1、专题专题 13 13 二次函数二次函数 一、单选题一、单选题 1抛物线 = 3( 1)2 2的顶点坐标是（ ） A(1，2) B(1， 2) C(1， 2) D(1，2) 2已知二次函数 y2ax2+ax4（a0）图象上三点 A（1，y1） 、B（1，y2） 、C（2，y3） ，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） Ay1y3y2 By3y1y2 Cy1y2y3 Dy2y1y3 3 （2022 九上 江夏月考）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点 如果二次函数 yx2+2x+c 有两个相异的不动点 x1， x2， 且 x12x2， 则
2、c 的取值范围是 （ ） Ac3 Bc8 Cc6 Dc1 4 （2022 九上 江夏月考）将抛物线 y12（x+1）21 平移后得到抛物线 y12x2下列平移方法正确的是（ ） A先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 B先向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 C先向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 D先向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 5 （2022 九上 广水月考）对于抛物线 = 12( 1)2+ 2的说法错误的是（ ） A抛物线的开口向下 B抛物线的顶点坐标是（1，2） C抛物线的对称轴是直线 x1 D当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 6 （2
3、022 九上 应城月考）把抛物线 = 2+ + 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是 = 2 3 + 5，则有（ ） A = 3， = 7 B = 9， = 15 C = 3， = 3 D = 9， = 21 7 （2022 九上 嘉鱼月考）抛物线 = 2+ + 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表： x -2 -1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（ ） A抛物线的开口向下 B抛物线的对称轴为直线 =12 C抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(2，0) D函数 = 2+ + 的最大值为254 8 （2022 襄阳）二次函数 yax2+bx+c
4、 的图象如图所示，则一次函数 ybx+c 和反比例函数 y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 9 （2022 黄石）已知二次函数 = 2+ + 的部分图象如图所示，对称轴为直线 = 1，有以下结论： 0；若 t 为任意实数，则有 2+ ；当图象经过点(1，3)时，方程2+ + 3 = 0的两根为1，2（1 2） ，则1+ 32= 0，其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 10 （2022 恩施）已知抛物线 =122 + ，当 = 1时， 0；当 = 2时， 2； 若 1， 则 32； 已知点(1，1)， (2，2)在抛物线 =122 + 上，当1 2 2；
5、若方程122 + = 0的两实数根为1，2，则1+ 2 3. 其中正确的有（ ）个. A1 B2 C3 D4 二、填空题二、填空题 11 （2022 九上 郧西月考）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2水管，在水管的顶端点处安一个喷水头， 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离 = 3处达到最高，水柱落地处离池中心距离 = 8，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离是 12 （2022 九上 郧西月考）已知抛物线 = 2+ + （，是常数）的图象经过(1，0)，对称轴在轴的右侧下列四个结论： 0；2 4 0；若 + 2 = 0，则 = 2是方程2+ + = 0的一个根；若
6、(1，)，(2，)是抛物线上两点，当 = 1+ 2时，则 = 其中正确的是 （填写序号） 13 （2022 九上 江夏月考）下列关于二次函数 yx22mx+m21 的结论： 该函数图象的对称轴为直线 xm； 若函数图象的顶点为 M，与 x 轴交于 A、B 两点，则 SABM为定值； 若 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）两点在该函数图象上，且 x1x2，x1+x22m，则有 y1y2； 该函数图象与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，ABC 不可能为直角三角形 其中正确的结论是 14（2022九上 广水月考）已知点A(-3， 1)， B(-5， 2)， C(2， 3)在函数y
