1、 专题专题 5 5 一元一次方程一元一次方程 一、单选题一、单选题 1如图，有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺 A8 B10 C13 D12 2我国元朝朱世杰所著的算学启蒙中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之.”意思是：“跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里，慢马先走 12 天，快马几天可以追上慢马？”若设快马 x 天可以追上慢马，则可列方程为（ ） A150(12 + ) = 240 B240(
2、12 + ) = 150 C150( 12) = 240 D240( 12) = 150 3 （2021 七上 洪山期末）已知关于 x 的方程 2xa 5 0 的解是 x2，则 a 的值为（ ） A6 B7 C8 D9 4 （2021 七上 洪山期末）一列火车匀速行驶，经过一条长 800 米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要 50 秒的时间：在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是 18秒，设该火车的长度为 x 米，根据题意可列一元一次方程为（ ） A18x80050 x B18x80050 C800+50 18 D80050 18 5 （2021 七上 云梦期末
3、）某项工程，甲单独完成需要 45 天，乙单独完成需要 30 天，若乙先单独做 22天，剩下的由甲去完成，问：甲、乙一共用几天可完成全部工作？设甲、乙共用 x 天完成，则符合题意的方程是（ ） A2245+2230= 1 B+2230+45= 1 C+2245+2230= 1 D30+2245= 1 6 （2021 七上 天门月考）足球比赛的计分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，一个球队进行了 14 场比赛，共得 19 分，若其中只负 5 场，那么这个队胜了（ ） A3 场 B4 场 C5 场 D6 场 7 （2021 七上 天门月考）设 x，y，c 是有理数，则下列
4、结论正确的是（ ） A若 = ，则 + = B若 = ，则 = C若 = ，则 = D若 2=3 ，则 2 = 3 8 （2021 七上 天门月考）若 3+12 的值比 223 的值小 1，则 x 的值为（ ） A135 B 135 C513 D 513 9 （2021 九上 武汉月考）某学校加强教育信息化的建设的投入，今年投入了 50 万元，计划明年、后年两年共投入 120 万元，设明年、后年两年平均每年增长率为 x，根据题意，可列出方程为（ ） A50+50 （1+x）2120 B50（1+x）+50 （1+x）2120 C50+50 （1+x）+50 （1+x）2120 D50 （1+x
5、）2120 10 （2021 武汉）我国古代数学名著九章算术中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出 8 钱.多出 3 钱；每人出 7 钱，差 4 钱.问人数，物价各是多少？若设共有 人，物价是 钱，则下列方程正确的是（ ） A8( 3) = 7( + 4) B8 + 3 = 7 4 C38=+47 D+38=47 二、填空题二、填空题 11 （2021 七上 洪山期末）已加关于 x 的一元一次方程 2021x34x3b 的解为 x7，则关于 y 的一元一次方程 2021（1y）34（1 y）3b 的解为 y . 12 （2
6、021 七上 洪山期末）亚饮广场某件农服的标价为 240 元，若这件衣服的利润率为 20%，则该衣服的进价为 元. 13 （2021 七上 云梦期末）远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？是 盏灯. 14 （2021 七上 天门月考）已知关于 的方程 321= 6 是一元一次方程，则 的值为 . 15 （2021 九上 汉阳月考）第七届世界军人运动会将于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在中国武汉举行，小熙同学幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片，如图，该照片(中间的矩形)长 29cm，宽为 20cm，他想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框(阴影部分)
7、，且镜框所占面积为照片面积的 14 ，为求镜框的宽度，他设镜框的宽度为 xcm，依题意列方程，化成一般式为 . 16 （2021 宜城模拟）已知关于 x 的方程2 + + 5 = 0 的解是 = 2 ，则 a 的值为 . 17 （2021 咸宁模拟）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 尺. 18 （2021 七下 武汉开学考）已知一个正数的两个不同的平方根是 + 3和2 6，则 = . 19（2021 七上 宜城期末）互联网“微商”
