时，则2 3 = 0，故此选项错误，不符合题意； B、因为1 0， 1 0，所以11 0，故此选项正确，符合题意； C、当 = 1时，则( + 1)2= 0，故此选项错误，不符合题意； D、当 x=-1 时，则+1+2= 0，故此选项错误，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据分式的值为 0 的条件，以及偶次方的非负性判断即可解答 10 【答案】C 【解析】【解答】解：平均一个人传染了 个人， 第一轮传染后得病的人数为（m+1）人， 第二轮被传染上流感的人数是 ( + 1) 故答案为：C 【分析】先求出第一轮传染后得病的人数为（m+1）人，利
16、用第一轮传染后得病的人数 每轮中一人传染的人数，即得第二轮被传染上流感的人数，据此解答即可. 11 【答案】5 【解析】【解答】解：代数式 2 + 1的值是 3，即 2 + 1 = 3， 2 = 2， 2 4 + 1 = 2( 2) + 1 = 2 2 + 1 = 5 故答案为：5. 【分析】由题意可得 x-2y=2，将待求式变形为 2(x-2y)+1，据此计算. 12 【答案】7 【解析】【解答】解： 已知 = ， = 是方程3 5 = 2的解， 3a-5b=2， 6a-10b=4， 6a-10b+3=4+3=7. 故答案为：7. 【分析】将 = ， = 代入方程，可求出 3a-5b 的值，
17、即可得到 6a-10b 的值；然后整体代入求出 6a-10b+3的值. 13 【答案】 = 0或 3 或 6 【解析】【解答】解：当 x 为偶数时，输出结果为12， 当12为偶数时，则1212 = ， 此时 = 0； 当12为奇数时，则12 + 3 = ， 此时 = 6； 当 x 为奇数时，输出结果为 + 3， 两个奇数的和为偶数， + 3为偶数，则12( + 3) = ， 此时 = 3； 综上分析可知， = 0或 3 或 6 故答案为：x=0 或 3 或 6. 【分析】 当 x 为偶数时， 输出结果为12， 当12为偶数时， 有1212 = ； 当12为奇数时， 有12+3=x，求解即可；当
18、 x 为奇数时，输出结果为 x+3，此时有12(x+3)=x，求解即可. 14 【答案】28 【解析】【解答】解：3 条直线相交最多有 3 个交点，4 条直线相交最多有 6 个交点，5 条直线相交最多有 10 个交点.而 3=1+2， 6=1+2+3， 10=1+2+3+4， 故可猜想， 条直线相交， 最多有1 + 2 + 3 + + ( 1) =12( 1)个交点. 8 条直线两两相交，最多有12 8 (8 1) = 28个交点. 故答案为：28. 【分析】3 条直线相交最多有 3=1+2 个交点，4 条直线相交最多有 6=1+2+3 个交点，5 条直线相交最多有 10=1+2+3+4 个交
19、点，推出 n 条直线相交，最多有 1+2+3+(n-1)=(1)2个交点，据此计算. 15 【答案】6 【解析】【解答】解：( + 2) ( + 4) + 2 4 =2 4 =2( 2)， 将 2 = 3代入， 原式=2 3 = 6. 故答案为：6. 【分析】根据单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则对代数式进行化简，然后将已知条件代入进行计算. 16 【答案】（25，75）(答案不唯一) 【解析】【解答】解：根据同余数定义，若 是同余数，则 2 ( 为正整数)也是同余数.由 5 是同余数知， 20 = 5 22 也是同余数. 由5是三边长分别为 32 ， 203 ， 416 的直角三角形
20、的面积， 可得 20 = 5 22 是三边长分别为 32 2 ， 203 2 ， 416 2 的直角三角形的面积，即三边长分别为 93 ， 403 ， 413 的直角三角形的面积. 将 =93 ， =403 ， =413 ， = 20 代入 =(+) ， =22(+)2 ，计算得 = 25 ， = 75 . 于是 (25，75) 是椭圆曲线 2= 3 202 上的一个有理点. 注： 将 =403 ， =93 ， =413 ， = 20 代入 =(+) ， =22(+)2 ， 计算得 = 180 ， = 2400 .于是 (180，2400) 也是椭圆曲线 2= 3 202 上的一个有理点. 故