7、=-2 -2x+b的图象上， 则1、 2、 3的大小关系为 15 （2022 九上 广水月考）已知二次函数 = 2 4 + 2，当1 3时，y 的取值范围内是 16 （2022 九上 广水月考）如图， 已知点1， 2， ， 2014在函数 = 2位于第二象限的图象上， 点1，2，2014在函数 = 2位于第一象限的图象上，点1，2，2014在 y 轴的正半轴上，若四边形111、1222，2013201420142014都是正方形，则正方形2013201420142014的边长为 17 （2022 九上 应城月考）抛物线 y=2+bx+c，经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解
8、析式为 . 18 （2022 九上 嘉鱼月考）二次函数 = 2+ + 的部分图象如图所示，与 y 轴交于（0，1） ，对称轴为直线 x1下列结论：abc0；a13；对于任意实数 m，都有 m（amb）ab 成立； 若(2，1)，(12，2)，(2，3)， 在该函数图象上， 则3 2 1； 方程|2+ + | = （k0，k 为常数）的所有根的和为 4其中正确结论是 19 （2022 九上 嘉鱼月考）将抛物线 = 2向上平移 3 个单位，再向右平移 2 个单位，所得抛物线的解析式是 20 （2022 襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从 2
9、m 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为 xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为 ym，y 与 x 的函数关系式为 y132x2+12x+2（0 x20.5） ，当她与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值 三、综合题三、综合题 21 （2022 九上 郧西月考）用一条长 40cm 的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为 xcm （1）若围成的矩形面积为 75cm2，求 x 的值； （2）当 x 为何值时围成的矩形面积最大，最大面积是多少？ 22 （2022 黄石）如图，抛物线 = 232+23 + 4与坐标轴分别交于 A，B，C 三点，P 是第一象限内抛物
10、线上的一点且横坐标为 m （1）A，B，C 三点的坐标为 ， ， ； （2）连接，交线段于点 D， 当与 x 轴平行时，求的值； 当与 x 轴不平行时，求的最大值； （3）连接，是否存在点 P，使得 + 2 = 90，若存在，求 m 的值，若不存在，请说明理由 23 （2022 黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况， 调查了某天上午学生进入操场的累计人数 y （单位： 人） 与时间 x （单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式： = 2+ + (0 8)640，(8 10)，数据如下表 时间 x（分钟） 0
11、1 2 3 8 8 10 累计人数 y（人） 0 150 280 390 640 640 （1）求 a，b，c 的值； （2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有 4 个，每个检测点每分钟检测 5 人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数） ； （3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过 20 分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？ 24 （2022 襄阳）在平面直角坐标系中，直线 ymx-2m 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，顶点为 D的抛物线 y-x2+2mx-m2+2 与 y 轴交于点 C （1