8、经营已成为大众创业新途径， 某微信平台上一件商品标价为 500 元，按标价的五折销售，仍可获利 25% ，则这件商品的进价为 元. 20 （2021 七上 鄂州期末）对于任意四个有理数 ， ， ， ，可以组成两个有理数对 (,) 与 (,) .我们规定： (,) (,) = .例如： (1,2) (3,4) = 2 3 1 4 = 2 .根据上述规定解决问题：当满足等式 (3,2 1) (, + ) = 7 + 2 的 是整数时，整数 的所有可能的值的和是 . 三、计算题三、计算题 21 （2021 七上 天门月考）解下列一元一次方程 （1）3x7（x1）32（x3） ； （2）5+43 14
9、 2 5512 . 22 （2021 七上 宜城期末）（1）3 7( 1) = 3 2( + 3) （2）534=3+1223 23 （2021 七上 宜昌期末）解方程： （1）2 (3 + 4) = 7 + 2(3 ) （2）12 3 =213 . 24 （2021 七上 鄂州期末）解下列方程 （1）3 + 17 = 32 2 （2）1 314=3+2 四、综合题四、综合题 25 （2021 七上 天门月考）已知 y1 是方程 2 13( ) = 2 的解. （1）求 m 的值； （2）在（1）的条件下，求关于 x 的方程 m（x4）2（mx3）的解. 26 （2021 七上 天门月考）某市
10、为了节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10 吨的部分，按 2 元/吨收费；超过 10 吨的部分按 2.5 元/吨收费. （1）若黄老师家 5 月份用水 16 吨，问应交水费多少元？ （2）若黄老师家 6 月份交水费 30 元，问黄老师家 6 月份用水多少吨？ （3）若黄老师家 7 月用水 a 吨，问应交水费多少元？（用 a 的代数式表示） 27 （2021 七上 天门月考）某商场计划购进甲，乙两种节能灯共 1200 只，这两种节能灯的进价和售价如下表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）求甲，乙两种节能灯各进货多少时，使进货款恰好
11、为 46 000 元； （2）应如何进货，使销售完节能灯时，商场获得的利润恰好是进货价的 30%，此时利润为多少? 28 （2021 九上 武汉月考）某商品销售量 y（件）与售价 x（元）满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为 60 元时，每件商品能获得 50%的利润. 售价 x（元） 55 50 45 销售量 y（个） 350 400 450 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？ （3）由于原材料价格上涨，导致每件成本增加 a 元，结果发现当售价为 60 元和售价为 80 元时，利润相同，求 a 的值. 29（2021 恩施）“互联网+”让
12、我国经济更具活力， 直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低 40 元，销售 50 千克花生与销售 10 千克茶叶的总售价相同. （1）求每千克花生、茶叶的售价； （2）已知花生的成本为 6 元/千克，茶叶的成本为 36 元/千克.甲计划两种产品共助销 60 千克，总成本不高于1260元， 且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、 茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：设芦苇的长为 x 尺，即 BC=
13、x 尺，则 AB=（x-1）尺，AC=5 尺 由题意可得：2+ 2= 2 ( 1)2+ 52= 2 解得 = 13 = 13 1 = 12尺 故答案为：D. 【分析】设芦苇的长为 x 尺，即 BC=x 尺，在直角三角形 ABC 中，用勾股定理可得关于 x 的方程，解方程求得 x 的值，于是 AB=BC-1 可求解. 2 【答案】A 【解析】【解答】设快马 x 天可以追上慢马，由题意可知：150(12 + ) = 240. 故答案为：A. 【分析】此题是行程问题中的追及问题，等量关系为：慢马的速度 （12+追及的时间）=240 追及的时间；据此列方程即可. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：把
14、 x2 代入原方程得， 4a50， 解得，a9 故答案为：D. 【分析】根据方程解的概念，将 x=2 代入原方程中可得关于 a 的方程，求解即可. 4 【答案】C 【解析】【解答】解：设该火车的长度为 x 米， 依题意，得： 800+50 18 . 故答案为：C. 【分析】设该火车的长度为 x 米，根据火车速度=火车长度 灯照时间=(隧道长+火车长) 通过隧道的时间即可列出方程. 5 【答案】A 【解析】【解答】解：设甲、乙共用 x 天完成，则甲单独干了（x-22）天，本题中把总的工作量看成整体 1，则甲每天完成全部工作的145，乙每天完成全部工作的130. 根据等量关系列方程得：2245+2