21、答案为： （25，75）(答案不唯一) . 【分析】根据 5 是同余数，知 20=5 22也是同余数，根据面积为 5 的直角三角形的三边长可得面积为20 的直角三角形的三边长，代入 =(+)， =22(+)2 中可得 x、y 的值，据此解答. 17 【答案】10000 【解析】【解答】解：1+ 2= 4 = 22， 2+ 3= 3 + 6 = 9 = 32， 3+ 4= 6 + 10 = 16， 4+ 5= 10 + 15 = 25， + +1= ( + 1)2 99+ 100= 1002= 10000 故答案为：10000. 【分析】由题意可得：a1+a2=22，a2+a3=32，a3+a4
22、=42推出 an+an+1=(n+1)2，然后将 n=99 代入计算即可. 18 【答案】5 【解析】【解答】 = (21)(221)(241)(2641) = (2 1)(2 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(264+ 1) = (22 1)(22+ 1)(24+ 1)(264+ 1) = (24 1)(24+ 1)(264+ 1) = (28 1)(28+ 1)(264+ 1) = (264 1)(264+ 1) = 2128 1 21= 2，22= 4，23= 8，24= 16，25= 32，26= 64， 以 2 为底且指数分别从 1 开始的正整数指数幂的个位数字按 2、4、8、6
23、 的顺序循环 128 4=32 2128的个位数字为 6 2128 1的个位数字为 6-1=5 故答案为：5 【分析】先将原式变形为 m= (2 1)(2 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(264+ 1)，然后利用平方差公式计算可得 m= 2128 1，然后再找出 2 的任何次幂的个位数字的规律，继而得解. 19 【答案】362 【解析】【解答】解：由题意得： 13+ 23+ 33+83(1 + 2 + 3 + + 8)2= 362 故答案为：362 【分析】根据数据可分析出规律为从 1 开始，连续 n 个数的立方和等于（1+2+3+.+n）2，据此将 n=8代入即可算出答案. 20 【答
24、案】3 【解析】【解答】解：依题意，设直线 y=x+1，抛物线 = 2+ 2 + 3， 联立直线与抛物线方程得 = + 1 = 2+2 + 3， 解得 = 2 = 3或 = 1 = 0， 直线与抛物线交点坐标为（-1，0） ， （2，3） ， 如图， x-1 时，y=2+ 2 + 3，函数最大值为 y=0， -1x2 时，y=x+1，函数最大值为 y=3， 当 x2 时，y=2+ 2 + 3，y3， x=2 时，函数取最大值为 3， 故答案为：3 【分析】 先求出直线与抛物线交点坐标为 （-1， 0） ，（2， 3） ， 画出草图， 分三种情况： x-1 时， y=2+2 + 3当-1x2 时
25、，y=x+1，当 x2 时，y=2+ 2 + 3，根据二次函数及一次函数的性质分别求出最大值，再比较即可. 21 【答案】（1）3；-4 （2）解：45 = ，46 = ， 4=5，4=6. 4 4=4+=56=30. 右边=430=x+y 左边= x+y 左边=右边 即45 + 46 = 430成立. 【解析】【解答】解： （1）23=8，28 =3 24=116，2116=-4. 故答案为：3，-4. 【分析】 （1）根据有理数的乘方法则可得 23=8，根据负整数指数幂的运算性质可得 2-4=116，然后结合 定义的新运算进行计算； （2）根据定义的新运算可得 4x=5，4y=6，结合同底
26、数幂的乘法法则可得 4x 4y=4x+y=30，则右边=430=x+y，据此证明. 22 【答案】（1）(5，7)；(7，5) （2）解： 点(，8)的一对“关联点”为(2 8， + 8)，( + 8，2 8)， 而这两点重合， 2 8 = + 8， 解得： = 16. （3）解：由题意得：点 B 一个“关联点”的坐标是(1，7)，则另一个“关联点”的坐标为(7， 1)， 2 = 1 + = 7 或2 = 7 + = 1， 当2 = 1 + = 7时，解得： = 2 = 5， (2，5)， 当2 = 7 + = 1时，解得： = 2 = 3， (2， 3). 【解析】【解答】解： （1）由题意