12、）如图，当 m2 时，点 P 是抛物线 CD 段上的一个动点 求 A，B，C，D 四点的坐标； 当PAB 面积最大时，求点 P 的坐标； （2）在 y 轴上有一点 M（0，73m） ，当点 C 在线段 MB 上时， 求 m 的取值范围； 求线段 BC 长度的最大值 25 （2022 恩施）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 = 2+ 与 y 轴交于点(0，4). （1）直接写出抛物线的解析式. （2）如图，将抛物线 = 2+ 向左平移 1 个单位长度，记平移后的抛物线顶点为 Q，平移后的抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧） ，与 y 轴交于点 C.判断以 B、
13、C、Q 三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由. （3）直线 BC 与抛物线 = 2+ 交于 M、N 两点（点 N 在点 M 的右侧） ，请探究在 x 轴上是否存在点 T，使得以 B、N、T 三点为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）若将抛物线 = 2+ 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线 BC 最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线 = 2+ 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标. 26 （2022 鄂州）某数学兴趣小组运用几何画板软件探究 yax2（a0）型抛物线图象.发现：如图1 所示，该类型图象上任意一点 M 到定点 F（0
14、，14）的距离 MF，始终等于它到定直线 l：y14上的距离 MN（该结论不需要证明） ，他们称：定点 F 为图象的焦点，定直线 l 为图象的准线，y14叫做抛物线的准线方程.其中原点 O 为 FH 的中点，FH=2OF= 12，例如，抛物线 y12x2，其焦点坐标为F（0，12） ，准线方程为 l：y12.其中 MF=MN，FH=2OH=1. （1） 【基础训练】 请分别直接写出抛物线 y2x2的焦点坐标和准线 l 的方程： ， . （2） 【技能训练】 如图 2 所示，已知抛物线 y18x2上一点 P 到准线 l 的距离为 6，求点 P 的坐标； （3） 【能力提升】 如图 3 所示，已知
15、过抛物线 yax2（a0）的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线 l 于点 A、B、C.若 BC2BF，AF4，求 a 的值； （4） 【拓展升华】 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 C 将一条线段AB 分为两段 AC 和 CB， 使得其中较长一段 AC 是全线段 AB 与另一段 CB 的比例中项， 即满足：512.后人把512这个数称为“黄金分割”把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点. 如图 4 所示，抛物线 y14x2的焦点 F（0，1） ，准线 l 与 y 轴交于点 H（0，1） ，E 为线段 HF 的黄金分割点，点 M 为 y 轴左侧的抛物线
16、上一点.当2时，请直接写出HME 的面积值. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为(1， 2) 故答案为：B. 【分析】二次函数的顶点式为 y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k） ，据此解答. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：y2ax2+ax4（a0） ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线 x2(2)=14， 当 x14时，y 随 x 的增大而减小， 点 A（1，y1）关于对称轴的对称点是(32，1)，而1 320）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数 y=ax2+bx+c 向右平移 m（m
17、0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为 y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数 y=ax2+bx+c 向上平移 m（m0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c+m；二次函数 y=ax2+bx+c 向下平移 m（m0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c-m. 5 【答案】D 【解析】【解答】解：y12（x1）2+2 中，a120，开口向下；顶点坐标为（1，2） ；对称轴为 x1；当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小 故答案为：D 【分析】利用二次函数 y=a（x-h）2+k 的性质：当 a0 时，抛物线开口向下，可对 A 作出判断