15、230= 1， 故答案为：A. 【分析】设甲、乙共用 x 天完成，则甲单独干了（x-22）天，把总工作量看作 1，根据相等关系“ 乙单独做 22 天完成的工作量+甲（x-22）天完成的工作量=1”可列关于 x 的方程. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：设共胜了 x 场，则平了（14-5-x）场， 由题意得：3x+（14-5-x）=19， 解得：x=5，即这个队胜了 5 场. 故答案为：C. 【分析】设共胜了 x 场，则平了（14-5-x）场，根据总得分为 19 分，建立关于 x 的方程求解即可. 7 【答案】B 【解析】【解答】 解： A、 若 = ， 在等式的两边都加上同一个数“c”，
16、等式依然成立， 即 + = + ，故该选项不正确，不符合题意； B、若 = ，在等式的两边都乘以同一个数“c”，等式依然成立，即 = ，故该选项正确，符合题意； C、若 = ，且 0 ，在等式的两边都车衣同一个不为 0 的数“c”，等式依然成立，即 = ，故该选项不正确，不符合题意； D、 若 2=3 ， 在等式的两边都乘以同一个数“6c”， 等式依然成立， 即 3 = 2 ， 故该选项不正确，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】等式的性质：等式两边同加或同减去一个数，等式依然成立；等式两边同乘以一个数，等式依然成立，等式两边同除以一个不为零的数，等式依然成立，据此一一判断得出答案. 8 【
17、答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得 3+12 = 223 -1 去分母，得 3（3x+1）=2（2x-2）-6 去括号，得 9x+3=4x-4-6 移项，得 9x-4x=-4-6-3 合并同类项，得 5x=-13 系数化为 1，得 x=- 135 . 故答案为：B. 【分析】根据题意列出关于 x 的含分数系数的一元一次方程，接着先去分母（两边同时乘以 6，右边的-1 也要乘以 6，不能漏乘） ，再去括号（括号前的数要与括号里的每一项都要相乘） ，然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为 1. 9 【答案】B 【解析】【解答】解：设明年、后年两年平均每年增长率为 x， 由题意得 50(1
18、 + ) + 50(1 + )2= 120 . 故答案为：B. 【分析】根据今年的投入钱数 (1+增长率)=明年的投入钱数，今年的投入钱数 (1+增长率)2=后年的投入钱数，分别表示出明年、后年的投入钱数，结合总投入 120 万元就可列出关于 x 的方程. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：设共有 x 人，则有 8x-3=7x+4 设物价是 钱，则根据可得： +38=47 故答案为：D. 【分析】若设共有 x 人，根据物价不变可列方程，即 8x-3=7x+4；若设物价是 y 钱，根据人数不变可列方程. 11 【答案】8 【解析】【解答】解：将 x7 代入 2021x34x3b 中得： 20
19、21 7 3 = 4 7 + 3 ， 解得： =141163 将 =141163 代入 2021（1y）34（1 y）3b 有： 2021(1 ) + 3 = 4(1 ) 3 141163 ， 解得： = 8 . 故答案为：8. 【分析】将 x7 代入 2021x-34x3b 中可求出 b 的值，然后将 b 的值代入 2021(1-y)34(1- y)-3b中并求解就可得到 y 的值. 12 【答案】200 【解析】【解答】解：设这件服装的进价为 x 元，依题意得： （1+20%）x240， 解得：x200， 则这件服装的进价是 200 元. 故答案为：200. 【分析】设这件服装的进价为 x
20、 元，根据进价+进价 利润率=标价建立方程，求解即可. 13 【答案】3 【解析】【解答】解：设顶层有 x 盏灯. 根据题意得： + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 381， 解得： = 3. 因此尖头（最顶层）有 3 盏灯. 故答案为：3. 【分析】设顶层有 x 盏灯，根据相等关系“七层共 381 盏灯”可列方程求解. 14 【答案】1 【解析】【解答】解：根据题意得：2m-1=1， 解得：m=1. 故答案为：1. 【分析】只含有一个未知数，未知数的次数是一次，且一次项的系数不为 0 的整式方程就是一元一次方程，据此建立关于 m 的一元一次方程求解即可. 15 【答案】
21、42+ 98 145 = 0 【解析】【解答】解：根据题意得， 2(29 + 2) + 2 20 = 20 29 14 整理得 42+ 98 145 = 0 故答案为： 42+ 98 145 = 0. 【分析】由题意可得：2 (29+2x)x+2 20 x=20 2914，化简即可. 16 【答案】-1 【解析】【解答】解：把 = 2 代入方程得： 4 + + 5 = 0 ， 解得： = 1 ， 故答案为：-1. 【分析】把 x=-2 代入原方程得出一个关于 a 的一元一次方程求解，即可解答. 17 【答案】8 【解析】【解答】解：设绳长 x 尺， 由题意得 13 x-4= 14 x-1， 解