27、可得： = 4， = 3， = 2 = 5， = + = 7， 点(4，3)的一对“关联点”是点(5，7)，(7，5)， 故答案为：(5，7)，(7，5). 【分析】 （1）由题意可得 x=4，y=3，由 a=2x-y、b=x+y 求出 a、b 的值，然后根据“关联点”的概念进行解答； （2）根据“关联点”的概念可得 A（x，8）的一对关联点为（2x-8，x+8） ， （x+8，2x-8） ，根据两点重合可得 x 的值； （3）根据“关联点”的概念可得 B（x，y）的一对关联点为（-1，7） ， （7，-1） ，据此可得关于 x、y 的方程组，求出 x、y 的值，进而可得点 B 的坐标. 23
28、 【答案】（1）17；25 （2）4n1 （3）解：(1) = 2 1 1 = 1， (2) = 2 2 1 = 3， (3) = 2 3 1 = 5， (1)+(2)+(2021)2021=(211)+(221)+(220211)2021 =2(1+2+2021)20212021 =2021(1+2021)20212021 = 2021； （4）解：4 1 + 1 + 4 2 + 1 + + 4 2022 + 1 = 4 (1 + 2 + + 2022) + 1 2022 = 4 12 (1 + 2022) 2022 + 2022 = 2 2023 2022 + 2022 = 4047 20
29、22； 它是 2022 倍数 【解析】【解答】解： （1）第 4 个图案中火柴有4 4 + 1 = 17； 第 6 个图案中火柴有4 6 + 1 = 25； 故答案为：17，25； （2）当 = 1时，火柴的根数是4 1 + 1 = 5； 当 = 2时，火柴的根数是4 2 + 1 = 9； 当 = 3时，火柴的根数是4 3 + 1 = 13； 所以第 n 个图形中火柴有(4 + 1)， 故答案为：(4 + 1)； 【分析】 （1）由图形可得第 4 个图案中火柴 4 4+1 根，第 6 个图案中火柴有 4 6+1 根，计算即可； （2）通过（1）的解答，不难表示出第 n 个图形中火柴的根数； （
30、3）根据 f(n)=2n-1 分别表示出 f(1)、f(2)、f(3)，代入可得 (1)+(2)+(2021)2021=(211)+(221)+(220211)2021=2(1+2+2021)20212021，据此计算； （4） 前2022个图形火柴总数为41+1+42+1+42022+1=412 (1+2022) 2022+2022=4047 2022，据此解答. 24 【答案】（1）解：231=21 11，2 比 1 大 1，1+110， 231 不是“分解数”； （2）解：令 = 10 + ， = 10（ + 1）+ 10 ，（1 8，1 9）且 x，y 为正整数， = + + 1， =
31、 + 10， =+1+10， 4为整数， x=4 或 8， 当 x=4 时，不存在 G 为整数， 舍去； 当 x=8 时， =+9+18= 1 +27+18 为整数， + 18 = 9，解得 = 9， = 91 89 = 8099. 综上所述，M 的值为 8099. 【解析】【分析】 （1）根据 “分解数” 的定义判断即可； （2）设 B 的十位数字为 x，个位数字为 y，则 A 的十位数字为 x+1，个位数字为 10-y，然后分别表示出 P、F，将 B 的十位数字分为两种情况讨论，分别讨论 B 的个数数字的取值即可求解. 25 【答案】（1）y=4x+3 （2）解： = 2 + 的交换函数为
32、： = + 2， 联立： = 2 + = + 2， 即有：(2 )( 1) = 0， 2， 2 0， 1 = 0，即 = 1， 故交点 P 的横坐标为 1； 当 x=0 时， = 2 + = ， = + 2 = 2， 一次函数 = 2 + 和 = + 2与 y 轴的交点坐标为(0，b)、(0，2)， 2， AB=b-2， 交点 P 的横坐标为 1， 又=12 ， =12 =12 ( 2) 1 =22， 【解析】【解答】解：(1) = 3 + 4的交换函数为：y=4x+3， 故答案为：y=4x+3； 【分析】 （1）根据“交换函数”的定义直接写出结果； （2） 先求出 = 2 + 的交换函数为 = + 2 ，联立方程组，可得 2x+b=bx+2，据此可求出 x值，即得点 P 的横坐标； 先求出一次函数 = 2 + 和 = + 2与 y 轴的交点坐标为(0，b)、(0， 2)， 即得 AB=b-2，根据=12 即可求解.
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