18、；顶点坐标为（h，k） ，对称轴为直线 x=h，可对 C，B 作出判断；再利用二次函数的增减性，可对 D 作出判断. 6 【答案】A 【解析】【解答】解： = 2 3 + 5 = ( 32)2+114 把它向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得即可得到原函数： = ( 32+ 3)2+114+ 2 = ( +32)2+194 = 2+ 3 + 7 = 3， = 7 故答案为：A 【分析】先将 = 2 3 + 5化为顶点式，由题意知将 = 2 3 + 5向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得即可得到原函数，根据上加下减，左加右减即可求解. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：由题
19、意得4 2 + = 0 + = 4 = 6， 解得 = 1 = 1 = 6， 抛物线解析式为 = 2+ + 6 = ( 12)2+254， 抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线 =12，该函数的最大值为254，故 A、B、D 说法正确，不符合题意； 令 = 0，则2+ + 6 = 0， 解得 = 3或 = 2， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（-2，0） ， （3，0） ，故 C 说法错误，符合题意； 故答案为：C 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式，即可判断 A、B、D；再求出 y=0 的 x 值，即得抛物线与 x 轴的交点坐标，据此判断 C. 8 【答案】D 【解析】【解答】
20、解：二次函数图象开口方向向下， a0， 对称轴为直线 = 20， b0， 与 y 轴的负半轴相交， c0， y=bx+c 的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数 y=图象在第二、四象限， 只有 D 选项图象符合 故答案为：D 【分析】观察函数图象，抛物线的开口向下，可得到 a 的取值范围；利用左同右异，可得到 b 的取值范围；抛物线的图象交于 y 轴的负半轴，可得到 c 的取值范围，由此可得到 y=bx+c 与 y 的图象所经过的象限，据此可得答案. 9 【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线开口向上， 0， 抛物线的对称轴为直线 = 1，即 = 2= 1， = 2 0， 抛物线与 y 轴的
21、交点在 x 轴下方， 0， 0，开口向上，且当 = 1时， 0；当 = 2时， 0， 2 2；故正确； 当 = 1时， 0， 12-b+c12+c， c1， b32，故正确； 抛物线 =122 + 的对称轴为直线 x=b，且开口向上， 当 xb 时，y 的值随 x 的增加反而减少， 当1 2 2；故正确； 方程122 + = 0的两实数根为 x1，x2， x1+x2=2b， 当 c1 时，b32， 则 x1+x23，但当 c3 的结论不成立， 故不正确； 综上，正确的有，共 3 个. 故答案为：C. 【分析】 根据二次函数的解析式可得： 其图象开口向上， 根据图象与 x 轴有两个不同的交点可得
22、0，据此判断；根据 x=1 时，y12+c，结合 c 的范围可得 b 的范围，据此判断；根据对称轴以及开口方向确定出函数的增减性， 据此判断； 根据根与系数的关系可得 x1+x2=2b， 根据当 c1 时，b32可得 x1+x23，当 c 0， 故不正确； 抛物线 = 2+ + （，是常数）的图象经过(1，0)，对称轴在轴的右侧 抛物线与 x 轴另一交点在 x 正半轴上， 抛物线与 x 轴由两个不同的交点， = 2 40， 故正确； + 2 = 0， + = 0， = + = 2 + = ， 当 = 2时，2+ + = 4 + 2 + = 4 2 2 = 0， 则 = 2是方程2+ + = 0
23、的一个根， 故正确； (1，)，(2，)是抛物线上两点， 1 2，12+ 1+ = ，22+ 2+ = ， 两式相减得12+ 1 22 2= 0， 因式分解得(1 2)(1+ 2) + = 0， 1+ 2= ， = 1+ 2= ， = ()2+ () + =22+ = ， 故正确， 正确的序号是. 故答案为：. 【分析】将（-1，0）代入可得 a-b+c=0，由对称轴在 y 轴的右侧可得 a 与 b 异号，然后分 a0确定出 b、c 的符号，据此判断；根据对称性可得抛物线与 x 轴另一交点在 x 正半轴上，由抛物线与x 轴有两个不同的交点可判断；根据 a+2c=0、a-b+c=0 可得 b=-