22、得 x=36， 井深： 13 36-4=8（尺） ， 故答案为：8. 【分析】 设绳长 x 尺， 根据“ 把绳三折来量， 井外余绳四尺 ”可得井深 13 x-4， 根据“ 把绳四折来量，井外余绳一尺 ”可得井深 14 x-1，根据井深不变，可列方程，求解即可. 18 【答案】1 【解析】【解答】解： + 3和2 6是同一个正数的两个不同的平方根 + 3 + 2 6 = 0 = 1 故答案为：1. 【分析】根据同一个正数的两个平方根互为相反数可得 a+3+2a-6=0，求解即可. 19 【答案】200 【解析】【解答】解：设该商品的进价为 x 元， 根据题意得： 500 0.5 = 25% ，
23、解得： = 200 . 故答案为：200. 【分析】设这件商品的进价为 x 元/件，根据“利润=标价 折扣 进价=进价 利率”即可列出关于 x 的一元一次方程，解方程即可得出结论. 20 【答案】-6 【解析】【解答】根据题意得， (2 1) 3( + ) = 7 + 2 ， 化简可得 2 + 3 = 7 ， 所以 =72+3 ， 又因为 x 为整数，k 为整数，所以 2k+3=-7，-1,1,7，解得 k=-5，-2，-1,2， 所有 k 的值相加得-6， 故答案为-6. 【分析】已知等式利用题中新定义化简，计算即可求出整数 k 的值，然后相加即可. 21 【答案】（1）解：3x7（x1）3
24、2（x3） 去括号，得 3x7x732x6 移项，得 3x7x2x367 合并同类项，得2x10 化系数为 1，得 x5 （2）解： 5+43 14 2 5512 去分母（方程两边乘 12） ，得 4（5y4）3（y1）2 12（5y5） 去括号，得 20y163y3245y5 移项、合并同类项，得 28y16 化系数为 1，得 y 47 . 【解析】【分析】 （1）先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘） ，再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为 1 即可； （2）先去分母
25、（两边同时乘以 12，右边的 2 也要乘以 12，不能漏乘） ，再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘） ，然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为 1 即可. 22 【答案】（1）解： 3 7( 1) = 3 2( + 3) 去括号，得： 3 7 + 7 = 3 2 6 ， 移项、合并同类项，得： 2 = 10 ， 系数化为 1，得： = 5 ； （2）解： 534=3+1223 去分母，得： 3(5 3) = 6(3 + 1) 4(2 ) ， 去括号，得： 15 9 = 18 + 6 8 + 4 ， 移项、合并同类项，得： 7
26、 = 7 ， 系数化为 1，得： = 1 . 【解析】【分析】 （1）先去括号，再移项、合并同类项，再系数化为 1 即可求解； （2）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，最后系数化为 1 即可求解. 23 【答案】（1）解：去括号得： 2 3 4 = 7 + 6 2 ， 移项得： 3 + 2 = 7 + 6 2 + 4 ， 合并得： = 15 ， 解得： = 15 （2）解：去分母得： 3( 1) 18 = 2(2 1) ， 去括号得： 3 3 18 = 4 2 ， 移项得： 3 4 = 2 + 3 + 18 ， 合并得： = 19 ， 解得： = 19 【解析】【分析】 （1）方程去括
27、号，移项合并，将 x 系数化为 1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，将 x 系数化为 1，即可求出解. 24 【答案】（1）解：移项得： 3 + 2 = 32 17 ， 合并同类项得： 5 = 15 ， 系数化为 1 ，得： = 3 ； （2）解：去分母得： 4 (3 1) = 2(3 + ) ， 去括号得： 4 3 + 1 = 6 + 2 ， 移项，得： 3 2 = 6 4 1 合并同类项得： 5 = 1 ， 系数化为 1 ，得： = 0.2 . 【解析】【分析】 （1）方程移项合并，将 x 系数化为 1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，将 x 系数化为
28、1，即可求出解. 25 【答案】（1）解：把 = 1 代入方程 2 13( ) = 2 得： 2 13( 1) = 2 ， 解得 = 1 . （2）解：将 = 1 代入方程 m（x4）2（mx3）中，得 + 4 = 2( + 3) ，解得 = 2 . 【解析】【分析】 （1）把 y=1 代入原方程得出关于 m 的一元一次方程，求解即可； （2）利用（1）的结果，把 m 的值代入原方程解关于 x 的一元一次方程求解即可. 26 【答案】（1）解：10 2+（16-10） 2.5=35（元） ， 答：应交水费 35 元； （2）解：设黄老师家 6 月份用水 x 吨，由题意得 10 2+2.5 （x