24、c，令 x=2，可得cx2+bx+a=4c+2b+a=4c-2c-2c=0，据此判断；将 A、B 的坐标代入并相减可得(x1-x2)a(x1+x2)+b=0，则 x1+x2=，x=x1+x2=，然后代入求出 y，据此判断. 13 【答案】 【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线 x22= ， 故正确， 由 y（xm）21，所以顶点 M（m，1） ， 设 A（x1，0） ，B（x2，0） ， 令 y0，则（xm）210， x1m1，x2m+1， AB|x1x2|2， =12 1 = 1， SABM为定值， 故正确， P（x1，y1） ，Q（x2，y2）两点在该函数图象上， 1= 12 21+
25、 2 1，2= 22 22+ 2 1， 1 2= 12 21 22+ 22（x1x2） （x1+x22m） ， x1x2，x1+x22m， x1x20，x1+x22m0， y1y20， y1y2， 故错误， 由可得，A（m1，0） ，B（m+1，0） ， 令 x0，则 ym21， C（0，m21） ， AC2（m1）2+（m21）2m4m22m+2， BC2（m+1）2+（m21）2m4m2+2m+2， BC2AC2， 当 AC2+BC2AB2， 2m42m2+44， m0 或 1， 当 AC2+AB2BC2， m4m2+2m+2m4m22m+2+4， m1， 此时 AC0，故舍去， 当 m0
26、 或 1 时，ABC 为直角三角形， 故错误. 故答案为：. 【分析】根据对称轴方程可得二次函数的对称轴，据此判断；易得顶点 M（m，-1） ，设 A（x1，0） ，B（x2，0） ，令 y0，求出 x，然后求出 AB，再根据三角形的面积公式可判断；表示出 y1-y2，然后根据 x1x2，x1+x22m 可判断；易得 A（m-1，0） ，B（m+1，0） ，C（0，m2-1） ，根据两点间距离公式可得 AC2，BC2，然后分 AC2+BC2AB2，AC2+AB2BC2，求出 m 的值，进而判断. 14 【答案】231 【解析】【解答】解：y=-x2-2x+b， 函数 y=-2 -2x+b=(
27、+ 1)2+ 1 + 的对称轴为直线 x=-1，开口向下， 当 x-1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x-1 时，y 随 x 的增大而减小， C(2，3)关于直线 x=-1 的对称点为(-4，3)，A(-3，1)，B(-5，2)， 而-5-4-3-1， 231， 故答案为：231 【分析】 利用配方法将函数解析式转化为顶点式， 可得到抛物线的对称轴为直线 x=-1， 开口方向向下，故当 x-1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x-1 时，y 随 x 的增大而减小；再求出点 C 关于对称轴对称的点的坐标，可得到 y1，y2，y3的大小. 15 【答案】2 7 【解析】【解答】解：二次函数
28、= 2 4 + 2化为顶点式为 = ( 2)2 2， = 10， 二次函数有最小值为最小值= 2，此时 = 2， 当 = 1时， = (1 2)2 2 = 7， 当 = 3时， = (3 2)2 2 = 1， 该函数在1 3的取值范围内，y 的取值范围内是2 7， 故答案为：2 7. 【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可求出二次函数的最小值时 x 的值，再分别求出当x=-1 和 x=3 时对应的函数值，即可得到当-1x3 时 y 的取值范围. 16 【答案】20142 【解析】【解答】解：四边形 OA1C1B1是正方形， OB1与 y 轴的夹角为 45 ， OB1的解析式为 y=x，
29、 联立 = = 2， 解得 = 0 = 0或 = 1 = 1， 点 B1(1，1)， 1= 12+ 12= 2， 四边形 OA1C1B1是正方形， 1= 21= 2 2 = 2， 四边形 C1A2C2B2是正方形， C1B2与 y 轴的夹角是 45 ， C1B2的解析式为 y=x+2， 联立 = + 2 = 2，解得 = 1 = 1或 = 2 = 4， 点 B2(2，4)， 12=22+ (4 2)2= 22， 四边形 C1A2C2B2是正方形， 12=212=2 22 = 4， 同理，C2B3的解析式为 = + 4 + 2 = + 6， 联立 = + 6 = 2，解得 = 2 = 4或 =
30、3 = 9， 点 B3(3，9)， 23=32+ (9 6)2= 32， 依此类推，正方形 C2013A2014C2014B2014的边长为20142， 故答案为：20142 【分析】利用正方形的性质可求出 OB1与 y 轴的夹角为 45 ，可得到 OB1的函数解析式为 y=x，将 y=x和 y=x2联立方程组，解方程组求出点 B1的坐标，利用勾股定理求出 OB1的长；再求出 C1B2的函数解析式，将 C1B2的函数解析式和二次函数解析式联立方程组，解方程组求出点 B2的坐标，利用勾股定理求出 C1B2的长；同理求 C2B3的长，观察边的变化规律，可得到正方形 C2013A2014C2014B
31、2014的边长. 17 【答案】y=22x3 【解析】【解答】解：将 A、B 两点代入可得：1 + = 09 + 3 + = 0， 解得： = 2 = 3 二次函数的解析式为：y=22x3. 【分析】将 A、B 两点坐标代入抛物线解析式中，可得关于 b、c 的方程组，并解之即可. 18 【答案】 【解析】【解答】解：观察图象得：抛物线开口向上， a0， 与 y 轴交于（0，1） ，对称轴为直线 x1 c=-1，2= 1， = 2 0， a13，故正确； 当 m=1 时，m（amb）=ab，故错误； 点(2，1)到对称轴的距离大于点(2，3)到对称轴的距离， 1 3， 点(12，2)到对称轴的距
32、离小于点(2，3)到对称轴的距离， 3 2， 2 3 1，故错误； 方程|2+ + | = 的解是函数 = |2+ + |与直线 y=k 的交点的横坐标， = 2，c=-1， 2 2 1 = 0或2 2 1 + = 0， 当有 4 个交点时，设函数 = |2+ + |与直线 y=k 的交点的横坐标为1，2，3，4， 1+ 2= 2= 2，3+ 4= 2= 2， 1+ 2+ 3+ 4= 4，即此时方程|2+ + | = 的所有根的和为 4 当有 3 个交点时，设函数 = |2+ + |与直线 y=k 的交点的横坐标为1，2，3，4， 1+ 2= 2= 2，3= 4= 1， 此时方程|2+ + |
33、 = 的所有根的和为 4 当有 2 个交点时，设函数 = |2+ + |与直线 y=k 的交点的横坐标为1，2， 1+ 2= 2= 2， 此时方程|2+ + | = 的所有根的和为 2故错误； 【分析】由于抛物线开口向上可得 a0，由抛物线与 y 轴交于（0，1） ，对称轴为直线 x1，可得 c=-1， = 2 0，从而求出 a 的范围，据此判断；当 m=1 时，m（amb）=ab，故错误；由抛物线开口向上，可知离对称轴越远的点函数值越大，据此判断；当有四个交点或 3 个交点时，方程的所有根的和为4，当有 2 个交点时，方程|2+ + | = 的所有根的和为 2，故错误. 19 【答案】 =
34、( 2)2+ 3 【解析】【解答】解：抛物线 yx2的顶点坐标为（0，0） ， 将抛物线 = 2向上平移 3 个单位，再向右平移 2 个单位，所得抛物线的顶点坐标为（2，3） ， 所得抛物线的解析式是 = ( 2)2+ 3 故答案为： = ( 2)2+ 3 【分析】抛物线 yx2的顶点坐标为（0，0） ，再求出平移后的顶点为（2，3） ，利用顶点式写出解析式即可. 20 【答案】8 【解析】【解答】解： = 1322+12 + 2 = 132( 8)2+ 4，1320， 当 x=8 时， y 有最大值，最大值为 4， 当她与跳台边缘的水平距离为 8m 时，竖直高度达到最大值 故答案为：8 【分
35、析】根据题意可知，先将二次函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出竖直高度达到最大值时她与跳台边缘的水平距离. 21 【答案】（1）解：由题意可得：另一边长为： （402-x）=（20-x）m，设矩形的面积为 ym2 则 y=x（20-x）=-x2+20 x， 当 y=75 时，-x2+20 x=75， 解得：1= 15，2= 5， x 的值为 15 或 5； （2）解：由题意可得：y=-x2+20 x=-（x-10）2+100， 故当 x 为 10m 时，矩形面积最大，最大面积为：100m2 【解析】【分析】 （1）由题意可得：另一边长为(20-x)m，设矩形的面积为 ym2，根据
36、矩形的面积公式可得关于 x 的方程，求解即可； （2）根据矩形的面积公式可得 y 与 x 的关系式，然后结合二次函数的性质可得最大面积. 22 【答案】（1） （-2，0） ； （3，0） ； （0，4） （2）解： 轴，(0，4)， (1，4)， = 1， = 5 又 轴， CPDBAD =15； 过 P 作 交于点 Q， 设直线 BC 的解析式为 = 1 + 1， 把 B(3，0)，C(0，4)代入，得 31+ 1= 01= 4，解得1= 431= 4， 直线的解析式为 = 43 + 4， 设(， 232+23 + 4)，则(12212， 232+23 + 4)， = (12212) =
37、122+32， ， QPDBAD =122+325= 110( 32)2+940， 当 =32时，取最大值940； （3）解：假设存在点 P 使得 + 2 = 90，即0 3， 过 C 作 轴，连接 CP，延长交 x 轴于点 M， FCP=BMC， + 2 = 90， 平分， BCP=FCP， BCP=BMC， BC=BM， 为等腰三角形， = 5， = 5， = 8，(8，0)， 设直线 CM 解析式为 y=kx+b， 把 C(0，4)，(8，0)代入，得 8 + = 0 = 4，解得： = 12 = 4， 直线的解析式为 = 12 + 4， 联立 = 12 + 4 = 232+23 + 4