29、-10）=30， 解得 x=14， 答：黄老师家 6 月份用水 14 吨 （3）解：当 0a10 时，应交水费为 2a（元） ， 当 a10 时，应交水费为：20+2.5（a-10）=2.5a-5（元）. 【解析】【分析】 （1）抓住已知条件：每月每户用水不超过 10 吨的部分，按 2 元/吨收费；超过 10 吨的部分按 2.5 元/吨收费，根据 1610，再列式计算可求出结果； （2）设黄老师家 6 月份用水 x 吨，根据题意可知 x10，列方程，然后求出方程的解； （3）分情况讨论：当 0a10 时；当 a10 时；分别列式计算. 27 【答案】（1）解：设甲种节能灯购进 x 只，则乙种节
30、能灯购进（1200 x）只， 依题意得：25x+45（1200 x）=46000， 解得：x=400， 1200 x=800（只） ， 答：甲种节能灯购进 400 只，乙种节能灯购进 800 只，进货款恰好为 46000 元 （2）解：设商场购进甲型节能灯 a 只，则购进乙型节能灯（1200a）只， 由题意，得： （3025）a+（6045） （1200a）=25a+45（1200a） 30%， 解得：a=450， 1200450=750（只） ， 5a+15（1200a）=13500（元）. 答：商场购进甲型节能灯 450 只，购进乙型节能灯 750 只时，商场获得的利润恰好是进货价的 30
31、%，此时利润为 13500 元. 【解析】【分析】 （1）此题的等量关系为：甲种节能灯的数量+乙种节能灯的数量=1200；甲种节能灯的数量 25+乙种节能灯的数量 45=46000；设未知数，列方程，然后求出方程的解； （2）设商场购进甲型节能灯 a 只， 则购进乙型节能灯（1200a）只， 根据单支的利润乘以数量=总利润分别表示出销售甲、乙两种灯的利润，再根据商场获得的利润恰好是进货价的 30%，设未知数，列方程，然后求出方程的解，然后求出此时的利润. 28 【答案】（1）解：设 y 与 x 的函数关系式为 = + ， 由题意得：55 + = 35050 + = 400， = 10 = 90
32、0， y 与 x 的函数关系式为 = 10 + 900； （2）解：设利润为 W， 当售价为 60 元时，每件商品能获得 50%的利润， 进价为60 (1 + 50%) = 40元， = ( 40)(10 + 900) = 102+ 1300 36000 = 10( 65) +26250， 10 0， 当 = 65时，利润最大，最大利润为 6250 元， 答：当售价为 65 元时，利润最大，最大利润为 6250 元； （3）解：由题意得：(60 40 )(10 60 + 900) = (80 40 )(10 80 + 900) 整理得：3(20 ) = 40 ， 解得 = 10. 【解析】【分
33、析】 （1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b，将 x=55、y=350；x=50、y=400 代入求出 k、b 的值，进而可得 y 与 x 的函数关系式； （2）设利润为 W，易得进价为 60 (1+50%)=40（元） ，根据利润=(售价-进价) 销售量可得 W 与 x 的函数关系式，然后结合二次函数的性质进行求解； （3）根据利润=(售价-进价) 销售量分别表示出售价为 60 元、80 元对应的利润，然后令两者相等，求解即可. 29 【答案】（1）解：设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为 x 元，由题意得： 50( 40) = 10 ， 解得： = 50 ，
34、花生每千克的售价为 50-40=10 元； 答：每千克花生的售价为 10 元，每千克的茶叶售价为 50 元 （2）解：设茶叶销售了 m 千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为 w 元，由题意得： 6(60 ) + 36 126060 2 ， 解得： 20 30 ， = (10 6)(60 ) + (50 36) = 10 + 240 ， 100， w 随 m 的增大而增大， 当 m=30 时，w 有最大值，最大值为 = 10 30 + 240 = 540 ； 答：当花生销售 30 千克，茶叶也销售 30 千克时可获得最大利润，最大利润为 540 元. 【解析】【分析】 （1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为 x 元，根据“销售 50 千克花生与销售 10 千克茶叶的总售价相同.”列出方程，求解即可； （2）设茶叶销售了 m 千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为 w 元 ，先根据“ 甲计划两种产品共助销 60 千克，总成本不高于 1260 元，且花生的数量不高于茶叶数量的 2 倍 ”求出 m 的范围，再根据利润=花生的利润+茶叶的利润，列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可
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