38、， 解得 =74或 = 0(舍)， 存在点 P 满足题意，即 =74 【解析】【解答】 （1）解：令 x=0，则 y=4， C(0，4)； 令 y=0，则232+23 + 4=0， x=-2 或 x=3， A(-2，0)，B(3，0) 故答案为：(-2，0)；(3，0)；(0，4)； 【分析】 （1）利用函数解析式，由 y=0 求出对应的 x 的值，可得到点 A，B 的坐标，由 x=0 求出 y 的值，可得到点 C 的坐标； （2）由 CPx 轴及点 C 的坐标，可得到点 P 的坐标，由此可求出 CP，AB 的长，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可证C
39、PDBAD，利用相似三角形的对应边成比例可求出 PD 与 DA 的比值；过点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q，由点 B，C 的坐标，利用待定系数法求出直线 BC 的函数解析式；利用函数图象上的点的坐标特点及平行于 x 轴的直线上所有点的纵坐标相同可设处点 P、Q 的坐标， 可表示出 PQ 的长；由 PQAB，可证得QPDBAD，利用相似三角形的对应边成比例，可得到与 m 的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出最大值； （3） 过 C 作 CFx 轴， 连接 CP， 并延长交 x 轴于点 M， 可证得FCP=BMC， 则BCO+2BCP=90 ，利用角平分线的定
40、义可证得BCP=FCP，可推出BCP=BMC，利用等角对等边可证得 BC=BM，可推出CBM 是等腰三角形，即可得到 BM，OM 的长，可得到点 M 的坐标；利用待定系数法求出直线 CM 的函数解析式，将直线 CM 和二次函数解析式联立方程组，解方程组求出 x 的值，可得到符合题意的 m 的值. 23 【答案】（1）解：将(0，0)，(1，150)，(2，280)代入 = 2+ + ， 得 = 0 + + = 1504 + 2 + = 280， 解之得 = 10， = 160， = 0； （2）解：设排队人数为 w，由（1）知 = 102+ 160(0 8)640(8 10)， 由题意可知，
41、= 20， 当0 8时， = 102+ 160， = 102+ 160 20 = 10( 7)2+ 490 = 7时，排队人数的最大值是 490 人， 当8 10时， = 640， = 640 20， 随自变量的增大而减小， 440 480， 由480 490得，排队人数最大值是 490 人； （3）解：在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间= 640 (4 5) = 32（分钟） 设从一开始增加 n 个检测点，则640(4+)5 20，解得 2.4，n 为整数， 从一开始应该至少增加 3 个检测点 【解析】【分析】 （1）利用表中数据将表中 x，y 的三组对应值分别代入函数解析式，可得到
42、关于 a，b，c 的方程组，解方程组求出 a，b，c 的值，可得到函数解析式； （2）设排队人数为 w，利用（1）可得到 W=y-20 x，分情况讨论：当 0 x8 时，可得到 W 与 x 之间的函数解析式， 将函数解析式转化为顶点式， 利用二次函数的性质， 可求出 W 的最大值； 当 8x10 时，可得到 W 与 x 的函数解析式，利用一次函数的性质可得 W 的最大值，综上所述可求出排队人数的最大值； （3）由题可知，共有 640 人需要进行核酸检测，在（2）的条件下，可全部学生完成核酸检测时间，设从一开始增加 n 个检测点，根据题意可得到关于 n 的不等式，然后求出不等式的最小整数解. 2
43、4 【答案】（1）解：直线 = 2与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， A（2，0） ，B（0，-2m） = 2+ 2 2+ 2 = ( )2+ 2， 抛物线的顶点坐标是 D（m，2） 令 x=0，则 = 2+ 2， (0， 2+ 2) 当 m=2 时，-2m=-4，则2+ 2 = 2， 点 B（0，-4） ，C（0，-2） ，D（2，2） ； 由上可知，直线 AB 的解析式为 = 2 4，抛物线的解析式为 = 2+ 4 2， 如图，过点 P 作 轴交直线 AB 于点 E 设点 P 的横坐标为 t， (， 2+ 4 2)，(，2 4)， = 2+ 4 2 (2 4) = 2+ 2 + 2
44、， PAB 的面积=12 (2 0) (2+ 2 + 2) = ( 1)2+ 3， -10， 当 t=1 时，PAB 的面积的最大值为 3，此时 P（1，1） ； （2）解：由（1）可知，B（0，-2m） ，C（0，-m2+2） ， y 轴上有一点(0，73)，点 C 在线段 MB 上， 需分两种情况讨论： 当73 2+ 2 2时，解得：23 1 +3， 当73 2+ 2 2时，解得：3 1 3， m 的取值范围是23 1 +3或3 1 3； 当23 1 +3时， = 2+ 2 (2) = 2+ 2 + 2 = ( 1)2+ 3， 当 m=1 时，BC 的最大值为 3； 当3 1 3时， =
45、2 (2+ 2) = 2 2 2 = ( 1)2 3， 当 m=-3 时，点 M 与点 C 重合，BC 的最大值为 13， BC 的最大值是 13 【解析】【分析】 （1）利用一次函数解析式，可求出点 A，B 的坐标，再将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点 D 的坐标；由 x=0 可求出点 C 的坐标；当 m=2 时，可得到点 B，C，D 的坐标；由可得到两函数解析式，利用函数图象上的点的坐标特点及平行于 y 轴的直线上所有点的横坐标相同设出点 P、E 的坐标， 表示出 PE 的长，再利用三角形的面积公式，可得到APB 与 t 之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函
46、数的性质可求解； （2）分情况讨论： 当73 2+ 2 2时，可得到关于 m 的不等式，解不等式求出 m 的取值范围；当73 2+ 2 2时，可得到关于 m 的不等式，然后求出不等式的解集，综上所述可得到 m 的取值范围； 当23 1 +3时，可表示出 BC 与 m 的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出 BC 的最大值及 m 的值； 当3 1 3时，可表示出 BC 与 m 的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出 BC 的最大值及 m 的值，综上所述可得到 BC 的最大值. 25 【答案】（1）解：抛物线 = 2+ 与 y 轴交于点(
47、0，4) = 4 抛物线解析式为 = 2+ 4 （2）解：以 B、C、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： = 2+ 4的顶点坐标为(0，4) 依题意得，(1，4) 平移后的抛物线解析式为 = ( + 1)2+ 4 令 = 0，解( + 1)2+ 4 = 0 得1= 3，2= 1 (1，0)，(3，0) 令 = 0，则 = 3，即(0，3) 2= 32+ 32= 18，2= 12+ 12= 2，2= (3 + 1)2+ 42= 20 2+ 2= 2 以 B、C、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形 （3）解：存在，(25+13，0)或(3+54，0)，理由如下， (3，0)，(0，3)
48、， = = 3 是等腰直角三角形 设直线的解析式为 = + ， 则3+ = 0 = 3， 解得 = 1 = 3， 直线的解析式为 = + 3， 联立 = + 3 = 2+ 4 解得1=1+521=5+52，2=1522=552 (1+52，5+52) (1，0)，(3，0)，(0，3)， 是等腰直角三角形 = 4， = 2 = 32 设直线的解析式为 = + ， + = 0 = 3 = 3 = 3 直线的解析式为 = 3 + 3 当 时， 设的解析式为 = 3 + ，由 NT 过点(1+52，5+52) 则5+52= 3(1+52)+ 解得 = 25 + 1 的解析式为 = 3 + 25 +
49、1， 令 = 0 解得 =25+13 (25+13，0) = 3 +25+13=10+253 ， = 10+2534=32 =522+102 当 时，则= 即32=522+1024 解得 =154+354 = 3 (3+54，0) 综上所述，(25+13，0)或(3+54，0) （4） 解： 如图， 作 ， 交轴于点， 过点作 于点， 则 是等腰直角三角形， 作 于 直线的解析式为 = + 3 设与平行的且与 = 2+ 4只有一个公共点的直线解析式为 = + 则 = 2+ 4 = + 整理得：2+ + 4 = 0 则 = 12 4( 4) = 0 解得 =174 直线的解析式为 = +174
50、=174 3 =54， = =12 =58 =22 =2254=528 即拋物线 = 2+ 平移的最短距离为528，方向为方向 (0，4) 把点 P 先向右平移 EF 的长度，再向下平移 FC 的长度即得到平移后的坐标 平移后的顶点坐标为(58，4 58)，即(58，278) 【解析】【分析】 （1）将 P（0，4）代入 y=-x2+c 中求出 c 的值，据此可得抛物线的解析式； （2）易得 P（0，4） ，Q（-1，4） ，则平移后的抛物线解析式为 y=-(x+1)2+4，令 y=0，求出 x 的值，可得点 A、B 的坐标， 令 x=0，求出 y 的值， 可得点 C 的坐标， 然后利用两点间
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